EMC ja taajuusmuuttajat, insinöörin näkökulmia

Samankaltaiset tiedostot
Mika Masti, ABB Oy Drives/Teknologia, EMC ja taajuusmuuttajat, simuloinnin näkökulmasta

Kon Simuloinnin Rakentaminen Janne Ojala

Radiotekniikan perusteet BL50A0301

RF-tekniikan perusteet BL50A0300

EMC: Electromagnetic Compatibility Sähkömagneettinen yhteensopivuus

Johdatus EMC:hen ja EMCdirektiiviin

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

EMC. Elektroniikan käytön voimakas kasvu mobiililaitteet, sulautetut järjestelmät

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa?

Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

Matematiikan tukikurssi

Kokemuksia ja näkemyksiä teollisuusmatematiikan koulutuksen kehittämisestä

Johdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad

MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN

Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla

SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN

EMC Säteilevä häiriö

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Sovelletun fysiikan laitos Marko Vauhkonen, Kuopion yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos Slide 1

Computing Curricula raportin vertailu kolmeen suomalaiseen koulutusohjelmaan

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ohjelmoitava päävahvistin WWK-951LTE

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

DEE Sähkötekniikan perusteet 5 op

EMC Suojan epäjatkuvuudet

Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi

x = ( θ θ ia y = ( ) x.

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

UUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI ISBN-NUMERO, Jalasjärvi PAINOS YMS. LISÄTIEDOT Puh ,

NAANTALIN LUKION OPPIKIRJALUETTELO LV. 2015/2016

Ohjelmoitava päävahvistin WWK-951. Anvia TV Oy Rengastie Seinäjoki

Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

DEE Sähkötekniikan perusteet

RG-58U 4,5 db/30m. Spektrianalysaattori. 0,5m. 60m

2. Sähköisiä perusmittauksia. Yleismittari.

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

Matemaattisesta mallintamisesta

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

Teoreettisen fysiikan esittely

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

Pinces AC-virtapihdit ampèremetriques pour courant AC

FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ

Milloin A diagonalisoituva?

EMC MITTAUKSET. Ari Honkala SGS Fimko Oy

Lataa Matemaattinen mallinnus. Lataa

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista

Kauppilantie Jalasjärvi UUSI KIRJA / "UUDEHKO" KIRJA, KATSO TARKASTI PAINOS YMS. TIEDOT Puh , OPPIKIRJAT LUKUVUONNA

Matematiikan osaaminen ja osaamattomuus

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

5. Numeerisesta derivoinnista

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

DEE Sähkötekniikan perusteet

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Energiatehokkuutta parantavien materiaalien tutkimus. Antti Karttunen Nuorten Akatemiaklubi

Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

PAKOPUTKEN PÄÄN MUODON VAIKUTUS ÄÄNENSÄTEILYYN

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

OPINTOJAKSOJA KOSKEVAT MUUTOKSET/MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS/ LUKUVUOSI

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

Mikrofonien toimintaperiaatteet. Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist

S Elektroniikan häiriökysymykset. Laboratoriotyö, kevät 2010

TIETOLIIKENNETEKNIIKKA I A

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

Mitä kalibrointitodistus kertoo?

BY-PASS kondensaattorit

Kehittää ohjelmointitehtävien ratkaisemisessa tarvittavia metakognitioita!

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

20 Kollektorivirta kun V 1 = 15V Transistorin virtavahvistus Transistorin ominaiskayrasto Toimintasuora ja -piste 10

FinZEB työpaja Tämän hetken haasteet energiatehokkaassa suunnittelussa

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

Avoin lähdekoodi ja hankinnat. JHS-SEMINAARI Avoimet teknologiat haaste ja mahdollisuus

Sähkön laatu sairaalaympäristössä Aki Tiira Merus Power Dynamics Oy

Numeeriset menetelmät

PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

Numeeriset menetelmät

Algoritmit 1. Luento 10 Ke Timo Männikkö

Mittausepävarmuuden laskeminen

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Transkriptio:

Mika Masti, ABB Oy drives/teknologia, 11.03.2010 EMC ja taajuusmuuttajat, insinöörin näkökulmia March 23, 2010 Slide 1

Luennoitsijan esittely Tampereella syntynyt, koulutettu ja edelleen asuva TTY -92, DI -00 ja TkT -06, Drives/Teknologia -06 pääaineina sähkömagnetiikka ja laskennallinen fysiikka dippatyö/väitös suprajohteiden karakterisointia/mallinnusta käytännön kokemusta mm. simuloinneista, mittauksista, ohjelmoinnista, opetuksesta, tutkimuksesta, prosessinkehityksestä ja projektijohtamisesta nyt kehitän työkseni LV Drivesin EMC simulointia March 23, 2010 Slide 2

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 Liiketoiminnan peruslainalaisuudet March 23, 2010 Slide 3

Liiketoiminnan peruslainalaisuudet, insinöörin näkökulma mahdollisimman hyvin määritelmät täyttäviä tuotteita ja palveluita vähimmällä mahdollisella panostuksella ja suurimmalla mahdollisella voitolla suuri määrä ristiriitaisia vaatimuksia, jotka muuttuvat jatkuvasti ajan, maantieteellisen alueen, teknologian, sovellusten ja muiden tekijöiden mukana tavoitteena olla yritys, joka parhaiten yhdistää asiakkaiden vaatimukset teknisiin ratkaisuvaihtoehtoihin ja muuttuviin toimintaympäristöihin johtaa päättymättömään optimointiprosessiin, jolla ei ole stabiilia ratkaisua -> se joka hallitsee asioiden riippuvuussuhteet parhaiten, pääsee useimmin lähelle kokonaisoptimia March 23, 2010 Slide 4

Paljon vaatimuksia tuotteille ja palveluille kansainväliset/kansalliset vaatimukset esim. EMC, tulo/lähtöjännitetasot, turvallisuus, kierrätys, EuP, ROHS, yms. alakohtaiset vaatimukset esim. läpilyönti, säätötarkkuus, elinaika, vikakäytös, jne. asiakaskohtaiset vaatimukset esim. lämpötila, kosteus, tärinä, yms. sovelluskohtaiset vaatimukset esim. STO, kommunikointiprotokollat, jne. käyttökohdekohtaiset vaatimukset esim. heikon maadoituksen sieto, yhteensovitus vanhojen/kilpailijan tuotteiden kanssa, vanhoja operointiprotokollia, yms. March 23, 2010 Slide 5

Mitä tämä tarkoittaa EMC:n näkökulmasta? EMC ei ole tärkein ominaisuus, mutta ilman EMChyväksyntää tuotetta ei voi myydä EMC-ongelmia ei voi ratkaista oppikirjaratkaisuilla, koska mm. tuotannollisuus, hinta, energiatehokkuus ja tilavaatimukset pakottavat rikkomaan tuttuja ja turvallisia suunnittelusääntöjä myös EMC-hyväksytty laite voi aiheuttaa ongelmia tietyissä kohteissa ja olosuhteissa pitää ymmärtää asioiden riippuvuussuhteet, jotta asiakasta voidaan auttaa kaikissa tilanteissa EMC koostuu laitteesta ja toimintaympäristöstä EMCongelmat havaitaan myöhään, koska ympäristö on tiedossa vasta kaupan neuvotteluvaiheessa johtaa räätälöityihin ratkaisuihin EMC vaatii paljon osaamista, laajaa työkalupakettia ja jatkuvaa silmälläpitoa prosessin kaikissa vaiheissa! March 23, 2010 Slide 6

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 Perustaajuusmuuttajan rakenne March 23, 2010 Slide 7

Perustaajuusmuuttajan rakenne (1/2) March 23, 2010 Slide 8

Perustaajuusmuuttajan rakenne (2/2) pääpiiri muodostuu tyypillisesti kolmesta sisäänmenovaiheesta, diodisillasta, välipiiristä, tehomoduulista ja kolmesta ulostulovaiheesta sekä sisäänmenoon, välipiiriin että ulostuloon voidaan liittää ja usein liitetään erilaisia suotimia ja kuristimia johtuvien EMI-ongelmien poistamiseksi ohjauspiiriin kuuluu mikroprosessoreita, muistipiirejä, ASIC:ja ja tarvittava ohjelmisto, joskus oma teholähde pääpiirin ja ohjauselektroniikan lisäksi laitteesta löytyy aina kommunikointipiirejä, näiden teholähteitä, jäähdytyselementtejä, maadoituspeltejä, ruuveja, johtoja ja iso kasa valinnaisia optioita March 23, 2010 Slide 9

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 EMC mittauksista lyhyesti March 23, 2010 Slide 10

EMC mittauksista lyhyesti EMC:tä mitataan useilla eri tavoilla, mutta standardit määrittävät aina mittaustavan ja raja-arvovaatimukset tarkoitetusta ympäristöstä sekä tuotteesta riippuen yleisimmin EMC mittaukset jaetaan kahteen luokkaan, johtuviin ja säteileviin matalat taajuudet mitataan pääosin johtumalla näkyvinä jännitepiikkeinä korkeat taajuudet mitataan suoraan kaiuttomissa huoneissa, tms. johtuvien ja säteilevien raja on mittauksien kannalta veteen piirretty viiva, jolla sovitaan käytettävästä menetelmästä kullekin taajuusalueelle. Todellisuudessa tutkittavan osakokonaisuuden ns. sähköinen pituus kertoo milloin on syytä alkaa ottaa huomioon myös säteilevät ilmiöt. March 23, 2010 Slide 11

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 Mitä on EMC simulointi? March 23, 2010 Slide 12

Mitä on EMC simulointi? Mitä on EMC? ElectroMagnetic Compatibility eli sähkömagneettinen yhteensopivuus on osakokonaisuuden ominaisuus suhteessa ympäristöönsä EMC-simuloinneiksi voidaan mielestäni kutsua kaikkia sähkömagneettisia simulointeja, joissa pyritään: tutkimaan jonkin osakokonaisuuden epäideaalista toimintaa tutkimaan jonkin osakokonaisuuden toimintaa toiminnallisista taajuuksista poikkeavilla taajuuksilla tutkimaan osakokonaisuuksia ja niiden välisiä kytkentöjä tarkoituksesta poikkeavan tyyppisillä lähteillä tutkimaan osakokonaisuuksien vaikutuksia toisiinsa tai ulkopuoliseen ympäristöön (tai päinvastoin) March 23, 2010 Slide 13

Miksi simuloida? simulointi voi olla nopeampaa kuin mittaukset, voidaan tehdä usein jo konseptivaiheessa simuloinnin avulla voidaan osakokonaisuuksia testata, vertailla ja optimoida nopeammin sekä tarkemmin enemmän tehoa/nopeutta/tarkkuutta, halvemmalla, pienempään tilaan, yms. simulointien avulla voidaan lisätä ymmärrystä osakokonaisuuden toiminnasta mittauksia paremmin March 23, 2010 Slide 14

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 Mitä ja miten voidaan simuloida? March 23, 2010 Slide 15

Mitä ja miten voidaan simuloida? (1/6) Alla on tyypillinen EM simulointiprosessi: 1) ongelman muotoilu (taustalla Maxwellin yhtälöt, materiaalivakiot ja väliaineyhtälöt) tutkitaanko sähkökenttiä, magneettikenttiä, virtoja, jännitteitä, S-parametreja, impedansseja, lähikenttiä, säteilyä, pyörrevirtoja, varausjakaumia, siirtolinjan sovituksia, jne. lähteinä jännite/virtalähteitä, antenneja, tasoaaltoja, jne. tutkitaanko tasapainotilan vai siirtymätilan ratkaisua halutaanko tulokset pisteissä, yli pinnan, yli tilavuuden, väliaineessa, lähellä vai kaukana täytyykö malliin lisätä piirikomponentteja tms, pitääkö tulosten olla siirrettävissä muihin muotoihin tai ohjelmiin onko käytettävissä mekaniikkamalleja tms mallin pohjaksi March 23, 2010 Slide 16

Mitä ja miten voidaan simuloida? (2/6) 2) numeerinen esitys + sen ratkaisu valitaan Maxwellin yhtälöiden matemaattinen yksinkertaistus halutut asiat, halutuissa paikoissa, halutuilla taajuuksilla laskentamenetelmät perustuvat eri laskentatasoihin (aika/taajuus), ongelman esittämismuotoihin (DY/IY), käyttävät erilaisia diskretointitapoja ja soveltuvat erilaisille ratkaisualueen muodoille (avoin/suljettu) tai kappaleen sähköiselle koolle useimmiten haluttuja suureita etsitään diskreeteissä pisteissä ja ongelma esitetään tietokoneelle matriisimuodossa, jota ryhdytään ratkaisemaan em. tyypin yhtälölle sopivin keinoin (harva/tiivis matriisi, matriisin kuntoluku, symmetrinen/ei-symmetrinen, jne.) March 23, 2010 Slide 17

Mitä ja miten voidaan simuloida? (3/6) 3) tulosten verifiointi (tulokset pitää aina arvioida jollakin alla olevista menetelmistä, mieluummin useammalla niistä): arvioidaan tulosten fysikaalisuutta osatulosten suuruuden, keskinäisen suuruuden, taajuuskäyttäytymisen ja kokemuksen perusteella vertaillaan analyyttisiin malleihin toistetaan simuloinnit muutetuilla arvoilla (herkkyysanalyysi) vertaillaan muiden tekemiin tai muilla laskentamenetelmillä tehtyihin simulaatioihin vertaillaan mittaustuloksiin March 23, 2010 Slide 18

Mitä ja miten voidaan simuloida? (4/6) Mikä on sähköinen koko ja miksi se on tärkeä? sähköinen koko on osakokonaisuuden suurimman dimension L suhde tutkittavan taajuuden aallonpituuteen λ: mikäli L << λ voidaan olettaa virtojen ja jännitteiden eri osissa osakokonaisuutta olevan samassa amplitudissa ja vaiheessa voidaan käyttää piiriteoriaa ja R-, L-, C- malleja! mikäli L λ, eri kohdissa osakokonaisuutta olevien virtojen ja jännitteiden amplitudeissa, sekä vaiheissa voi olla eroja täysaalto ratkaisija! mikäli L >> λ, useimmiten amplitudien ja vaiheiden erot sivuutetaan ja käytetään keskiarvotettuja tuloksia erilaiset optiikassa ja tutkatekniikassa käytetyt laskentamenetelmät! eli eri sähköisillä pituuksilla erilaiset EM ilmiöt nousevat määrääviksi eri taajuuksilla simulointiongelmia ratkotaan erilaisin matemaattisin menetelmin! March 23, 2010 Slide 19

Mitä ja miten voidaan simuloida? (5/6) Ohessa tyypillisiä käytännön EM simulointirajoituksia: tietokoneen laskentateho ja muisti, laskentaan käytettävä aika eri osakokonaisuuksien mallintaminen samassa simuloinnissa, samalla ohjelmalla tai samalla matemaattisella menetelmällä tulosten verifioinnin vaikeus rajoittaa tulosten luotettavuutta matematiikka on usein piilotettu ja eksakteja kaavoja ei anneta edes manuaalissa epävarmuus ohjelman soveltuvuudesta tutkittavaan ongelmaan kasvaa käytännössä EM simulointeja rajoittaa myös käyttäjän osaaminen, käyttöliittymien helppous, käytettävissä olevien simulointiohjelmien tarjoamat vaihtoehdot ja mallin tekoon käytettävissä oleva aika March 23, 2010 Slide 20

Mitä ja miten voidaan simuloida? (6/6) Mitä kaupallisten ohjelmistojen puolella on tarjolla? osa EM simulointiohjelmistojen tarjoajista keskittyy yhteen ratkaisumenetelmään (FEM, MoM, TLM, PEEC, jne.), osa tarjoaa yhden käyttöliittymän, numeerisia ratkaisijoita voi ostaa usein suolaiseen hintaan suurin osa ohjelmista (tai ratkaisijoista) on erikoistunut tekemään yhden tyyppiselle osakokonaisuudelle (piirikortti, metallikaappi, johtoviidakko, antenni, jne.) yhden tyyppistä simulointia (S-parametrit, EM suojauskertoimet, RCS, lähikenttiä, kaukokenttiä, SI, osainduktanssien laskenta jne.) nopeasti ja tehokkaasti Mitä ilmaisissa ohjelmissa on tarjolla? lähes mihin tahansa erikoisongelmaan on joku hilavitkutin-softa, mutta tuki, käyttöliittymä ja/tai soveltuvuus laajempiin ongelmakokonaisuuksiin puuttuu tai on luvattoman kryptinen March 23, 2010 Slide 21

EMC simulointien erityispiirteitä (1/2) EMC on laitteen ja ympäristön ominaisuus, eli usein muuttujia on liikaa hallittavaksi kerralla EMI-lähteet, johtumisreitit/-tavat ja osakokonaisuudet täytyy valita kokemuksen/arvauksen perusteella (riippuu taajuudesta!) mikään matemaattinen menetelmä/simulointiohjelma ei sovellu kaikille EMI-ongelmille, taajuuksille, rakenteille tai ei ota huomioon kaikkia tarpeellisia ilmiöitä/lähteitä sähkömagnetismin ja matemaattisten menetelmien perusteet, sekä ohjelmien rajoitteet täytyy hallita ennen ohjelmiston valintaa ja mallinnuksen aloittamista. Mallinnusta käytetään osien ja ilmiöiden kvantisointiin, sekä rakenteiden vertailuun, ei olennaisten osien ja ilmiöiden etsimiseen March 23, 2010 Slide 22

EMC simulointien erityispiirteitä (2/2) laitteen toiminnallisuuden osaaminen, EMI-lähteiden ja kytkentäreittien näkeminen, laskentamenetelmien ymmärtäminen ja ohjelmien tunteminen on usein liikaa vaadittu yhdeltä henkilöltä eri taustan omaavien henkilöiden täytyy keskustella laitteen osista, toiminnallisuudesta, fysikaalisista ilmiöistä ja matemaattisista menetelmistä jotta pystytään muotoilemaan oikea ongelma oikeille työkaluille oikealla tavalla uutta tuotetta tehtäessä EMC-kysymyksiä sekä mahdollisia ratkaisuvaihtoehtoja on paljon, jolloin hinta, luotettavuus, asennettavuus, vaihdettavuus, jne. ratkaisee. Vanhojen laitteiden ongelmatapausten ratkonnassa aika ratkaisee nopeus on lähes aina tärkeää! yhden kysymyksen ratkaisua ei voida odottaa kauan kun kysymyksiä on monta tai on kiire March 23, 2010 Slide 23

Mika Masti, ABB LV Drives/Technology, 11.03.2010 Lisätietoja March 23, 2010 Slide 24

Lisää tietoa esitellyistä aiheista J R Reitz, F J Milford, and R W Christy Foundations of Electromagnetic Theory. Addison Wesley 1993 (Maxwellin yhtälöiden peruskauraa ja muuta peruskamaa) N Mohan, T M Undeland, and W P Robbins Power Electronics. J. Wiley & Sons 2003 (taajuusmuuttajista ja tehokomponenteista) C R Paul Introduction to Electromagnetic Compatibility. J. Wiley & Sons 2006 (EMC, eräänlainen raamattu alallaan) March 23, 2010 Slide 25

Lisää tietoa muista aiheista M N O Sadiku Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press 2001 (yleiskuvaus EM ongelmien luokittelusta ja monien peruslaskentamenetelmien alkeita) A F Peterson, S L Ray, and R Mittra Computational Methods for Electromagnetics. IEEE Press 1998 (erityisesti Maxwellin yhtälöiden integraalimuodoista) D Kincaid and W Cheney Numerical analysis: mathematics of scientific computing, 2nd ed. Brooks Cole 1996 (numeerisen laskennan menetelmistä, ongelmista ja virheistä) March 23, 2010 Slide 26

March 23, 2010 Slide 27