Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio
Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin k = 2 3 α 2 tanα = 2 3, α suuntakulma 3 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 3 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin k = 2 3 α 3 i 2 j tanα = 2 3, α suuntakulma eräs suuntavektori s = 3 i + 2 j Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 3 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Silloin s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A s B Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 4 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Silloin s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A s B Lause 1. Jos s = s x i + s y j, s x 0 on eräs suoran suuntavektori, niin suoran kulmakerroin on k = s y s x. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 4 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Silloin s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A s B Lause 1. Jos s = s x i + s y j, s x 0 on eräs suoran suuntavektori, niin suoran kulmakerroin on k = s y s x. s x i s s y j Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 4 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Silloin s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A s B Lause 1. Jos s = s x i + s y j, s x 0 on eräs suoran suuntavektori, niin suoran kulmakerroin on k = s y s x. s x i s s y j Lause 2. l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 4 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Määritelmä 1. Olkoot pisteet A ja B kaksi suoran l eri pistettä. Silloin s = AB on suoran l eräs suuntavektori. l A s B Lause 1. Jos s = s x i + s y j, s x 0 on eräs suoran suuntavektori, niin suoran kulmakerroin on k = s y s x. s x i s s y j Lause 2. l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2 Lause 3. l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 s 2 = 0 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 4 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 4. (l 1, l 2 ) = { ( s1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) 90 180 ( s 1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) > 90 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 5 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 4. (l 1, l 2 ) = { ( s1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) 90 180 ( s 1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) > 90 l 1 (l 1,l 2 )= ( s 1, s 2 ) l 1 ( s 1, s 2 ) (l 1,l 2 ) l 2 l 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 5 / 12
Suuntavektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 4. (l 1, l 2 ) = { ( s1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) 90 180 ( s 1, s 2 ), jos ( s 1, s 2 ) > 90 l 1 (l 1,l 2 )= ( s 1, s 2 ) l 1 ( s 1, s 2 ) (l 1,l 2 ) l 2 l 2 cos ( ( s 1, s 2 )) = s 1 s 2 s 1 s 1 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 5 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 5 x + 2 (ratkaistu muoto) Eräs suoran suuntavektori on Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 5 x + 2 (ratkaistu muoto) Eräs suoran suuntavektori on s = 5 i + 3 j. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 5 x + 2 (ratkaistu muoto) Eräs suoran suuntavektori on s = 5 i + 3 j. Eräs suoran normaalivektori on Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 5 x + 2 (ratkaistu muoto) Eräs suoran suuntavektori on s = 5 i + 3 j. Eräs suoran normaalivektori on n = 3 i 5 j, koska s n = 5 3 + 3 ( 5) = 0. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori 3x 5y + 10 = 0 (suoran normaalimuoto) y = 3 x + 2 (ratkaistu muoto) 5 Eräs suoran suuntavektori on s = 5 i + 3 j. Eräs suoran normaalivektori on n = 3 i 5 j, koska s n = 5 3 + 3 ( 5) = 0. s s 3x 5y+10=0 n Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 6 / 12
Normaalivektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on n = a i + b j. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 7 / 12
Normaalivektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on n = a i + b j. Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 7 / 12
Normaalivektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on n = a i + b j. Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. s α l 1 l 2 α n 2 n 1 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 7 / 12
Normaalivektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on n = a i + b j. Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. s α l 1 l 2 α n 2 n 1 l 1 l 2 n 1 n 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 7 / 12
Normaalivektori Suuntavektori Normaalivektori Lause 5. Suoran ax + by + c = 0 eräs normaalivektori on n = a i + b j. Suorien välinen kulma on normaalivektoreiden välinen kulma tai sen suplementtikulma. s α l 1 l 2 α n 2 n 1 l 1 l 2 n 1 n 2 l 1 l 2 n 1 n 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 7 / 12
vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 8 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suuntavektori s ja piste P 0 määräävät suoran. s P 0 (x 0,y 0,x 0 ) O Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 9 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suuntavektori s ja piste P 0 määräävät suoran. P(x,y,z) s P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 9 / 12
Suoran yhtälö: vektorimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suuntavektori s ja piste P 0 määräävät suoran. P(x,y,z) s P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss OP = OP 0 + t s, t R Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 9 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema P(x,y,z) s=s x i+s y j+s z k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema P(x,y,z) s=s x i+s y j+s z k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss x i + y j + z k = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t ( s x i + s y j + s z k ), t R Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema P(x,y,z) s=s x i+s y j+s z k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss x i + y j + z k = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t ( s x i + s y j + s z k ), t R x = x 0 + ts x y = y 0 + ts y z = z 0 + ts z Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 10 / 12
Suoran yhtälö: parametrimuoto vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema P(x,y,z) s=s x i+s y j+s z k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) O Piste P on suoralla, joss x i + y j + z k = x 0 i + y 0 j + z 0 k + t ( s x i + s y j + s z k ), t R x = x 0 + ts x y = y 0 + ts y z = z 0 + ts z x x 0 s x = y y 0 s y = z z 0 s z, s x, s y, s z 0 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 10 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = AB = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = AB = 4 i + 5 j + k Vektorimuoto: OP = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = AB = 4 i + 5 j + k Vektorimuoto: OP = OA + t s = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = AB = 4 i + 5 j + k Vektorimuoto: OP = OA + t s = 2 i 2 j + 2 ( k + t 4 i + 5 j + ) k Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12
Esimerkki vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema Suora kulkee pisteiden A(2, 2, 2) ja B( 2, 3, 3) kautta. Määritä suoran yhtälö sekä vektorimuodossa että parametrimuodossa. z P(x,y,z) A(2, 2,2) B( 2,3,3) y x Suoran suuntavektori s = AB = 4 i + 5 j + k Vektorimuoto: OP = OA + t s = 2 i 2 j + 2 k + t Parametrimuoto: x = 2 4t y = 2 + 5t z = 2 + t ( 4 i + 5 j + k Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 11 / 12 )
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = 2 i 3 j + k ja s 2 = Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = 2 i 3 j + k ja s 2 = 6 i + 9 j 3 k. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = 2 i 3 j + k ja s 2 = 6 i + 9 j 3 k. Koska s 2 = 6 i + 9 j 3 ( k = 3 2 i 3 j + ) k = 3 s 1, niin Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = 2 i 3 j + k ja s 2 = 6 i + 9 j 3 k. Koska s 2 = 6 i + 9 j 3 ( k = 3 2 i 3 j + ) k = 3 s 1, niin s1 s 2 Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12
Suorien keskinäinen asema vektorimuoto parametrimuoto Suorien keskinäinen asema yhdensuuntaiset l 1 l 2 s 1 s 2 s 1 = t s 2, t R ritikkäiset leikkaavat Esimerkki. Ovatko suorat x = 1 + 2t y = 2 3t z = 3 + t yhdensuuntaiset?, t R ja x = 7 6s y = 2 + 9s z = 1 3s, s R Suuntavektorit ovat s 1 = 2 i 3 j + k ja s 2 = 6 i + 9 j 3 k. Koska s 2 = 6 i + 9 j 3 ( k = 3 2 i 3 j + ) k = 3 s 1, niin s1 s 2 ja suorat ovat yhdensuuntaiset. Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 12 / 12