9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v + h + m = 7,5 v + m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m =,5 v + h + m =,5. Tämä yhtälöryhmän ensimmäiseen yhtälöön yhdistämällä saadaan m = (v + h + m) (v + h + m) =,5 8 =, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa v = 7 m = 7 = v =. Keskimmäisestä yhtälöstä saadaan nyt ratkaistuksi h = 7,5 (v + m) = 7,5 ( + ) =,5 h =,5. Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan siis v = h =,5 m =. (Sijoittamalla on helppo tarkastaa, että kyseessä on todella ratkaisu.) Siis v+h+m = +,5 + = 0 eli rasiaa vadelmia, rasiaa herukoita ja rasiaa mustikoita maksoi 0e. P. Ruudukon lukujen summa on + + + 6 = 6 7 = 6, joten kunkin vaaka- ja pystyrivin lukujen summa on. Tästä seuraa, että ensimmäisen sarakkeen alimman ruudun luku on ja kolmannen rivin oikeanpuolimmaisen ruudun luku on 5. 9 8 7 0 5 0 0
Oikeanpuolimmaisen sarakkeen tyhjien ruutujen lukujen summa on = +0 = +9 = +8 = +7 = 5+6. Koska 0,, 8 ja jo esiintyvät ruudukossa, viimeiseen sarakkeeseen on kirjoitettava 5 ja 6. Jos 5 on ylimmällä rivillä, niin ylimmän rivin keskimmäisten ruutujen lukujen summa on 5 = 6 + 9 = 5 + 0 = + = +. Vain ja ovat mahdollisia. Nyt 6 ei voi olla alimmälla rivillä, koska rivin lukujen summaksi tulisi ainakin 7, joten 6 on toisella rivillä; siis myös on toisella rivillä. Koska kolmannen sarakkeen ylimmässä ruudussa on ainakin, 6 ei voi olla kolmannessa sarakkeessa. Sen on siis oltava toisessa, jolloin on kolmannessa. Alimmalla rivillä ovat siis ja. Nyt ei voi olla toisessa sarakkeessa, koska muuten sarakkeen lukujen summa olisi pariton. on siis kolmannessa sarakkeessa, toisessa. Silloin alimman rivin toisessa ruudussa on ja kolmannessa : 0 9 6 7 0 5 8 5 6 0 Oikeanpuolimmaisen sarakkeen ylimmässä ruudussa voi kuitenkin olla 6 ja alimmassa 5. Samalla tavoin kuin edellä päätellään nyt, että ylimmän rivin kahdessa keskimmäisessa ruudussa on ja, että 6 on taas toisen rivin toisessa ruudussa ja saman rivin kolmannessa, että alimmalla rivillä keskimmäisissä ruuduissa on oltava ja, että on kolmannessa sarakkeessa, jolloin ruudukko on oltava 0 9 6 7 0 6 8 5 5 0 Ruudukko voidaan siis täyttää tasan kahdella eri tavalla. P. Laatikon pohjalla olevat kiekot voi aina siirtää kiinni toisiinsa, joten riittää tarkastella asetelmia, joissa kiekot sivuavat toisiansa. Oletetaan, että kiekkojen keskipisteiden välinen yhdysjana muodostaa kulman α laatikon toisen sivun kanssa. Jos koordinaattiakselit valitaan laatikoiden sivujen mukaan, kuva on mahdollista peilausta lukuun
ottamatta seuraavanlainen. α Piirretyn yhtenäisen murtoviivan korkeus (suurimman ja pienimmän y-koordinaatin erotus) on r + r sin α. Vastaavasti katkoviivalla piirretyn murtoviivan leveys on r + r cos α. Asetelman saa sijoitettua laatikkoon, jonka sivu on s = maxr + r sin α, r + r cos α}. Pienin mahdollinen arvo saavutetaan, kun α = π/, jolloin sin α = cos α = / ja pienin mahdollinen laatikon sivu on s = r + r / = ( + )r. P. On ratkaistava yhtälö x y = 009 eli (x y)(x + y) = 009, missä x ja y ovat positiivisia kokonaislukuja. Jaetaan luku 009 tekijöihin. Kun kokeillaan pieniä tekijäkandidaatteja, huomataan, että 009 = 7 87 = 7 (7 ) = 7. Eri tavat esittää 009 pienemmän ja suuremman kokonaisluvun tulona ovat siis 009 = 009 = 7 87 = 9. Koska x y < x + y, tehtävän ratkaisut ovat yhtälöparien x y = x + y = 009, x y = 7 x + y = 87 ja x y = x + y = 9 ratkaisut x = 005, y = 00; x = 7, y = 0 ja x = 5, y =. ÎĐ Ð Ö V. Ks. P. V. Olkoon r tehtävän ympyrän säde, jolloin tasakylkisen kolmion korkeus ja kanta ovat r. Nimetään tasakylkisen kolmion kärjet niin, että AB on kanta ja C huippu. Kolmion ABC kyljen pituus on Pythagoraan lauseen mukaan (r) + r = r 5. Olkoon O ympyrän keskipiste, ja P, Q ja R pisteet, joissa ympyrä kohtaa sivut AB, BC ja AC. Olkoon edelleen S tasakylkisen kolmion COR kannan vastaisen korkeusjanan
päätepiste kannalla. C R S O Q A P B Suorakulmaiset kolmiot AP C ja OSC ovat yhdenmuotoiset, koska niillä on yhteinen terävä kulma. Siis CR = CS = r / 5 = r 5/5 ja ympyrä jakaa leikkaamansa sivut eli kolmion kyljet suhteessa (r 5 r 5/5) : (r 5/5) = ( /5) : (/5) = :. V. Valitaan tarkasteltavaksi yksi pelaajista, A. Todennäköisyys, että A voittaa täsmälleen kaksi peleistään on ( ) / = 6/6 = /8. Oletetaan, että A voittaa pelaajat H 0 ja H sekä häviää pelaajille V 0 ja V. Voidaan edelleen olettaa, että V 0 voittaa V :n ja H 0 H :n. Tällöin V 0 on hävittävä pelinsä H 0 :lle ja H :lle, jotta hän voittaisi vain kaksi peliä. Vastaavasti H :n on voitettava V, jotta hän voittaisi vaaditut kaksi peliä. Lopuksi havaitaan, että V :n on voitettava H 0. Todennäköisyys, että nämä neljä peliä päättyvät näin, on / = /6. Kysytty todennäköisyys on siis 8 6 = 8. V. On ratkaistava yhtälö x y = 009 eli (x y)(x + xy + y ) = 009, missä x ja y ovat positiivisia kokonaislukuja. Jaetaan luku 009 tekijöihin. Kun kokeillaan pieniä tekijäkandidaatteja, huomataan, että 009 = 7 87 = 7 (7 ) = 7. Koska x y < x x < x +xy +y ja x +xy +y > 0, tehtävän ratkaisut ovat yhtälöparien x y = x + xy + y = 009, x y = 7 x + xy + y = 87 ja x y = x + xy + y = 9 ratkaisut. Yhtälöpareista ensimmäinen palautuu yhtälöksi x +x(x )+(x ) = 009 eli x x = 008. Koska 008 ei ole jaollinen :lla, yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisuja. Toinen yhtälöpari palautuu yhtälöksi x + x(x 7) + (x 7) = 87 eli x x + 7 = 7. Tästä seuraa, että x on jaollinen 7:llä, joka on mahdollista vain, jos x on jaollinen 7:llä. Mutta nyt yhtälön vasen puoli on jaollinen 9:llä, mutta oikea ei. Yhtälöllä ei ole kokonaislukuratkaisua. Kolmas yhtälöpari ei voi toteutua, koska x > ja x +xy+y > > 600. Lukua 009 ei voi lausua kahden kuutioluvun erotuksena.
ÚÓ Ò Ö A. Kateettien pituudet ovat siis a = 0 ja b = sekä hypotenuusan c = a + b = 676 = 6. Olkoon r kysytty ympyrän säde. Nimetään kolmion sivut niin, että AB on hypotenuusa ja BC lyhyempi kateetti. Olkoon R tehtävän ympyrän ja kolmion sivuamispiste. A R O B C Kolmiot ABC ja AOR ovat yhdenmuotoisia, koska ne ovat molemmat suorakulmaisia ja niillä on yhteinen terävä kulma. Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan ratkaistua ympyrän säde r: r b r = a cr = (b r)a (a + c)r = ab r = ab c a + c = 0 6 = 0 = 6. A. Olkoot kolmion sivujen pituudet a, qa ja q a. Olkoon q. Kolmion pisin sivu q a on lyhempi kuin kahden muun summa: q a < a + qa. q toteuttaa siis epäyhtälön q q < 0. Epäyhtälössä on yhtälö, kun q = ± 5, joten epäyhtälö toteutuu, kun q < + 5. Jos q <, kolmion lyhin sivu q a on suurempi kuin pisimmän ja toiseksi pisimmän sivun erotus: q a > a qa. q toteuttaa siis epäyhtälön q + q > 0. Tässä epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus, kun q = + 5, joten epäyhtälö toteutuu, kun + 5 < q <. A. Ks. P. A. Olkoot suomalaiset s 0,..., s 9 ja ruotsalaiset r 0,..., r 9. Suomalainen s i soittakoon ruotsalaisille r i, r j ja r k, missä i, j, k 0,..., 9}, j i + (mod 0) ja k i + (mod 0). Tällöin jokainen soittaa kolme puhelua ja kaikkiaan kertyy 0 puhelua. Olkoot r m ja r n mitkä tahansa kaksi ruotsalaista. Voidaan olettaa, että n m on,,, tai 5 modulo 0. Jos n m (mod 0) tai n m 5 (mod 0), niin mikään suomalaisista ei soita sekä r m :lle että r n :lle. Jos taas n m (mod 0) tai n m (mod 0), niin s n on se yksikäsitteinen suomalainen, joka soittaa sekä r m :lle että r n :lle. Lopuksi tapauksessa n m (mod 0) on myös yksikäsitteinen suomalainen s i, joka soittaa tarkasteltaville ruotsalaisille, nimittäin se, jolle m i + (mod 0) ja n i + (mod 0). Missään tapauksista ei ole olemassa kahta suomalaista, jotka soittaisivat kummallekin näistä ruotsalaisista. Siis ehto on voimassa.