Vuorovaikutusten dynamiikkaa Tassu Takala, TML Inf-0.3100 Verkostojen perusteet Sisältö Lineaarisia ilmiöitä diffuusio-ilmiöistä: energian tasottuminen signaalin leviäminen: aaltoliike sovelluksia: mekaniikka, akustiikka, innovaatiot Epälineaarisia prosesseja reaktio-diffuusio-ilmiö neuroverkot: itseorganisoituminen laumailmiöt: animaatioita keinoelämä Paikallisesti kytkeytyneitä verkkoja näissä esimerkeissä yhteyksiä vain lähinaapureihin atomi solu elin yksilö yhteisö 11.4.2006 Tassu Takala 1 11.4.2006 Tassu Takala 3 Käsitteitä diffuusio = (aineen, ilmiön, tms.) leviäminen informaatio = tapahtuman yllätyksellisyyden mitta I(m) = log p(m) entropia = keskim. informaatio joukossa H(S) = S p(m)log p(m) emergenssi = kiinnostavien laajempien muotojen syntyminen itsestään, kenenkään etukäteen suunnittelematta epälineaarisuus = kokonaisuus on enemmän kuin osiensa summa, osia erikseen tarkastelemalla ei voi tietää mitä niistä syntyy Oppimistavoitteita luonnollisten ilmiöiden mallintaminen jatkuvan ja diskreetin mallintamisen yhteys millaiset yhtälöt tuottavat epälineaarisia ilmiöitä? maailman hahmottaminen kompleksina systeeminä wikipedia: information entropy Lämpöenergia: brownin liike hiukkanen (atomi, molekyyli ) liikkuu jatkuvasti lämpötila hiukkasten keskimääräinen liikeenergia törmäykset siirtävät energiaa naapurihiukkasiin satunnaisuus aiheuttaa Brownin liikkeen (random walk) yhdestä pisteestä alkava liike leviää vähitellen kaikkialle energiaa virtaa kuumemmasta kylmempään (gradientin suuntaan) 11.4.2006 Tassu Takala 2 11.4.2006 Tassu Takala 4
wikipedia: heat equation Diffuusio: lämpötilan leviäminen Laplace n differentiaaliyhtälö u = lämpötila t = aika k = lämmönjohtavuus u u (x) > 0 esineen muoto (reunaehdot) ja lämpöjakauma alussa ratkaisuja esim. Fourierin tai Greenin funktioiden avulla tasoittava prosessi: esine lämpenee siellä, missä sen ympärillä on kuumempaa (minimikohta) entropia lisääntyy x y z 11.4.2006 Tassu Takala 5 Sovellus: kuvankäsittely edellä esitetty kaavio määrittelee suodattimen ytimen (filter kernel), joka saa aikaan kuvan sumentumisen, värityksen keskimääräistymisen Huom. diskreetti approksimaatio aiheuttaa virhettä otettava huomioon kulmittainen tai laajempikin naapurusto 11.4.2006 Tassu Takala 7 u(t) 1-4 1 u(t+1) 1 1 Diffuusio diskreettinä prosessina u i-1 i i+1 wikipedia: wave equation Signaalin leviäminen: aaltoliike differentiaalit approksimoidaan äärellisinä differensseinä säännöllisessä hilassa : u x (i,j) = u(i+1,j) u(i,j) ja u y (i,j) = u(i,j+1) u(i,j) 2 : u xx (i,j) = u x (i,j) u x (i-1,j) = u(i+1,j) 2u(i,j) + u(i-1,j) vastaavasti suunnissa y ja z sekä ajassa t u x i-1 i u i xx Helmholtzin yhtälö ( sama kuin Laplace n yhtälö, mutta ajan suhteen toinen derivaatta! ) koko yhtälö (2-ulotteisena): u(t) u(i,j, t+1) = u(i,j, t) + j+1 k ( [u(i+1,j, t) 2u(i,j, t) + u(i-1,j, t)] i-1 i,j i+1 + [u(i,j+1, t) 2u(i,j, t) + u(i,j-1, t) ] ) tuloksena soluautomaatti j-1 kukin solu tietää vain naapureistaan - 4 (naapurit löytyvät indeksoimalla) yhtälö: muutos solun sisällössä = k (naapureiden summa 4 oma arvo) i,j u(t+1) 11.4.2006 Tassu Takala 6 u = liikesuure (esim. ilmanpaine) t = aika r = paikkavektori (x,y,z) c = aaltoliikkeen etenemisnopeus energia (ja informaatio) säilyy emergentti ilmiö: aaltorintama 11.4.2006 Tassu Takala 8
Diskreetti aaltoyhtälö yksiulotteinen aaltolinja yhtälö sievenee muotoon u tt = c 2 u xx jolle saadaan yksinkertainen tarkka ratkaisu, kun normalisoidaan liikenopeus: 1 paikkayksikkö 1 aikayksikössä (c = 1) N-ulotteinen hila : huoneakustiikka u(i, t+1) = u(i+1, t) + u(i-1, t) u(i, t 1) vastaava diffuusioyhtälö normalisoituna (k=1): u(i, t+1) = u(i+1, t) + u(i-1, t) u(i, t) ominaisuus: syötetty informaatio siirtyy sellaisenaan eteenpäin 11.4.2006 Tassu Takala 9 11.4.2006 Tassu Takala 11 vastaavien ilmiöiden mallintamista, mutta ei säännöllisenä hilana Sovelluksia Jousimallit ja FEM akustiikka (värähtelevä kieli) tietoliikenne: signaalin eteneminen kaapelissa Jousi-massa-malli massapisteistä ja niitä yhdistävistä jousista muodostuva verkko joustavien materiaalien (esim. kankaat) mallinnuksessa paljon käytetty menetelmä fysiikan simulointia : soda constructor http://www.sodaplay.com/construc Elementtimenetelmä (FEM) lujuusopissa kehitetty menetelmä materiaalien jännitysten, venymien, lämpötilan yms. laskemiseksi approksimoi jatkuvaa differentiaaliyhtälöa diskreeteillä elementeillä elementtien kytkennät toisiinsa muodostavat verkon suurten yhtälöryhmien ratkaisua : http://www.vector-space.com/ 11.4.2006 Tassu Takala 10 11.4.2006 Tassu Takala 12
http://www-static.cc.gatech.edu/~turk/reaction_diffusion/reaction_diffusion.html Muita diffuusio-ilmiöitä Reaktio-diffuusio-ilmiö kaupunkien kasvu innovaatioiden leviäminen infektio-epidemiat metsäpalon leviäminen savun leviäminen ilmavirtauksessa sääennusteet jne... solujen kemiallinen vuorovaikutus aineet A ja B leviävät (diffuusio) solusta toiseen tiettyjen konsentraatiosuhteiden vallitessa syntyy uusia aineita (reaktio) syntyneet aineet toimivat alkionkehityksessä merkkiaineina (induktio) solut aktiivisia itseään säätäviä elementtejä, ei pelkkää alkutilanteen leviämistä emergenttiä: kuvioiden muodostuminen (eläinten turkki) 11.4.2006 Tassu Takala 13 11.4.2006 Tassu Takala 15 Miksi seepralla on raidat? Soluautomaatti: game of life kokeile itse: http://www.ibiblio.org/lifepatterns/ pelisäännöt solu pysyy hengissä (väri), jos riittävä määrä sen naapureita on hengissä tuloksena monenlaisia staattisia ja dynaamisia kuvioita 11.4.2006 Tassu Takala 14 11.4.2006 Tassu Takala 16
Neuroverkot perusmalli: perseptroni output = painotettu (w i ) summa inputeista solut muodostavat kerroksellisia verkkoja multi-layer-perceptron (MLP) automaaattiset oppimisprosessit synaptiset painokertoimet w i muuttuvat Hebb-vahvistus: kun solu aktivoituu, niin siihen vaikuttaneiden synapsien kertoimet kasvavat ja muut heikkenevät lateraali-inhibitio: aktivoitunut solu heikentää naapureittensa aktivaatiota (so. naapuriin tulevien synapsien kertoimia) epälineaarinen, emergentti ilmiö: itseorganisoituminen, entropia vähenee! self-organizing memory (SOM) w i Keinoelämä, a-life Mitä on [teoreettinen] elämä? = itsenäisistä yksiköistä muodostuva systeemi, jossa seuraavia aspekteja: olotilan säätely, hengissä säilyminen (homeostaasi) aineenvaihdunta ympäristön kanssa (metabolia) yksilönkehitys: kasvu, itse-organisoituminen (adaptaatio) lisääntyminen (reproduktio) ja lajinkehitys: muuntelu, kilpailu (evoluutio) hierarkkinen rakenne: pienempien yksiköiden vuorovaikutuksista syntyy korkeamman tason yksiköitä (emergenssi) Keinoelämä = mikä hyvänsä näitä piirteitä noudattava malli Elämä = monitasoinen vuorovaikutusverkosto www.cis.hut.fi/research/som-research/worldmap.html 11.4.2006 Tassu Takala 17 11.4.2006 Tassu Takala 19 Laumailmiöt Elämä on laiffia! Muurahaisten ruoanhaku ruokaa löytänyt muurahainen tulee pesään ja jättää hajujäljen hajujäljen löytänyt muurahainen seuraa sitä ruokapaikalle muuten muurahainen liikuu satunnaisesti sinne tänne emergenssi: syntyy itsestään isompia rakenteita, muurahaispolkuja : http://zool33.uni-graz.at/schmickl/models/ants_foraging_decision.html Eläinparven liikkuminen kukin otus näkee vain lähiympäristönsä yksinkertaiset säännöt (1) hakeudu muiden otusten lähelle (2) liiku samaan suuntaan ja samalla noepudella kuin naapuri (3) vältä törmäyksiä naapureiden ja ympäristön kanssa tuottavat emergenttejä laumoja/parvia : http://www.red3d.com/cwr/boids/ 11.4.2006 Tassu Takala 18 11.4.2006 Tassu Takala 20