Matematiikka tekee näkymättömästä näkyvän (ja päinvastoin) Mikko Kaasalainen Matematiikan laitos TTY
Mitä inversio-ongelmat ovat? Seurauksista syihin: mikä on aiheuttanut havainnot? Havainnot pyritään selittämään matemaattisella mallilla Data on yleensä hyvin epäsuoraa, rajoittunutta ja usein epätarkkaa Onko malli yksikäsitteinen ja stabiili? Kuinka paljon se voi vaihdella? Paljon vaikeampaa kuin suora ongelma: matemaattinen analyysi ja käytännön ratkaisumetodien hakeminen olennaisia
Miksi käänteinen on vaikeaa? Vrt. päässälasku: laske 15129 1/2. Käänteisfunktio on hankalampi kuin suora 123 2 =(120+3) 2 =15129. Ratkaisun monikäsitteisyys: Oletetaan kaivon kansi ja sen (konveksi) aukko tasossa (2D). Minkä muotoinen kansi ei mene tason läpi aukosta missään asennossa (3D)? Hadamard 2: käänteiskuvauksen yksikäsitteisyys? Virheiden vuoksi: Vaikka formaali käänteisratkaisu olisi olemassa, voi pienikin virhe havainnoissa johtaa jopa rajattomaan virheeseen ratkaisussa. Hadamard 3: käänteiskuvauksen jatkuvuus? Mistä tiedämme mikä on maksimaalinen havainnoista johdettavissa oleva informaatio ja vastaava matemaattinen malli?
IP-Centre of excellence 6 korkeakoulua, kaikkea viruksista galakseihin, puhtaasta matematiikasta teollisuuden sovelluksiin Laaja kansainvälinen verkosto Johtava maailmassa Pitkällinen kokemus matemaattisista menetelmistä eri sovelluksissa
Hammastomografia Rajoitettujen kulmien röntgendata Täydellinen 3- ulotteinen malli hampaasta Tilastollinen inversio tuottaa tarkemman ratkaisun kuin perinteinen röntgenprojektio (Bayes: a posteriori - jakauma sisältää a priori -informaation)
Lääketieteellinen tomografia Radon-muunnos ~100 v. sitten aloitti kuvantamisen matematiikan (röntgendata) Monia tomografian menetelmiä: MRI, PET, jne. Uusia: EIT, diffuusiotomografia EIT perustuu Calderonin ongelman matemaattiseen ratkaisuun (2000-luku): sähkönjohtavuus kohteen sisällä ratkeaa jännitteen mittauksista pinnalla Rintasyöpä, keuhkotoiminta: kudokset johtavat sähköä eri tavoin
Sonar ja tutka Kaikuluotaus myös sivusuunnassa Täydellinen topografinen malli joen pohjasta Pulssien koodaus ja inversiomenetelmä olennaisia (voidaan mm. johtaa täydelliset koodit) Säätutka toimii matematiikan ansiosta hankalissakin olosuhteissa
Avaruustutkia Sodankylä EISCAT 32 m Arecibo 300 m Ionosfääri, avaruusromu, kuu, asteroidit
Galaksi ja pimeä aine Asumme kiekon reunalla Pöly estää näkemästä kaikkea Toisaalta paljon kaikenlaista nähtävissä tiheyden ansiosta Kuinka pimeä aine on jakautunut? Mitä se on? Siis: mikä potentiaalikenttä (=> materiajakauma) pitää systeemin kasassa?
Newtonin inversio-ongelman yleistys F 1/r 2 => ellipsirata (kartioleikkaukset) Inversio-ongelman ratkaisu: ellipsirata => 1/r 2 (kun liike fokuksen ympärillä) Kuinka tehdä tämä N>>2 kappaleelle (esim. miljardin tähden paikat ja nopeudet)? Tomografiaa kuudessa ulottuvuudessa!
Avaruustutkimus Kirkkauden mittaus asteroideista eri aikoina (kohde pyörii ja kulkee radallaan) Minkälainen kappale aiheutti havainnot? Täydellinen malli muodosta, pinnasta ja pyörimisestä
Aurinkokunta täynnä asteroideja Miljoonia kohteita ~1-100 km-luokassa, lukemattomia pienempiä Jokainen oma maailmansa Jurassic Park : asteroidit kertovat aurinkokunnan synnystä ja kehityksestä Samanlaisia vyöhykkeitä muillakin tähdillä Vain muutamasta asteroidista suoria kuvia
Matematiikka kartoittaa asteroidit Yleistettyjen projektioiden inversio-ongelma Tavalliset projektioalat eivät riitä (vrt. Reuleaux n kolmio) Eri katselu- ja valaistussuunnat antavat sekä yksikäsitteisen että stabiilin tuloksen kun käytetään apuna konveksisuusehtoa Testattu monin tavoin käytännössä Pidettiin mahdottomana ratkaista...
Eri suunnista tehtyjen havaintojen avulla kohde voidaan rekonstruoida Havaintojen teko edullista: usein pienikin kaukoputki ja CCD-kamera (+ohjelmisto) riittää
Uusia löytöjä: Aurinkomoottori YORP-ilmiö: auringonvalon kiihdyttämä pyöriminen löydettiin 1862 Apollon valokäyristä 2006 [Kaasalainen et al., Nature 446, 420 (2007)] Useita muita YORP-kohteita löydetty tämän jälkeen samalla tavoin Voi käyttää massan jne. määräämiseen Sorakasa -asteroidien hajoaminen, muodon muuttuminen; ratojen muuttuminen (Yarkovskyilmiö)
Uusi ilmiö aurinkokunnassa Auringonvalo vaikuttaa asteroidien liikkeeseen, siis myös siihen miten ne tulevat Maata kohti Voidaan käyttää myös törmäyksen torjumiseen (maalataan asteroidi sopivasti!)
Maahan törmännyt 2008TC3 Pieni (alle 10 m, massa 100 tonnia), hajosi ilmakehässä Palasia löytyi Afrikasta, siis tiedämme koostumuksen Lisäksi tiedämme lentoradan; ensimmäinen ennustettu törmäys Maahan... Joten kohteesta ehdittiin tehdä paljon kirkkaushavaintoja juuri ennen törmäystä: muoto ja pyöriminen (prekessointi)
Kartoitamme aurinkokunnan Seuraavien 10 vuoden aikana N*10 000 kartoitettua asteroidia Ainoa tapa poistaa viimeinen suuri aurinkokunnan valkoinen läikkä Tietokannat ja havaintoprojektit kansainvälisiä ja Internet-pohjaisia Useita survey-ohjelmia >2010: Pan-STARRS, LSST, Gaia, jne. Shape@home näytönsäästäjä: kartoita oma asteroidisi!
Avaruuslennot: kuinka nähdä näkymätön puoli ESA:n Rosetta-luotain ohitti Steins-asteroidin nopeasti ja näki vain yhden puolen (ja kaiken lisäksi tarkin kamera sammui) Toisen puolen rekonstruoimme kirkkausdatasta YORP on lingonnut asteroidia
Rosetta: Steinsin ohilento Ohilento kesti vain 7 minuuttia Lähin etäisyys n. 800 km, kohteen koko n. 5 km Nopeus kohteeseen nähden 8.6 km/s =31000 km/h
Hiilen kiertokulun mallit Monimutkainen systeemi Mallin valinta ja datan tulkinta: inversioongelma Erittäin altis virhetulkinnoille: mitkä parametrit ovat luotettavia? Mikä on järkevä ennusteaika?
Näkymättömyysviitta Valo kiertää kohteen: näyttää kuin sen tiellä ei olisi mitään Inversio-ongelma: millainen väliaineen malli poistaa havainnot kohteesta kokonaan?
Optinen madonreikä Valo kulkee näkymätöntä putkea pitkin ( Harry Potterin hiha ): vain ulostuloaukko näkyy Näin voisi tehdä vaikka 3-ulotteisen television Metamateriaalit (negatiivinen taitekerroin) putkessa/viitassa