Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti. tammikuuta 6 6 Lineaarinen approksimointi 7 Newtonin menetelmä G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I / 33 Vektoreista R on reaalilukujen joukko ja R = R R = { (x, y) : x, y R } on xy-tason pisteitä. Jokaista pistettä tai paria (x, y) voimme käsitellä vektorina, jonka x voimme myös esittää joko pystyvektorina ( -matriisina), y vaakavektorina ( -matriisina) x y tai muodossa xi + yj (missä siis i on positiivisen x-akselin suuntainen yksikkövektori jne.) Jos u on vaakavektori u() u() v() ja v on pystyvektori niin v() niiden matriisitulo on uv = u()v() + u()v(). Jos emme tee eroa vaaka- ja pystyvektoriden välillä voimme myös kirjoittaa tätä pistetulona (sisätulona, skalaaritulona) u v. Vektorin pituuden määritelmäksi otamme u = u u. Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa tosiaan vastaan jos u v =. R d = { (x, x,..., x d ) : x j R, j =,..., d } ja kun R korvataan R d :llä niin ainoastaan kuvien piirtäminen tulee vaikeammaksi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 3 / 33 Funktioista f (x) = ( + cos(x)) cos(x) on yhden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio (eli funktio: R R) jolla on kuvaaja: ( + cos(t)) cos(t) Funktio g(t) = on yhden ( + cos(t)) sin(t) reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio (eli funktio: R R ) jonka kuvajoukko on käyrä: Funktio h(x, y) = ( + cos(x)) sin(y) on kahden reaalimuuttujan reaaliarvoinen funktio (eli funktio: R R), jota voi myös käsitellä yhden vektorimuuttujan ( ) funktiona x h = ( + cos(x)) sin(y) ja jolla y on seuraava kuvaaja: t Huomaa, että f :n kuvaaja on käyrä, jolla on parametriesitys t. ( + cos(t)) cos(t) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 4 / 33
Muuttujat, parametrit, vakiot Jos sylinterin muotoisella putkella on pituus L, sisähalkaisija r, seinämän paksuus h ja materiaalin tiheys on niin putken massa m = L π ( (r + h) r ). Riippuen tilanteesta voimme tämän kaavan avulla määritellä erilaisia funktioita: m = f (L) = L π ( (r + h) r ) kun pidämme suureita, r ja h parametreina, eli käsittelemme eripituisia putken pätkiä. m = f (L, r, h, ) = L π ( (r + h) r ) missä meillä on neljä muuttujaa. L m = f r = L π ( (r + h) r ) missä meillä on yhden h vektorimuuttujan funktio ja pidämme :ta parametrina. Muuttujat, parametrit, vakiot, jatk. Jos käytämme Matlab/Octavea voimme esimerkiksi kirjoittaa rho=7.87 f=@(l,r,h) rho*l*pi*((r+h)^-r^) tai jos käytämme vektoriargumenttiä rho=7.87 f=@(x) rho*x()*pi*((x()+x(3))^-x()^) Huomaa, että jos muutamme rho:n arvoa niin meidän pitää toistaa funktion f määritelmää! Kaikissa näissä tapauksissa pidämme π:tä vakiona mutta jos π:n paikalle sijoitetaan (epätarkka) likiarvo ja haluamme selvittää mikä on tämän approksimaation vaikutus voi syntyä tilanteita missä π:tä käsitellään muuttujana tai parametrina. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 6 / 33 Kuristusperiaate Jos meidän pitää määrittää raja-arvo lim (x,y) (,) 5x y x 4 + y, niin voimme yrittää käyttää kuristusperiaatetta jos arvelemme, että raja-arvo on ja silloin meidän pitää korvata 5x y suuremmalla funktiolla x 4 +y (kun olemme ottaneet itseisarvon, mikä tässä ei ole tarpeen) jolle on helpompaa osoittaa, että raja-arvo on. Voimme ensin todeta, että x 4 josta seuraa, että x 4 + y y jolloin 5x y x 4 + y 5x y y = 5x. Nyt on selvää (?), että lim 5x = lim 5x = 5 =, (x,y) (,) x ja näin ollen saamme kuristusperiaatteen nojalla 5x y lim (x,y) (,) x 4 + y =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 7 / 33 Esimerkki: Raja-arvo xy Jos haluamme määrittää raja-arvon lim (x,y) (,), niin voimme x +y 4 laskea raja-arvon sädettä (αt, βt) pitkin ja kun määrittelemme f (x, y) = xy saamme x +y 4 αtβ t lim f (αt, βt) = lim t + t + α t + β 4 t 4 = lim t αβ t α + β 4 t = Tästä seuraa (ainoastaan!), että jos raja-arvo on olemassa niin se on. Nyt osoittautuu, että raja-arvoa ei ole olemassa koska jos valitsemme x = t ja y = t ja laskemme raja-arvon kun t + niin saamme t t (t ) + t 4 =, lim f t + (t, t) = lim t + josta seuraa ettei f (x, y) ole lähellä jos (x, y) on riittävän lähellä (, ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 8 / 33
Derivoimisjärjestyksen vaihto Oleta, että funktion f (x, y) osittaisderivaatat f x (x, y), f y (x, y), f xy (x, y) ja f yx (x, y) ovat olemassa (ainakin) kaikissa pisteissä (x, y) joilla (x x ) + (y y ) < δ ja, että funktiot f xy (x, y) ja f yx (x, y) ovat jatkuvia pisteessä (x, y ). Silloin pätee f xy (x, y ) = f yx (x, y ). Todistus Olkoon < h < δ ja määrittele funktiot u ja v siten, että u(x) = f (x, y + h) f (x, y ) ja v(y) = f (x + h, y) f (x, y). Funktio u on derivoituva välillä (x, x + h) ja jatkuva välillä x, x + h ja näin ollen väliarvolauseesta seuraa, että on olemassa luku θ (, ) siten, että u(x + h) u(x ) = hu (x + θ h). (x, y + h) (x + h, y + h) u(x + h) u(x ) = v(y + h) v(y ) (x, y ) (x + h, y ) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuuta ym., 6 osa I 9 / 33 Todistus, jatk. Koska hu (x + θ h) = h(f x (x + θ h, y + h) f x (x + θ h, y )) voimme soveltaa väliarvolausetta vielä kerran funktioon y f x (x + θ h, y) ja saamme u(x + h) u(x ) = h f xy (x + θ h, y + θ h), missä θ (, ). Samalla tavalla toteamme myös, että v(y + h) v(y ) = h f yx (x + θ 4 h, y + θ 3 h), missä θ 3 ja θ 4 (, ). Nyt u(x + h) u(x ) = v(y + h) v(y ) koska molemmat lausekkeet ovat f (x + h, y + h) f (x + h, y ) f (x, y + h) + f (x, y ) josta seuraa, että h f xy (x + θ h, y + θ h) = h f yx (x + θ 4 h, y + θ 3 h). Jos nyt jaamme h :lla, otamme raja-arvon kun h ja käytämme hyväksi oletusta, että f xy ja f yx ovat jatkuvia, niin saamme väitteen f xy (x, y ) = f yx (x, y ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Osittaisderivaattoja ( Jos f (x, y, z) = ln + e x+yz) niin f :n osittaisderivaatat ovat seuraavat: f x (x, y, z) = x ln ( + e x+yz) = f y (x, y, z) = y ln ( + e x+yz) = f z (x, y, z) = x ln ( + e x+yz) = Näin ollen funktion f derivaatta eli gradientti on e x+yz, + e x+yz e x+yz z, + e x+yz e x+yz yz. + e x+yz f (x, y, z) = Df (x, y, z) = f (x, y, z) = e x+yz, e x+yz z, e x+yz yz + e x+yz + e x+yz + e x+yz = e x+yz i + e x+yz z j + e x+yz yz k. + e x+yz + e x+yz + e x+yz G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Gradientti ja tasa-arvokäyrä Jos f (x, y) = x + y niin sen gradientti eli eli derivaatta on Df (x, y) = x y = x i + y j ja erityisesti pisteessä (, ) gradientti on i + j. Funktion pisteen (, ) kautta kulkeva tasa-arvokäyrä on (ellipsi) { (x, y) : x + y = 3 } ja alla olevasta kuviosta nähdään, että gradientti on kohtisuorassa tasa-arvokäyrää ja sen tangenttia pisteessä (, ) vastaan. Koska gradientti pisteessä (, ) on i + j niin tätä vastaan kohtisuorassa olevan, pisteen f = 8 (, ) kautta kulkevan suoran suuntavektori on i + j jolloin tämän suoran yhtälö on f = 3 y = x + eli y = x + 3. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33
Derivaatta ja koordinaattisysteemi Edellä annetun määritelmän mukaan esimerkiksi funktion f (x, y) = xy derivaatta eli gradientti on f (x, y) = y x = y i + x j, mutta tässä määritelmässä meillä on oletuksena, että koordinaattisysteemi on kiinnitetty. Jos valitsemme toisen, st-koordinaattisysteemin, esimerkiksi (kiertämällä xy-systeemin koordinaattiakseleita 45 ) siten, että s = x + y, t y x niin f (s, t) = (s t ) ja f (s, t) = s t = s u t v missä u ja v ovat s- ja t-akselien suuntaisia kantavektoreita, eli u = (i + j) ja v = (j i). Näin ollen voimme todeta, että derivaatta pisteessä x oikeasti on lineaarikuvaus h f (x)h ja tämän lineaarikuvauksen matriisiesitys (jota sitten käytetään laskuissa) riippuu käytetystä koordinaattisysteemistä. Samalla tavalla voimme sanoa, että funktion g(x) = x derivaatta pisteessä x = ei ole luku g () = 4 vaan lineaarikuvaus neljällä kertominen : t 4t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Derivaatan tulosääntö ketjusäännön avulla Derivaatan tulosääntö sanoo tunnetusti, että (fg) = f g + fg. Vaihtoehtoinen lähestymistapa on seuraava: Kirjoita p(t) = f (t)g(t) yhdistettynä funktiona p(t) = (h k)(t) = h(k(t)) missä h : R R on h ( x y ) = xy ja k(t) = f (t) g(t). Derivaatan määritelmän nojalla ( ) h x = y x ja k (t) = y Ketjusäännön mukaan pätee silloin p (t) = h (k(t))k (t) = g(t) f (t) f (t) g (t) f (t) g. (t) = g(t)f (t) + f (t)g (t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 4 / 33 Laplacen yhtälö u xx + u yy = napakoordinaateissa Oletamme, että u toteuttaa ns. Laplacen yhtälön u xx + u yy = ja tehtävänä on selvittää minkä yhtälön funktio v(r, θ) = u(r cos(θ), r sin(θ)) toteuttaa. (Tässä siis v on funktio u esitettynä napakoordinaattien funktiona). Osittaisderivaattoja laskemalla (ja ketjusääntöä hyväksi käyttäen) toteamme, että v r (r, θ) = u x (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) + u y (r cos(θ), r sin(θ)) sin(θ), v θ (r, θ) = u x (r cos(θ), r sin(θ))( r sin(θ)) + u y (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ). Osoittautuu, että meidän ei tarvitse laskea v rθ = v θr (mutta tämä ei ole lainkaan etukäteen selvää) mutta sen sijaan meidän pitää laskea v rr (r, θ) = u xx (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) + u xy (r cos(θ), r sin(θ)) cos(θ) sin(θ) + u yy (r cos(θ), r sin(θ)) sin(θ), ja Laplacen yhtälö napakoordinaateissa, jatkuu v θθ (r, θ) = u xx (r cos(θ), r sin(θ))r sin(θ) + u xy (r cos(θ), r sin(θ))( r cos(θ) sin(θ)) + u yy (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ) u x (r cos(θ), r sin(θ))r cos(θ)) u y (r cos(θ), r sin(θ))r sin(θ). Oletuksen mukaan u xx (x, y) + u yy (x, y) =, erityisesti u xx (r cos(θ), r sin(θ)) + u yy (r cos(θ), r sin(θ)) =, ja tämän sekä kaavan cos(θ) + sin(θ) = avulla näemme, että v rr (r, θ) + r v r (r, θ) + r v θθ(r, θ) = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 6 / 33
Esimerkki: Suunnatut derivaatat Jos funktio f on kolmen muuttujan derivoituva funktio ja en suunnatut derivaatat pisteessä x suuntiin u = i + j, u = j k ja u 3 = i + k ovat, ja 3 niin voimme määrittää derivaatan pisteessä x koska vektorit u, u ja u 3 ovat lineaarisesti riippumattomia (eli erisuuntaisia): Oletamme, että f (x ) = A i + B j + C k jolloin suunnatun derivaatan määritelmän nojalla saamme yhtälösysteemin = D u f (x ) = (A i + B j + C k) (i + j) = A + B, = D u f (x ) = (A i + B j + C k) (j k) = B C, 3 = D u3 f (x ) = (A i + B j + C k) ( i + k) = A + C. Matriisimuodossa tämä systeemi ja sen ratkaisu ovat A A B = B = 3. C 3 C G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 7 / 33 Esimerkki: Ketjusääntö ja virtausmekaniikka Oletamme, että neste virtaa tasossa siten, että nopeus pisteessä (x, y) hetkellä t on u(x, y, t)i + v(x, y, t)j. Jos nyt haluamme määrittää hetkellä t pisteessä (x, y) sijaitsevan nestepartikkelin kiihtyvyys niin ensin oletamme, että partikkelin sijainti hetkellä t on (X (t), Y (t)) (jolloin siis X (t) = x ja Y (t) = y jos se on pisteessä (x, y) hetkellä t). Silloin nopeus on X (t) i + Y (t) j, josta seuraa, että X (t) = u(x (t), Y (t), t) ja Y (t) = v(x (t), Y (t), t). Kiihtyvyys taas on X (t) i + Y (t) j ja ketjusäännön nojalla X (t) = u x (X (t), Y (t), t)x (t) + u y (X (t), Y (t), t)y (t) + u t (X (t), Y (t), t) = u x (X (t), Y (t), t)u(x (t), Y (t), t) + u y (X (t), Y (t), t)v(x (t), Y (t), t) + u t (X (t), Y (t), t) = u x (x, y, t)u(x, y, t) + u y (x, y, t)v(x, y, t) + u t (x, y, t), missä viimeisellä rivillä käytimme oletusta x(t) = x ja Y (t) = y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 8 / 33 Esimerkki: Ketjusääntö ja virtausmekaniikka, jatk. Samalla tavalla saamme Y (t) = v x (x, y, t)u(x, y, t) + v y (x, y, t)v(x, y, t) + v t (x, y, t). Näin ollen kiihtyvyys on ( ux (x, y, t)u(x, y, t) + u y (x, y, t)v(x, y, t) + u t (x, y, t) ) i + ( v x (x, y, t)u(x, y, t) + v y (x, y, t)v(x, y, t) + v t (x, y, t) ) j. Huomaa, että tämä on epälineaarinen lauseke eli jos u korvataan u + u :lla ja samoin v korvataan v + v :lla niin tulos ei ole kahden lausekkeen summa missä toisessa esiintyy u ja v ja toisessa u ja v. Suuri osa virtausmekaniikan hankaluuksista on seuraus tästä epälineaarisuudesta. Milloin pätee f(x) f(y) C x y kun kun x, y? Jos f : R d R m on jatkuvasti derivoituva, niin jokainen komponentti f j, j m, on jatkuvasti derivoituva ja löytyy luvut c j siten, että f j (v) C kun v. Jos nyt x ja y ovat sellaisia, että x ja y niin määritellään funktio h kaavalla h j (t) = f j (( t)y + tx). Silloin h j on derivoituva reaaliarvoinen funktio ja väliarvolauseen nojalla f j (x) f j (y) = h j () h j () = h j(t j )( ), missä t j (, ). Ketjusäännön nojalla joten h j(t j ) = f j (( t j )y + t j x)(x y), f j (x) f j (y) = h j () h j () f j (( t j )y + t j x) x y c j x y, koska ( t j )y + t j x) ( t j ) y + t j x. Näin ollen f (x) f (y) C x y missä C = c +... + c m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 9 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33
Milloin pätee g(x) g(y) c x y kun kun x, y? Ei välttämättä jos d >, g : R d R d on jatkuvasti derivoituva, > ja g (v)u > kun v, u R d ja u = kuten seuraava esimerkki näyttää: Olkoon g(v) = Jos u = u u e πs cos( πt e πs g (v) = π niin ) sin( πt ) kun v = e πs cos( πt ) e πs g (v)u = π e πs sin( πt ) s. Silloin t πs e sin( πt e πs ) cos( πt ), cos( πt )u sin( πt )u sin( πt )u + cos( πt )u, Milloin pätee g(x) g(y) c x y kun kun x, y? jatk. joten g (v)u ( = 4π e 4πx cos( πt ) u cos( πt + sin( πt ) u + sin( πt ) u ) sin( πt )u u + cos( πt πt ) sin( )u u + cos( πt ) u Tästä päättelemme, että jos v, niin s ja kaikilla vektoreilla u. Jos nyt x = g (v)u π e π u, ja y = ) = e x u. niin g(x) g(y) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I / 33 Esimerkki: Tangenttitaso Jos haluamme määrittää funktion f (x, y) = x y kuvaajan tangenttitason kun x = ja y = niin kirjoitamme ensin yhtälön muodossa z = x y eli g(x, y, z) = missä g(x, y, z) = x y z (vaikka se voisi yhtä hyvin olla g(x, y, z) = x + y + z). Funktion g derivaatta on Dg(x, y, z) = x i y j k ja pisteessä (,, f (, )) = (,, 3) tämä derivaatta on n = 4 i j k. Tämä vektori on pinnan g(x, y, z) = normaali pisteessä (,, 3) ja samalla pinnan tässä pisteessä otetun tangenttitason normaali. Koska (,, 3) on tangenttitason piste niin v = (x ) i + (y ) j + (z 3) k on tangenttitason suuntainen vektori jos (x, y, z) on myös tangenttitason piste. Näin ollen v on kohtisuorassa normaalia n vastaan eli v n = ja tästä ehdosta saamme tangenttitason yhtälön 4(x ) (y ) (z 3) = eli 4x y z = 3. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Lineaarinen approksimointi, suhteellinen virhe Jos meidän pitää arvioida virhettä, joka syntyy kun ympyräkartion tilavuus lasketaan kaavalla V = 3 πr h ja tiedämme ainoastaan, että säteen r mitatun arvon virhe on korkeintaan 3% ja korkeuden h mitatun arvon virhe on korkeintaan % niin emme saa absoluuttista ylärajaa tilavuuden virheelle mutta saamme helposti approksimatiivisen ylärajan suhteelliselle virheelle seuraavalla tavalla: Lineaarisen approksimoinnin perusteella: V = V (r + r, h + h) V (r, h) V r (r, h) r + V h (r, h) h, josta seuraa, että V V 3 πrh r 3 πr h + 3 πr h 3 πr h = r r Koska oletamme, että r h r.3 ja h. niin V V.3 +. =.8, eli suhteellinen virhe on korkeintaan 8%. + h h. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 4 / 33
Esimerkki: Lineaarinen approksimointi Sylinterimäisen säiliön sisältämä nestemäärä, kun säiliön akseli on vaakasuorassa on V = L(r arccos( h r ) (r h) hr h ) missä L on säiliön pituus, joka on noin m, r on säde, joka on noin 5 cm ja h on nestepinnan korkeus, joka myös on noin 5 cm. Pituuden L ja säteen r pystymme mittaamaan cm tarkkuudella. Miten tarkasti meidän on mitattava h jotta saisimme nestemäärän lasketuksi 5 litran tarkkuudella? Määrittelemme f (L, r, h) = L (r arccos( h ) r ) (r h) hr h. Silloin (funktion arccos(t) derivaatta on t ) f L (L, r, h) = ( r arccos( h r ) (r h) hr h ) f r (L, r, h) = Lr arccos( h r ) Lr h ( h ) r L hr h r h L(r h), hr h Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. ja erityisesti f h (L, r, h) = Lr ( h ) r + L hr h r r h L(r h), hr h f L (, 5, 5) = π 5 397 f r (, 5, 5) = π 46, f h (, 5, 5) = + =. Lineaarisella approksimoinnilla saamme f f L L + f r r + f h h. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 5 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 6 / 33 Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. josta seuraa, että f f L L + f r r + f h h 397 + 46 + h koska L ja r. Jos nyt haluamme, että f 5 3 niin meidän täytyy vaatia, että 397 + 46 + h 5, ja tästä seuraa, että pitää olla h.4. Huom Tässä kuten muissa vastaavissa laskuissa L on virhe tai poikkeama muuttujan L arvossa, eli L = L L mutta :lla merkitään myös Laplacen differentiaalioperaattoria: u = u xx + u yy + u zz. Esimerkki: Lineaarinen approksimointi Funktiosta f tiedämme, että f (3, ) =.7, f (3.,.) =.75 ja f (.9,.) =.68. Nyt voimme seuraavalla tavalla arvioida derivaattaa käyttäen mikä on f (3.,.9): Lineaarisella approksimoinnilla saamme f (3 + x, + y) f (3, ) + f x (3, ) x + f y (3, ) y. Jos ensin valitsemme x =. ja y =. ja sitten x =. ja y =. niin saamme yhtälösysteemin eli.75 = f ((3 +., +.).7 + f x (3, ). + f y (3, ).,.68 = f (3., +.).7 + f x (3, ) (.) + f y (3, ).,.5 f x (3, ) + f y (3, ),. f x (3, ) + f y (3, ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 7 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 8 / 33
Esimerkki: Lineaarinen approksimointi, jatk. Laskemalla yhteen saamme ensin f y (3, ). ja sitten sijoittamalla tämän tuloksen ensimmäiseen yhtälöön saamme f x (3, ).5. =.3. Jos nyt valitsemme x =. ja y =. niin lineaarisella approksimoinnilla saamme f (3.,.9) = f (3 +.,.) f (3, ) + f x (3, ). + f y (3, ) (.).7 +.3. +. (.) Huomaa, että tässä virhelähteenä on myös epätarkkuudet osittaisderivaattojen arvoissa. =.7 +.6. =.75. Differentiaali?? Sanomme, että ψ = a(x, y) dx + b(x, y) dy, on. kertaluvun differentiaalimuoto (tai differentiaalimuotokenttä koska kertoimet a ja b ovat muuttujien x ja y funktioita) tai lyhyemmin vain differentiaali. Tässä. kertaluvun tapauksessa voimme pitää dx symbolina, jota vastaa x-akselin suuntaista yksikkövektoria ja samoin dy symbolina jota vastaa y-akselin suuntaista yksikkövektoria jolloin differentiaalia ψ vastaa vektorifunktio a(x, y) b(x, y). Tällaista differentiaalia voimme (kunhan kertoimet ovat esim. jatkuvia) integroida käyrää pitkin: Jos r(t) = x(t) i + y(t) j, t a, b on suunnatun käyrän C parametriesitys (ja funktiot x(t) ja y(t) ovat esim. paloittain jatkuvasti derivoituvia) niin C ψ = b a ( a(x(t), y(t))x (t) + b(x(t), y(t))y (t) ) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 9 / 33 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Differentiaali??, jatk. Jos nyt a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) niin ketjusäännön nojalla integroitavana on derivaatta jolloin saamme integraalin suoraan sijoittamalla ja ψ = f (r(b)) f (r(a)) = f (C:n loppupiste) f (C:n alkupiste). C Jos siis a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) niin kirjoitamme ψ = df, sanomme, että ψ on funktion f kokonaisdifferentiaali ja df = f x dx + f y dy, ja tämän vastine on approksimointikaavaa f f x x + f y y. Mutta jos ei päde a(x, y) = f x (x, y) ja b(x, y) = f y (x, y) jollain funktiolla f niin C ψ on edelleen laskettavissa mutta tulos ei enää riipu pelkästään differentiaalista ψ ja käyrän päätepisteistä vaan myös siitä miten käyrä kulkee alkupisteestä loppupisteeseen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33 Miksi Newtonin menetelmä konvergoi niin nopeasti kun se konvergoi? Oletamme, että funktio f : R d R d on derivoituva ja sellainen, että on olemassa vakioita L ja M siten, että f (x + v) f (x) L v ja f (x) M, kaikilla x ja v R d (tai ainakin kun x = x n ja v x n+ x n. Lisäksi oletamme, että f(x ) =. Jos käytämme Newtonin mentelmää yhtälösysteemin f(x) = ratkaisemiseksi ja laskemme (x n ) n= niin pätee x n+ x ML x n x, n. Perustelu tähän on seuraava: Jos g : R R d on jatkuvasti derivoituva niin pätee g() g() g () = (g (t) g ()) dt. Jos g(t) = f(x + th) niin g (t) = f (x + th)h jolloin f(x + h) f(x) f (x)h = g() g() g () = ( f (x + th)h f (x)h ) dt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 3 / 33
Miksi Newtonin menetelmä konvergoi niin nopeasti kun se konvergoi? jatk. Tästä epäyhtälöstä ja oletuksista seuraa, että f(x + h) f(x) f (x)h f (x + th)h f (x)h dt Lt h dt = L h. Jos nyt valitsemme x = x n ja h = x x n niin f(x n + h) = ja x n+ x = x n x f (x n ) f(x n ) = f (x n ) ( f(x n +h) f(x n ) f (x n )h ), ja oletuksesta edellä johdetusta epäyhtälöstä seuraa, että x n+ x M f(x n + h) f(x n ) f (x n )h ML x n x. Tästä tuloksesta seuraa, että ainakin jos ML x m x < jollain m niin vektorit x n suppenevat kohti ratkaisua x ja kun x n x on riittävän pieni, niin etäisyys ratkaisuun pienenee hyvin nopeasti. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem). Esimerkkejä tammikuutaym., 6 osa I 33 / 33