Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Samankaltaiset tiedostot
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Valitse kuusi tehtävää! Kaikki tehtävät ovat 6 pisteen arvoisia.

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

LUKUTEORIA johdantoa

1 Lukujen jaollisuudesta

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Loogiset konnektiivit

Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d.

2017 = = = = = = 26 1

Lukuteorian kertausta

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

Matematiikan mestariluokka, syksy

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

811120P Diskreetit rakenteet

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

Predikaattilogiikkaa

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

a b 1 c b n c n

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Python-ohjelmointi Harjoitus 2

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

Lukuteorian kurssi lukioon

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/144

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Diofantoksen yhtälön ratkaisut

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

a ord 13 (a)

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

Jaollisuus kymmenjärjestelmässä

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu , tehtävien ratkaisut

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

2 j =

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg

Matematiikan tukikurssi

LUKUTEORIA 1 JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

Insinöörimatematiikka A

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Algebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Johdatus matematiikkaan

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

Lukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)

Johdatus matematiikkaan

Törmäyskurssi kilpailulukuteoriaan pienin välttämätön oppimäärä

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

Algebra I, harjoitus 5,

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

LUKUTEORIAN ALKEET KL 2007

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

Talousmatematiikan perusteet, L2

= = = 1 3.

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 1. viikko (2 op)

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)

3. Predikaattilogiikka

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Liisa Ilonen. Primitiiviset juuret

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

1. OSA: MURTOLUVUT, JAOLLISUUS JA ARKIPÄIVÄN MATEMATIIKKAA

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Johdatus yliopistomatematiikkaan

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

Äärellisten mallien teoria

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

. Silloin 1 c. Toisaalta, koska c on lukujen a d ja b d. (a 1,a 2,..., a n )

802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä

LUKUTEORIAN ALKEET. 1. Luonnolliset luvut. N = {1, 2, 3,... } luonnolliset luvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } kokonaisluvut

Transkriptio:

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja lause B on pyydät anteeksi. 2. Formalisoi a- ja b-kohdan lauseet samojen lauseiden A ja B avulla. a) jos tuuli tyyntyy, niin pakkanen kiristyy b) jos pakkanen ei kiristy, niin tuuli ei tyynny. c) Tutki, ovatko a- ja b-kohdan lauseet loogisesti ekvivalentit. Pitkä matematiikka 11, WSOY 1

Testaa taitosi 1:n ratkaisut 1. A B ŸA B Ø ŸA A (B Ø A) 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 b) Lause on tosi, kun A on tosi ja B on epätosi. c) Olen vihainen, ja jos pyydät anteeksi, niin en ole vihainen. 2. Olkoon lause A: tuuli tyyntyy ja lause B: pakkanen kiristyy. a) A Ø B b) ŸB Ø ŸA c) A B ŸA ŸB A Ø B B Ø A 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. Pitkä matematiikka 11, WSOY 2

Testaa taitosi 2: Avoin lause ja kvanttorit 1. Olkoon perusjoukko positiivisten kokonaislukujen joukko ja A(x) avoin lause luku 15 on jaollinen luvulla x ja B(x) avoin lause luku 6 on jaollinen luvulla x. Ratkaise lauseet a) A(x) b) B(x) c) A(x) B(x) d) A(x) ŸB(x). 2. Suomenna avoin lause, kun perusjoukko on reaalilukujen joukko. Onko lause tosi vai epätosi? Perustele. a) x ( x 2 > 0) b) x ( x 2 0) Pitkä matematiikka 11, WSOY 3

Testaa taitosi 2:n ratkaisut 1. a) Lauseen toteuttavat luvut 1, 3, 5 ja 15. Ratkaisujoukko on {1, 3, 5, 15}. b) Ratkaisujoukko on {1, 2, 3, 6}. c) Ratkaisujoukko on {1, 2, 3, 5, 6, 15}. d) Ratkaisujoukko on {5, 15}. 2. a) Kaikilla luvuilla x pätee: x 2 > 0. Jokaisen reaaliluvun neliö on positiivinen luku. Lause on epätosi, koska 0 2 = 0. b) On olemassa luku x, jolle pätee: x 2 0. On olemassa reaaliluku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Lause on tosi, koska 0 2 0. Pitkä matematiikka 11, WSOY 4

Testaa taitosi 3: Jaollisuus ja jakoyhtälö 1. Jaa luku 215 luvulla 7. Mikä osamäärä on ja mikä jakojäännös on? Kirjoita jakoyhtälö. 2. Kun eräs luku jaettiin luvulla 31, osamäärä oli 13 ja jakojäännös 29. Mikä luku jaettiin? 3. Esitä kokonaisluku muodossa q 7 + r, missä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < 7. a) 42 b) 45 c) 40 Pitkä matematiikka 11, WSOY 5

Testaa taitosi 3:n ratkaisut 1. Osamäärä on 30 ja jakojäännös 5. Jakoyhtälö on 215 = 30 7 + 5. 2. jaettava = osamäärä jakaja + jakojäännös jaettava = 13 31 + 29 = 432 3. a) 42 = 6 7 + 0 b) 45 = 6 7 + 3 c) 40 = 6 7 + 2 Pitkä matematiikka 11, WSOY 6

Testaa taitosi 4: Suurin yhteinen tekijä 1. a) Luettele luvun 15 tekijät. b) Mikä lukujen 6 ja 15 suurin yhteinen tekijä on? c) Onko olemassa sellaiset kokonaisluvut x ja y, että 6x + 15y = 14? 2. a) Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 294 ja 210 suurin yhteinen tekijä. b) Ilmaise lukujen 294 ja 210 suurin yhteinen tekijä muodossa 294x + 210y, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Pitkä matematiikka 11, WSOY 7

Testaa taitosi 4:n ratkaisut 1. a) Luvun 15 tekijät ovat 1, 3, 5 ja 15. b) Luvun 6 tekijät ovat 1, 2, 3 ja 6. Lukujen 6 ja 15 suurin yhteinen tekijä on 3. c) Koska 14 ei ole jaollinen luvulla 3, yhtälöllä ei ole ratkaisua. 2. a) 294 = 1 210 + 84 210 = 2 84 + 42 84 = 2 42 Suurin yhteinen tekijä on 42. b) Ratkaistaan yllä olevista yhtälöistä jakojäännökset. 84 = 294 1 210 42 = 210 2 84 Aloitetaan viimeisestä yhtälöstä ja sijoitetaan vuorollaan kunkin jakojäännöksen lauseke. 42 = 210 2 84 = 210 2 (294 1 210) = 210 2 294 + 2 210 = 2 294 + 3 210 Siis x = 2 ja y = 3. Pitkä matematiikka 11, WSOY 8

Testaa taitosi 5: Alkuluvut ja jaollisuuslauseita 1. Tutki, onko luku 271 alkuluku. Vastaa perustellen. 2. Jaa luvut 198 ja 378 alkutekijöihin ja määritä lukujen suurin yhteinen tekijä. 3. Pitääkö väite paikkansa? Perustele. a) Jos kumpikaan luvuista a ja b ei ole jaollinen luvulla 6, niin tulo ab ei ole jaollinen luvulla 6. b) Luku a on jaollinen luvuilla 7 ja 13, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 91. c) Luku a on jaollinen luvuilla 8 ja 5, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 40. d) Luku a on jaollinen luvuilla 8 ja 6, jos ja vain jos se on jaollinen luvulla 48. Pitkä matematiikka 11, WSOY 9

Testaa taitosi 5:n ratkaisut 1. Luvun 271 neliöjuuren likiarvo on 16,462. Riittää tutkia, onko luku 271 jaollinen lukua 16 pienemmillä alkuluvuilla. 271 : 2 = 135,5 271 : 3 90,333 271 : 5 = 54,2 271 : 7 38,714 271 : 11 24,636 271 : 13 20,846 Luku 271 on alkuluku. 2. 198 = 2 3 3 11 378 = 2 3 3 3 7 Suurin yhteinen tekijä on 2 3 3 = 18. 3. a) Väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi luvut 3 ja 8 eivät ole jaollisia kuudella, mutta luku 3 8 = 24 on kuudella jaollinen. b) Väite pitää paikkansa, koska luvut 7 ja 13 ovat alkulukuja ja 7 13 = 91. c) Väite pitää paikkansa, koska lukujen 8 ja 5 suurin yhteinen tekijä on yksi ja 8 5 = 40. d) Väite ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi luku 24 on jaollinen luvuilla 8 ja 6, mutta ei luvulla 48. Pitkä matematiikka 11, WSOY 10

Testaa taitosi 6: Kongruenssi 1. Osoita, että a) 32 77 (mod 9) b) 91 0 (mod 7) c) 12 3 (mod 5). 2. Määritä jakojäännös, joka jää, kun luku 31 15 18 25 + 44 31 jaetaan luvulla 8. Pitkä matematiikka 11, WSOY 11

Testaa taitosi 6:n ratkaisut 1. a) 1. tapa. Koska lukujen erotus 77 32 = 45 = 5 9 on luvulla 9 jaollinen, niin 32 77 (mod 9). 2. tapa. 77 = 8 9 + 5 ja 32 = 3 9 + 5. Koska jakojäännökset ovat yhtä suuret, niin 32 77 (mod 9). b) Koska erotus 91 0 = 91 = 13 7 on luvulla 7 jaollinen, niin 91 0 (mod 7). c) Koska erotus 12 ( 3) = 15 = 3 5 on luvulla 5 jaollinen, niin 12 3 (mod 5). 2. 18 2 (mod 8) 25 1 (mod 8) 44 4 (mod 8) 31 1 (mod 8) 18 25 31 + 44 31 15 2 1 31 + 4 ( 1) 15 2 4 2 6 (mod 8) Jakojäännös on 6. Pitkä matematiikka 11, WSOY 12