Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4) +8y (3) 0 () Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, aloitetaan hakemalla karakteristinen yhtälö homogeeniselle vakiokertoimiselle differentiaaliyhtälölle. Vaihtoehto: Käytetään yritettä y e λx, jolloin y (n) λ n e λx. Sijoittamalla saadaan yhtälö () muotoon λ 5 e λx + 4λ 4 e λx + 8λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 (λ +4λ+8) 0. Vaihtoehto: Yhtälö () on vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö, joten sen karakteristinen yhtälö on λ 5 +4λ 4 +8λ 3 λ 3 (λ +4λ+8) 0. Saadun yhtälön erisuuret juuret ovat λ 0, λ +i ja λ 3 i, joista c on kolminkertainen ratkaisu. Kompleksisista juurista (reaaliratkaisuilla korvaamalla) saadaan yleisen ratkaisun kantaan funktiot e x sin(x) ja e x cos(x) sekä kolminkertaisesta juuresta c 0 funktiot, x ja x. Yhtälön () kertaluku 5 on sama kuin saatujen riippumattomien funktioiden joukon koko. Täten saadaan kaikkien ratkaisujen avaruuden kannaksi {,x,x,e x sin(x),e x cos(x)} eli yleinen ratkaisu on y(x) c +c x+c 3 x +c 4 e x sin(x)+c 5 e x cos(x).. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön y (5) +y (4) +y (3) 0 () sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) a 0, y (0) a, y (0) a, y (0) a 3, y (4) (0) a 4 (a 0, a, a, a 3 ja a 4 vakioita). Ensin haetaan homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λx saadaan yhtälö () muotoon λ 5 e λx +λ 4 e λx +λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 (λ + λ+) 0. Vaihtoehto: Homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön () karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ 5 +λ 4 +λ 3 λ 3 (λ +λ+) 0. Saadun karakterisen yhtälön erisuuret juuret ovat λ 0 ja λ, joista c on kolminkertainen ratkaisu ja c kaksinkertainen ratkaisu. Kolminkertaisesta juuresta c 0 saadaan ratkaisun kantaan funktiot, x ja x ja juuresta c funktiot e x ja xe x. Yhtälön () kertaluku ja saatujen riippumattomien funktioiden määrä täsmää, joten yleisen ratkaisun kannaksi käy {,x,x,e x,xe x }. Yleinen ratkaisu on siis y(x) c +c x+c 3 x +c 4 e x +c 5 xe x. (3) Yksittäisratkaisun määrittämiseksi lasketaan funktion y derivaatat yhtälöstä (3): y (x) c +c 3 x+(c 5 c 4 )e x c 5 xe x ; y (x) c 3 +(c 4 c 5 )e x +c 5 xe x ; y (x) (3c 5 c 4 )e x c 5 xe x ; y (4) (x) (c 4 4c 5 )e x +c 5 xe x.
Ja sijoittamalla x 0 saadaan näistä yhtälöistä alkuehtojen avulla yhtälöryhmä a 0 c +c 4 c 5 (a 3 +a 4 ) a c +c 5 c 4 c 4 (4a 3 +3a 4 ) a c 3 +c 4 c 5 c 3 a +a 3 +a 4 a 3 3c 5 c 4 c a 3a 3 a 4 a 4 c 4 4c 5 c a 0 +4a 3 +3a 4. Haluttu yksittäisratkaisu y 0 on siis y 0 (x) (a 0 +4a 3 +3a 4 )+(a 3a 3 a 4 )x+ a +a 3 +a 4 x (4a 3 +3a 4 )e x (a 3 +a 4 )xe x 3. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön y +3y 4y e 3x (4) kaikki ratkaisut sekä sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) y (0). Yhtälön (4) homogenisoitu vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on y +3y 4y 0 (5) Yhtälön (4) yleinen ratkaisu on muotoa y(x) y H (x)+y 0 (x), jossay H (x) on homogeenisoidun differentiaaliyhtälön (5) yleinen ratkaisu ja y 0 (x) on yhtälön (4) jokin yksittäisratkaisu. Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, määritetään ensin homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön (5) kaikki ratkaisut. Määritetään ensin karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λx saadaan yhtälö (5) muotoon λ 5 e λx +λ 4 e λx +λ 3 e λx 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λx saadaan karakteristinen yhtälö λ +3λ 4 (λ+4)(λ ) 0. Vaihtoehto: Vakiokertoimisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön (5) karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ +3λ 4 (λ+4)(λ ) 0. Saadun karakterisen yhtälön erisuuret juuret ovatλ jaλ 4. Näitä juuria vastaavat funktiot muodostavat joukon B {e λ x e x,e λ x e 4x } ja, koska yhtälön (5) kertaluku on sama kuin saadun joukon koko, on joukko B kaikkien ratkaisujen avaruuden kanta. Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (5) on y H (x) c e x +c e 4x (6) Löytääkseen kaikki ratkaisut yhtälölle (4) tarvitaan myös yksi (mielivaltaisen) yksittäisratkaisu. Toisaalta tarvitaan yksittäisratkaisu myös alkuehdoilla y(0) y (0), joten ratkaistaan tämä yksittäisratkaisu (saadaan kaksi kärpästä samalla iskulla). Sovelletaan Laplace-muunnosta yhtälöön (4), jolloin saadaan L[y +3y 4y](s) (s Y(s) y(0)s y (0))+3(sY(s) y(0)) 4Y(s) (s Y(s) s )+3(sY(s) ) 4Y(s) Y(s)(s +3s 4) (s+4) s 3 L[e3x ](s). Edellisestä saadaan Y(s)(s +3s 4) Y(s)(s+4)(s ) s 3 +(s+4) eli (s 3)(s+4)(s ) + s ()
Tarvitaan termin (s 3)(s+4)(s ) osamurtohajotelma: A s 3 + B s+4 + C s (s 3)(s+4)(s ). Saadaan yhtälö A(s + 4)(s ) + B(s 3)(s ) + C(s 3)(s + 4), josta edelleen saadaan (polynomien yhtäsuuruudella) yhtälöryhmä A+ B + C 0 3A 4B + C 0 4A+3B C A+ B + C 0 3A 4B + C 0 0C 0 A+ B 0 B 0 C 0 A+ B 0 3A 4B 0 C 0 A 5 0 B 0. C 0 3 Siis yhtälö () saadaan muotoon josta edelleen saadaan yksittäisratkaisu Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (4) on 4(s 3) + 35(s+4) 0(s ) + s, y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x + 9 0 ex. y(x) y H (x)+y 0 (x) c e x +c e 4x + 4 e3x + 35 e 4x + 9 0 ex c e x +c e 4x + 4 e3x ja alkuehdoilla y(0) y (0) yhtälön (4) yksittäisratkaisu on y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x + 9 0 ex. Huomautus: Ratkaisu voidaan tehdä vähän toisin seuraavasti. Etsitään yksittäisratkaisu y 0 (x) alukehdoille y(0) y (0) 0. Tällöin Laplace-muunnoksen soveltaminen yhtälöön (4), antaa L[y +3y 4y](s) s Y(s)+3sY(s) 4Y(s) Edellisestä saadaan Y(s)(s +3s 4) s 3 eli Y(s)(s +3s 4) s 3 L[e3x ](s). (s 3)(s+4)(s ) Aivan kuten yllä saataisiin osamurtohajotelmalla y 0(x) 4 e3x + 35 e 4x 0 ex. 3
ja siitä edelleen yhtälön (4) yleinen ratkaisu y(x) y H (x)+y 0 (x) c e x +c e 4x + 4 e3x + 35 e 4x 0 ex c e x +c e 4x + 4 e3x. Tämän jälkeen tarvitsee vielä määrittää yhtälön (4) yksittäisratkaisu alkuehdoilla y(0) y (0) eli pitää valitac jac funktiolley(x) täyttäen annetut alkuehdot. Elic +c + 4 jac 4c + 3 4, jotka toteutuvat arvoillac 9 0 jac 35. Lopputuloksena alkuehdot toteuttava yksittäisratkaisu y 0 (x) 4 e3x + 35 e 4x + 9 0 ex. Tämä tapa olisi siis ollut vähän työläämpi. 4. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön sellainen yksittäisratkaisu, että y(0) y (0). y +y 3y e x (8) Koska tarvitaan vain tämä yksi yksittäisratkaisu, sovelletaan suoraan Laplace-muunnosta yhtälöön (8), jolloin saadaan L[y +y 3y](s) (s Y(s) y(0)s y (0))+(sY(s) y(0)) 3Y(s) (s Y(s) s )+(sy(s) ) 3Y(s) Y(s)(s +s 3) (s+3) s L[ex ](s). Edellisestä saadaan Y(s)(s +s 3) Y(s)(s+3)(s ) s +(s+3) eli (s )(s+3)(s ) + s Tarvitaan termin (s )(s+3)(s ) osamurtohajotelma: A s + B s+3 + C s (s )(s+3)(s ). Saadaan yhtälö A(s + 3)(s ) + B(s )(s ) + C(s )(s + 3), josta edelleen saadaan yhtälöryhmä A+ B + C 0 A+ B + C 0 A+ B 4 A 3B + C 0 A 3B + C 0 A 3B 4 3A+B 6C 4C 4 C 4 A+ B 4 A 4 5B 4 0 C 5 B 0. 4 C 4 Siis yhtälö (9) saadaan muotoon 5(s ) + 0(s+3) 4(s ) + s, josta edelleen saadaan yhtälön (4) alkuehtojen y(0) y (0) yksittäisratkaisu y 0 (x) 5 ex + 0 e 3x + 3 4 ex. 4 (9)
5. Etsitään vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. y +3y +4y 8y e 3t (0) Koska tarvitaan kaikki ratkaisut, määritetään ensin homogeenisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön y +3y +4y 8y 0 () kaikki ratkaisut. Määritetään karakteristinen yhtälö: Vaihtoehto: Yritteellä y e λt saadaan yhtälö () muotoon λ 3 e λt +3λ e λt +4λe λt 8e λt 0. Edelleen, jakamalla puolittain termillä e λt saadaan karakteristinen yhtälö λ 3 +3λ +4λ 8 0. Vaihtoehto: Vakiokertoimisen ja homogeenisen differentiaaliyhtälön () karakteristiseksi yhtälöksi saadaan λ 3 +3λ +4λ 8 0. Huomataan, että etukertoimien summa on 0 eli λ on yksi juuri. Saadaan λ 3 +3λ + 4λ 8 (λ )(λ +4λ+8), joten karakteristisen yhtälön erisuuret juuret ovat λ, λ +i ja λ 3 i. Kompleksisista juurista (reaaliratkaisuilla korvaamalla) saadaan yleisen ratkaisun kantaan funktiot e t sin(t) ja e t cos(t) sekä juuresta c funktio e t. Yhtälön () kertaluku 3 on sama kuin saatujen riippumattomien funktioiden joukon koko. Täten saadaan kaikkien ratkaisujen avaruuden kannaksi {e t,e t sin(t),e t cos(t)} eli yhtälön () yleinen ratkaisu on y H (t) c e t +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t). Jotta saadaan kaikki ratkaisut yhtälölle (0) tarvitaan myös yksi (mielivaltaisen) yksittäisratkaisu. Koska mitään muuta rajoitetta ei ole alkuehdoille, valitaan y(0) y (0) y (0) 0 (alkuehtoja pitää olla yhtä monta kuin yhtälön kertaluku) ja ratkaistaan yksittäisratkaisu näille alkuehdoille. Yksittäisratkaisun brute force -menetelmä: Sovelletaan Laplace-muunnosta yhtälöön (0), jolloin saadaan L[y +3y +4y 8y](s) (s 3 Y(s) y(0)s y (0)s y (0))+3(s Y(s) y(0)s y (0))+4(Y (s) y(0)) 8Y (s) Edellisestä saadaan s 3 Y(s)+3s Y(s)+4Y(s) 8Y(s) Y(s)(s 3 +3s +4s 8) s 3 L[e3t ](s). (s 3)(s )(s +4s+8) Tarvitaan termin (s 3)(s )(s +4s+8) osamurtohajotelma: A s 3 + B s + Cs+D s +4s+8 (s 3)(s )(s +4s+8). () 5
Saadaan yhtälö A(s )(s +4s+8)+B(s 3)(s +4s+8)+(Cs+D)(s )(s 3), josta saadaan (polynomien yhtäsuuruudella) yhtälöryhmä A+ B+ C 0 3A+ B 4C+ D 0, 4A 4B+ 3C 4D 0 8A 4B + 3D josta saadaan Gaussin-Jordanin menetelmällä 0 0 3 4 0 4 4 3 4 0 8 4 0 3 0 5 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 3 4 6 0 0 0 9 0 0 0 3 6 0 0 0 3 54 0 0 0 3 3 4 8 5 3 0 0 0 0 0 8 4 0 0 6 8 3 0 5 0 0 0 0 0 30 4 0 0 0 A 9 B 3 C 6 3 D 54 3 Siis yhtälö () saadaan muotoon 0 0 559 40 83 0 0 56 0 0 6 0 0 0 3 54. 4 8 3 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 64 5 0 5 0 0 0 0 0 30 4 0 0 3 4 6 559 83 9(s 3) 3(s ) + 6s 3((s+) +4) + 54 3((s+) +4). (3) Toisaalta Laplace-muunnokselle on voimassa yhtälö (kalvoissa) L[e λt f](s) L[f](s λ). Siis funktiolle f(t) sinat saadaan L[f](s) a s +a ja edelleen L[e λt sinat](s) L[sinat](s λ) a (s λ) +a (4) ja vastaavasti funktiolle f(t) cosat saadaan L[f](s) s s +a ja edelleen L[e λt cosat](s) L[cosat](s λ) s λ (s λ) +a. (5) Ryhmitellään yhtälön (3) termejä yhtälöille (4) ja (5) sopivaksi, jolloin saadaan 9(s 3) 3(s ) + 6 3 s+ (s+) +4 + 3 Yhtälöiden (6), (4) ja (5) avulla saadaan yksittäisratkaisu y 0 (t) 9 e3t 3 et + 3 e t sint+ 6 3 e t cost. (s+) +4. (6) 6
Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on y(t) y H (t)+y 0 (t) (c 3 )et +(c + 3 )e t sin(t)+(c 3 + 6 3 )e t cos(t)+ 9 e3t c et +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t)+ 9 e3t. Yksittäisratkaisun educated guess -menetelmä: Yleisesti differentiaaliyhtälön oikean puolen (epähomogeenisuuden aiheuttava) termi on läheisesti kytköksissä erityisratkaisun kanssa. Siis kokeillaan yritettä y (t) Ce 3t. Tällöin saadaan y (t) 3Ce 3t, y (t) 9Ce3t ja y (t) Ce3t. Sijoittamalla nämä alkuperäiseen yhtälöön (0) saadaan (++ 8)Ce 3t e 3t, josta voidaan ratkaista C 9 ja edelleen saadaan yksittäisratkaisu y 9 e3t. Siis yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on y(t) y H (t)+y (t) 6. Etsi lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. c e t +c e t sin(t)+c 3 e t cos(t)+ 9 e3t. xy y x +x+ () Käytetään. kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisumenetelmää, joten muotoillaan yhtälö muotoon y x y x + + (8) x ja edelleen tämän homogenisoitu muoto on y x y 0 (9) Vaihtoehto: Haetaan ensin tämän homogenisoidun yhtälön kaikki ratkaisut. Yhtälö 9 saadaan muotoon y y x, josta edelleen saadaan lny lnx + C ja lopulta yleinen ratkaisu on y (x) e C x C x. Vakion variointivaihetta varten voidaan valita C, joten valitaan y H x ja olkoon y(x) C(x)y H (x). Tällöin y (x) C (x)y H (x)+c(x)y H (x) ja y H (x) x y H(x) 0, joten yhtälö sijoittamalla yhtälöön (8) saadaan C (x)y H (x)+c(x)y H(x) x C(x)y H(x) x }{{} + + x 0
ja edelleen jakamalla puolittain ja sijoittamalla valittu y H x saadaan Integroimalla puolittain saadaan C (x) x y H (x) + y H (x) + xy H (x) x + x + x x. C(x) x x 3 Yleinen ratkaisu yhtälölle () on siis + x x +B. y(x) y H (x)c(x) x 3 +x +B x. Yhtälön (9) kertaluku on yksi kuten sen ratkaisun kannan koko, joten kaikki ratkaisut on löydetty. Vaihtoehto: Käytetään valmiita ratkaisukaavoja. Yhtälöstä 9 saadaan yksittäisratkaisu y H (x) e x dx e lnx x. Vakion variointivaiheesta saadaan differentiaaliyhtälö josta edelleen saadaan C(x) C (x)y H (x) x + + x, [ x y H (x) + y H (x) + ] dx xy H (x) [ x + x + ] x x x x 3 Yleinen ratkaisu yhtälölle () on siis + x x +B. y(x) y H (x)c(x) x 3 +x +B x. Yhtälön (9) kertaluku on yksi kuten sen ratkaisun kannan koko, joten kaikki ratkaisut on löydetty.. Etsitään lineaarisen differentiaaliyhtälön y 3x y x e x3 (0) kaikki ratkaisut sekä sellainen yksittäisratkaisu, että y(0). Haetaan ensin homogenisoidun yhtälön kaikki ratkaisut. y 3x y 0 () 8
Valitaan edellisen tehtävän vaihtoehto ratkaisumetodiksi ja käytetään valmiita ratkaisukaavoja. Yhtälöstä saadaan yksittäisratkaisu y H (x) e ( 3x )dx e x3. Vakion variointivaiheesta saadaan differentiaaliyhtälö C (x)y H (x) x e x3, josta edelleen saadaan C(x) [ ] x e x3 dx y H (x) [ ] x e x3 e x3 [ x e x3] 6 e x3 +B. Yleinen ratkaisu yhtälölle (0) on siis y H (x)c(x) 6 e x3 e x3 +Be x3 Be x3 6 e x3. Yhtälön () kertaluku on yksi kuten sen ratkaisujen avaruuden kannan koko. 8. Todetaan. kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön x y xy +y 0 () erään ratkaisun olevan y H x suoraan kokeilemalla: x () x(x)+(x ) 0. Seuraavaksi etsitään tämän tiedon avulla muuotoillun differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut. Muotoillaan ensin yhtälöä (3) sopivampaan muotoon: x y xy +y x (3) y x y + xy. (4) Valitaan vakion variointia varten y(x) y H (x)v(x), jolloin tämän yhtälön ja sen derivaattojen sijoittaminen yhtälöön (4) tuottaa yhtälön y H (x)w (x)+( x y H(x)+y H (x))w(x), missä w(x) v (x), ja edelleen sijoittamalla y H (x) x ja puolittain jakamalla saadaan yhtälö w (x)+( x +x x )w(x) x ja sieventämällä tämä saadaan muotoon w (x)+ x w(x) x. (5) 9
Tämä yhtälö on. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, joka voidaan nyt ratkaista. Yhtälön (5) homogenisoidulle versiolle saadaan nyt yksittäisratkaisu w H (x) e x dx x ja edelleen vakion varioinnilla yhtälölle (5) saadaan yleinen ratkaisu [ ] x w(x) w H (x) x dx+b x [x+b ] x + B x Yhtälön (3) yleiseksi ratkaisuksi saadaan nyt y(x) y H (x) w(x)dx x (lnx B x +B ) x lnx B x+b x. Yhtälön () kertaluku on kaksi ja sen ratkaisujen avaruuden kannassa on kaksi funktiota, joten kaikki ratkaisut ovat tässä. 9. Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden kaikki ratkaisut: (a) y y(x ). Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon y x, josta puolittain integroimalla saadaan lny x x+c ja edelleen y(x) C e x e /x. Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. (b) y e x 3y. Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon e 3y y e x, josta puolittain integroimalla saadaan e3y 3 ex +C ja edelleen 3y ln(3 ex +C ), josta edelleen y 3 ln(3 ex + C ) Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. 0. Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden kaikki ratkaisut: (a) y y (x 6). Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon y y y (x 6), josta puolittain integroimalla saadaan y(x) ln(x 6) + C ja edelleen y(x) C ln(x 6). Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. (b) y e y/ sinx. Yhtälö saadaan separoituvan differentiaaliyhtälön muotoon e y/ y sinx, josta puolittain integroimalla saadaan e y/ cosx+c ja edelleen y(x) ln( cosx C ). Yhtälön kertaluku on yksi ja ratkaisu avaruuden kannan koko sama. 0