15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen 15.1. Tasakylkinen kolmio - jos kaksi kolmion sivua on yhtä pitkät, on kolmio tasakylkinen
15.1.3 Suorakulmainen kolmio - suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 90 - suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään seuraavia nimityksiä: - suoran kulman viereiset sivut ovat nimeltään kateetteja ja suoran kulman vastainen sivu on nimeltään hypotenuusa 15.1.3.1 Pythagoraan lause - suorakulmaisen kolmion sivujen välillä on voimassa ns. Pythagoraan lause: Suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö (neliöllä tarkoitetaan sivun pituuksien toista potenssia)
- edellisen perusteella saadaan: a a + = - kaavan perusteella voidaan ratkaista, mikä tahansa suorakulmaisen kolmion sivu, jos kaksi muuta tunnetaan o jos tunnetaan molempien kateettien (a ja ) suuruus, saadaan hypotenuusan ( ) pituus ratkaistua kaavasta: = a + o jos tunnetaan toinen kateetti () ja hypotenuusa (), saadaan toisen kateetin (a) pituus ratkaistua kaavasta: a = - o jos tunnetaan toinen kateetti (a) ja hypotenuusa (), saadaan toisen kateetin pituus ratkaistua kaavasta: = - a
Esim1: Laske oheisen suorakulmion hypotenuusa ( ) ( 10m) + ( 50m) = 16900 m = m = a + = 130 Esim1: Laske oheisesta suorakulmiosta kateetti. = a + = a = (63, m) (46,9m ) = 4,4m
15.1.3. Suorakulmaisen kolmion trigonometriaa -trigonometria tarkoittaa kolmion mittausoppia - kulmiin liittyvät trigonometriset funktiot määritellään usein suorakulmaisen kolmion sivujen suhteina - trigonometriset funktiot ja niiden määrittelyt ovat seuraavat: sini on terävän kulman vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan eli a sinα = sin β = kosini on terävän kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan eli osα = a os β =
tangentti on terävän kulman vastaisen kateetin suhde viereiseen katettiin eli a tanα = tan β = a Esimerkkejä kolmion (sivujen ja kulmien suuruuksien) ratkaisemisesta trigonometrian avulla: Esim1: Suorakulmaisen kolmion yksi terävä kulma on 3,5 ja sen vastainen kateetti on 47,8 m. Laske muut kulmat ja toinen kateetti ja hypotenuusa. Vaihe1: Muodostetaan trigonometrinen funktio, johon tunnettujen suureiden (α = 3,5 ja a = 47,8 m ) lisäksi otetaan toinen tuntemattomista sivuista ( tai ).
Muodostetaan tällä kertaa funktio, jossa on mukana kateetti Muodostettavaan funktioon tulee siis mukaan kulma α (3,5 ), sen vastainen kateetti a (47,8 m) ja kulman α viereinen kateetti (ratkaistava suure) muodostettava funktio on siis tangentti (vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin) tan 3,5 = Vaihe: 47,5m Ratkaistaan funktio :n suhteen 47,5m = tan 3,5 = 74,6m Huom! Laskimessa trigonometrisen funktion arvo saadaan esim. yllä olevassa tapauksessa seuraavasti tan 3,5 Näytöllä Näytölle 3,5 tan 0,637070 Vaihe3: Muodostetaan jälleen trigonometrinen funktio, jossa ovat mukana annetut arvot α (3,5 ), sen vastainen kateetti a (47,8 m) ja hypotenuusa (ratkaistava suure) muodostettava funktio on siis sini (vastaisen kateetin suhde hypotenuusaan)
sin 3,5 = Vaihe4: 47,5 m Ratkaistaan funktio :n suhteen 47,5 m sin 3,5 = = 88,4 m Vaihe5: Huom. :n arvo olisi voitu laskea myöspythagoraan lauseen avulla = a + = (47,5m) + (74,6m) = 88, 4m Lasketaan vielä β-kulman suuruus. Koska kaikki sivut ovat nyt ratkaistuja, voidaan β-kulman suhteen muodostaa mikä tahansa funktio (sinβ, osβ tai tanβ). Valitaan kosini (β-kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan) a 47,5m os β = = = β = 57,5 88,4 m Huom! Laskimessa voidaan halutun kulman suuruus laskea, kun sen trigonometrisen funktion arvo tunnetaan, seuraavasti. Yllä olevassa tehtävässä on osβ:n arvoksi saatu 0,6367
Näytöllä Näytölle 0,6367 os 0,637070 nd Huom! Joissakin laskimissa nd - näppäimen INV SHIFT tilalla voi olla esim. tai - näppäimet. Huom! β-kulma olisi voitu laskea helpommin seuraavasti. Koska kolmion kulmien summa on 180 ja yksi kulmista oli suorakulma (90 ) ja α- kulman arvo oli 3,5, on β-kulman arvo tällöin: 180-90 - 3,5 = 57,5
Trigonometrian tehtäviä 1. Määritä oheisesta suorakulmaisesta kolmiosta. Määritä oheisesta kolmiosta kolmen desimaalin tarkkuudella
3. Puun korkeuden laskemiseksi saadaan yhtälö 4. Kaltevan tason pituuden määrittämiseksi saadaan yhtälö 5. Laske kolmion korkeusjanan pituus.
6. Laske kolmion korkeusjana h sekä sivut ja. 7. Järven leveyden laskemiseksi voidaan käyttää yhtälöä 8. Lamppu riippuu 3, m pitkän ketjun varassa. Sitä poikkeutetaan 5 astetta. Kuinka paljon ylemmäs lamppu nousee.
9. Suorakulmaisen kolmion suurempi kateetti on kolme kertaa niin pitkä kuin pienempi kateetti ja piiri on 15 m. Laske kolmion a) sivujen pituudet ) kulmien suuruudet ) pinta-ala 10. Suunnikkaan lävistäjien pituudet ovat 30,0 m ja 40,0 m. Laske suunnikkaan pinta-ala.