BM0A580 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Jouni Sampo 9. marraskuuta 06
Sisältö Funktioiden käyttäytymistä tutkimassa. Parittomat, parilliset ja jaksolliset funktiot........................ Raja-arvo.........................................3 Jatkuvuus........................................ 7.4 Asymptootit....................................... 9.5 Derivaatta........................................ 9.6 Funktion ääriarvot.....................................7 Konkaavisuus...................................... 7 Derivoimistekniikoita 9. Peruskaavoja derivointiin................................ 9. Logaritminen differentiointi...............................3 Implisiittinen differentiointi............................... 4 3 Integraali 8 3. Määräämätön integraali................................. 8 3. Määrätty integraali................................... 3 3.3 Määrätyn integraalin arvon laskeminen summaamalla................. 3 3.4 Määrätyn integraalin laskeminen määräämättömän integraalin avulla......... 33 3.5 Pinta-alojen laskenta määrätyn integraalin avulla................... 37 4 Derivaatan sovelluksia 38 4. Eksponentiaaliset kasvu- ja vähenemismallit...................... 38 4. Lineaariset approksimaatiot............................... 44 4.3 L Hospitalin sääntö raja-arvojen laskentaan...................... 50 5 Usean muuttujan funktion derivaatoista 5 5. Osittaisderivaatat.................................... 5 5. Lineaariset approksimaatiot............................... 56 5.3 Differentioituvuus ja differentiaalit........................... 58 5.4 Kahden muuttujan funktioiden ääriarvot........................ 60 5.5 Kriittisten pisteiden luokittelu............................. 6 5.6 Taylorin polynomit................................... 65 5.7 Nopeus ja kiihtyvyys.................................. 65
Funktioiden käyttäytymistä tutkimassa. Parittomat, parilliset ja jaksolliset funktiot Matemaattisina määritelminä: Funktion f sanotaan olevan parillinen jos f () = f ( ). Funktion f sanotaan olevan pariton jos f () = f ( ). Funktion f sanotaan olevan jaksollinen, jaksonpituutena L, jos f () = f ( + L). Graafisesti ajatellen: parillisuus tarkoittaa että funktion negatiivisella -akselilla sijaitseva graafin osa saadaan peilaamalla positiivisen -akselin puoleinen osa y-akselin suhteen. parittomuus tarkoittaa että funktion negatiivisella -akselilla sijaitseva graafin osa saadaan peilaamalla positiivisen -akselin puolella sijaitseva osa ensin -akselin ( y-akselin) suhteen ja sen jälkeen y-akselin (-akselin) suhteen. jaksollisuus tarkoittaa sitä että jos funktion graafi piirretään -akselilla millä tahansa jaksonpituutensa mittaisella välillä, saadaan koko graafi yksinkertaisesti monistamalla piirrettyä graafin osaa. Parillisuudella, parittomuudella ja jaksollisuudella on tärkeä rooli useiden algoritmien käyttäytymisen ymmärtämisessä. Esimerkiksi insinööritieteissä erittäin yleinen analyysityökalu, FFT-algoritmi, olettaa yleensä signaalin (funktion) olevan jaksollinen ja vain yksi jakso signaalista annetaan algoritmille syötteenä. Tässä tapauksessa jos oletus jaksollisuudesta on väärä, täytyy tuloksia osata tulkita sopivasti (kaikki algoritmin antama tieto ei ehkä ole oikeaa). Esimerkki.. Tutki onko funktio g() = sin(3π) mahdollisesti parillinen, pariton tai jaksollinen. Esimerkki.. Olkoon p() toisenasteen polynomi jonka nollakohdat ovat = ja = 5. Määritä luku a siten että funktio f ( a) on parillinen. Esimerkki.3. Oletetaan että f on parillinen ja g on pariton funktio. Osoita että f g on parillinen funktio.. Raja-arvo Äärelliset raja-arvot. Raja-arvon käsite on keskeisessä roolissa monessa myöhemmin tulevassa matemaattisessä määritelmässä ja menetelmässä. Raja-arvoja käytetään kun tutkitaan mitä tapahtuu ilmiölle jota f () kuvaa kun argumentin () arvot kasvavat mielivaltaisen suuriksi ( ) tai pieniksi ( ), tai jos f ():n lauseke ei ole määritelyt pisteess = a mutta :n arvot voivat silti olla mielivaltaisen lähellä a:ta.
Matemaattinen määritelmä: Funktion f raja-arvo kohdassa a on L, merkitään lim a f () = L, jos ja vain jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ > 0 siten että 0 < a < δ f () L < ε. () Eli jos tahdotaan että funktio f () saa varmasti erittäin lähellä L:ää olevia arvoja, riittää että on tarpeeksi lähellä arvoa a. Katso kuva. y L + ε L L ε a δ a a + δ Kuva : Raja-arvo Raja-arvon laskeminen suoraan määritelmiä käyttäen ei yleensä ole tarpeen. Raja-arvojen määritelmiä tarvitaan erityisesti kun tahdotaan osoittaa helpottavien laskukaavojen oikeellisuutta (esim. lim a g() f () = lim a g()lim a f ()) tai osoittaa muita teoreettisempia tuloksia. Käytännössä raja-arvot voidaan usein laskea sieventämällä ensin lauseketta ja sitten sijoittamalla :n tilalle arvo jota lähestytään. Monimutkaisempia lausekkeita voidaan sieventää ja päätellä mm. seuraavien ominaisuuksien avulla: Oletetaan että lim a f () = L ja lim a g() = M. Summa: lim a ( f () + g()) = L + M Erotus: lim a ( f () g()) = L M Tulo: lim a f ()g() = LM Toispuoleiset raja-arvot merkitään lim f () = L ja lim f () = L. a+ a Ainut ero edelliseen on että, tapauksesta riippuen, implikaation () tarvitsee toteutua vain lisäoletuksella < a tai > a. Täten lim f () = L a lim f () = lim f () = L. a a+ Raja-arvot äärettömyydessä. Jos valitsemalla mikä tahansa tarpeeksi iso arvo :lle saadaan funktion f () arvo kuinka lähelle tahansa arvoa L, sanotaan että lim f () = L. Käytännössä voidaan usein lauseke ensin sieventää ja sitten päätellä lopputulos. 3
y y = (, ) (, ) Kuva : Raja-arvot äärettömyydessä, ja äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot. Jos valitsemalla luku tarpeeksi läheltä lukua a saadaan funktion f () arvosta kuinka suuri tahansa, sanotaan että lim a f () =. äärettömien raja-arvojen tapauksessa voidaan ajatella myös toispuoleisia raja-arvoja. Esimerkki.4. Määritä raja-arvot lim(4 + ), lim 4 ( 4 + ) ja lim lim(4 + ) = 4 + = 5 lim ( 4 + ) = 4 + = 4
lim [ 0 0] {}}{ 4 = lim ( )( + ) ( ) = lim + = + = Esimerkki.5. Jos mahdollista, määritä raja-arvo lim + 6 lim + 6 }{{} f () =? [ 0 0] {}}{ lim f () = lim + + + 6 = lim + = lim + ( ) ( )( ( 3)) + 3 = + 3 = 5 Esimerkki.6. Määritä funktiolle lim f () = lim f () = = lim ( ) ( )( ( 3)) + 3 = 5 5 lim ei ole olemasa! { +, 0, < 0 toispuoleiset raja-arvot lim f () ja lim f () 0 0+ 5
y y = + y = Kuva 3: Ei raja-arvoa vaan pelkästään toispuoleiset raja-arvot pisteessä = 0 Esimerkki.7. Määritä raja-arvot a) b) c) + 3 lim ± 3 + 5 lim ( + ) lim + + a) + 3 lim ± 3 + 5 = lim ± = lim ± = 3 ( + 3 ) ( 3 + 5 ) 0 {}}{ + 3 + 3 }{{} 0 0 {}}{ 3 6
b) lim ( + ) ( = lim + )( + + ) + + ( = lim + ) + + + = lim + + = lim + + = lim ( ) + + = lim + + = lim = lim = lim ( + ) + + = + 0 + + + }{{} 0 + =.3 Jatkuvuus Funktio f on jatkuva välillä [a,b], jos ja vain jos lim c f () = f (c) c ]a,b[ ja lim a+ f () = f (a) sekä lim b f () = f (b). Jatkuvuuden määritelmästä seuraa että: Olkoon f suljetulla välillä [a,b] jatkuva. Tällöin ) Maksimi-minimilause: f saa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvon kaikki niiden välissä olevat arvot ) Väliarvolause: jos s on f (a):n ja f (b):n välissä, niin on olemassa c [a, b] siten että f (c) = s 7
y maksima s minima a c b Kuva 4: Väliarvolausetta havainnollistava kuva On hyvä huomata että edellä käsiteltiin jatkuvuutta suljetulla välillä. Jos tiedettäisiin vain että funktion f on jatkuva välillä ]a,b[, voi f käyttäytyä hyvinkin erikoisesti pisteiden a ja b läheisyydessä. Funktion laajentaminen jatkuvaksi. Jos raja-arvo lim a f () on olemassa äärellisenä mutta a / D( f ) ei ole määritelty pisteessä a, luonnollinen ajatus on tehdä laajennus { f (), D( f ) F() = lim t a f (t), = a Tällöin jos f () oli jatkuva määrittelyjoukossaan, on myös F() jatkuva. Esimerkki.8. Jos mahdollista, laajenna seuraavat funktiot a) b) siten että ne ovat jatkuvia koko R:ssä. b) f () = + 6 g() = g() = lim = lim D(g) = R\{} ( ) ( ) = lim = 8
funktio { h() = { = g(), lim g(t), =,, = on jatkuva..4 Asymptootit Kuvaajalla y = f () on pystysuora asymptootti = a, jos vaakasuora asymptootti y = L, jos lim f () = ± tai lim f () = ± tai molemmat a a+ lim f () = L tai lim vino asymptootti y = a + b, jos lim ( f () (a + b) ) = 0 tai lim f () = L tai molemmat ( f () (a + b) ) = 0 tai molemmat Käytännön sovelluksissa esiintyy erityisesti vaakasuoria asymptootteja hyvinkin usein, esimerkiksi kun tutkitaan mitä tilaa kohti jokin systeemi (esimerkiksi sekoitustankkien konsentraatio) ajan myötä lähestyy. Toisaalta jos tarkasteltava suure muunnetaan toiselle mitta-asteikolle niin sillä voi olla vino asymptootti josta esim. kulmakerroin saattaa kiinnostaa..5 Derivaatta y Tangentti y = f () (a, f (a) a Kuva 5: Tangentteja Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta eli funktion kuvaajan jyrkkyyttä voidaan mitata tangentin kulmakertoimella (jos olemassa) eli derivaatan arvolla (katso kuva 5). 9
Sekantin kulmakerroin eli erotusosamäärä y f ( + h) f () =. Kun h pienenee, lähestyy sekantin h kulmakerroin tangentin kulmakerrointa. Jatkuvan funktion f derivaatta (funktio) kohdassa, merkitään f (), on tangentin kulmakerroin eli raja-arvo f f ( + h) f () () = lim, () h 0 h jos raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan että f on differentoituva kohdassa. Derivaatan määritelmästä seuraa että funktiolle f pisteeseen = a asetettu tangenttisuoran yhtälö on y f (a) = f (a)( a) ja normaalisuoran yhtälö on y f (a) = f ( a) (katso kuva 6). (a) y normaali y = + 4 tangentti y = (4,) y = 8 4 Kuva 6: Tangentti ja normaali Kuvassa 7 on esitetty tyypillisiä tapauksia funktioista jotka eivät ole differentoituvia jossain pisteessä (tässä tapauksessa origossa). 0
y y y = y = y = (, ) (, ) (, ) (, ) y (,) y = 3 (-,-) Kuva 7: Funktioita, jotka eivät ole differentoituvia origossa ) Ei yksikäsitteistä tangenttia (kärki) ( f (0) = f +(0) = ) ) Ei raja-arvoa (± ) 3) Tangenttisuora pystysuora ( f () = ) Erilaisia derivaattafunktion merkintöjä: f () = D f () = y = dy d = d f (), jne d Derivaattafunktion arvojen merkintöjä kohdassa = a: f (a) = D f (a) = y (a) = dy = d d =a d f () =a Esimerkki.9. Määrää funktion f () = + pisteeseen (,5) asetetun tangentin yhtälö ja tangentin yhtälö, joka kulkee origon kautta.
Esimerkki.0. Etsi asymptootit funktioille a) f () = (+)( ) b) g() = 4 e. b) Ei pystysuoria asymptootteja g() = 4 e lim (g() (a + b)) = lim (4 e (a + b)) = lim ((4 a) = Kasvaa nopeiten {}}{ e b) ei löytynyt (vielä) vinoa symptoottia lim (g() (a + b)) = lim =0 0 {}}{ ((4 a) e b) { 4 a = 0 a = 4 b = 0 b = 0.6 Funktion ääriarvot y y = f () a 3 4 5 6 b Kuva 8: Kuvaaja, jossa erilaisia ääriarvokohtia. D( f ) = [a,b] Kuvassa 8 : Lokaalit maksimikohdat: a,, 4, 6 Lokaalit maksimiarvot: f (a), f ( ), f ( 4 ), f ( 6 )
Lokaalit minimikohdat:, 3, 5,b Lokaalit minimiarvot: f ( ), f ( 3 ), f ( 5 ), f (b) Absoluuttiset eli globaalit maksimikohdat: Absoluuttiset eli globaalit maksimiarvot: f ( ) Absoluuttiset eli globaalit minimikohdat: 3 Absoluuttiset eli globaalit minimiarvot: f ( 3 ) Välillä I jatkuva funktio voi saada ääriarvoja vain seuraavissa pisteissä: Väliin I kuuluvat päätepisteet Kriitiset pisteet ( f () = 0) Singulaaripisteet ( f () ei määritelty) Suljetulla välillä jatkuva funktio saa siis suurimman ja pienimmän arvonsa. Esimerkki.. Piirrä kuvaaja sellaiselle funktiolle joka saa välillä [, 4] suurimman arvonsa mutta jolla ei ole pienintä arvoa. Esimerkki.. Olkoon f () = sin() + cos(). a) Etsi f :n kaikki kriittiset pisteet, b) Määritä funktion pienin ja suurin arvo välillä [ 0, π ] 3. f () = sin() + cos() f () = cos() sin() f on kaikkialla määritelty joten ei ole singulaaripisteitä. Kriittiset pisteet eli derivaatan nollakohdat: f () = 0 cos() sin() = 0 = sin() cos() = tan() tan () = + π n = tan () πn ;n Z 3
y P Kuva 9: P = (,tan()) b) Tarkasteuväli [0, π 3 ] Kriittisistä pisteistä tarkasteuvälillä on vain = tan () f () 0 tan () + π 3 f maksimipiste (globaali) Kuva 0: Merkkitaulukko ( f π ) ( 4 f π ) = cos ( π = cos 4) ( π sin 4) ( π ) ( π ) sin = = > 0 = 0 = < 0 Pienimmän arvon löytämiseksi täytyy laskea arvot päätepisteissä f (0) = sin(0) + cos(0) = f ( π ( ) ( ) ( ) ( π π 3 3 ) = sin + cos = + ) = 3 3 3 > pienin arvo pisteessä 0 4
Esimerkki.3. Määritä funktion p() = /3 + ( ) /3 lokaalit maksimi ja minimiarvot välillä [,]. Esimerkki.4. Määritä funktion f (a) = log a (e) + ln(a) lokaalit ja globaalit minimit ja maksimit joukoissa a) ]0,[, b) ],e[ c) D( f ). f (a) = log a (e) + ln(a) f (a) = = ln(e) ln(a) + ln(a) = ln(e) (ln(a)) + ln(a) {}}{ ln(e) ( )(ln(a)) a + a = a ( (ln(a)) ) Kriittiset pisteet eli derivaatan nollakohdat f (a) = 0 (ln(a)) = 0 (ln(a)) = (ln(a)) = ln(a) = ± e ln(a) = e ± a = e ± f (a) ei olisi määritelty pisteissä a = 0, a 0 ja ln(a) = 0 a = Sattuvat olemaan samat pisteet kuin missä f ei ole määritelty eli D( f ) = {a R a > 0 ja a } =]0, [\{} Hahmotellaan f :n kuvaaja: f (e ) = f (e) = ln(e) ln(e) + ln(e ) = + = f (e ) = ln(e) ln(e ) + ln(e ) = ln(e) ln(e) + ( )ln(e) = = 5
ln(a) a Kuva : ln(a) 0 {}}{ ln(e) {}}{ lim f (a) = lim a 0+ a 0+ ln(a) + ln(a) = {}}{ 0 ln(e) {}}{ lim f (a) = lim a a ln(a) + ln(a) = {}}{ 0 ln(e) {}}{ lim f (a) = lim a + a + ln(a) + ln(a) = 0 {}}{ ln(e) {}}{ lim f (a) = lim a a ln(a) + ln(a) = 6
y 0 9 8 7 6 5 4 3 0 - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 0 e 3 4 e Kuva : Minimat ja maksimat a) Globaali maksimi pisteessä e, saa mielivaltaisen pieniä arvoja, sanomme että minimipistettä ei ole. b) Ei ole maksimia eikä minimiä (avoimet välit!) c) Lokaali maksimi pisteessä e Lokaali minimi pisteessä e Ei ole globaaleja miniejä tai maksimeja.7 Konkaavisuus y a b c Kuva 3: Konkaavisuus 7
Kuva 3 esittää konkaavisuuden käsitettä graafisesti: funktio f on konkaavi ylöspäin välillä (a, b) ja konkaavi alaspäin välillä (b,c). Kaavatasolla konkaavusuus määritellään seuraavasti: Jos f () > 0 välillä I, niin f on konkaavi ylöspäin välillä I. Jos f () < 0 välillä I, f on konkaavi alaspäin välillä I Piste 0 on f :n käännepiste, jos a) f ( 0 ) on olemassa (tai f ( 0 ) = ) ja b) f :n konkaavisuus muuttuu kohdassa 0 Huomaa että jos 0 on f :n käännepiste ja f ( 0 ) on olemassa, niin f ( 0 ) = 0. Kuitenkaan f ( 0 ) ei tarvitse välttämättä olla olemassa jotta 0 olisi käännepiste. Konkaavisuutta voidaan käyttää hyväksi myös kriittisiä pisteitä luokiteltaessa: Jos f ( 0 ) = 0 ja f ( 0 ) > 0 niin 0 on lokaali minimipiste. Jos f ( 0 ) = 0 ja f ( 0 ) < 0 niin 0 on lokaali maksimipistepiste. Esimerkki.5. Etsi funktion f () = 4 3 + a) Lokaalit ääriarvot b) Välit, joilla konkaavisuus ylöspäin ja alaspäin c) Käännepisteet. f () = 4 3 + a) Kriittiset pisteet f () = 4 3 6 = (4 6) f () = 0 = 0 tai 4 6 = 0 eli = 0 tai = 3 Singulaaripisteitä ei ole (D( f ) = R) 8
0 3 f () + f min Kuva 4: Merkkitaulukko (Globaali) minimiarvo on a) f ( 3 ) = ( 3 ) 4 ( ) 3 + f () = = ( ) 0 f () f + + Kuva 5: Merkkitaulukko f () on konkaavi ylöspäin kun ], 0[ ], [ f () on konkaavi alaspäin kun ]0,[. c) Käänteispisteet = 0 ja = Derivoimistekniikoita. Peruskaavoja derivointiin Alla on listattu sellaisia derivoinnin peruskaavoja jotka täytyy osata ulkoa jotta uusien, lukiotietouden yli menevien, asioiden opiskelu on sujuvaa. Summalausekkeen termit voidaan derivoida erikseen ja vakiokerroin ei vaikuta derivoitaessa, eli ( f ± g) () = f () ± g (), (c f ) () = c f (). Tulon derivoimiskaava: Osamäärän derivoimiskaava: ( f g) () = f ()g() + f ()g () ( ) f () = f ()g() f ()g () g g() 9
Yhdistetyn funktion derivoimiskaava: ( f g) () = D f ( g() ) = f ( g() ) g () Potenssifunktion derivoimiskaava (ja muutama erikoistapaus) d d r = r r, Trigonometristen funktioiden derivaatat: d = d, d d = d d sin = cos, d cos = sin d Luonnollisen logaritmin derivaatta: d d ln() = Eksponenttifunktion derivaatta: d d e = e Edellisten avulla saadaan myös helposti johdettua lisää derivoimissääntöjä. Esimerkki.. Osoita yhdistetyn funktion derivoimissäännön avulla että käänteisfunktion derivaatalle pätee kaava ( f ) () = f ( f ()). Osoita nyt tämän kaavan avulla että d d e = e. Esimerkki.. a) Olkoon f () = +. Laske ( f ) (/). b) Olkoon f () = 3 +. Laske ( f ) ( ). b) 00 80 60 40 0 y 0-0 -8-6 -4-0 4 6 8 0-0 -40-60 -80-00 Kuva 6: f () = 3 + 0
f () = 3 + ( f ) ( ) =? = f ( f ( )) f () = d d () 3 + + d d ( 3 + ) = 3 + + (3 + ) f ( ) = a f ( f ( )) = f (a) ( ) = f (a) = a 3 + a ( ) = a (3 + a ) (a ) + 3a 4 = 0 = 4 }{{} tai = a ei käy! a = 3 ± 3 4 ( 4) = 3 ± 5 = 3 ± 5 f ( ) Siis a = a = ± Testataan mikä näistä toteuttaa yhtälön ( ) a = = 3 + = epätosi a = ei kelvannut a = = = OK 3 + a = kelpaa
f ( f ( )) = f (a) = f ( ) = 3 + ( ) + ( ) (3 + ( ) ) ( ) = ( ) = + = 5 ( f ) ( ) = 5 = 5 y 3 0-0.5 0 0.5.5 Kuva 7: ( ) 4 d ( ) 4 d =? = ( ) 4 }{{} vakio! = ( ) 4 d ( ( ) 5 ) +C 5 = 0 ( )5 + C }{{} C = 0 ( )5 + C d. Logaritminen differentiointi Jos funktio f () on muotoa f () = g ()g () g n () = n i= g i ()
niin derivaatan laskeminen on työläs prosessi peruskaavalla D(g()h()) = g ()h()+h ()g(). Laskentaa voidaan usein helpottaa ottamalla (luonnollinen) logaritmi puolittain. Logaritmin puolittain ottaminen voi auttaa myös tilanteessa jossa f on muotoa f () = g () g (), g () > 0 Esimerkki.3. Laske f () ja f ( ) kun f () = (+)(+)(3+) 4+ f () = ( + )( + )(3 + ) (4 + ) ( ) ( + )( + )(3 + ) ln( f () ) = ln (4 + ) = ln( ( + )( + )(3 + ) ) ln( 4 + ) = ln( + ) + ln( + ) + ln( 3 + ) ln( 4 + ) Derivoidaan nyt puolittain f () f () = + + + + 3 + 4 + ( f () = f () + + + + 3 3 + 4 ) 4 + ( f () = f () + 3 + 3 4 4 ) 5 = 3 4 ( 5 + 3 + 3 4 4 ) 5 ln f ( ) =? g() {}}{ ( + )(3 + ) f () = ( + ) 4 + {}}{ f d ( ) = d ( + ) g() + ( + ) g () f ( ) = g( ) + ( + ) g ( ) }{{} 0 = g( ) = ( ( ) + )(3 ( ) + ) 4 ( ) + = 3 Esimerkki.4. Laske f (t) kun f (t) = (sint) ln(t), 0 < t < π. 3
0 < t < π f (t) = (sin(t)) ln(t) }{{} >0 ln( f (t)) = ln ((sin(t)) ln(t)) = ln(t) ln(sin(t)) Derivoidaan puolittain f (t) f (t) = t ln(sin(t)) + ln(t) sin(t) cos(t) ( ) ln(sin(t)) f ln(t) cos(t) (t) = f (t) + t sin(t) = (sin(t)) ln(t) ( ln(sin(t)) t + ln(t) cos(t) sin(t) ) ln.3 Implisiittinen differentiointi Tarkastellaan y-koordinaatiston käyrää jolle voidaan kirjoittaa lauseke, esim. ympyrää ( ) + y = 4. Jos nyt ajatellaan että käyrä määrittelee jonkin funktion, niin selvästi ehdokkaita on oleellisesti kaksi erilaista: y () = 4 ( ) ja y () = 4 ( ). Tasokäyrän voidaan siis ajatella määrittävän joukon funktioita (tai toisin päin: joukko funktioita määrittää tasokäyrän). Niillä alueilla joissa käyrä on sileä, derivaatta voidaan ratkaista implisiittisesti differentioimalla, eli derivoimalla käyrän lauseketta puolittain ja muistamalla että y = y(). Derivaatan lauseke sisältää yleensä myös termejä joissä esiintyy y. Derivaatta kuvasi tangentin kulmakerrointa. Mikäli tasokäyrän ei tiedetä olevan sileä, ei implisiittisesti differentioimalla saatu derivaatan arvo välttämättä kuvaa tangenttisuoran kulmakerrointa (koska suoraa ei edes ehkä ole olemassa!). Sillä voi olla kuitenkin jotain muuta geometrista merkitystä. Implisiittisen differentioinnin sovelluksia ovat mm. Käyrän kuvaajan hahmottaminen Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen Esimerkki.5. a) Määritä y () kun y noudattaa käyrää ysin() = 3 + cos(y). b) Määritä y kun y noudattaa käyrää y + y =. c) Määritä käyrän ( ) pisteeseen ( 0, π ) muodostetun tangentin yhtälö. a) 4
y = f () y () = f () =? ysin() = 3 + cos(y) f ()sin() = 3 + cos( f ()) f ()sin() + f ()cos() = 3 sin( f ()) f () f ()(sin() + sin( f ())) = 3 f ()cos() f () = 3 f ()cos() sin() + sin( f ()) d d ( ) ( ) c) Tangentin kulmakerroin on f (0) = 3 0 f (0) cos(0) sin(0) + sin( f (0)) = f (0) sin( f (0)) = π sin ( π ) = π Tangentin yhtälö y π = π ( 0) Mikä on tangentin kulmakerroin pisteessä (0, 3π )? Sijoitetaan kaavaan ( ) = 0, f () = 3π f (0) = 3 0 3π (0) sin(0) + sin ( 3π ) b) = 3π = 3π ( )y + y = y + y + y y = y ( + y) = y ( )y = y + y ( )y = (0 y ) ( + y) ( y) ( + y ) ( + y) d d d d 5
Esimerkki.6. a) Määritä käyrälle = y mitä on y (0) implisiittistä differentiointia käyttäen. b) Määritä käyrälle = y 4 mitä on y (3) kun tiedetään että y < 0. Käytä implisiittistä differentiointia. Missä pisteissä kyseisellä käyrällä on pystysuora tangentti? Määritä lisäksi y ja y niissä pisteissä joissa y =. = y y Kuva 8: = y y (0) ei taida olla määritelty koska argumentti () ei voi saada negatiivisia arvoja joita derivaatan määritelmässä voisi esiintyä: jos y = f () f (0) = lim h 0 f (0 + h) f (0) h Ongelma kun h on pieni negatiivinen luku. Lasketaan siis vaikka lim 0+ f () = y { y,y 0 d = y,y < 0 d { = y y,y 0 y ( y ),y < 0 { = y y,y 0 = y ( y ),y < 0 { y = y,y 0 y = y,y < 0 Periaatteessa kumpikin kaava tutkittava erikseen (liittyvät erilaiseen funtioon y = f ()). Kun 0+ niin kaavassa y 0 ja kaavassa y < 0 y 0 ( ) y 0 + ( ) 6
( ) lim 0+ f () = lim 0+ y = lim y = 0 = 0 0+ ( ) lim f () = lim y 0+ 0+ = lim y 0 y = 0 = 0 b) = y 4 = y y 0 d d y = y (y 0) y (3) =? siis = 3 3 = y 4 y = ± 7 On annettu ehto y < 0 y = 7 y (3) = ( 7) Mahdolliset pystysuorat tangentit niissä pisteissä 0 joissa lim 0 + f () = ± Nyt tälläinen ehdokaspiste on y = 0 eli 0 = 0 4 = 4-4 = y 4 Kuva 9 7
Laske y () niissä pisteissä joissa y = ( ) + = = y () = + = 3 3 Integraali Laske y () samassa pisteessä y () = 3. Määräämätön integraali ( 0 3 ) ( + ) ( ) ( + 3 ) = 5 3 9 = 8 7 ( + ) Derivoinnin käänteisoperaatiota kutsutaan integroinniksi. Funktion f () (määrämätöntä) integraalia merkitään f ()d = F() +C, Missä F () = f () jokaiselle ja C on (integroimis) vakio. Integraali ei siis ole aivan yksikäsitteinen koska vakio C voi vaihdella. Derivaatalle pätee f ()d = f () +C. Helpoimmat integraalit voi laskea suoraan ajattelemalla Mitä funktiota pitäisi derivoida jotta saataisiin tämä lauseke?. Vaikeampien integraalien kohdalla tähän tuskin moni pystyy. Alla muutamia perusintegraaleja jotka olisi hyvä muistaa ulkoakin. ) D( f ()d = f () (a f () ± bg())d = a r d = r+ +C,r r + sind = cos +C cosd = sin +C f (g())g ()d = F(g()) +C f ()d ± b g()d Kaavakirjoista (erityisesti Beta) löytyy useita integroimiskaavoja hankalammille tapauksille ja A kurssilla opitaan erilaisia integroimistekniikoita. Useinkaan ääriarvojen etsinnässä ei riitä että osaa vain derivoida sillä lähtötiedot ovat usein muodossa joka johtaa siihen että myös integrointitaitoja tarvitaan. 8
Esimerkki 3.. Määritä funktion 6 3 + integraali. Mikä on integroimisvakio jos integraalifunktio kulkee pisteen (0,) kautta? Esimerkki 3.. Ajan hetkellä t piste P liikkuu y-akselilla nopuedella 5t ja piste P liikkuu - akselilla nopeudella 5t. Kun t = 0 niin P on origossa ja P on pisteessä 0 positiivisella - akselilla. Minä ajan hetkellä t [0, 5] pisteiden välimatka on suurimmillaan? Pienimmillään? y P = (0, f (t)) t = 0 0 P P = (g(t),0) P Kuva 0: Pisteet Pisteiden välinen etäisyys s(t) = ( f (t)) + (g(t)) Minimi ja maksimi löytyy derivaatan nollakohdasta tai välin päätepisteistä ([0,5]) s (t) = (( f (t)) + (g(t)) ) d dt (( f (t)) + (g(t)) ) s (t) = 0 = (( f (t)) + (g(t)) ) (( f (t)) f (t) + (g(t)) g (t)) = f (t) f (t) + g(t) g(t) ( f (t)) + (g(t)) f (t) f (t) + g(t) g (t) = 0 Tiedämme että { g (t) = 5t f (t) = 5t (nopeus on paikan derivaatta) g(t) = = g (t)dt 5t dt = 5t +C = 5 t +C 9
f (t) = = f (t)dt 5t dt = 5 t +C Tiedämme että { g(0) = 0 f (0) = 0 5 0 +C = 0 5 0 +C = 0 { C = 0 C = 0 y 0 9 8 f() 7 6 5 4 3 g() 0 - - 0 Kuva : f () = 5 ; g() = 5 + 0 f (t) f (t) + g()g (t) = 0 ( 5 t + 5 ) t 0 = 0 (5t 0) = 0 5t = 0 tai 5t 0 = 0 t = 0 t = ± Lasketaan nyt s:n arvo päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. 30
s(0) = ( f (0)) + (g(0)) (5 ) ( = 0 + 5 0 + 0 = 0 ) s( ) = ( f ( )) + (g( )) (5 = ) ( + 5 + 0 = 5 + 5 = 5 ) s(5) = ( f (5)) + (g(5)) (5 ) ( = 5 + 5 ) 5 + 0 (5 ) ( = 5 + 5 ) 5 5 5 0 + 0 = 56 + 0 5 3 0 53 >> 5 Välimatka pienimmillään kun t = 3. Määrätty integraali Esitämme määrätyn integraalin määritelmän geometrisesti helposti tulkittavassa muodossa (joka ei ole aivan yleisin mahdollinen). Olkoon f jatkuva välillä [a,b]. Jaetaan väli [a,b] n yhtäsuureen osaan i :n mittaiseen osaan: a = 0 < < <... < n < n = b Olkoon u i [ i, i ] sellainen, että f (u i ) on f :n maksimiarvo tällä välillä ja l i [ i, i ] sellanen, että f (l i ) on f :n minimiarvo tällä välillä. Merkitään: S ala = S ylä = n i= n i= f (l i ) i f (u i ) i S ala S ylä Jos jokaisen välin [a,b] jaolle pätee S ala I S ylä, 3
sanotaan, että se on integroituva välillä [a,b] ja on f :n määrätty integraali yli välin [a,b] Huom! b a Huom! Merkintä I = I = b f () d ei aina ilmaise pinta-alaa! b a a f ()d f ()d voidaan tulkita seuraavasti: di = f ()d on pinta-ala-alkio, missä d on ääretömän ohut viipale, jonka korkeus on f (). Kun välillä [a, b] summataan pinta-ala-alkiot saadaan b a f () d. Joskus integroimisrajojen a ja b kääntäminen voi olla hyödyllistä: b a a f ()d = f ()d b Tämä seuraisi suoraan jos määritelmä kirjoitettaisiin hieman yleisemmässä muodossa ilman a < b oletusta. 3.3 Määrätyn integraalin arvon laskeminen summaamalla Määrätty integraali voidaan laskea mm. summaamalla suorakaiteiden pinta-aloja yhteen ja pienentämällä suorakaiteiden leveyttä. Tämä vaatii yleensä hankalien summalausekkeiden sieventelyä. Summamerkinnästä ja summasäännöistä: 0 i=0 n i= i = 0, n i= n i= a i = a + a +... + a n i= a b i = a i =, (a i + b i ) = n b i i= i= n i= i = + jne (a vakio) a i + n b i i= Eräitä summakaavoja (voidaan todistaa mm. matemaattisella induktiolla) n i= n i= n i= = + + +... + = n i = + +... + n = i = + + 3 +... + n = n(n + ) n(n + )(n + ) 6 3
n i= r i = + r + r +... + r n = rn r, r Monet numeeriset integroimistekniikat pohjautuvat samoihin ajatuksiin mutta antavat vain likimääräisiä arvoja integraaleille koska suorakaiteen leveys (usein kutsuttu askelpituudeksi) ei voi olla mielivaltaisen pieni. Esimerkki 3.3. Esimerkki: Laske paraabelin y =, suoran = b ja -akselin välinen pintaala ja määrätty integraali b 0 d. 3.4 Määrätyn integraalin laskeminen määräämättömän integraalin avulla Kuinka laskea määrätty integraali jos ei tunneta sopivia summakaavoja? Lause 3.. Analyysin peruslause Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja F jokin funktion f integraalifunktio (F () = f ()) välillä (a,b). Tällöin b a f ()d = / b a F() = F(b) F(a) ja d f (t)dt = f (). d a Edellisessä myös äärettömät integroimisrajat ja epäjatkuvat funktiot kelpaisivat tietyin reunaehdoin. Tällöin puhutaan epäoleellisista integraaleista. Näihin palataan muilla kursseilla. Esimerkki 3.4. Määritä seuraavat integraalit. a) ( + )d, b) 3 ( + )d, c) d. a) d) 0 d 3π/,e) 0 π/ cos d, f ) 4cos()( + sin()) d. π/4 = = / ( + )d ) ( + ) ) ( + ( ) ( + =4 0 = 4 TAPA : Pinta-alatulkinnalla 33
y 3 + A 0 -A - 0 Kuva : + ( + )d = A A = 3 3 = 9 = 8 = 4 b) = = 3 / ( + )d + 3 ( + = = 0 ) ) ( 3 + ( 3) y A + 0-3 - - 0 A - - Kuva 3: 3 + 34
3 ( + )d = A A = A A = 0 c) = = = / d e ln() d e ln() d e ln() =e ln() ln() ln() e ln() = ln( ln() = A ln() y A 0-0 Kuva 4: e) 3π 0 cos() d 3π π = cos()d + cos()d π 0 / π / 3π = sin()0 sin 0 =sin π ( π ) sin(0) + ( ) sin = 0 + ( ) ( ) + = 3 ( ) 3π ( π ( ) sin ) TAPA : 35
Pinta-alatulkinta ja symmetria. y cos() A A A 3 0 π π cos() 3π Kuva 5: cos(), cos() 3π 0 cos() d = A + A + A 3 = 3A = 3 π 0 / π = 3 = 3 cos()d 0 sin()d ( sin ( π ) sin(0) = 3 ( 0) = 3 ) Esimerkki 3.5. a) Mitä on f () kun f () = 0 f (t)dt? b) Mitä on H () kun H() = 3 c) Määritä funktion f () = 0 cos b) 4 e t dt? ( +t ) dt minimi- ja maksimikohdat. H () =? H() = 3 H () = 3 4 4 e t dt e t dt + 3 d d ( ) e t dt 4 Toisaalta jos G(t) on funktion g(t) integraalifunktio niin G (t) = g(t) ja näin ajatellen saadaan d e t dt = d / d d G(t) = d 4 d (G( ) G(4)) = G ( ) 0 = g( ) = e 4 }{{} g(t) Sijoittamalla tämä H ():n lausekkeeseen saadaan H () = 3 4 e t dt + 3 e. 36
ja näin ollen c) H () = 3 e t dt + 3 e = 3 0 + 4e = 4e 4 f () on aina määritelty ei singulaaripisteitä. Kriittiset pisteet: f () = = 0 / 0 ( ) cos +t }{{ dt } g(t) G(t) = G( ) G(0) f () = G ( ) ( ) 0 = g( ) ( ) ( ) = cos + ( ) }{{ ( ) } >0 f () = 0 ( ) cos + ( ) = 0 tai = 0 = eikä muita ratkaisuja α {}}{ 0 < + ( ) ja cos(α) 0 kun α [0,] f () + f maksimipiste Kuva 6: Merkkitaulukko 3.5 Pinta-alojen laskenta määrätyn integraalin avulla Funktion kuvaajan ja -akselin väliin jäävä pinta-ala: 37
Jos f () 0 niin -akselin ja suorien = a ja = b väliin jäävä pinta-ala on b a f ()d Jos f () 0 niin -akselin ja suorien = a ja = b väliin jäävä pinta-ala on b a f ()d. Jos f () vaihtaa merkkiä tarkasteluvälillä, niin pinta-ala on b a f () d. Siis integraali pitää jakaa osiin. Esim. jos f () > 0 kun < c ja f () 0 kun c niin pinta-ala on c a f ()d b c f ()d. Kahden funktion rajoittama pinta-ala: Jos f () g() niin pinta-ala on b a ( f () g())d. Jos f () g() ei päde koko välille [a,b] niin pinta-ala on b a f () g() d. Siis integraali täytyy jakaa osiin sen mukaan onko f () g() positiivinen vain negatiivinen kyseisillä väleillä. Esimerkki 3.6. a) Laske suorien =, =, -akselin ja käyrän y = 3 rajoittama pintaala. b) Laske käyrän y = 3 ja tämän pisteeseen (,) asetetun tangentin rajoittama pinta-ala c) Laske funktioiden f () = sin() ja g() = cos() väliin jäävä pinta-ala kun [0,π]. d) Laske käyrien = y ja = y y rajoittama pinta-ala. Esimerkki 3.7. Määritä a siten että välillä [0,] funktioiden f () = 3 ja g() = a väliin jäävä pinta-ala olisi mahdollisimman pieni. 4 Derivaatan sovelluksia 4. Eksponentiaaliset kasvu- ja vähenemismallit Derivaatta on tärkeä työkalu kun muodostetaan matemaattisia malleja jotka kuvaavat prosesseja joita luonnossa ja tekniikassa esiintyy. Useat ilmiöt noudattavat eksponentiaalisen kasvun/vähenemisen mallia. Tässä kappaleessa tutustumme miten tähän malliin päädytään, miten sitä sovelletaan ja kuinka perusmalleja voitaisiin laajentaa. Oletetaan että y = y(t) kuvaa jonkin suureen arvoa ajan hetkellä t. Jos ajatellaan että suureen muutosnopeus on suoraan verrannollinen suureen arvoon, eli dy dt = ky, missä k on vakio. Tästä yhtälöstä on suhteellisen helppo ratkaista (teemme tämän myöhemmin) että y = Ce kt missä C on jokin vakio. Mallissa on siis kaksi parametria jotka voidaan määrittää kulloisenkin tilanteen mukaan. Usein malli on hieman monimutkaisempi kuin y = ky, missä k on vakio. Seuraavissa esimerkeissä käsitellään tapauksia joissa malli rakentuu luonnollisella tavalla muotoon y = ky, mutta k ei olekkaan vakio. 38
Esimerkki 4.. Nopeasti lisääntyvän eliöpopulaation lisääntymisnopeuden voidaan ajatella olevan suoraan verrannollinen populaation kokoon. Eräs populaatio on kolminkertaistanut lukumääränsä päivän kuluttua tarkkailun aloittamisesta. Kuinka kauan kestää että populaatio on satakertaistunut tarkkailun alkuhetkeen nähden? y(t) = eläinpopulaation koko ajanhetlellä t y = k y t 0 = tarkkailun aloittamisajanhetki 3 y(t 0 ) = y(t 0 + ) ( ) Etsitään ensin parametrille k lukuarvo. Yhtälöstä ( ) seuraa että y = Ce kt, ja soveltamalla tätä yhtälöön ( ) saadaan 3Ce kt 0 = Ce k(t 0+) 3Ce kt 0 Ce kt0 e k = 0 Ce kt 0 (3 e k ) = 0 ( ) eli C = 0 (ei kovin mielenkiintoinen sillä tällöin y(t) = 0) tai 3 e k = 0 eli k = ln(3). t = aika joka populaatiolla kestää satakertaistumiseen 00 y(t 0 ) = y(t 0 + t) 00Ce kt 0 = Ce k(t 0+ t) 00Ce kt 0 Ce kt0 e k t = 0 Ce kt 0 (00 e k t ) = 0 00 e k t = 0 00 = e k t ln ln(00) = k t t = ln(00) k = ln(00) ln(3) 8.3836 Esimerkki 4.. Sopivissa olosuhteissa uusien tartuntatautitapausten määrä on suoraan verrannollinen jo sairastuneiden määrään. Jos sairastuneita on 000 ajanhetkellä t = 0 ja ajanhetkellä t = sairastuneita on 500, niin kauanko on aikaa toimia taudin nujertamiseksi jos arvioidaan että tautia ei voida enää pysäyttää jos uusien henkilöiden hetkellinen sairastumisnopeus (eli derivaatta) on yli 00000 per aikayksikkö? Aikayksikkö olkoon tässä yksi kuukausi. y(t) = sairastuneiden lukumäärä ajanhetkellä t y (t) = ky(t) y(t) = Ce kt { y(0) = 000 y() = 500 ( ) 39
Löydettävä kriittinen ajanhetki t siten että y(t) = sairastuneiden lukumäärä ajanhetkellä t y (t) = ky(t) y(t) = Ce kt { y(0) = 000 y() = 500 ( ) y ( t) = 00000 { Ce ( ) k 0 = 000 Ce k = 500 { C = 000 Ce k = 500 000e k = 500 ( ) 500 k = ln = ln(.5) 000 ( )Ce k t k = 00000 e k t = 00000 ( Ck ) 00000 k t = ln Ck t = ln( ) 00000 Ck k ) = ln( 00 ln(.5) ln(.5) 3.6 ( ) Esimerkki 4.3. Kappaleen lämpötilan muutosnopeus on suoraan verrannollinen sen lämpötilan ja ympäristön lämpotilojen erotukseen. Verrannollisuuskertoimen voidaan ajatella riippuvan vain ympäristön ja kappaleen materiaaleista. Jos kahvikuppi jäähtyy viidessä minuutissa 80 celsiuksesta 50 celsiukseen huoneessa jonka lämpotila on 0 celsiusta, niin kuinka paljon kauemmin kestää vastaava jäähtyminen huoneessa jonka lämpötila on 40 celsiusta? y(t) = kappaleen lämpötila ajanhetkellä t T = ympäristön lämpötila (vakio) y (t) = k (y(t) T ) Merkitään u(t) = y(t) T u (t) = y (t) 0 u (t) = ku(t) u(t) = Ce kt = Ce kt + T d dt 40
. T = 0 Laitetaan kahvikuppi hetkellä t 0 huoneeseen. { y(t0 ) = 80 y(t 0 + 5) = 50 { Ce k t 0 + T = 80 Ce k(t0+5) + T = 50 { Ce k t 0 = 80 T Ce kt0 e k 5 + T = 50 (80 T )e 5k + T = 50 e 5k = 50 T 80 T k = ln( ) 50 T 80 T 5 = ln( 30 60 ) 5 = ln(0.5) 5. T = 40 k ei muutu koska tehtävänannossa sanottu että se riippuu vain materiaalista eikä lämpötilasta. { y(t0 ) = 80 y(t 0 + t) = 50 { Ce k t 0 + T = 80 Ce k(t0+ t) + T = 50 { Ce k t 0 = 80 T Ce kt0 e k t + T = 50 (80 T )e k t + T = 50 e k t = 50 T 80 T t = ln( ) 50 T 80 T k = ln( ) 0 40 ln(0.5) 5 Jäähtyminen kestää 0 5 = 5 minuuttia kauemmin. 4 = ln(0.5 ) 5 ln(0.5) = ln(0.5) 5 ln(0.5) = 0
Esimerkki 4.4. Oletetaan että ensimmäisen 0000 euron jälkeen varallisuuden y karttumisnopeus noudattaa kaavaa y = k(y)y, missä ( k(y) = 0. 0000 ) y Olkoon rahaston A varallisuus 000 euroa ja rahastojen B varallisuus on kymmenkertainen tähän nähden hetkellä t = 0. Mitä käy e.m. rahastojen varallisuuksien suhteelle kun t? y = k(y)y ( k(y) = 0. 0000 ) y ( y = 0. 0000 ) y y = 0.(y 0000) ( ) TAPA Merkitään y(t) 0000 = u(t) y (t) 0 = u (t) u (t) = 0.u(t) u(t) = Ce 0.t Ce 0.t + 0000 TAPA y = 0.(y 0000) y 0000 y = 0. y(t) 0000 y (t)dt = 0.dt g(y(t))y (t)dt = 0.dt dt G(y(t)) +C = 0.t +C ln( y(t) 0 4 ) = 0.t +C C }{{} C 3 y(t) 0 4 = e 0.t+C 3 = e 0.t e C 3 }{{} C 4 4
Tehtävässämme y ei ole koskaan alle 000. Ratkaise A y(t) 0 4 > 0 y(t) 0 4 = C 4 e 0.t y(t) = C 4 e 0.t + 0 4 y A (t) = C A e 0.t + 0 4 y A (0) = 000 = C A + 0 4 C A = 000. Ratkaise B y B (t) = C B e 0.t + 0 4 y B (0) = 000 0 = C B + 0 4 C B = 000 0 0 4 = 0000 y A (t) lim t y B (t) = lim C A e 0.t + 0 4 t C B e 0.t + 0 4 Esimerkki 4.5. Ratkaise y():n lauseke kun y () = p()y(), missä p() = +, y(0) = ja [0,5]. y () = p()y() y() y () = p() (y 0) y() y ()d = p()d }{{} + ln( y() ) +C = ( + ) +C ln( y() ) = ( + ) +C C }{{} C 3 y() = e (+) e C 3 }{{} C 4 >0 Nyt alkuehto y(0) = olemme kiinnostuneet positiivisista y:n arvoista y() = e (+) C 4 y(0) = e (0+0) C 4 = C 4 = y() = e (+ ) 43
4. Lineaariset approksimaatiot Jos differentioituvalle funktiolle muodostetaan tangenttisuora pisteeseen a, niin silloin tämän suoran lähistöllä suora ja funktion kuvaaja kulkevat melko. Kutsummekin pisteessä a muodostettua tangenttisuoraa funktion f pisteessä a muodostetuksi lineaariseksi approksimaatioksi ja merkitään tätä suoraa vaikkapa funktiona L(). Siis L() = f (a) + f (a)( a) Jos f on kahdesti derivoituva niin pätee missä E() on jäännöstermi eli virhetermi f () L() = E(), E() = f (c ) ( a). Piste c [a,] mutta yleensä emme tunne tälle täsmällistä arvoa. Virhetermin avulla voidaan kuitenkin arvioida kuinka suuria ovat approksimaatiossa tapahtuvat virheet. Lineaaristen approksimaatioiden käyttö on varsin yleistä myös kun arvioidaan funktion arvon vaihtelua jos funktion muuttujan arvosta ei olla aivan varma vaan sille on annettu jonkinlainen varmuusväli. Edellisten esimerkkien kaltaiset arviot ovat siinä mielessä hieman typeriä että voisimme toki tutkia funktioiden arvot täsmällisestikin käyttämällä derivaatan merkkitaulukkoa apuna. Silloin kuitenkin pitää etsia derivaatan nollakohtia, joka on haastava (numeerisesti ratkaistava) ongelma jos lauseke on hankalampi. Useamman muuttujan funktioiden tapauksessa tarkkojen arvioiden tekeminen muuttuu yhä haastavammaksi ja tällöin lineaariset approksimaatiot ovat yhä houkuttelevampia työkaluja vaikkeivat siis tarjoakkaan välttämättä kuin karkeita arvioita. Esimerkki 4.6. Anna estimaatti funktion sin() arvolle pisteessä 0. käyttämällä a). asteen Taylorin polynomia (linearisaatioita), b) Annan virheelle ylärajat a) ja b) kohdissa. c) Näytä lineaarisen approksimaation avulla että lim 0 sin()/ =. f () = sin() f () = cos() f (0.)? jos ja a ovat toisaan lähellä niin L() = f (a) + f (a)( a) f () L() f (0.) L(0.) = f (a) + f (a)(0. a) valitaan a = 0 = sin(0) + cos(0)(0. 0) ( ) = 0 0. = 0. b) 44
f () = sin() virhe = f (0.) L(0.) =E(0.) = f (C 0. ) (0. 0) = sin(c 0. ) 0.005 Tiedämme että ja että sin() aina. C 0. [0,0.] virhe = sin(c 0. ) 0.005 = 0.005 sin(c 0. ) 0.005 L(0.) 0.005 f (0.) L(0.) + 0.005 0.095 f (0.) 0.05 ( ) Jos tahdotaan analysoida tarkemmin niin täytyy tuntea f :n käyttäytyminen paremmin. Eli selvitetään vähän tarkemipi arvio luvulla sin(c 0. ) y (cos(α),sin(α)) α Kuva 7: Yksikköympyrä sin(α) on kuvassa funktio välillä α [0, π ] sin(c 0. ) sin(0.) 0.05 sin(c 0. ) sin(0) = 0 45
virhe = sin(c 0. ) 0.005 0.05 0.005 virhe = sin(c 0. ) 0.005 0 0.005 = 0 Virhe on itse asiassa aina negatiivinen tai nolla eli L(0.) f (0.) eli L(0.) 0.05 0.005 f (0.) L(0.) 0. 0.05 0.005 f (0.) 0. 0.0995 f (0.) 0. c) f () = sin() f () = sin() a=0 sin() f () lim = lim 0 0 = lim 0 L() + E() f (0) + f (0)( 0) E() = lim 0 0 + + f (C) ( a) = lim 0 = lim 0 + f (C ) }{{ } [, ] = Esimerkki 4.7. Tutkitaan kappaletta joka liikkuu -akselilla. Ajanhetkellä t = 0 kappaleen nopeudeksi on mitattu 5 ja kappale pisteessä 0. Arvioi lineaarisen approksimaation avulla missä pisteessä kappale on ajanhetkellä t = 0. Kappaleeseen massa on 3 ja siihen vaikuttavista voimista tiedetään vain että niiden summa on itseisarvoltaan alle. Anna varmuusväli sille missä kappaleen paikka on varmasti ajanhetkellä t = 0.. P = ( f (t),0) Kuva 8 f (0) = 0 f (0) = 5 m = 3 } valitaan a = 0 46
kokonaisvoima < ( voima = massa kiihtyvyys ) f (t) = voima massa < 3 f (0.) L(0.) = f (a) + f (a)(0. a) = f (0) + f (0)(0. 0) = 0 + 5 0. = virhe = E(0.) = f (C 0. ) (0. 0) = f (C 0. ) 0.0 < 0.04 0.0 = 3 3 Lisäkysymys: Jos ei olla aivan varma mitä nopeus on ollut (eli vaikka käytössä hieman epäluotettava tutka) vaan tiedetään vain että nopeus on vain [5,5 + ] niin kuinka suuri saisi olla t jotta E(t) olisi pienempi kuin mitä nopeuden mittausvirheestä syntyvä paikan virhe? Selvitetään ensin miten nopeuden mittaamisesta tuleva virhe vaikuttaa f (a) = 6 E a = 0 f (a) = 5 E f (a) = 4 0 t Kuva 9 t E = (0 + 6 t) (0 + 5t) = t E = (0 + 5t) (0 + 4t) = t } valitaan suurempi Virhe = E = ma{e,e } = t 47
Kiihtyvyyden tuntemattomuudesta aiheutuva virhe on Nyt tahdotaan että E F = f (C t ) (t a) = f (C t ) t = f (C t ) t 3 < t E >E F Oletetaan t > 0 E F < 3 t < E = t t 3 t < t ) ( 3 t < 0 3 t < 0 t < = 3 3 Esimerkki 4.8. Anna karkea arvio miltä väliltä funktion f () = +e arvo on kun tiedetään että [ 0., + 0.]. Tee tämä lineaarisen approksimaation avulla. f () L() 0. 0. Kuva 30 Pyydetty karkea arvio: f ():n arvot ovat likiman välillä [L( 0.),L( + 0.)] [ f ( 0.), f ( + 0.)] valitaan a = 48
L( 0.) = L(.9) = f (a) + f (a)(.9 a) = a + e a + (a + e a )(.9 a) = + e + ( + e )(.9 ) = 4 + e + (4 + e )( 0.) = 0.9(4 + e ) 0.5 L( + 0.) = L(.) = =.(4 + e ).58 ( f (.9) = 0.96 f (. =.576)) Esimerkki 4.9. Anna karkea arvio miltä väliltä resistanssin R arvot ovat kun tiedetään että jännite U = 0 ja virralle ollaan mitattu arvo I = 5, mutta tähän mittaustulokseen ei aivan luoteta vaan ajatellaan että oikea virran arvo on väliltä [5 0., 5 + 0.]. Resistanssin, jännitteen ja virran välillä on yhteys U = RI. R = U I = 0 I (Oikeasti R on siis väliltä [ 0 5., 0 4.8 ] = [ 5 3, 5 ] ),I [4.8,5.] Tehdäämpä arvio lineaarisen approksimaation avulla. R = f (I) = 0 I f (I) = 0 I L(I) = f (a) + f (a)(i a) Valitaan a = 5 (välin keskipiste, muitakin valintoja voisi harkita) L(I) = f (5) + f (5)(I 5) = 0 5 0 (I 5) 5 = 0.4(I 5) L(4.8) = 0.4(4.8 5) = + 0.08 =.08 L(5.) = 0.4(5. 5) =.9 Eli R:n arvo on likimain välillä [.9,.08] 49
4.3 L Hospitalin sääntö raja-arvojen laskentaan Funktioiden raja-arvojen määrittäminen suoraan sieventämällä (tai raja-arvon määritelmää käyttäen) voi olla usein erittäin haastavaa. Tällöin saattaa L Hospitalin sääntö auttaa. Lause 4.. Oletetaan, että i) g() 0 ja f :llä sekä g:llä on jatkuvat derivaatat välillä (a,b) ii) f () ja g() 0 (tai ), kun a (tai ) Tällöin jos jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. f () lim a g() = lim f () a g (), Funktiot f (), jotka ovat muotoa u() v(), u()v(), [u()]v() ja u() v() ovat epämääräisessä muodossa pisteessä a (tai ), jos f (a) on joku seuraavista muodoista. () 0 0, (), (3) 0, (4) 0 0, (5) 0,, (6), (7) Tällöin raja-arvon ( ) etsimiseen voidaan käyttää l Hospitalin sääntöä kirjoittamalla funktiot mm. seuraavasti: (3) uv = u /v, (4), (5), (6) uv = e vlnu, (7) u v = ln(e u /e v ) Esimerkki 4.0. Määritä seuraavat raja-arvot L Hospitalin sääntöön perustuen ln a) lim b)lim e a) b) lim = lim = = [ 0 0] {}}{ ln() 0 50
lim [ ] {}}{ e [ ] {}}{ = lim e e = lim =0 }{{} Esimerkki 4.. Määritä raja-arvot a) lim 0+ e b) lim 3 0 sin c) lim 0+ sin d) lim 0+ (sin) e) lim 0+ (cos) / a) lim 0+ [0 0 ] {}}{ = lim 0+ eln() =e 0 ( ) = b) ( ) lim 0+ [0 ( )] {}}{ ln() [ ] {}}{ ln() = lim 0+ = lim 0+ = lim 0+ = lim 0+ =0 5
lim 0 [ 0 0] {}}{ e 3 sin() [ 0] 0 {}}{ 0 e 3 6 = lim 0 sin() + cos() = lim 0 = 0 6 + + 0 = 6 4 e 3 6 6 + ( e 3 ) 6 cos() + cos() + ( sin() ) 5 Usean muuttujan funktion derivaatoista 5. Osittaisderivaatat Kuten yhden muuttujan funktioiden tapauksessakin, useamman muuttujan funktioiden kasvua kuvataan derivaattojen avulla. Nyt kasvunopeus vain voi olla erilainen, riippuen siitä mihin suuntaan kasvua tarkastellaan. Mietitään ensin kahden muuttujan funktion kasvuominaisuuksia kun kuljetaan tai y akselin suuntaan. Funktion f (,y) ensimmäiset osittaisderivaatat muuttujien ja y suhteen ovat funktiot f (,y) ja f (,y), jotka määritellään seuraavasti: f ( + h,y) f (,y) f (,y) = lim h 0 h (3) f (,y + k) f (,y) f (,y) = lim, k 0 k (4) mikäli kyseiset raja arvot ovat olemassa. Huom! Kun kaavassa (3) määriteltiin lauseketta f (,y), laskettiin itseasiassa normaali derivaatta g funktiolle g() = f (,y), eli y muuttuja pidettiin vakiona. Samoin kun kaavassa (4) määriteltiin lauseketta f (,y), laskettiin itseasiassa normaali derivaatta h funktiolle h(y) = f (,y), eli muuttuja pidettiin vakiona. Osittaisderivaattoja laskettaessa pätevätkin siis täysin samat laskusäännöt kuin yhden muuttujan funktioiden derivaattoja laskiessa! Graafisesti osittaisderivaatat kuvaavat kasvunopeutta tiettyyn suuntaan: f (a,b) on kuvaajan z = f (,y) ja tason y = b leikkauskäyrän kulmakerroin pisteessä = a. Kuten yhden muuttujan funktion derivaatoilla, on myös osittaisderivaatoilla useita vaihtoehtoisia merkintätapoja, esimerkiksi kahden muuttujan funktiolle z = f (,y) z = f (,y) = f (,y) = D f (,y) z y = y f (,y) = f (,y) = D f (,y) (5) 5
Osittaisderivaatat pisteessä (a,b): ( ) z (a,b) = f (,y) (a,b) = f (a,b) = D f (a,b) ( ) z y (a,b) = y f (,y) (a,b) = f (a,b) = D f (a,b) (6) Joskus käytetään myös merkintöjä f ja f y. Edelliset merkintätavat yleistyvät myös useamman kuin kahden muuttujan funktioille. Esimerkki 5.. Derivoi funktio g() = sin(a) + 5a. Laske osittaisderivaatat f (,y) ja f (,y) funktiolle f (,y) = sin(y) + 5y. dg d = acos(a) + 0a, f (,y) = ycos(y) + 0y ja f (,y) = cos(y) + 0. Esimerkki 5.. Laske osittaisderivaatat funktiolle f (,y) = / + y 3 + cos(y) + ye y. f (,y) = + y3 + cos(y) + ye y f (,y) = 0 + y 3 sin(y) y + 0 f (,y) = 0 + 3y sin(y) + e y + ye y Esimerkki 5.3. Laske osittaisderivaatan f (,y) arvo pisteessä (,y) = (0,/ ) funktiolle f (,y) = y. Hahmottele tilanne myös graafisesti. f (,y) = y = ( y ) f (,y) = ( y ) (0 0 y) f (,y) = ( 0 ( = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ) ) 53
Esimerkki 5.4. Henkilö kävelee pitkin erästä pintaa joka on funktion f (, y) kuvaaja. Aina ottaessaan h pituisen askeleen akselin suuntaan, henkilö nousee 4h:n verran ylöspäin. Aina ottaessaan h pituisen askeleen y akselin suuntaan, henkilö laskeutuu 3h:n verran alaspäin. Määritä lausekkeet funktioille f (,y), f (,y) ja f (,y). f (,y) = 4h h = 4 f (,y) = 3h h = 3 f (,y)d = f (,y) = 4d = 4 +C(y) f dy = f (,y) = 3dy = 3y + C() missä C voi olla mikä tahansa vakio 4 +C(y) = 3y + C() C(y) = 3y +C C() = 4 +C f (,y) = 4 + ( 3y +C ) = 4 3y +C Esimerkki 5.5. Tiedetään että eräästä prosessista mitattava suure y noudattaa mallia y = ce at missä c ja a ovat (mahdollisesti säädettäviä) prosessin parametreja ja t on aika. Laske prosessin säätöä/suunnittelua varten y c, f t ja f 3 kun y = f (t,c,a). Määritä myös f 3 (,3,ε) kun ε on jokin positiivinen vakio. y c = eat, f t = ace at, f 3 = tce at ja f 3 (,3,ε) = 3e ε. Esimerkki 5.6. Laske osittaisderivaatat f Määritä myös arvo f 3 (,,0,3)., f u ja f 4 kun f (,u,v,w) = + u + uv + uvw. 54
f (,u,v,w) = + u + uv + uvw f = + u + uv + uvw f = 0 + + v + vw u f 4 = f w = 0 + 0 + 0 + uv f 3 = f = 0 + 0 + u + uw v f 3 (,,0,3) = + 3 = 8 Esimerkki 5.7. Oletetaan että funktio f (, y, z) kuvaa pisteen (, y, z) etäisyyttä origosta. Laske f, f y ja f z. Laske myös f (0,,). z (,y,z) y f Kuva 3: Piste kolmiulotteisessa avaruudessa f (,y,z) = + y + z = ( + y + z ) f = ( + y + z ) ( + 0 + 0) f y = ( + y + z ) (0 + y + 0) f z = ( + y + z ) (0 + 0 + z) f (0,,) = (0 + + ) (0 + + 0) 55
Esimerkki 5.8. Olkoon g(,..., n ) = n i= i g i. Laske j kaikille j =,...,n. Laske ja sievennä myös n k= (g k(,,...,)). 5. Lineaariset approksimaatiot Käyrän y = f () tangenttisuoraa pisteessä = a voidaan käyttää approksimaationa f ():n arvoille, kun on lähellä a:ta: f () L() = f (a) + f (a)( a) (7) Funktiota L() kutsutaan f :n linearisaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi pisteessä a. Vastaavasti funktion f (,y) lineaarinen approksimaatio pisteessä (a,b) on f (,y) L(,y) = f (a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)(y b) (8) Funktion f (,..., n ) linearisaatio pisteessä a = (a,...,a n ) määritellään samoin: Linearisaatio L() on ekvivalentti L(,..., n ) = f (a,...,a n ) + Pisteeseen a asetetun tangenttitason kanssa Taylorin. asteen polynomin kanssa (tähän palataan myöhemmin) n i= f i a ( i a i ) (9) Yhden muuttujan funktioille linearisaatiota ei voida laske jos derivaatta ei ole määritelty. Useamman muuttujan funktioilla tilanne on se että osittaisderivaatat voivat olla määritellyt (eli linearisaatio pystytään teknisesti ottaen muodostamanaan), vaikka funktio olisi sellainen että linearisaatio olisi surkea approksimaatio funktiolle f jopa lähellä pistettä a. Tälläiset funktiot eivät ole differentioituva pisteen a ympäristössä. Funktion differentioituvuus voidaankin määritellä asettamalla laatuvaatimus linearisaatiolle, ks. seuraava kappale. Esimerkki 5.9. a) Muodosta funktiolle f (,y) = +sin(y) linearisaatio eli lineaarinen approksimaatio piteessä (,0). b) Olkoon f (,, 3 ) = + + 3. Muodosta f :lle lineaarinen approksimaatio pisteessä (,0,0) ja arvioi tämän avulla mitä on f (.0,0 + a,0.0), missä a on jokin vakio. a) f (,y) = + sin(y) f (,y) = + sin(y) f (,y) = 0 + cos(y) (a,b) = (,0) 56
f (,y) L(,y) = f (a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)(y b) = + sin(0) + ( + sin(0) )( ) + cos(0) (y 0) = 4 + 4( ) + y Osittaisderivaatat ovat f (,y) = + sin(y) ja f (,y) = cos(y), joten f (,0) = 4 ja f (,0) =. Lisäksi f (,0) = 4, joten suoraan kaavaan (8) sijoittamalla saadaan L(,y) = 4 + 4( ) + (y 0) b) Osittaisderivaatat ovat f (,, 3 ) = f (,, 3 ) = ja f 3 (,, 3 ) = 3, joten f (,0,0) = f (,0,0) = f 3 (,0,0) = 0 ja f (,0,0) =. Täten suoraan kaavaan (9) sijoittamalla L(,, 3 ) = + ( ) + ( 0) + 0 ( 3 0) ja L(.0,0 + a,0.0) = + 0.0 + a. Esimerkki 5.0. a) Muodosta funktiolle f (, y) = y + linearisaatio eli lineaarinen approksimaatio piteessä (,). b) Olkoon f (u,v,w) = u +v +w. Muodosta f :lle lineaarinen approksimaatio pisteessä (0,,) ja arvioi tämän avulla mitä on f (0.0,0.95,.0). a) f (,y) = y + f (,y) = y + f (,y) = + 0 (a,b) = (,) L(,y) = f (a,b) + f (a,b)( a) + f (a,b)(y b) = f (,) + f (,)( + ) + f (,)(y ) = + + ( + )( ) = + ( ) + y b) f (u,v,w) = u + v + w (a,a,a 3 ) = (0,,) = a L(u,v,w) = f (0,,) + f (0,,)(u 0) + f (0,,)(v ) + f 3 (0,,)(w ) f (u,v,w) = u + 0 + 0 f (u,v,w) = 0 + v + 0 f 3 (u,v,w) = 0 + 0 + w f (0,,) = 0 + + = 5 f (0,,) = 0 = 0 f (0,,) = = f 3 (0,,) = = 4 57
L(u,v,w) = 5 + 0(u 0) + (v ) + 4(w ) f (0.0,0.95,.0) L(0.0,0.95,.0) = 5 + 0(0.0 0) + (0.95 ) + 4(.0 ) = 5 + 0 0.0 0.05 + 4 0.0 = 4.98 5.3 Differentioituvuus ja differentiaalit Funktio f (,y) on differentioituva pisteessä (a,b), jos f (a + h,b + k) f (a,b) h f (a,b) k f (a,b) lim = 0. (0) (h,k) (0,0) h + k Tämä tarkoittaa että pistettä (a, b) lähestyessä funktion f (, y) ja sen pisteeseen (a, b) muodostetun tangenttitason arvot lähenevät toisiaan oleellisesti nopeammin kuin mitä (, y) piste lähestyy pistettä (a,b). Koska differentioituvuus on usein algoritmeille tärkeä ominaisuus, on käytännöllistä että varsin yksinkertaiset ehdot varmistavat tämän. Seuraava tulos on varsin hyödyllinen tieto: Jos f ja f ovat jatkuvia pisteen (a,b) ympäristössä niin tällöin f on differentioituva pisteessä (a,b). Väliarvolause (mean value theorem): Jos f (,y) ja f (,y) ovat jatkuvia pisteen (a,b) ympäristössä ja jos h:n ja k:n itseisarvot ovat riittävän pieniä, on olemassa luvut θ ja θ, molemmat 0:n ja :n välillä, siten, että f (a + h,b + k) f (a,b) = h f (a + θ h,b + k) + k f (a,b + θ k) () Väliarvolauseella on merkitystä usein matemaattisten menetelmien ja algoritmien tutkimisessa ja kehittämisessä mutta insinööri joutuu sitä harvemmin arkipäivän laskennassa käyttämään (luvut θ ja θ ovat useinmiten varsin hankalia määrittää). Sellaisessa pisteessä jossa funktiolla z = f (,..., n ) on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat, voidaan funktion arvon muutosta kuvaava (kokonais) differentiaali määritellä kaavalla dz = d f = z d + + z n d n = f (,..., n )d + + f n (,..., n )d n. () Differentiaali sisältää saman informaation kuin ketjusääntö: jos () jaetaan puolittain dt:llä ja i :t ajatellaan t:stä riippuvaisiksi niin saadaan näkyviin täsmälleen ketjusäännön mukainen kaava. Differentiaalia on kuitenkin usein ketjusääntöä suoraviivaisempaa käyttää käytännön laskuissa: Koska differentiaalit d i ajatellaan mielivaltaisen pieniksi, korvaamalla ne pienillä luvuilla i, differentiaalilla d f voidaan arvioida f :n arvojen muutosta ilman että tarvitsee miettiä muuttujia i sitovaa taustamuuttujaa t kuten ketjusäännön kaavassa täytyisi: f = f ( +,..., n + n ) f (,..., n ) f (,..., n ) + + f n (,..., n ) n (3) Tälläisien approksimaatioiden käyttö on varsin yleistä insinööritieteissä. On opettavaista huomata ettei tässäkään approksimaatiossa ole itseasiassa kyse mistään muusta kuin linearisaation käyttämisestä funktion arvon muutoksen arviointiin. 58