VERKOT ELI GRAAFIT MHK-SciFest 2011: työpajan Koe Matematiikka! osaraportti Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto Joensuun kampus Kurssin vastaava opettaja: Martti Pesonen Opettajat: Tiina Komulainen, Eric Lehman, Eric Reyssat Vertaisohjaaja: Mika Koponen Ohjaajat: Tiina Aaltonen, Miia Liimatainen Joensuussa 3.5.2011
1 Johdanto Tämä on Itä-Suomen yliopiston Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta -kurssiin liittyvän SciFest 2011 -työpajan Koe Matematiikka! työpisteraportti. Tässä esityksessä työpajalla tarkoitetaan työpajakokonaisuutta Koe matematiikka! ja sen viiden eri työryhmän pitämiä osapajoja työpisteiksi. Kullakin työpisteellä voi olla useita osioita, jotka ovat itsenäisiä tai toisiinsa liittyviä pienimpiä toimintakokonaisuuksia. Tässä raportissa osioista käytetään vaihtelevasti myös nimitystä aktiviteetti. Tämä raportti esittelee Verkot eli Graafit -työpisteen pitämiseen valmistautumista, ohjelman SciFestissä 2011, kokemuksia ja onnistumisia SciFestistä sekä havaittuja ongelmia ja parannusehdotuksia jatkoa ajatellen. 2 Työpisteen pitämiseen valmistautuminen Työpisteen pitämiseen valmistauduttiin yhteisillä lähiopetusjaksoilla 4.-25.2. ja 8.-12.4.2011. Lähiopetusjaksot sisälsivät yhteensä 32 tuntia luentoja työpisteiden aiheisiin liittyvästä matematiikasta. Luennoilla opettajina toimivat ranskalaiset Eric Lehman ja Eric Reyssat, minkä takia opetus oli pääosin englanninkielistä. Lisäksi viikonloppuna 11.-13.2.2011 osallistuimme kerhotoiminta-koulutukseen (15 h), jonka opettajana toimi Tiina Komulainen Oulusta. Lähiopetusjaksojen välillä suunnittelimme ja valmistimme työpisteessä tarvittavia välineitä ja teimme ohjeistuksia osioihimme. Suunnittelutyötä teimme ensin itsenäisesti, jonka jälkeen kokoonnuimme ja jatkoimme suunnittelua yhdessä. Aluksi olimme yhteydessä toisiimme lähinnä sähköpostin välityksellä, mutta koimme sen käyttämisen hitaaksi ja hankalaksi. Maaliskuun lopussa aloimmekin käyttää vertaisohjaajamme luomaa Google Docs -sivustoa, johon keräsimme työpistettämme koskevia asioita ja materiaaleja. Sivuston käyttäminen helpotti suunnittelutyötämme ja pystyimme online-tilassa jakamaan asiakirjoja ja vaihtamaan ajatuksia. Tarvikkeet, joita tarvitsimme välineiden valmistamiseen, on hankittu kurssin vastaavan opettajan Martti Pesosen ja monitoimimiehenä toimineen Tommi Sallisen avustuksella. Lisäksi osa tarvikkeista on itse erilaisten suhteiden avulla hankittuja. Saimme kaikki suunnittelemamme työpisteen osiot valmiiksi, ja lopulta vain Taksiauto etäisyys -osiota emme käyttäneet lainkaan.
Valmistimme kaikkiin osioihin uudet laminoidut tehtävänannot lukuun ottamatta Lankaverkkoja, jossa käytimme vanhaa tehtävänantoa. Königsbergin siltaongelman toista havainnollistusta varten valmistimme kahdeksan kappaletta laminoituja timantteja sekä teimme teipeistä kartan maahan. Lankaverkot -osio oli jo edelliseltä vuodelta valmis ja selvisimme vain muutamalla nastan vaihtamisella. Salapoliisi -osiota oli käytetty aikaisemmin matematiikkakerhoissa. Teimme siihen kuitenkin uudet laminoidut karttapohjat suurennetussa koossa. Väritysongelmia varten meille hankittiin tyhjiä liitutauluja, väriliituja, taulusieniä ja valkoisia huopatusseja, joilla taiteilimme kuviot liitutauluihin. Talojen maalaus -aktiviteettia varten laminoimme talokuviot, maalasimme puukiekot sekä teimme paikan päällä kartan teipillä lattiaan. Instant Insanity -kuutiot olivat jo viime vuonna mukana SciFestillä, mutta ne olivat liian pienet ja huonosti maalatut. Maalasimme siis uudet isommat kuutiot. Matka Euroopan ympäri -osion kehittelimme itse alusta lähtien. Vanhan Euroopan kartan saimme Maantieteen laitokselta, lisäksi tarvitsimme puulevyn, nastoja, lankaa ja rikkoja. Graafipelin löysimme Internetistä ja sen toteuttamiseen tarvitsimme ainoastaan älytaulun, jonka saimmekin käyttöömme. Jäätelökioski kisa -aktiviteetti oli edelliseltä vuodelta valmis sellaisenaan. Yhteensä valmistautumiseen, suunnitteluun ja välineiden valmistamiseen, käytimme aikaa vähintään kurssiin vaadittavat 48 tuntia. SciFestissä Verkot eli Graafit -työpisteemme oli varattava paja. Työpisteemme ohjauksesta kertyi yhteensä 12 tuntia, jonka lisäksi päivystimme työpisteellämme myös muina aikoina. 3 Työpisteen ohjelma SciFestissä 2011 Lopullisessa Verkot eli Graafit -työpisteessä käytimme pääasiassa kahdeksaa eri osiota. Lisäksi tässä luvussa esittelemme käyttämättömiä työpisteen osioita. Kustakin osiosta on ensin esitetty tehtävänanto, jonka avulla osio on mahdollista suorittaa ilman ulkopuolista apua. Lisäksi aktiviteeteista on valokuvia, mahdolliset ratkaisuohjeet sekä teoriaa, johon aktiviteetit pohjautuvat. Työpisteemme osioita pystyi suorittamaan haluamassaan järjestyksessä, vaikka esimerkiksi Königsbergin siltaongelma ja Lankaverkot sekä Väritysongelma ja Talojen maalaus linkittyvät keskenään vahvasti yhteen.
3.1 Königsbergin siltaongelma Königsbergin kaupungissa on seitsemän siltaa. Kaupungin asukkaat kävivät mielellään sunnuntai kävelyllä pitkin kaupunkia. Asukkaat lähtivät kävelylle kukin omasta kaupungin osastaan(a, B, C, D) ja pyrkivät kulkemaan reitin, jossa kukin silta ylitettiin vain kerran ja tultiin takaisin lähtöpisteeseen. Oliko mahdollista kulkea kukin silta vain kerran ja päätyä takaisin lähtöpisteeseen, entä oliko lähtöpisteellä vaikutusta tähän? Laminoidulle ongelmalle kehitimme myös konkreettisemman havainnollistuksen (Kuva oikealla). Vastaava kartta muodostettiin maahan käyttämällä erivärisiä teippejä. Lisäksi jokaiselle sillalle (punainen) asetettiin yksi timantti. Tarinan mukaan jokaisen sillan alla nukkui lohikäärme, joka heräsi, kun sillan yli kuljettiin. Eli kunkin sillan pystyi ylittämään vain yhden kerran, ellei halunnut joutua lohikäärmeen syömäksi. Tarkoituksena oli yrittää kerätä mahdollisimman monta timanttia, kun lähtöpaikan sai itse valita. Idea siltaongelman havainnollistamiseen syntyi juuri ennen SciFestiä, joten toteutukseen ei ollut paljoakaan aikaa käytettävissä. Vaikka havainnollistuksen ulkonäkö ei ollut paras mahdollinen, oli se kuitenkin toimiva.
Königsbergin siltaongelma -teoriaa Königsbergin siltaongelma on klassinen matemaattinen ongelma graafiteorian ja topologian alalta. Königsbergin eli nykyisen Kaliningradin läpi virtaa Pregolja-joki, jonka keskellä on kaksi saarta. Saaret oli 1700-luvulla yhdistetty toisiinsa ja mantereeseen seitsemällä sillalla. Ongelmana oli sellaisen reitin keksiminen mitä kävelemällä voitaisiin ylittää jokainen silta täsmälleen kerran ja päätyä takaisin lähtöpisteeseen. Euler todisti vuonna 1736, ettei tällaista reittiä ole olemassa. Sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler oli kuultuaan Königsbergin siltaongelmasta päättänyt ratkaista sen. Hän aloitti abstrahoimalla Königsbergin kartan poistaen ensin ylimääräiset piirteet siten, että jäljelle jäävään kuvaan oli merkitty vain maamassat, niitä erottava vesi ja niiden väliset sillat. Seuraavaksi hän korvasi maamassat pisteillä ja niitä yhdistävät sillat viivoilla saaden tulokseksi alla kuvatun verkon, jota graafiteorian termillä kutsutaan graafiksi. Pisteitä taas kutsutaan solmuiksi ja viivoja kaariksi. Graafin muotoa voidaan muokata vapaasti ilman, että graafi itse muuttuu, solmujen välisten yhteyksien on pysyttävä samoina. Ei ole merkitystä, ovatko kaaret suoria vai käyriä, taikka millä puolella toista solmua jokin solmu sijaitsee. Solmun asteluku on siihen ulottuvien kaarien lukumäärä. Euler todisti, että graafiin on mahdollista piirtää polku, Eulerin kehä, joka kulkee graafin jokaisen kaaren kautta täsmälleen kerran palaten alkusolmuun, jos ja vain jos graafissa ei ole yhtään solmua, jonka asteluku on pariton. Königsbergin silloista muodostuvassa graafissa on kolme solmua, joiden asteluku on kolme, ja yksi solmu, jonka asteluku on viisi, yhteensä siis neljä asteeltaan paritonta solmua, joten polkua ei Königsbergin tapauksessa ole mahdollista piirtää. Ongelma voidaan muuntaa sellaiseksi, että etsitään polkua, joka ylittää jokaisen sillan kerran, mutta jonka alku- ja loppupiste ei välttämättä ole sama. Tällaista polkua kutsutaan Eulerin poluksi; se on olemassa, jos ja vain jos graafissa on täsmälleen kaksi (tai ei yhtään) solmua, joiden asteluku on pariton siten, että nämä kaksi solmua ovat polun alku- ja loppusolmu. Königsbergin siltojen kohdalla tämäkään ehto ei toteudu.
3.2 Lankaverkot Pystytkö muodostamaan kappaleisiin mustalla värillä piirretyn kuvion yhdellä langalla niin, ettei lanka mene yhdelläkään välillä kaksinkerroin? Mieti näiden verkkojen ominaisuuksia: Keksi sääntö, jolla selviää kokeilematta, mitkä verkoista on mahdollisia tehdä edellä mainitulla tavalla.
3.3 Salapoliisi -tehtävä Viisi salapoliisia asettuu siten, että he voivat tarkkailla kaikkia katuja. Mihin risteyksiin heidän pitää asettua? Entä miten salapoliisien tulee asettua, jos heitä on vain neljä? Ongelma, joka tarinassa selitetään, on helppo ymmärtää, mutta yksinkertaista ja suoraviivaista ratkaisua ongelmaan ei ole olemassa. Nykypäivänä mielenkiinto tämän tyyppisiin ongelmien ratkaisuun kasvaa kokoajan. Myös ihmiset ovat osa verkkoja esimerkiksi internetin ja sosiaalisen median mukana. Tämä aktiviteetti toteutettiin laminoitujen tehtäväkorttien avulla.
3.4 Väritysongelma Montako väriä tarvitset, jotta saat väritettyä kuviot niin, että jokainen vierekkäinen alue on erivärinen?
Neliväriongelma on verkkoteoriaan liittyvä ongelma, jonka mukaan jokainen tasokartta voidaan värittää neljällä eri värillä siten, että millään kahdella samanvärisellä alueella ei ole yhteistä rajaa. Tässä rajalla tarkoitetaan nimenomaan rajaviivaa, ei rajapistettä. Heawoodin lauseen (1890) avulla on todistettu, että tasokartan värittäminen onnistuu viittä väriä käyttämällä. Vuonna 1976 K. Appel ja W. Haken esittivät kuuluisalle neliväriväittämälle todistuksen, joka perustuu oleellisesti tietokoneen käyttöön. Työhön kului aikaa 4 vuotta ja yli 1200 tietokonetuntia. Tämä todistus ei kuitenkaan ole matemaattisesti kompakti. Maailmankartta voidaan siis värittää neljällä värillä neliväriongelman mukaisesti. Millä värillä meret ja järvet tulisi värittää, jotta kartta olisi väritetty neliväriongelman mukaisesti?
3.5 Talojen maalaus Jäävuoren kaupungissa järjestetään asuntomessut, jonne rakennetaan paljon uusia taloja. Asuntomessujen arkkitehti haluaa maalata talot niin, että jokainen vierekkäinen talo on erivärinen. Talojen maalarit eivät kuitenkaan tiedä, kuinka monta eriväristä maalia heidän tulisi ostaa, joten he pyytävät sinun apuasi. Kuinka monella värillä maalareiden tulee maalata, jotta vierekkäiset talot eivät ole samanvärisiä? Maalareilla on kuitenkin rajattu määrä kutakin maalia, talot tulee siis maalata mahdollisimman tasapuolisesti.
Afrikan manner voidaan värittää käyttämällä neljää väriä. Väritetystä kartasta voidaan muodostaa verkko. Jokaista valtiota merkitään valtion värinmukaisella solmulla. Kukin valtio yhdistetään kaarilla sen rajanaapureihin. Kartta on väritetty oikein, kun ei ole kaaria, jotka yhdistävät samanvärisiä solmuja.
3.6 Instant Insanity Tavoitteena on asettaa neljä eri tavoin värjättyä (4 eri väriä) kuutiota päällekkäin siten, että kaikilla sivuilla jokainen väri esiintyy vain kerran. Instant Insanity -kuutioiden avulla voidaan havainnollistaa, mitä hyötyä verkkoteoriasta on. Tätä tehtävää kaikki lähtevät lähes poikkeuksetta ratkaisemaan kokeilemalla. Tuntuu miltei utopistiselta, että vain neljän kuution päällekkäin asettamisella on yhteensä 41 472 erilaista vaihtoehtoa. Ensimmäinen kuutio voidaan asettaa vain kolmella eri tavalla, lopuissa kolmessa kuutiossa voidaan valita joku kuudesta sivusta alaspäin ja edelleen on vielä neljä vaihtoehtoa pyörittää kuutiota, joten saadaan 3 (4 6)^3 = 41 472. Näin ollen kokeilemalla ratkaisuun saattaa tuhrautua paljon aikaa, sillä vain 2 näistä vaihtoehdoista on oikeita ratkaisuja. Verkkoteorian avulla nämä kuutiot voidaan muuntaa verkoiksi, jolloin ratkaiseminen nopeutuu. Kyseinen verkkoteoreettinen ratkaisu on esitetty seuraavalla sivulla.
INSTANT INSANITY RATKAISU Kuva 1. Kuva 2. Kuva 3. Kuva 4. 1. Ensimmäisessä vaiheessa kuutiot avataan tasoon. Avatusta kuutiosta muodostetaan verkko siten, että kuution neljä eri väriä ovat verkon solmuja. Verkon kaaret yhdistävät kuution vastakkaisten tahkojen värit keskenään. Jos kuution vastakkaisilla puolilla on sama väri, piirretään verkkoon silmukka. 2. Toisessa vaiheessa muodostetaan vastaavalla tavalla kaikkien kuutioiden verkot. Numeroidaan (1-4) kuutiot ja niitä vastaavien verkkojen kaaret. 3. Kolmannessa vaiheessa kuutioista muodostetut neljä verkkoa yhdistetään yhdeksi verkoksi. 4. Neljännessä vaiheessa etsitään kaksi aliverkkoa, jotka toteuttavat seuraavat ehdot: 1. Jokaisesta solmusta (väri) tulee lähteä kaksi kaarta. 2. Numeroituja kaaria 1-4 tulee käyttää tasan yhden kerran. Lopuksi kuutiot asetetaan aliverkkoja vastaavalla tavalla. Ensimmäinen aliverkko edustaa kuutioiden etu- ja takatahkojen muodostamia väripareja. Vastaavasti toinen aliverkko edustaa kuutioiden vasemman ja oikeanpuoleisen tahkon väripareja.
3.7 Matka Euroopan ympäri Sinun tulee löytää mahdollisimman lyhyt reitti kymmenen kaupungin välille. Saat valita lähtöpisteen vapaasti. Jos löydät lyhyemmän reitin kuin aikaisemmat Euroopan matkustajat, saat laittaa naruun oman merkkisi. Entä keksitkö reitin, joka on mahdollisimman pitkä? Tällöin saat myös laittaa oman merkkisi naruun. Saat käydä jokaisessa kaupungissa vain kerran. Kyseinen aktiviteetti vastaa lähes ns. kauppamatkustajan ongelmaa eli jos kauppamatkustaja tietää kaupunkien keskinäiset etäisyydet, miten hän voi laskea itselleen nopeimman kulkureitin, jossa palataan lopussa lähtökaupunkiin ja käydään kaikkien kaupunkien kautta tasan kerran? Tähän ongelmaan ei ole olemassa ratkaisua, mutta se voidaan usein laskea tietokoneen avulla. Tosin reittien määrä kasvaa nopeasti, koska esimerkiksi: kolmen kaupungin välille voidaan muodostaa 2 erilaista reittivaihtoehtoa, neljän kaupungin välille 6 erilaista vaihtoehtoa ja kymmenen (kuten tässä aktiviteetissa) kaupungin välille voidaan muodostaa 362 880 erilaista reittivaihtoehtoa.
3.8 Graafipeli älytaululla Tässä aktiviteetissä verkkoihin tutustutaan pelin muodossa. Oppilaat pelaavat kaksinpelinä graafipeliä koskettamalla sormella älytaulua. Pelin kulku: Pelissä on kaksi kirkkaalla vihreällä aktivoitua solmua. Pelaaja SHORT aktivoi verkon jonkun kaaren, jolloin kaari muuttuu kirkkaan vihreäksi. Pelaaja CUT leikkaa jonkun verkon kaaren, jolloin kaari katkeaa ja häviää. Peliä pelataan vuoronperään. Pelaajan SHORT tavoitteena on saada yhdistettyä kirkkaana palavat kaksi solmua yhtenäisellä polulla. Pelaajan CUT tavoitteena on estää tämän tapahtuminen. Pelaaja SHORT voittaa, jos hän onnistuu rakentamaan yhtenäisen polun kirkkaiden solmujen välille. Pelaaja CUT voittaa, jos hän onnistuu katkaisemaan kaaret niin, ettei kirkkaiden pisteiden yhdistäminen ole mahdollista. Peli löytyy osoitteesta http://kryshen.net/games/graphg.html. Peliä pelaamalla harjaantuu pelistrategia, verkkojen hahmottaminen, looginen päättely ja monia muita taitoja, jotka kehittyvät usein matemaattisten taitojen rinnalla. Kun peliä pelaa jonkin aikaa saattaa herätä ajatus, että onko pelin aloittajalla parempi mahdollisuus voittaa. (Vastaava ajatus saattaa tulla esille Ristinollaa pelaamalla). Peli onkin herättänyt kiinnostusta monissa matemaatikoissa kehittää ns. voitto-algoritmi eli pelistrategia, jonka avulla voittaa aina. Molempien pelaajien hyväksi on keksitty voittostrategiat, jotka riippuvat ainoastaan kumpi pelaajista aloittaa pelin. Algoritmin mukaan pelin aloittanut pelaaja voittaa aina, jos osaa pelata voittostrategian mukaisesti.
3.9 Jäätelökioski -kisa Kesä saapui Jäävuoriston kaupunkiin ja oli aika avata jäätelökioskit. Kioskit tuli asettaa kaupungin risteyksiin (pallot kartalla) niin, että asukkaat kävivät ostamassa jäätelöä kotikatunsa (viivat kartalla) risteyksistä. Kuinka monta jäätelökioskia kaupungin tuli avata, jotta koko kaupunki tulisi palvelluksi mahdollisimman vähillä kioskeilla. Tämä osio toteutettiin laminoitujen kaupungin karttojen avulla, mutta toimi lähinnä ylimääräisenä tehtävänä. Kyseinen ongelma on esimerkki tapauksesta, jossa etsitään verkon hallitsevaa joukkoa (dominating set): verkon hallitseva joukko muodostuu niiden solmujen minimaalisesta joukosta, jotka naapureineen kattavat kaikki verkon solmut. Ratkaisu jäätelö kioskikisaan on alapuolella.
3.10 Taksiauto etäisyys Olet taksikuski ja olet ajossa Joensuun kaupungin ruutukaavalla. Olet tällä hetkellä pisteessä A. Saat keskukselta soiton, jossa pyydetään hakemaan asiakas kyytiin pisteestä B. Mikä on lyhin reitti pisteestä A pisteeseen B? Saavuttuasi pisteeseen B asiakas pyytää sinua viemään hänet pisteeseen C. Mikä on lyhin reitti pisteestä B pisteeseen C? Tätä aktiviteettia emme käyttäneet SciFestissä, eikä siitä ole valokuvaa. Puulevyyn piirrettiin yllä olevan kuvan mukainen ruudukko, ja risteyskohtiin kiinnitettiin naulat. Tehtävää suoritettiin langalla, jonka toiseen päähän oli kiinnitetty rikka. Koimme tämän tehtävän liian helpoksi ja yksinkertaiseksi, joten jätimme sen pois työpisteestämme.
4 Kokemukset ja onnistuminen Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta -kurssille sekä SciFestiin 2011 osallistuminen Verkot eli Graafit työpisteessä oli kokemuksena mielenkiintoinen ja antoisa. Lähiopetusjaksot helmi- ja huhtikuussa olivat opettavaisia: Opimme luennoilla paljon uutta niin monitahokkaista, kartioleikkauksista, symmetriasta ja laatoituksista, äärettömyydestä kuin verkoistakin. Lisämausteensa opiskeluun toi englanninkielinen opetus, johon kuitenkin tottui nopeasti. Myös kerhotoiminnan viikonloppu oli hyödyllinen ja antoi paljon käyttökelpoisia ideoita esimerkiksi omaan opettamiseen. Oman työpisteemme suunnittelu ja valmistelut sujuivat pääasiassa ongelmitta. Ryhmässä työskentely ja suunnittelu olivat mukavaa vaihtelua tavallisiin yliopiston kursseihin verrattuna. Itse työpisteen toteutus SciFestissä 2011 onnistui mielestämme hyvin. Olemme tyytyväisiä siihen, mitä saimme aikaan, ja siihen, miten suunnittelemamme asiat toimivat käytännössä. Kaiken kaikkiaan kurssi Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta täytti odotuksemme. 5 Ongelmat ja suositukset jatkoa varten Kurssin lähiopetusjaksoon, valmistautumiseen ja SciFestiin ei juuri liittynyt ongelmia. Lähinnä ongelmia tuotti aikataulujen sovittaminen muihin meneillä oleviin kursseihin. Kurssin yhtenä lähtökohtana oli parannella ja kehitellä edellisen vuoden SciFest pajojen sisältöjä. Uusien osioiden kehittely tuntui haastavalta, kun pohjana olivat vanhat havainnollistukset. Olisi ollut mielekkäämpää alkaa kehitellä havainnollistuksia aivan uusiin aihealueisiin. Työpisteemme Verkot eli Graafit toteutettiin varattavana pajana, mikä toimikin pääosin kiitettävästi. Työpisteemme olisi varmasti toiminut hyvin ilman varaustakin. Mielenkiintoiset aktiviteettimme houkuttelivatkin monia ohikulkijoita tutustumaan lähemmin työpisteeseemme. Työpisteemme osiot olivat sellaisia, että tehtävänanto olisi ollut riittävä osion itsenäiseen suorittamiseen.