Matematiikkaa logiikan avulla

Ralph-Johan Back Matematiikkaa logiikan avulla Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 11, Oct 2008

Matematiikkaa logiikan avulla Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut Ralph-Johan Back Marraskuussa 2008, Turku, Suomi Copyright Ralph-Johan Back All rights reserved TUCS Lecture Notes No. 11 IMPEd Series

Esipuhe Tässä artikkelissa luodaan lyhyt katsaus rakenteisissa päättelyketjuissa käytettävään logiikkaan, jota sovelletaan lukio- ja yläkoulutasolla. Kirjassa kerrotaan, miten loogisia johtopäätöksiä tehdään rakenteisissa päättelyketjuissa. Esitellään propositiologiikan peruskonnektiit sekä päättelysäännöt, joita tässä laskennassa käytetään. Sen jälkeen kerrotaan predikaattilogiikasta, kvantifioinnista sekä predikaattilogiikassa olevista perussäännöistä. Matematiikkaa logiikan avulla Tämä julkaisu on osa sarjaa, joka kuvailee rakenteisia päättelyketjuja ja niiden soveltamisesta matematiikan opettamisessa. Sarjasta on ilmestynyt tällä hetkellä seuraavat julkaisut: Rakenteiset päättelytketjut lukion matematiikassa (Back, von Wright [7]) Lyhyt lukuteorian kurssi (Back, von Wright [6]) Pitkän matematiikan ylioppilastehtävät, kevät 2003 (Back, von Wright[8]) Johdatus rakenteisiin päättelyketjuihin (Back [1]) Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut (Back [2]) Rakenteiset päättelyketjut yleisenä todistusmuotona (Back [3]) Muissa julkaisuissa ohjataan lisää menetelmän monipuolisempaan ymmärtämiseen ja sen käytännön soveltamiseen. Kiitossanat Työtä rakenteisten päättelyketjujen kehittämiseksi ja kokeilut menetelmän soveltuvuudesta opetukseen on tehty läheisessä yhteistyössä Learning and Reasoning laboratorion jäsenten kanssa. Tutkimuslaboratorio on Åbo Akademin ja Turun yliopiston yhteishanke. Haluan erityisesti kiittää seuraavia henkilöitä menetelmään liittyvistä kiintoisista ja antoisista keskusteluista sekä menetelmän kehityksen myötävaikuttamisesta (lista on aakkosjärjestyksessä): Stefan Asikainen, Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Teemu Rajala, Tapio Salakoski, Petri Sallasmaa, Fredrik Sandström, Patrick Sibelius, Solveig Wallin ja Joakim von Wright. Suomen Akatemia ja Teknologiateollisuuden 100 vuostissäätiö ovat rahoittaneet tämän julkaisun perustana olevaa tutkimusta. 2

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Rakenteiset päättelyketjut 6 2.1 Todistusketjut............................ 6 2.2 Väite ja oletus........................... 8 2.3 Alijohdot.............................. 10 2.4 Havainnot päättelyketjuissa.................... 13 2.5 Väitteiden suora sieventäminen.................. 15 3 Propositiologiikka 17 3.1 Loogisten konnektiivien ominaisuuksia.............. 17 3.2 Loogisten väitteiden todistaminen päättelyketjuilla....... 21 3.3 Loogisten konnektiivien päättelysäännöt............. 26 3.4 Päättelysäännöt reduktiivisissa todistuksissa........... 30 4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit 32 5 Predikaattilogiikka 37 5.1 Kvanttorit.............................. 37 5.2 Kvantifioidun lausekkeen päättelysääntöjä............ 41 5.3 Muita kvantifiointisääntöjä.................... 44 5.4 Päättelysäännöt rajoitetuille kvanttoreille............ 46 6 Päättelyketjut kvanttorien avulla 49 A Rakenteisten päättelyketjujen syntaksi 53 3

1 Johdanto Rakenteiset päättelyketjut vievät eteenpäin Edsger W. Dijkstran, yhden tietoteknisen tutkimuksen suuren pioneerin, aloittamaa perinnettä. Dijkstra ja hänen kollegansa (Wim Feijen, Carel Scholten ja Nettie van Gasteren) keskittyivät tekemään matemaattisista todistuksista sekä yksinkertaisia että tarkkoja. He kehittelivät merkintätavan, joka tunnetaan alalla nimellä calculational proof [9, 11, 10]. Termin tarkka käännös olisi laskennalliset todistukset, mutta olemme sopineet, että suomen kielellä niitä kutsutaan lineaarisiksi johdoiksi tai päättelyketjuiksi. Tarkoituksena on, että matemaattiset johdot ja todistukset olisivat enemmän laskujen kaltaisia, kuten yhtälöiden ratkaisemisen, lausekkeiden sieventämisen tai kerrottaessa ja jaettaessa tehtäviä kynää ja paperia käyttäen. Päämäärä saavutetaan käyttämällä hyväksi logiikkaa ikäänkuin kokoelmana laskusääntöjä, joilla voidaan todentaa matemaattisten väitteiden oikeellisuus. Joakim von Wright ja minä kehitimme rakenteiset päättelyketjut Dijkstran lineaaristen johtojen jatkokehittelynä. Menetelmä julkaistiin alun perin tarkistuslaskentaa käsitelleessä kirjassa [5] sekä lehtijulkaisussa [4]. Kirjassa rakenteisia päättelyketjuja käytetään lukuisiin, vaikeustasoltaan vaihteleviin, todistuksiin ohjelmoinnin logiikassa. Siinä, missä Dijkstran lineaarinen johtaminen pohjautuu sekä muunneltuun versioon ensimmäisen asteen predikaattilogiikasta että Hilbert-tyyppisiin todistusjärjestelmiin, me rakensimme rakenteiset päättelyketjut klassisen standardilogiikan (ns. korkeamman asteen logiikan) ja Gentzen-tyyppisten todistusjärjestelmien ympärille. Rakenteisia päätelyketjuja on vähitellen kehitelty ja tässä esitelty versio sallii myös Hilbert-tyyppisiin todistusten. Tämän johdosta menetelmä voidaan nähdä klassisten Gentzentyyppisten todistusten, Hilbert-tyyppisiin todistusten ja Dijkstran lineaarisen johtamisen yhdistelmänä. Rakenteiset päättelyketjut pohjautuvat logiikan selkeään käyttöön todistuksissa. Todistusjärjestelmää määriteltäessä pyritään ottamaan oletuksena mahdollisimman harvalukuinen määrä aksioomia ja päättelysääntöjä. Sen jälkeen osoitetaan, että toisia käyttökelpoisia aksioomia voidaan johtaa oletettujen päättelysääntöjen avulla näistä oletuksena olevista aksioomista. Tämän myötä on helpompi todistaa yleisiä koko todistusjärjestelmää koskevia väitteitä. Käytännössä oletettujen ja johdettujen aksioomien eroavaisuudet eivät ole tärkeitä. Tärkeätä sen sijaan on se, että saatavilla on kokoelma peruslauseita ja 4

1 Johdanto johtamissääntöjä sekä se, että tarvittaessa kyseisen kokoelman avulla pystytään luomaan uusia lauseita ja johtamissääntöjä. Seuraavassa osiossa käydään läpi joukko hyödyllisiä sääntöjä, joiden avulla voidaan tehdä päättelyjä loogisten konnektiivien ja kvanttorien avulla. Kokoelma ei ole kaikenkattava, vaan on monia hyödyllisiä logiikan sääntöjä, joita se ei sisällä. Kokoelma antaa kuitenkin hyvän peruskatsauksen loogiseen päättelyyn matemaattisissa todistuksissa. Aluksi kappaleessa 2 annetaan suppea yleiskuva rakenteisiin päättelyketjuihin. Kappaleessa 3 keskitytään propositiologiikkaan ja näytetään, miten sitä sovelletaan rakenteisissa päättelyketjuissa. Siinä osoitetaan, miten loogisia väitteitä todistetaan todistusketjuilla, kerrotaan yleisistä propositiologiikan konnektiiveista ja niiden perussäännöistä. Lisäksi esitetään yleisemmät propositiologiikan päättelysäännöt, näytetään, miten rakenteisia päättelyketjuja sovelletaan sekä esitetään logiikan sijoitussäännöt. Näitä päättelysääntöjä havainnollistetaan kappaleessa 4 kokoelmalla esimerkkipäättelyjä. Kappaleessa 5 kuvaillaan predikaattilogiikkaa. Siinä esitellään universaalija eksitenssikvantifiointi sekä kvanttorien peruspäättelysääntöjä. Siinä esitetään myös yleisiä käyttökelpoisia kvantifiointisääntöjä sekä osoitetaan, miten niitä sovelletaan käytännön matemaattisissa todistuksissa. Viimeisessä kappaleessa on esimerkkejä tyypillisistä ongelmista, jotka ovat ratkaistu päättelyketjujen avulla ja joissa kvantifiointisääntöjä sovelletaan ei-triviaalisti. 5

2 Rakenteiset päättelyketjut Aluksi annetaan suppea yleiskuva rakenteisista päättelyketjuista. Yksityiskohtaisempi johdatus rakenteisiin päättelyketjuihin annetaan kirjassa [1], kuitenkin tarkka syntaksi on koottuna liitteessä. 2.1 Todistusketjut Tavanomainen tapa väitteen todistamiseksi on muodostaa ketju yhtäsuuruuksia Ketju vastaa väitteitä t 0 = t 1 =... = t n. t 0 = t 1 ja t 1 = t 2 ja... t n 1 = t n. Tästä ketjusta voidaan tehdä johtopäätös koska yhtäsuuruus on transitiivinen. t 0 = t n, Tällainen päättelyketju kirjoitetaan rakenteisena päättelyketjuna taulukossa 2.1 esitetyn syntaksin avulla. Jokainen päättelyketjussa olevista yhtäsuuruuksista perustellaan. Jotta saadaan tilaa suuremmille termeille ja kunnollisille perusteluille, jokainen termi ja perustelu kirjoitetaan omalle rivilleen. Tarvittaessa voidaan käyttää useampia rivejä sekä termeille että perusteluille. Todistus kirjoitetaan kahteen sarakkeeseen: ensimmäiseen kirjoitetaan relaatiosymbolit (esimerkki tapauksessa = ) ja toiseen kirjoitetaan termit sekä perustelut. Tarkoituksena on antaa todistukselle helposti kirjoitettava, luettava ja ymmärrettävä rakenne. 6

2 Rakenteiset päättelyketjut t 0 Taulukko 2.1: Päättelyketju = {perustelu yhtäsuuruudelle t 0 = t 1 } t 1 = {perustelu yhtäsuuruudelle t 1 = t 2 } t 2. t n 1 = {perustelu yhtäsuuruudelle t n 1 = t n } t n Esimerkki 1 Seuraavaksi osoitetaan, että summan ja erotuksen tulon kaava (a+b)(a b) = a 2 b 2 on tosi. Rakenteisena päättelyketjuna kirjoitettu todistus on seuraavanlainen: (a b) (a + b) = {polynomien kertolaskusääntöjen mukaan} a 2 + ab ba b 2 = {termit ab ja ba kumoavat toisensa} a 2 b 2 Yhtäsuuruus ei ole ainoa ralaatio, jota voidaan käyttää termien välissä. Itseasiassa siinä voidaan käyttää mitä tahansa transitiivista binääristä relaatiota. Tavallisimmin rakenteisissa päättelyketjuissa käytetyt relaatiot ovat (ekvivalenssi), (implikaatio) ja (käänteinen implikaatio) loogisten väitteiden välissä sekä = (yhtäsuuruus) ja järjestysrelaatiot kuten <, >,,... aritmeettisten ja algebrallisten lausekkeiden välissä, mutta myös muita relaatioita voidaan käyttää. Voidaan jopa käyttää erilaisia binäärisiä relaatioita samassa johdossa. Esimerkiksi yhtäsuuruus voidaan yhdistää minkä tahansa relaation kanssa: jos a b pitää paikkansa ( tässä on mielivaltainen binäärirelaatio ja b = c, niin silloin väite a c pitää myös paikkansa. 7

2 Rakenteiset päättelyketjut Taulukko 2.2: Rakenteinen päättelyketju Tehtävä - oletus 1. - oletus m {perustelu, että päättelyketju ratkaisee tehtävän} t 0 = {perustelu yhtäsuuruudelle t 0 = t 1 } t 1 = {perustelu yhtäsuuruudelle t 1 = t 2 } t 2. t n 1 = {perustelu yhtäsuuruudelle t n 1 = t n } t n Esimerkkinä relaatiosta, joka ei ole transitiivinen, on erisuuruus. : a b ja b c ei välttämättä tarkoita sitä, että a c. Yksinkertainen vastaesimerkki on 0 1 ja 1 0, jotka molemmat ovat totta, mutta 0 0 ei ole totta. 2.2 Väite ja oletus Yllä olevassa esimerkissä pelkästään todistus kirjoitettiin päättelyketjuna, mutta usein halutaan olla tarkkoja siitä, mikä tehtävä ratkaistaan ja mitkä oletukset ovat voimassa. Tällöin johdossa voidaan käyttää seuraavanlaista yleisempää muotoa, joka on esitetty taulukossa2.2. 8

2 Rakenteiset päättelyketjut Päättelyketju aloitetaan ratkaistavan tehtävän kuvauksella sekä todistuksessa sallittujen oletusten listaamisella. Tehtävä merkitään merkillä ja jokainen oletus merkitään merkillä. Mahdollisten oletusten jälkeen tuleva todistus merkitään merkillä (luetaan todistetaan ). Todistus lopetetaan merkillä (luetaan mikä piti todistaa ). Samalla rivillä todistusmerkin kanssa on perustelu siitä, miksi kyseinen ketju todistaa väitteen. Kuten aiemmin todetaan on kaksi saraketta, joista ensimmäiseen sarakkeeseen kirjoitetaan erikoissymbolit kuten,, ja relaatiosymbolit (tässä tapauksessa = ) ja toiseen kirjoitetaan termit ja perustelut. Seuraava esimerkki havainnollistaa tarkempaa todistusmuotoa. Esimerkki 2 Osoitetaan, että jos a, b ja c ovat ei-negatiivisia lukuja, niin on voimassa, että (1 + a) (1 + b) (1 + c) 1 + a + b + c Todistus, joka on kirjoitettu rakenteisena päättelyketjuna, on seuraava Osoita, että (1 + a) (1 + b) (1 + c) 1 + a + b + c kun a,b,c 0 {merkkien = ja yhdistämisellä saadaan } (1 + a) (1 + b) (1 + c) = {kerrotaan keskenään termit (1 + b) ja (1 + c)} (1 + a) (1 + b + c + bc) = {kerrotaan keskenään termit (1 + a) ja (1 + b + c + bc)} 1 + b + c + bc + a + ab + ac + abc {vähennetään lausekkeesta ei-negatiivinen termi ab + ac + bc + abc } 1 + a + b + c Tässä tapauksessa käytettiin termien välissä kahta erilaista relaatiota,= ja. Perustelussa selitetään, että relaatioiden = ja yhdistäminen, antaa relaation (toisin sanoen, jos a b ja b = c, niin siitä seuraa, että a c). Väite todistetaan sillä oletuksella, että a, b, c 0. 9

2 Rakenteiset päättelyketjut Lyhyempi todistusmuoto, joka kuvattiin ensin, on paljon sopivampi, jos todistuksesta ilmenee suoraan, mitä ollaan todistamassa ja oletukset ovat selvät asiayhteydestä. Usein on tapana käyttää todistusketjuissa trasitiivisia relaatioita. Pidempää muotoa tarvitaan, kun halutaan olla yksiselitteisempiä sen suhteen, mikä on ratkaistava tehtävä ja mitkä ovat oletukset. Käytännössä molempia muotoja käytetään rinnakkain. 2.3 Alijohdot Yksittäinen päättelyketju on riittävä niin kauan kuin jokainen ketjun sisältämä perustelu on suhteellisen yksinkertainen ja se voidaan tiivistää muutamalle riville. Jos perustelu on edellä mainittua monimutkaisempi, se on myös todistettava. Sen sijaan, että nämä peustelut kirjoitettaisiin erillään todistuksesta, ne voidaan sisällyttää siihen suoraan todistusaskeleena, jolla on oma alipäättelyketju ( tai alijohto tai tarkennettu päättely). Tarkastellaan tällaista lineaarisen johtamisen askelta: t R {perustelu} t Yksinkertaisen perustelun sijasta voimme todistaa väitteen t R t alijohtona. Alijohto voidaan kirjoittaa kuten taulukossa2.3. Edellä päättelyketju 1,..., päättelyketju n ovat kaikki alijohtoja, joilla on tavallisen päättelyketjun muoto (eli voidaan määritellä tehtävän, oletukset todistusketjun jokaiselle alijohdolle). Alijohto alkaa sarakkeen oikealta, jotta sen erottaisi pääjohdosta. Perustelu selventävää sen, miksi t R t on tosi, mikäli alijohdot voidaan ratkaista. Koska alijohdot voivat ajoittain olla pitkähköjä, merkitsimme toisen todistettavana olevan relaation termin (tässä tapauksessa t ) merkkijonolla.... Tämä helpottaa hahmottamaan sitä, mihin alijohto loppuu ja mistä pääjohto jatkuu. Esimerkki 3 Tässä osoitetaan, että m 2 n 2 3 pätee kaikille kokonaisluvuille, millä m > n. Todistukessa on askel, missä käytetään sääntöä, että kertolasku on monotoninen, toisin sanoen ab ab, jos a 0 ja b b. Todistusaskeleessa osoitetaan, että (m n) (m + n) (m n) 3. Päämääränä on osoittaa, että käytettävä monotonisuussääntö täyttyy eli m n 0 ja m + n 3. Tämä tehdään alijohdon avulla, joka alkaa sarakkeen oikealta, jotta sen erottaisi pääjohdosta. 10

2 Rakenteiset päättelyketjut Taulukko 2.3: Alijohto t = {perustelu} päättelyketju 1. päättelyketju n... t 11

2 Rakenteiset päättelyketjut Osoita, että m 2 n 2 3 kun m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, sekä m > n m 2 n 2 = {summan ja erotuksen tulo} (m n) (m + n) {kertolasku on monotoninen, m n 0 ja m + n 3} m > n {aritmetiikka} m n > 0 {aritmetiikka} m n 0 m > n ja n > 0 {m ja n ovat kokonaislukuja} m n + 1 ja n 1 {aritmetiikka} m 2 ja n 1 {aritmetiikka} m + n 3... (m n) 3 {oletusten mukaan m n 1 ja 3 0} 1 3 = {lasketaan} 3 Merkille pantavaa on, että pääjohdossa tehdyt oletukset ovat voimassa myös alijohdoissa. Tämän vuoksi oletuksia ei tarvitse toistaa alijohdoissa. Myöhemmin osoitetaan, että alijohdot voivat jopa sisältää uusia oletuksia. Jos tämänkaltaisten todistusten kirjoittamiseen ja lukemiseen käytetään tietokonetta ja mikäli tietokoneessa on alijohtojen näyttämiseen ja piilottamiseen 12

2 Rakenteiset päättelyketjut kykenevä tekstieditori (ns. outlineri tai outlining editori), silloin voi itse päättää siitä, millä tarkkuudella todistusta lukee. Alijohdot piilottamalla saadaan parempi yleiskuva todistuksesta, niiden esillä pitäminen puolestaan antaa yksityiskohtaisemman kuvan todistuksesta. Jos työskennellään käsin (kynällä ja paperilla), tällaista mahdollisuutta ei tietenkään ole, mutta siinä tapauksessa alijohdot voidaan kirjoittaa erilliselle paperiarkille. Todistusaskeleeseen kuuluvasta alijohdosta huomautetaan kolmella pisteellä (... ). 2.4 Havainnot päättelyketjuissa Kun johtoihin kirjoitetaan oletuksia, usein samalla voidaan tehdä havaintoja, jotka seuraavat enemmän tai vähemmän suoraan oletuksista. Nämä ovat väitteitä, jotka seuraavat oletuksista ja ne todistetaan erillään itse päätodistuksesta. Sen syntaksi on esitelty taulukossa 2.4. Havainnot merkitään + -merkillä toisin kuin oletukset, jotka merkitään -merkillä. Havainnolla pitää aina myös olla perustelu tai päättelyketju (tai molemmat). Perustelu on samaa muotoa kuin perustelut todistusketjun todistusaskeleessa. Perustelu voi olla yksinkertainen tai perustelun lisäksi voidaan tehdä alipäättely. Havainnot voidaan numeroita samaan tapaan kuin oletukset. Usein ne numeroidaan erityyppisesti, jotta ne erottuisivat. Esimerkissä alla nimetään oletukset pienillä kirjaimilla ja havainnot numeroin. Esimerkissä näytetään miten havaintoja käytetään päättelyketjuissa geometriassa. Esimerkki 4 Oletetaan, että korkeus jakaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusan suhteessa 3 : 7. Tehtävässä halutaan määritellä kateettien pituuksien suhde. Tehtävä ratkeaa yhdenmuotoisten kolmioiden avulla (yhdenmuotoisuudesta käytetään merkkiä ). Lähtökohtana on kuvio, jossa on nimettynä kolmion kulmat ( kuva 2.1). C D A B Kuva 2.1: Kolmio nimetyin pistein 13

2 Rakenteiset päättelyketjut Taulukko 2.4: Havainnot tehtävä - oletus 1. + havainto 1 {perustelu 1 } päättelyketju 11. päättelyketju 1m. Määritä kuvan kolmion kateettien pituuksien suhde, kun (a) DC BD = 3 7 [1] AC AB = DC AD kuva {hypotenuusaa vastaan piirretty korkeus jakaa suorakulmaisen kolmion kahteen kolmioon, jotka ovat yhdenmuotoiset alkuperäisen kolmion kanssa} ABC DAC {yhdenmuotoisuus} [2] AC AB = AD BD AC AB = DC AD {vastaava perustelu kuin yllä} AC AB = {kirjoitetaan uuteen muotoon} 14

2 Rakenteiset päättelyketjut Taulukko 2.5: Väittämien suora pelkistäminen tehtävä {perustelu} tehtävä 1. tehtävä m AC AB AC AB = {havainnot [1] ja [2]} DC AD AD BD = {sievennetään} DC BD = {oletus (a)} 3 7 Johtopäätös on, että kateettien (AB ja AC) suhde on 3 : 7. 2.5 Väitteiden suora sieventäminen Päättelyketju on käytännöllinen silloin, kun siinä on useita askeleita. Mikäli ketjussa on vain yksi askel, se tuntuu helposti keinotekoiselta. Tässä tapauksessa voimme käyttää vaihtoehtoista todistusmuotoa, jossa todistamme tehtävän suoraan alijohtojen avulla, kirjoitamatta sitä ensin todistusketjuna. Päättelyketju on silloin kuten taulukossa2.5: Alkuperäinen tehtävä ratkaistaan sieventämällä se joukoksi osatehtäviä. Osatehtävät kirjoitetaan tehtävään sisennyksellä. Perustelussa tehdään selväksi, miksi osatehtävien ratkaiseminen riittää alkuperäisen tehtävän ratkaisemiseksi. 15

2 Rakenteiset päättelyketjut On siis kaksi tapaa ratkaista tehtävä; ratkaistaan se päättelyketjujen avulla tai se voidaan sieventää yhdeksi tai useammaksi osatehtäväksi, jotka todistetaan. Osatehtävät voidaan ratkaista joko kirjoittamalla ne päättelyketjuina tai sieventämällä ne pienemmiksi osatehtäviksi. Sieventämistä havainnollistetaan näyttämällä, miten matemaattista induktiota käytetään rakenteisissa päättelyketjuissa. Esimerkki 5 Todistetaan, että väite ( n N 0 + 1 +... + n = ) n (n + 1) 2 pätee jokaiselle luonnollisella luvulle n. Osoitetaan väite induktion avulla. Todistus tapahtuu seuraavasti ( ) Osoita, että n N 0 + 1 +... + n = n(n+1) 2 {induktiotodistus} Perusaskel: osoita, että 0 + 1 +... + n = n(n+1) 2 kun n = 0 0 + 1 +... + n = n(n+1) 2 {sijoitetaan oletus n = 0} 0 = 0(0+1) 2 {nollalla kertominen} T Induktioaskel: osoita, että 0 + 1 +... + n = n (n +1) 2 kun n = n + 1 ja 0 + 1 +... + n = n(n+1) 2 0 + 1 +... + n = {oletus} 0 + 1 +... + n + (n + 1) = {induktio-oletus} n(n+1) 2 + (n + 1) = {muutetaan samannimisiksi} n(n+1)+2(n+1) 2 = {osittelulaki, vaihdantalaki} (n+1)(n+2) 2 = {oletus n = n + 1} n (n +1) 2 16

3 Propositiologiikka Keskeinen piirre rakenteisissa päättelyketjuissa on loogisten lausekkeiden ja sääntöjen käyttö matemaattisissa todistuksissa ja johdoissa. Logiikka on tietysti olennainen osa kaikkia todistuksia, mutta useimmiten sitä käytetään epämuodollisesti. Loogista merkintätapaa käytetään satunnaisesti ja silloinkin epäjärjestelmällisellä tavalla. Rakenteisissa päättelyketjuissa logiikkaa käytetään todistuksissa eksplisiitisesti sekä loogisia päättelysääntöjä että loogista merkintätapaa noudattaen. Loogisilla lausekkeilla lasketaan samalla tavalla kuin tavallisilla aritmeettisilla lausekkeilla. Taulukkoon 3.1 on kerätty yhteenveto rakenteisissa päättelyketjuissa käytetyistä loogisista merkinnöistä 1. 3.1 Loogisten konnektiivien ominaisuuksia Loogiset konnektiivit määritellään usein totuusarvotaulukolla. Taulukossa 3.2 on esitetty esimerkkejä konnektiivien totuusarvotaulukoista. Todistuksissa on varsin hankala viitata totuusarvotaulukoihin ja niiden sijasta viitataan loogisten konnektiivien perusominaisuuksiin. Kaikki konnektiivien perusominaisuudet voidaan todistaa totuusarvotaulukoiden avulla. Seuraavaksi esitellään sääntöjä, joilla loogiset termit liitetään toisiinsa implikaation ja ekvivalenssin avulla. Useimmista säännöistä on kaksi versiota, konjunktiolle ja disjunktiolle omansa. Säännöt muistuttavat toisiaan, sillä konjunktio ja disjunktio ovat duaali propositiologiikassa. Pienin ja suurin alkio: E p p T Tämä tarkoittaa sitä, että epätosi implikoi jokaisen väitteen kanssa ja jokainen väite implikoi totuuden kanssa. 1 Merkinnät ovat suhteellisen standardeja, vaikkakin joitain muunnelmia merkinnöistä löytyy. Esimerkiksi implikaatiosta voidaan käyttää merkitää ja ekvivalenssille on käytössä merkinnät ja. Konjunktiolle käytetään joskus merkintää & ja disjuktiolle. Universaalikvanttoria merkitään joskus merkinnällä Ax ja eksistenssikvanttoria Ex. 17

3 Propositiologiikka Taulukko 3.1: Loogiset symbolit ja operaatiot T : tosi, todenmukainen väite E : eptosi, valheellinen väite p : negaatio, väite p ei ole totta p q : sekä p ja q ovat tosia väitteitä p q : p, q tai molemmat väittee ovat tosia p q : jos p on tosi, niin silloin myös q on tosi p q : p on totta jos ja vain jos q on totta ( x p (x)) : väite p on tosi jokaiselle muutujan x arvolle ( x p (x)) : väite p on tosi jollakin muutujan x arvolle Taulukko 3.2: Loogisten konnektiivien totuusarvotaulukoita p p F T T F p q p q F F F F T F T F F T T T p q p q F F F F T T T F T T T T p q p q F F T F T T T F F T T T p q p q F F T F T F T F F T T T 18

3 Propositiologiikka Epätosi: P E E P E P Jos epätosi lisätään konjunktiolla väitteeseen, lauseke muuttuu epätodeksi. Kun taas epätoden lisääminen disjunktiolla väitteeseen ei muuta sitä. Tosi: P T P P T T Jos tosi lisätään konjunktiolla väitteeseen, sen totuusarvo ei muutu. Jos tosi taas lisäätään disjunktion avulla väitteeseen, siitä seuraa identtisesti tosi. Implikaatio on refleksiivinen: p p Jokainen väite implikoi itsensä kanssa. Konjunktio: p q p p q q Konjunktio, jossa on kaksi väitettä, implikoi myös molempien konjunktion väitteiden kanssa erikseen. Disjunktio: p p q q p q Jokainen väite implikoi sen disjunktion kanssa, jossa se on itse osallinen. Vastaväite/ristiriitaisuus: p p F Vastaväite (eli väitteen ja sen negaation konjunktio) on aina epätosi. 19

3 Propositiologiikka Kolmannen poissuljetun laki: p p T Jokainen väittämä on joko tosi tai epätosi (kolmannen poissuljetun laki eli ei ole olemassa mitään kolmatta vaihtoehtoa) Osittelulait: p (q q ) (p q) (p q ) p (q q ) (p q) (p q ) Konjunktio on distributiivinen disjunktion yli sekä disjunktio on distributiivinen konjunktion yli. de Morgan: (p q) p q (p q) p q Kaavat osoittavat, miten negaatio liitetään konjunktioon ja disjunktioon tai negaatio voidaan poistaa konjunktiosta ja disjunktiosta. Muunnokset eri konnektiivien välillä: p q ( p q) p q ( p q) p q p q p q (p q) (q p) Nämä säännöt osoittavat sen, miten erilaiset binääriset konnektiivit saadaan muutettua ekvivalenteiksi lausekkeiksi toisten konnektiivien avulla. Nämä loogiset säännöt muistuttavat aritmeettisten operaatioiden vastaavia sääntöjä, esim. a + 0 = a, a 0 = 0, a (b + c) = a b + a c jne. Säännöt ovat samantapaisia, mutta ne eivät ole identtisiä, minkä johdosta ne on syytä lukea huolellisesti. Perussäännöt ovat myös erittäin hyödyllisiä perusteltaessa 20

3 Propositiologiikka loogisia väitteitä. Niitä käytetään jatkuvasti myös käytännönläheisissä todisutuksissa. On olemassa myös muita käyttökelpoisia loogisia sääntöjä esimerkiksi konnektiivien uudelleen kirjoittamiseen, mutta toistaiseksi tyydytään näihin sääntöihin. 3.2 Loogisten väitteiden todistaminen päättelyketjuilla Seuraavaksi kuvaillaan, miten loogisia konnektiiveja käytetään hyväksi rakennettaessa päättelyketjuja. Edellisessä kappaleessa näytettiin, miten päättelyketjuja käytetään väitteissä, jotka ovat muotoa t t, missä t ja t ovat kaksi termiä ja on niiden välinen transitiivinen binäärinen relaatio. Loogiset väitteet, jotka ovat muotoa p q, p q ja p q, voidaan tällöin suoraan todistaa päättelyketjuilla, koska implikaatio ja ekvivalenssi ovat molemmat transitiivisia. Näille tapauksille saadaan seuraavat yleiset todistuskaaviot: Osoita, että p q on totta Osoita, että p q on totta Osoita, että p q on totta {alusta-loppuun todistus} {lopusta-alkuun todistus} {alusta-loppuun todistus} p q p {perustelu} {perustelu} {perustelu}... {perustelu} {perustelu} {perustelu} q p q Näillä kaavioilla havainnollistetaan miten toisen asteen yhtälö ratkaistaan. Tehtävänä on löytää looginen väite, joka on ekvivalentti yhtälön kanssa, mutta mistä muuttujan x arvo nähdään suoraan. Esimerkki 6. Tehtävänä on ratkaista toisen asteen yhtälö 7x 2 6x = 0. Seuraava rakenteinen päättelyketju ratkaisee yhtälön: Ratkaise yhtälö 7x 2 6x = 0 {ekvivalenssi on transitiivinen} 21

3 Propositiologiikka 7x 2 6x = 0 {osittelulaki: a (b + c) = ab + ac} x (7x 6) = 0 {tulon nollasääntö: ab = 0 (a = 0 b = 0)} x = 0 7x 6 = 0 {ratkaistaan disjunktion oikeanpuoleinen yhtälö} x = 0 x = 6 7 Johdossa muutetaan looginen lauseke 7x 2 6x = 0 ekvivalenssin säilyttävin askelin loogiseksi lausekkeeksi x = 0 x = 6 7, joka suoraan näyttää, mitkä kaksi arvoa muutuja x voi saada (muuttuja x voi saada arvon 0 tai arvon 6 7 ). Todistuskaavio on yksinkertainen ja hyvin käyttökelpoinen, mutta vaatii, että todistettava väite on tiettyä erityistä muotoa. Tyypillinen väite, joka ei ole tätä muotoa, on esim. p q. Tämän todistuskaavion muunnelmaa voidaan kuitenkin käyttää, koska jokainen looginen väite p on ekvivalentti väitteen p T kanssa. Looginen väite p todistetaan osoittamalla, että p on ekvivalentti totuusarvon T kanssa. Itse asiassa riittää osoittaa että T p pitää paikkansa, sillä ilmaisu p T on aina tosi. Päättelyketju, jolla osoitetaan väitteen p paikkansapitävyys, voi olla joko alusta-loppuun todistus (forward proof) tai lopusta-alkuun todistus (backwards proof). Alusta-loppuun todistuksessa aloitetaan jostakin todenmukaisesta (esimerkiksi totuusarvosta T ) ja johdetaan p siitä. Lopusta-alkuun todistuksessa aloitetaan väitteestä p ja osoitetaan että T seuraa väitteestä p (implikaation sijaan voidaan todistuksissa käyttää ekvivalenssia loogisten termien välissä). Toivottu päättely seuraa siitä, että implikaatio on transitiivinen. Seuraavat kaksi todistuskaaviota näyttävät menetelmän loogisten väitteiden todistamiseen: Todista, että p on tosi Todista, että p on tosi {lopusta-alkuun todistus} {alusta-loppuun todistus} p T {perustelu} {perustelu}.. {perustelu} {perustelu} T p 22

3 Propositiologiikka Todistuskaavioissa voidaan implikaation sijasta käyttää myös ekvivalenssia loogisten väitteiden välissä. Ekvivalenssi on myös transitiivinen eli jos p 1 p 2... p k niin siitä seuraa p 1 p k. Ekvivalensseja ja implikaatioita voidaan sekoittaa päättelyketjussa (edellyttäen, että implikaatiot ovat samaan suuntaan). Yleisesti päättelyketjuissa pyritään olemaan tarkkoja termien välisten suhteiden kanssa ja käytetään ekvivalenssia aina kun se on mahdollista, vaikka implikaatio olisikin riittävä väittämän todistamiseksi. Väitteen todistuksessa voidaan myös käyttää totuusarvoa E, kuten käy ilmi seuraavista todistusmalleista. Todista, että p on epätosi Todista, että p on tosi {todistus} {epäsuora todistus} p p {perustelu} {perustelu}.. {perustelu} {perustelu} E E Osoitetaan, että väite p on epätosi siten, että osoitetaan sen olevan ekvivalentti totuusarvon E kanssa. Koska E p on tosi jokaisella väitteellä p, riittää, että p E osoitetaan todeksi (vasemmanpuoleinen todistus). Koska p on tosi jos ja vain jos p on epätosi, voidaan käyttää vaihtoehtoista tapaa todistaa väite p, toisin sanoen osoitetaan, että p on epätosi. Tällaista todistusta kutsutaan epäsuoraksi todistukseksi (reduction ad absurdum) ja se on esitelty oikeanpuoleisessa todistusmallissa. Seuraavilla yleisillä säännöillä perustellaan tätä tapaa todistaa loogisiä väitteitä. Tosi ja epätosi: p (T p) p (p E) Esimerkiksi väitteen p q voidaan osoittaa saavaan totuusarvon tosi (T ) todistamalla, että T p q on voimassa ja vastaavasti voidaan osoittaa, että väite on epätosi todistamalla väite p q E. Sen sijaan, että aloitetaan totuusarvosta T, voidaan myös aloittaa jollakin muulla väitteellä, jonka tiedetään olevan totta. Käytännössä tämä tarkoittaa 23

3 Propositiologiikka sitä, että aloitetaan aksioomista, lauseesta tai oletusten konjunktioista (jotka kaikki ovat ekvivalentteja totuusarvon T kanssa). Epäsuora todistus aloitetaan vastaavasti ja lopetetaan, kun johdossa ollaan päädytty väitteen q q kaltaiseen väitteeseen eli ristiriitaan. Ristiriita on aina ekvivalentti totuusarvon E kanssa. Edellä esitettyjä tilanteita voidaan kuvailla seuraavin esimerkein. Todista p - A - B Todista p - A - B Todista p - A - B p {...} B {lopustaalkuun todistus} {alustaloppuun todistus} B {...} p {epäsuora todistus} p {...} Kahdessa ensimmäisessä tapauksessa todistetaan väite p, ja kolmannessa todistetaan väite p. Kaikissa tapauksissa on jokin vaihe jätetty ratkaisematta. Mikäli todistuksia täydennetään, saadaan seuraavanlaiset todistuskaaviot. Todista p Todista p B Todista p - A - B - A - B {lopustaalkuun todistus} p {...} B {oletus} T {alustaloppuun todistus} T {oletus} B {...} p - A - B {epäsuora todistus} p {...} B {oletus} B B {ristiriita} E 24

3 Propositiologiikka Tällä tavoin pystytään käytännössä välttämään totuusarvojen T ja E käyttäminen. Toisaalta totuusarvojen T ja E käyttö juuri selventää perustelun loogista rakennetta, joten niiden välttelyyn ei ole mitään syytä. Esimerkki 7 Osoitetaan, että jos k on kokonaisluku, niin k 2 + k on aina parillinen luku. Seuraavassa on lyhyt ja intuitiivinen todistus, että väite on tosi: Osoita, että k 2 + k on parillinen - kun k on kokonaisluku k 2 + k on parillinen {tekijöihin jako} k(k + 1) on parillinen {toinen perättäisistä kokonaisluvuista on aina parillinen, silloin niiden tulo on parillinen} T Jos viimeistä askelta ei nähdä riittävän tarkaksi, voidaan sille antaa vielä yksityiskohtaisempi todistus seuraavasti: Osoita, että k 2 + k on parillinen - kun k on kokonaisluku k 2 + k on parillinen {tekijöihin jako} k(k + 1) on parillinen {tosi-sääntö: p T p} T k(k + 1) on parillinen {kolmannen poissuljetun laki: T p p, k on pariton k on parillinen} (k on parillinen k on pariton) k(k + 1) on parillinen {osittelulaki: (q r) p (q p) (r p)} (k on parillinen k(k+1) on parillinen ) (k on pariton k(k+1) on parillinen) 25

3 Propositiologiikka { k on parillinen tulo k(k + 1) on parillinen, logiikan sääntö: (p q) (p q p)} k on parillinen (k on pariton k(k + 1) on parillinen) {k on pariton k + 1 on parillinen tulo k(k + 1) on parillinen, implikaatio on transitiivinen, logiikan sääntö: (p q) (p q p)} k on parillinen k on pariton {kolmannen poissuljetun laki} T Esimerkki 8 Klassinen esimerkki epäsuorasta todistuksesta on todistus sille, että 2 on irrationaaliluku. Todistus aloitetaan väitteen negaatiolla (oletetaan että 2 on rationaaliluku eli se voidaan kirjoittaa murtolukuna muotoon a b ). Sitten osoitetaan, että kyseinen oletus johtaa ristiriitaan. Osoita, että 2 on irrationaaliluku {epäsuora todistus, vastaoletus: luku 2 on rationaaliluku} 2 = a b {kerrotaan puolittain luvulla b ja korotetaan puolittain neliöön} 2b 2 = a 2 {alkutekijän 2 lukumäärä on pariton yhtälön vasemmalla ja parillinen yhtälön oikealla puolella} E Viimeistä vaihetta on vaikeata erottaa lyhyemmiksi vaiheiksi: alkutekijän 2 lukumäärä luvussa a 2 on kaksinkertainen verrattun lukuun a. 3.3 Loogisten konnektiivien päättelysäännöt Jotta rakenteisia päättelyketjuja voidaan muodostaa käytännössä, tarvitaan yllä kuvattujen aksioomien lisäksi kokoelma hyödyllisiä päättelysääntöjä. Päättelysäännöt ilmaisevat sen, että termien välinen relaatio pitää paikansa, mikäli tietyt toiset väitteet (hypoteesit) ovat totta. Rakenteisissa päättelyketjuissa nämä hypoteesit todistetaan alijohdoissa. Seuraavaksi tutustutaan käyttökelpoiseen joukkoon loogisten konnektiivien päättelysääntöjä. 26

3 Propositiologiikka Loogisten lausekkeiden ekvivalenssi Keskeinen sääntö on kahden loogisen lausekkeen ekvivalenssin todistaminen. Siihen tarkoitukseen voidaan käyttää sääntöä p {ekvivalenssin määritelmä}... q Todista, että p q Todista, että q p Ekvivalenssi p q voidaan siis todistaa kahdella alijohdolla. Osoitetaan väittämien p q sekä q p paikkansapitävyys. Implikaation ja ekvivalenssin todistaminen vaiheittain Jos implikaation tai ekvivalenssin haluaa todistaa vaiheittain, voidaan käyttää implikaation ja ekvivalenssin transitiivisuussääntöjä. p p {implikaatio on transitiivinen} {ekvivalenssi on transitiivinen}... r Todista, että p q Todista, että q r... r Todista, että p q Todista, että q r Tässä tapauksessa käsitellään kahta eri alijohtoa, joissa todistetaan väitteet p q ja q r. Johdoista voidaan tehdä yksinkertaisempia jättämällä transitiivisuus implisiittiseksi. Johto saa tällöin muodon: p p {alipäättelyketju} {alipäättelyketju} Todista, että p q Todista, että p q q q {alipäättelyketju} {alipäättelyketju} Todista, että q r Todista, että q r... r... r 27

3 Propositiologiikka Pitkät implikaatiojonot (ekvivalenssijonot) voidaan jakaa lyhyempiin välivaiheisiin, joiden avulla todistuksen havainnollistaminen ja kokonaiskuvan näkeminen on helpompaa. Konjunktion todistaminen Konjunktio todistetaan osoittamalla, että konjunktion kumpikin puoli on toteutuu. Toisin sanoen päättelysääntö on p {konjunktion muodostus} Todista, että p q Todista, että p r... q r Disjunktion todistaminen Samaan tapaan pystytään todistamaan, että disjunktio implikoi väitettä, jos molemmat disjunktion puolet implikoivat väitettä. q r {disjunktion todistaminen}... p Todista, että q p Todista, että r p Implikaation todistaminen q on tosi jos p on voimassa. Implikaatio p q todistetaan osoittamalla, että p {implikaation todistus}... q Todista, että q p Sijoitusperiaate Eräässä päättelyketjujen keskeisimmistä toimenpiteistä keskitytään lausekkeen pienempään osaan ja osoitetaan, että kyseinen osa on ekvivalentti toisen lausekkeen kanssa, jonka jälkeen korvataan alkuperäinen lausekkeen osa uudella osalla. Yleinen perustelu kyseiselle toimenpiteelle on sijoitussperiaate. 28

3 Propositiologiikka u[s] = {sijoitusperiaate}... u[t] Todista, että s = t Todistuksessa keskitytään lausekkeen osaan s, joka on osa suurempaa lauseketta u[s]. Lausekkeen osa s muunnetaan alijohdossa lausekkeeksi t, niin että s = t. Sijoitusperiaatten mukaan yhtäsuuruus u[s] = u[t] on tosi. Sijoitusperiaatetta voidaan myös käyttää epävirallisesti todistamatta sitä alijohdossa. u[s] = {sijoitus, s = t}... u[t] Esimerkki on seuraava todistusaskel päättelyketjussa. (Huomaa, että ekvivalessi loogisten lausekkeiden välillä on sama kuin yhtäsuuruus loogisten lausekkeiden välillä.) x = 0 7x 6 = 0 {sijoitusperiaate} 7x 6 = 0 {lisätään 6 puolittain yhtälöön} 7x = 6... x = 0 7x = 6 Sama asia ytimekkäämmin x = 0 7x 6 = 0 {lisätään 6 puolittain disjuktion oikeanpuoleiseen yhtälöön} x = 0 7x = 6 Alijohtoa käytetään yleensä silloin, kun yhtäsuuruuden s = t todistaminen ei ole triviaalia, muulloin riittään huomautus perustelussa. 29

3 Propositiologiikka Ikkunapäättely Looginen ekvivalenssi on sama kuin yhtäsuuruus loogisten lausekkeiden välillä, minkä johdosta sijoitusperiaatetta voidaan vapaasti soveltaa myös loogisiin lausekkeisiin. Loogisiin väitteisiin voidaan toisaalta soveltaa sijoitusperiaatetta paljon vahvempaa sääntökokoelmaa ns. ikkunapäättelysääntöjä. Perusideana säännöissä on se, että keskitytään loogisen lausekkeen osaan ja silloin on mahdollista tehdä lausekkeen ulkopuolisten tietojen avulla paikallisia oletuksia. Paikalliset oletukset tekevät haluttujen tuloksien todistamisesta tai johtamisesta yksinkertaisempaa. Konjunktiossa tai disjunktiossa oleville lausekkeen osille ovat voimassa seuraavat perussäännöt: p q p q {sijoittaminen konjunktiossa} {sijoittaminen disjunktiossa} Todista, että q r - p Todista, että q r - p... p r... p r Sijoitusperiaatteen mukaan ekvivalenssin p q p r todistamiseen rittää, että todistetaan ekvivalenssin q r. Ikkunapäättelysääntö on vielä hieman vahvempi. Mikäli pystytään todistamaan ekvivalenssi q r, saadaan olettaa, että p on tosi. Disjunktiossa sen sijaan saadaan olettaa, että p on epätosi, jos pystytään todistamaan ekvivalenssi q r. Kun keskitytään vain yhteen disjunktion tekijään, voidaan siis olettaa, että toinen disjunktion tekijä on epätosi! Tämä perustellaan sillä, että jos p on tosi, niin koko disjunktio on tosi, minkä johdosta sievennys on merkityksellinen ainoastaan silloin, kun p on epätosi. Implikaatiolle saadaan p q q p {sijoittaminen implikaatiossa} {sijoittaminen implikaatiossa} Todista, että q r - p Todista, että q r - p... p r... r p 3.4 Päättelysäännöt reduktiivisissa todistuksissa Yllä on esitelty, miten loogisia konnektiivejä voidaan käyttää johdoissa. Samoja sääntöjä voidaan myös käyttää reduktiivisissä todistuksissa. Esimerkkinä käytetään ekvivalenssin todistussääntöä. Vasemmalla sitä käytetään johdossa ja oi- 30

3 Propositiologiikka kealla sitä käytetään reduktiivisessa todistuksessa. Kyse on siis aivan samasta todistussäännöstä, ainoastaan syntaksi on erillainen. p {ekvivalenssin määritelmä} p q {ekvivalenssin määritelmä}... q Todista, että p q Todista, että q p Todista, että p q Todista, että q p Reduktiivisia todistuksia voidaan yhdistää todistusketjuihin siten, että esimerkiksi reduktiivinen todistus on uloimmalla tasolla ja hypoteesit todistetaan sisemmällä tasolla todistusketjuin tai päinvastoin. Reduktiivinen todistus on usein käyttökelpoinen todistettaessa väite siten, että tunnistetaan ensin erilaiset tapaukset ja sitten todistetaan jokainen tapaus erikseen (proof by cases). Saadaan seuraava todistussääntö: q {tapaussäänto} Todista, että p 1 p 2... p n Todista, että q - p 1 Todista, että q - p 2. Todista, että q - p n Ensiksi todistaan, että jokin tapauksista p 1,..., p n toteutuu aina. Sen jälkeen osoitetaan, että q on tosi jokaisessa yksittäisessä tapauksessa i oletuksella p i. Monesti kirjoitetaan p 1 = p ja p 2 = p, jolloin kolmannen poissuljetun lain mukaan p 1 p 2 p p T, minkä johdosta säännön ensimmäinen oletus on triviaali. 31

4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit Seuraavassa ratkaistaan muutamia esimerkkejä, jotka havainnollistavat miten loogisten konnektiivien sääntöjä sovelletaan käytännössä. Esimerkki 9 Tehtävänä on ratkaista kolmannen asteen yhtälö (x 1) ( x 2 + 1 ) = 0. Yleisesti kolmannen asteen yhtälöllä on kolme ratkaisua, mutta tässä tapauksessa ratkaisuja on ainoastaan yksi. Päättelyketju havainnollistaa disjunktion sääntöjen soveltamista. Ratkaise yhtälö (x 1)(x 2 + 1) = 0 (x 1)(x 2 + 1) = 0 {tulon nollasääntö: ab = 0 a = 0 b = 0} x 1 = 0 x 2 + 1 = 0 {lisätään puolittain luku 1 disjunktion vasemmanpuoleiseen yhtälöön} x = 1 x 2 + 1 = 0 {lisätään puolittain luku 1 disjunktion oikeanpuoleiseen yhtälöön} x = 1 x 2 = 1 {neliö ei ole koskaan negatiivinen} x = 1 F {epätosi disjunktiossa} x = 1 32

4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit Esimerkki 10 Ongelmana on määrittää, millä muuttujan x arvoilla lauseke x 1 on määritelty. Tämä päättelyketju havainnollistaa negaation ja de Morganin sääntöjen käyttöä loogisten lausekkeiden x 2 1 muokkaamisessa. Määritä millä muuttujan x arvoilla lauseke x 1 x 2 1 on määritelty x 1 x 2 1 on määritelty {ehto, että rationaalilauseke on määritelty} x 2 1 0 {siirrytään loogiseen merkintätapaan} (x 2 1 = 0) {yhtälön ratkaiseminen} x 2 1 = 0 {summan ja erotuksen tulo} (x + 1)(x 1) = 0 {tulon nollasääntö} x = 1 x = 1... (x = 1 x = 1) {de Morganin sääntö} (x = 1) (x = 1) {muutetaan merkintätapa} x 1 x 1 Esimerkki 11 Tehtävänä on ratkaista yhtälö x 1 + 2x y = 0. Päättelyketju havainnollistaa konjunktion ja ikkunapäättelysäännön käyttöä yhtälön ratkaisemisessa. Ratkaise yhtälö x 1 + 2x y = 0 x 1 + 2x y = 0 {itseisarvo ei ole koskaan negatiivinen} x 1 = 0 2x y = 0 33

4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit {lisätään puolittain luku 1 konjuntion vasemmanpuoleiseen yhtälöön} x = 1 2x y = 0 {ikkunapäättely, sievennetään konjunktion oikeanpuoleista yhtälöä} Ratkaise yhtälö 2x y = 0 - kun x = 1 2x y = 0 {oletus x = 1} 2 y = 0 {ratkaistaan y} y = 2... x = 1 y = 2 Esimerkki 12 3 = 2x: Esimerkkinä tarkastellaan itseisarvoja sisältävää yhtälöä, x Ratkaise yhtälö x 3 = 2x x 3 = 2x {itseisarvon määritelmä} (x 3 = 2x x 3 = 2x) x 0 {sievennetään sulkulauseketta, sijoittaminen konjunktiossa} Sievennetään konjunktion vasemmanpuoleinen tekijä x 0 x 3 = 2x x 3 = 2x {ratkastaan vasemmanpuoleinen yhtälö} x = 3 x 3 = 2x {ratkaistaan oikeanpuoleinen yhtälö} x = 3 x = 1 {käytetään oletusta} F x = 1 {sievennetään} x = 1... x = 1 x 0 {sievennä} x = 1 34

4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit Esimerkki 13 Tarkastelemme seuraavaa ongelmaa. Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan pituus on 15 cm piirin ollessa 36 cm. Määritä kateettien pituus. Päättelyssä käytetään apuna Pythagoraan lausetta a 2 + b 2 = c 2, jossa a ja b ovat kateetteja ja c on hypotenuusa. Kolmion piiri lasketaan sivujen summana eli a + b + c. Laske kateettien pituus kolmiossa: [1] kolmio on suorakulmainen kolmio, jossa kateetit ovat a ja b sekä hypotenuusa c, [2] c = 15(cm), ja [3] kolmion piiri on 36(cm) [1] [3] {pythagoraan lause, piirin määritelmä} a 2 + b 2 = c 2 a + b + c = 36 {oletus [2]} a 2 + b 2 = 15 2 a + b + 15 = 36 {ratkaistaan b oikeanpuoleisesta yhtälöstä} a 2 + b 2 = 15 2 b = 21 a {sijoitetaan oikeanpuoleisesta yhtälöstä ratkaistu b vasemmanpuoleiseen yhtälöön, 15 2 = 225} a 2 + (21 a) 2 = 225 b = 21 a {lasketaan (21 a) 2 } a 2 + 441 42a + a 2 = 225 b = 21 a {sievennetään vasemmanpuoleinen yhtälö} 2a 2 42a + 216 = 0 b = 21 a {ratkaistaan toisen asteen yhtälö} Ratkaise 2a 2 42a + 216 = 0 {transitiivisuus} 35

4 Rakenteiset päättelyketjut ja konnektiivit 2a 2 42a + 216 = 0 {toisen asteen yhtälön ratkaisukaava} a = ( 42)± 42 2 4 2 216 2 2 {sievennetään} a = 42± 1764 1728 4 {sievennetään} a = 42±6 4 {sievennetään} a = 9 a = 12... (a = 9 a = 12) b = 21 a {osittelulaki: (p q) r = (p r) (q r)} (a = 9 b = 21 a) (a = 12 b = 21 a) {sijoitetaan muutujan a arvo muuttujan b yhtälöön} (a = 9 b = 21 9) (a = 12 b = 21 12) {sievennetään} (a = 9 b = 12) (a = 12 b = 9) Vastauksesta käy ilmi, että ensimmäisen kateetin pituus on 9 cm ja toisen kateetin pituus on 12 cm. Todistus aloitettiin luettelemalla oletukset ([1] ja [3]). Johdossa osoitetaan, että oletukset ovat ekvivalentteja väitteen (a = 9 b = 12) (a = 12 b = 9) kanssa. Koska oletukset ovat tosia, väitteenkin täytyy olla tosi ja tehtävä on siis ratkaistu. 36

5 Predikaattilogiikka Jos muuttuja x korvataan lausekkeessa x > 5 jollain arvolla, saadaan lauseke ilman muuttujaa. Riippuen siitä mikä arvo sijoitetaan muutujan x paikalle, lauseke on tosi (esim. sijoitus x := 7 antaa ehdon 7 > 5) tai epätosi (sijoitus x := 3 antaa ehdon 3 > 5). Perikaattilogiikan avulla saadaan työkalu loogisten lausekkeiden avulla päättelemiseen tapauksissa, missä lausekkeen totuusarvo riippuu siitä, mikä arvo muuttujalle lausekkeessa annetaan. 5.1 Kvanttorit Tarkastellaan lauseketta x + 1 > x. Riippumatta siitä mikä arvo sijoitetaan muuttujalle x, lausekkeen totuusarvo tulee aina olemaan T. Siispä voidaan väittää, että x + 1 > x on totta kaikille muuttujan x arvoilla. Käytetään kaikkikvanttoria kuvaamaan tilannetta: jokin väite on tosi jonkin muuttujan kaikilla mahdollisilla arvoilla. Väite x 2 > x on jälleen tosi eräillä muuttujan x arvoilla (esim. x = 2), mutta se on epätosi toisilla muuttujan x arvoilla (esim. x = 1). Olemassaolokvanttoria voidaan käyttää kuvaamaan tilannetta, missä jokin väite on tosi jollekin muuttujan arvoilla (mutta mahdollisesti epätosi jollain toisella arvolla). Kaikkikvanttoreita ja olemassaolokvanttoreita käsitellään predikaattilogiikassa kuten seuraavassa kuvaillaan. Kaikkikvanttori Kaikkikvanttori luetaan kaikille (eng. for all ). Puhutaan myös universaalikvanttorista. Esimerkki osoittaa parhaiten, miten sitä käytetään. Väite x + 1 > x on totta kaikille reaaliluvulle x kirjoitetaan ( x x + 1 > x) ja luetaan kaikille x pätee, että x + 1 > x. Sulkeet kuuluvat syntaksiin kuten myös piste, joka erottaa kvantifioidun muuttujan kvantifioidusta lausekkeesta. 37

5 Predikaattilogiikka Useampia muuttujia voidaan kvantifioida samanaikaisesti. Lauseke ( x y x + y + 1 > x + y 1) väitttää, että x + y + 1 > x + y 1 pätee kaikille mahdollisille muuttujien x ja y arvojen kombinaatioille. Lauseke on oikeastaan lyhennelmä lausekkeesta ( x ( y x + y + 1 > x + y 1)). Monet matemaattiset väitteet vaativat kvanttoreita, jotta ne voidaan muodostaa täsmällisesti. Esimerkiksi ( x f(x) a) sanoo, että funktio f on ylhäältä rajoitettu (rajana a). Kaikkikvanttori ja tootuusarvo Väite ( x x+1 > x) on totta, koska väite x+ 1 > x on totta kaikille sallituille muuttujan x arvoille. On siis oikein kirjoittaa ( x x + 1 > x) T. Puolestaan lauseke ( x x 2 x ) ei ole totta, koska on olemassa vastaesimerkki: jos muuttuja x saa arvon 1 2, väite x2 x on epätosi. Siis ( x x 2 x) F pätee, koska x 2 x ei ole totta kaikille muuttujan x arvoille. Kaikkikvantifiointi lauseke voidaan ymmärtää päättymättömänä konjunktiona, erityisesti jos muuttuja on joukossa, joka voidaan kirjoittaa luettelemalla. Väite ( x x + x = 2x) missä x on luonnollinen luku, voidaan ymmärtää päättymättömänä lausekkeena 0 + 0 = 2 0 1 + 1 = 2 1 2 + 2 = 2 2 3 + 3 = 2 3... Tarkka looginen merkitys kvantifioinnille ei ole konjunktio (ja päättymämätöntä lauseketta ei voida käsitellä tavallisella logiikalla), mutta monet kaikkikvanttorin ominaisuudet voidaan nähdä konjunktion yleistettyinä ominaisuuksina. 38

5 Predikaattilogiikka Olemassaolokvanttori Olemassaolokvanttori luetaan on olemassa (eng. there exists ). Esimerkki havainnollistaa parhaiten sen käyttöä: ( x x 2 = 2 ) luetaan on olemassa reaaliluku x siten, että x 2 = 2. Kvanttori sitoo muuttujan x. Implisiittisesti voidaan olettaa, että muuttuja x kuuluu reaalilukuihin. Olemassaolokvanttoria voidaan pitää kaikkikvanttorin duaalina, se kertoo, jos väite on totta jollain muuttujan x arvolla ja se voidaan nähdä disjunktion yleistyksenä. Olemassaolokvanttori tulee käyttöön ominaisuuksien määrittelyssä esim. jaollisuudessa. Tiedetään, että luku 18 on jaollinen luvulla 6, koska jakolasku 18/6 menee tasan (tulos on 3). Tarkemmin jaollisuudesta seuraa, että on olemassa luku (nimittäin luku 3) joka kerrotaan luvulla 6 ja saadaan luku 18. Yleinen kirjoitusmuoto m n (luetaan m jakaa luvun n tai m on luvun n tekijä tai n on jaollinen luvulla m ) määritellään m n ( k km = n). Kvantifioitu väite Muuttuja x on sidottu loogisessa lausekkeessa, jos se esiintyy lausekkeen ( x... x...) tai ( x... x...) yhteydessä. Silloin sanotaan, että muuttuja x on lausekkeessa kvanttorin sitoma. Sama muuttuja x voi esiintyä sekä sidottuna että vapaana loogisessa lausekkeessa. Esimerkkinä lauseke x y ( x x 0 x + y 0) Tässä muuttuja y on lausekkeessa vapaa, kuten myös muuttujan x ensimmäinen esiintymä, samaan aikaan kun toinen ja sitä seuraava muuttujan x esiintymä on kvanttorin x sitoma. Kirjoitetaan p (x) osoittamaan sitä, että muuttuja x esiintyy vapaana väitteessä p, toisin sanoen lausekkeessa on yksi tai useampi muuttujan x esiintymä, joita ei yksikään kvanttori sido. Jos t on termi, kirjoitetaan p (t) loogiselle väitteelle, joka saadaan korvaamalla jokainen muuttujan x vapaa esiintymä väitteessä p termillä t. Väite yllä voidaan kirjoittaa merkinnällä p (y), eli p (y) = x y ( x x 0 x + y 0) koska y esintyy vapaana lausekkeessa. Jos t on termi z 2 + 1, silloin saadaan p (t) = x ( z 2 + 1 ) ( x x 0 x + ( z 2 + 1 ) 0 ) 39

5 Predikaattilogiikka toisin sanoen se saadaan, kun korvataan jokainen muuttujan y vapaa esiintymä termillä z 2 + 1. Väittämä voidaan myös kirjoittaa p (x), p (x) = x y ( x x 0 x + y 0) ja ilmaistaan siten, että muuttuja x esiintyy vapaana väitteessä. Samalla termillä t = z 2 + 1 saadaan p (t) looginen lauseke p (t) = (z 2 + 1) y ( x x 0 x + y 0). Vain ensimmäinen (vapaa) muuttujan x esiintymä korvataan termillä t ja sidottu esiintymä jätetään entiselleen. Kvantifioidun muuttujan nimen vaihtaminen Nimen valinta kvantifioiduille muuttujille ei vaikuta siihen, mitä kvantifioitu lauseke tarkoittaa. Jos on esim. kvantifioitu lauseke ( a... a...) missä a esiintyy yhden tai useamman kerran kvantifioituna lausekkeessa, niin a voidaan korvata jollain muulla muuttujalla esim. muuttujalla b ja saadaan ekvivalentti lauseke ( b... b...). Ehtona tässä on se, ettei b jo ennestään esiinny lausekkeessa ja jokainen a korvataan muuttujalla b. Oikeanpuoleiseen konjunktion väitteeseen lausekkeessa x y ( x x 0 x + y 0) voidaan esim. muuttuja x korvata muuttujalla z ja saadaan x y ( z z 0 z + y 0) Tämä on sallittua, koska z ei esiinny aiemmin kvantifioidussa lausekkeessa. Sitä vastoin muuttujaa x ei saa korvata muuttujalla y, toisin sanoen x y ( x x 0 x + y 0) x y ( y y 0 y + y 0) Tässä tapauksessa muuttuja y, joka on lausekkeessa ja on vapaa (toisin sanoen ei ole kvanttorin sitoma), tulee kvanttorin sitomaksi uudessa lausekkeessa sillä seurauksella, että loogisen lausekkeen merkitys on jotain aivan muuta kuin aiemmin. 40

5 Predikaattilogiikka Rajoitettu kvantifiointi Kvantifioidussa lausekkeessa muuttujan ajatellaan usein kuuluvan implisiittisesti johonkin lukualueeseen. Usein kuitenkin pitää olla täsmällisempi ja ilmaista suoraan mille lukualueelle kvantifioitu muuttuja kuuluu. Tällöin voidaan käyttää hyväksi rajoitettua kvantifiointia. Rajoitettu kaikkikvanttori on muotoa ( x : p(x) q(x)) ja rajoitettu olemassaolokvanttori on muotoa ( x : p(x) q(x)). Tässä p (x) on ehto, joka rajoittaa arvoja, joita kvantifioitu muuttuja voi saada. Esimerkkinä on ( x : 1 x 10 x 2 < y). Tämä väite on totta, jos x 2 < y toteutuu kaikille muuttujan x arvoille, jotka toteuttavat ehdon 1 x 10. Samaan tapaan väite ( x : 1 x 10 x 2 < y) on totta, jos on olemassa jokin arvo muuttujalle x joka toteuttaa ehdon 1 x 10 ja jolla lauseke x 2 < y toteutuu. Rajoitettu kvantifiointi on yksinkertainen ja käytännöllinen merkintätapa, jota usein sovelletaan käytännössä. Se määritellään tavallisen kvantifioinnin avulla seuraavasti: ( x : p(x) q(x)) ( x p(x) q(x)) ( x : p(x) q(x)) ( x p(x) q(x)) Usein rajoitetusta kvantifioinnista käytetään lyhennysmerkintää. Tässä on muutama tavallista lyhennysmerkintää kaikkikvanttorille, mutta vastaava lyhennysmerkintää käytetään myös olemassaolokvanttorille: ( x R q(x)) ( x : x R q(x)) ( x 0 q(x)) ( x : x 0 q(x)) Lauseke ( x R q(x)) voidaan myös kirjoittaa muodossa ( x : R q(x)) (toisin sanoen kaytetään kaksoinpistettä merkin sijasta ilmaistaessa lukujoukkoon kuulumista). 5.2 Kvantifioidun lausekkeen päättelysääntöjä Kvantifioinnin keskeiset säännöt kertovat, miten lausekkeeseen lisätään kvanttori ja miten se poistetaan lausekkeesta. Kaikkikvanttorille on kaksi keskeistä sääntöä ja dualisti on kaksi sääntöä myös olemassaolokvanttorille. Erikoistuminen Jos termi t on vapaa muuttujasta x loogisessa väitteessä p, saadaan ( x p(x)) p(t) Toisin sanoen, jos universaalisti kvantifioitu lause ( x p(x)) on tosi, lause p to- 41