Fibonaccin luvuista ja matriiseista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Maria Jännes Fibonaccin luvuista ja matriiseista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 01

Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MARIA, JÄNNES: Fibonaccin luvuista ja matriiseista Pro gradu -tutkielma, 7 s Matematiikka Toukokuu 01 Tiivistelmä Tässä työssä tutustutaan Fibonaccin lukuihin ja matriiseihin Fibonaccin ja Lucas n luvut määritellään ensin rekursiivisesti, ja kultaisen leikkauksen esittelyn jälkeen johdetaan vielä molemmille eksplisiittiset, ns Binet n kaavat, joiden avulla voidaan laskea haluttu Fibonaccin tai Lucas n luku, vaikkei edellisiä lukuja tunneta Tutustutaan sitten joihinkin tunnettuihin Fibonaccin ja Lucas n lukujen ominaisuuksiin Pääluvussa esitellään Fibonaccin matriiseja, siis matriiseja, joiden alkioina Fibonaccin luvut esiintyvät Fibonaccin lukujen ja matriisien ominaisuuksia ja laskusääntöjä käyttäen johdetaan ja todistetaan lisää Fibonaccin lukujen identiteettejä Päälähdeteoksena on käytetty Thomas Koshyn teosta Fibonacci and Lucas numbers with applications 1

Sisältö 1 Johdanto 3 Valmistelevia tarkasteluja 3 3 Fibonaccin luvuista 3 31 Fibonaccin luvut 4 3 Lucas n luvut 5 33 Kultainen leikkaus 6 34 Binet n kaavat 7 4 Fibonaccin matriiseista 10 41 Q-matriisi 10 4 Cassinin lause 11 43 M-matriisi 14 44 Karakteristinen yhtälö ja ominaisarvot 15 45 R-matriisi 16 46 Cramerin lause 17 47 Lambda-funktio 19 48 P-matriisi 0 Viitteet 7

1 Johdanto Tässä työssä tarkastellaan Fibonaccin lukuja ja matriiseja Päälähteenä on käytetty Thomas Koshyn teosta Fibonacci and Lucas numbers with applications, jonka lukua 3 työ pääpiirteissään seuraa Työssä tarvittavat pohjatiedot Fibonaccin ja Lucas n luvuista ja ominaisuuksista on koottu suurelta osin saman kirjan edeltävistä luvuista 1, 5 ja 8 Tämän tutkielman luvussa esitellään lyhyesti joitakin työn kannalta oleellisia matriisien ominaisuuksia ja laskusääntöjä Luvussa 3 määritellään Fibonaccin ja Lucas n luvut ensin rekursiivisesti ja kultaisen leikkauksen esittelyn jälkeen johdetaan vielä molemmille ns Binet n kaavat, joiden avulla voidaan laskea haluttu Fibonaccin tai Lucas n luku, vaikkei tunneta edellisiä lukuja Pääluvussa esitellään Fibonaccin matriiseja, siis matriiseja, joiden alkioina Fibonaccin luvut esiintyvät Fibonaccin lukujen ja matriisien ominaisuuksia ja laskusääntöjä käyttäen johdetaan ja todistetaan lisää Fibonaccin lukujen identiteettejä Ensimmäisenä esitellään Q-matriisi, jonka avulla todistetaan mm Cassinin lause Työn edetessä saamme näin hiukan tutustua Fibonaccin ja Lucas n lukujen moninaisiin ominaisuuksiin ja niiden yhteyksiin matriiseihin Valmistelevia tarkasteluja Luvussa esitämme lyhyesti muutamia pääaiheemme käsittelyssä tarvitsemiamme apuneuvoja Luettelemme joitakin matriisien ominaisuuksia ja laskusääntöjä (vrt [3, s 547 549]) Määrittelemme mm matriisin ominaisarvot ja esitämme neliömatriisin karakteristista yhtälöä koskevan Cayley- Hamiltonin lauseen Huomautus 1 Matriisin A determinanttia merkitään det A A Huomautus Matriisin raja-arvolla tarkoitamme alkioittaista raja-arvoa Määritelmä 1 Olkoon A (a ij ) n n, ja olkoon I n n-identiteettimatriisi Sanomme yhtälöä A xi 0 matriisin A karakteristiseksi yhtälöksi Yhtälön ratkaisuja kutsumme matriisin A ominaisarvoiksi Lause 1 (Cayley-Hamiltonin lause) Jokainen neliömatriisi toteuttaa karakteristisen yhtälönsä (ks [3, s 366]) 3 Fibonaccin luvuista Luvussa 3 määrittelemme Fibonaccin ja Lucas n lukujonot (vrt [3, s 6]) Lisäksi esittelemme kultaisen leikkauksen, ja johdamme siitä Binet n kaa- 3

van Fibonaccin lukujen laskemiseksi Tähän lukuun on myös kerätty jatkon kannalta tarpeellisia Fibonaccin lukujen ominaisuuksia todistuksineen 31 Fibonaccin luvut Fibonaccin lukujono määritellään antamalla ensin alkuehto, jonka mukaan jonon ensimmäiset luvut ovat F 0 0 ja F 1 1 Jonon seuraava luku lasketaan näiden jälkeen aina kahden edellisen luvun summana Määritelmä 31 Olkoon F 0 0, F 1 1, F n F n 1 + F n, kun n > 1 Lukujonoa F 0, F 1, F,, F n, sanomme Fibonaccin lukujonoksi Sen jäseniä sanomme Fibonaccin luvuiksi Esimerkki 31 Taulukkoon 1 on laskettu Fibonaccin lukujonon ensimmäisiä jäseniä Taulukko 1: Fibonaccin lukuja n 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 F n 0 1 1 3 5 8 13 1 34 55 Huomautus 31 Myöhemmin tarvitaan mm seuraavia yhtälöitä, jotka voidaan johtaa suoraan määritelmästä 31 sijoittamalla n k+1 ja n k+: F k 1 + F k F k+1, F k + F k+1 F k+ Määritelmän 31 mukaan F n+ F n+1 + F n ja F n+1 F n + F n 1, joten F n+ (F n + F n 1 ) + F n F n + F n 1 Kun n k, saadaan tästä lisäksi tulos ja kun n k + 1, saadaan F k+ F k + F k 1, F k+3 F k+1 + F k Luvussa 46 käytämme apuna tulosta, jonka mukaan kahden peräkkäisen Fibonccin luvun suurin yhteinen tekijä, syt(f n, F n+1 ) 1 Tämän ominaisuuden voisi helposti johtaa myöhemmin esitetystä Cassinin lauseesta 4 kuten lähdeteoksessa on tehty (ks[3, s 75]) Koska käytämme tulosta myöhemmin nimenomaan Cassinin lauseen todistuksessa, vältämme kehäpäätelmän, kun todistamme sen tässä lähdeteoksesta poiketen 4

Apulause 31 Olkoon syt(a, b) 1 Tällöin syt(b, a + b) 1 Todistus Oletetaan, että syt(a, b) 1 Tehdään vastaoletus, että on olemassa jokin sellainen luku r > 1 että syt(b, a+b) r Nyt r jakaa siis sekä luvun b että luvun a + b, joten voimme kirjoittaa b rc ja a + b rd joillakin c, d Z Koska a a + b b rd rc r(d c), r jakaa myös luvun a, ja päädymme näin ristiriitaan oletuksen kanssa Siis syt(b, a + b) 1 Lause 3 Kahden peräkkäisen Fibonccin luvun suurin yhteinen tekijä, syt(f n, F n+1 ) 1 Todistus Todistamme lauseen induktiolla Toteamme, että väite on tosi, kun n 0, sillä syt(f 0, F 1 ) syt(0, 1) 1 Oletetaan sitten, että väite on tosi, kun n k, siis syt(f k, F k+1 ) 1 Nyt voimme Fibonaccin lukujen määritelmän mukaan kirjoittaa syt(f k+1, F k+ ) syt(f k+1, F k + F k+1 ) Induktio-oletuksen perusteella syt(f k, F k+1 ) 1 joten apulauseen 31 mukaan syt(f k+1, F k + F k+1 ) 1 ts syt(f k+1, F k+ ) 1 Siis väite on tosi, kun n k + 1 Induktioperiaatteen mukaan väite on tosi aina, kun n 0 3 Lucas n luvut Lucas n luvut lasketaan samoin kuin Fibonaccin luvut aina kahden edellisen luvun summana Jonon ensimmäiset luvut ovat kuitenkin toiset, ja näin saadaan uusi lukujono Määrittelemme Lucas n luvut lähdeteoksesta ([3, s 8]) poiketen alkaen luvusta L 0, sillä tämä on yleisen standardin mukainen tapa Määritelmä 3 Olkoon L 0, L 1 1, L n L n 1 + L n, kun n > 1 Lukujonoa L 0, L 1, L,, L n, sanomme Lucas n lukujonoksi Sen jäseniä sanomme Lucas n luvuiksi Esimerkki 3 Taulukkoon on laskettu Lucas n lukujonon ensimmäisiä jäseniä Taulukko : Lucas n lukuja n 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 L n 1 3 4 7 11 18 9 47 76 13 Lause 33 Olkoon n 1 Tällöin L n F n+1 + F n 1 5

Todistus Todistus on lähdeteoksessa (ks[3, s 80]) jätetty harjoitustehtäväksi Todistetaan lause induktiolla Väite on tosi, kun n 1, sillä 1 1+0 Siis L 1 F +F 0 Lisäksi L F 3 +F 1, sillä 3 +1 Siis väite on tosi, kun n Teemme induktio-oletuksen, että L k F k+1 + F k 1 ja L k 1 F k + F k, kun k Nyt Lucas n lukujen määritelmän 3 mukaan voimme kirjoittaa L k+1 L k + L k 1 Induktio-oletuksen ja Fibonaccin lukujen määritelmän perusteella saamme L k+1 F k+1 + F k 1 + F k + F k (F k+1 + F k ) + (F k 1 + F k ) F k+ + F k F (k+1)+1 + F (k+1) 1 Siis väite on tosi, kun n k + 1 Induktioperiaatteen mukaan L n F n+1 + F n 1 aina, kun n 1 33 Kultainen leikkaus Kultainen leikkaus tai kultainen suhde esiintyy, samoin kuin Fibonaccin luvut, useissa geometrisissa kuvioissa, taiteessa ja luonnon mittasuhteissa Kultainen leikkaus syntyy, kun jaamme janan kahteen osaan siten, että koko janan suhde sen pitempään osaan on sama kuin pitemmän osan suhde lyhyempään Kultaisen leikkauksen suhdelukua merkitään yleisesti kreikkalaisella kirjaimella φ (fii) Merkinnän sanotaan juontuvan kuuluisan kreikkalaisen kuvanveistäjän Phidias n (490-430 ekr) nimestä (Vrt [4, s 110]) Määritelmä 33 Olkoon φ luku, joka toteuttaa yhtälön 1 φ φ 1 Sanomme, että yhtälön positiivinen ratkaisu φ on kultainen suhde Voimme kirjoittaa määritelmän 33 yhtälön muotoon φ φ 1 0, ja saamme ratkaisut φ 1 + 5 tai φ 1 5, joista vasen on positiivinen Merkitsemme ratkaisuja jatkossa α 1 + 5 ja β 1 5 6

34 Binet n kaavat Suhdeluku φ liittyy myös Fibonaccin lukuihin Näiden välinen yhteys selviää, kun johdamme Fibonaccin luvuille lausekkeen, jonka avulla voimme laskea luvun F n, vaikka emme tietäisi jonon edellisiä jäseniä Koska tämä esitys tuo selkeyttä myös luvun 4 tarkasteluihin Q-matriisin karakteristisesta yhtälöstä (44) ja voimme hyödyntää sitä useiden Fibonaccin ja Lucas n lukuja koskevien ominaisuuksien todistuksissa, uhraamme seuraavaksi muutaman sivun asian esittelyyn Olkoot α ja β yhtälön x x 1 0 ratkaisut kuten edellä on todettu Voimme laskea, että α + β 1 + 5 + 1 5 1, αβ 1 + 5 1 5 1, α β 1 + 5 1 + 5 5 Lause 34 Olkoon n 1 ja α 1+ 5 Tällöin α n αf n + F n 1 Todistus Todistus on lähdeteoksessa (vrt [3, s 78]) jätetty harjoitustehtäväksi Todistamme lauseen induktiolla Väite on tosi, kun n 1, sillä α 1 αf 1 + F 0 α Oletamme sitten, että α k αf k + F k 1 Nyt α k+1 α k α (αf k + F k 1 )α α F k + αf k 1 Laskemme α ( 1+ ) 5 1+ 5+5 yhtälöketjua termejä järjestelemällä: 4 1+ 5 α F k + αf k 1 (α + 1)F k + αf k 1 αf k + F k + αf k 1 α(f k + F k 1 ) + F k αf k+1 + F k+1 1 + 1 α + 1, ja voimme jatkaa Siis väite on tosi, kun n k + 1 Induktioperiaatteen mukaan väite on tosi aina, kun n 1 Vastaava tulos on voimassa betalle: β n βf n + F n 1, kun n 1(Ks [3, s 78]) Lause 35 (Binet n kaava) Olkoon n 0 ja olkoot α ja β yhtälön x x 1 0 ratkaisut Tällöin F n αn β n α β 7

Todistus (Vrt [3, s 78]) Olkoon n 0 ja Tällöin Kun n, saamme u n αn β n α β αn β n 5 u 0 α0 β 0 5 0 ja u 1 α1 β 1 5 5 5 1 u n 1 + u n αn 1 β n 1 5 + αn β n 5 ααn ββ n + α n β n 5 (α + 1)αn (β + 1)β n 5 α α n β β n 5 αn β n u n 5 Huomaamme, että u n toteuttaa Fibonaccin lukujen rekursiokaavan ja alkuehdot määritelmän 31 mukaisesti Voimme siis kirjoittaa u n F n, ja näin olemme johtaneet Fibonaccin luvuille eksplisiittisen lausekkeen Lucas n luvuille on olemassa Binet n kaavaa vastaava kaava (vrt [3, s 79]) Lause 36 Olkoon n 0 ja olkoot α ja β yhtälön x x 1 0 ratkaisut Tällöin L n α n + β n Todistus Todistus on lähdeteoksessa jätetty harjoitustehtäväksi Se onnistuisi lauseen 35 todistuksen tapaan, mutta käytämme tässä kuitenkin apuna lausetta 33, jonka mukaan kirjoitamme Lucas n luvun muodossa L n F n+1 + F n 1, kun n 1 Tarkastelemme ensin erikseen tapauksen n 0 Tällöin α 0 + β 0 1 + 1 L 0 Kun n 1 voimme käyttää Fibonaccin lukuja koskevaa Binet n kaavaa 35, jonka perusteella voimme kirjoittaa F n+1 + F n 1 αn+1 β n+1 α β + αn 1 β n 1 α β αn+1 β n+1 + α n 1 β n 1 α β 8

Koska αβ 1, saamme edelleen termejä järjestämällä ja potenssin laskusääntöjä noudattaen α n+1 + α n 1 β n+1 β n 1 α β αn+1 α n 1 αβ β n+1 + β n 1 αβ α β αn+1 α n β β n+1 + β n α α β αn α α n β + β n α β n β α β (αn + β n )(α β) α β α n + β n Seuraavaa tulosta käytämme jäljempänä esitetyn Q-matriisin ominaisarvojen ratkaisemisessa Lähdeteoksessa ei tätä tulosta erikseen mainita Apulause 37 Olkoon n 0 ja olkoot α ja β yhtälön x x 1 0 ratkaisut Tällöin 5F n (α n β n ) Todistus Lauseen 35 mukaan joten Koska α β 5, saamme F n αn β n α β, ( α Fn n β n ) α β F n (αn β n ) ( 5) Siis 5F n (α n β n ) Huomautus 3 Tiedämme (ks [3, s 1]), että lim n F n F n 1 φ 9

4 Fibonaccin matriiseista Fibonaccin lukujen teoriaan voidaan erinomaisesti yhdistää erilaisia matriisien sovellutuksia Tämä on tehokas tapa tuottaa ja todistaa uusia ominaisuuksia Fibonaccin luvuille Tässä luvussa tutustumme ensin Q-matriisiin Todistamme sen avulla Cassinin lauseen ja joitakin muita Fibonaccin lukujen ominaisuuksia Esittelemme Fibonaccin luvuista muodostuvan M-matriisin, ja tutkimme sen yhteydessä myös raja-arvoja Jatkamme tarkastelemalla Q- matriisin karakteristista yhtälöä ja ominaisarvoja ja huomaamme taas yhteyden kultaiseen leikkaukseen Yhdistämällä Q-matriisin tarkasteluun R- matriisi johdamme näiden avulla jälleen uuden ominaisuuden, nyt koskien Lucas n lukuja Lopuksi esittelemme matriisien lambda-funktion, jota sovellamme Q-matriisin lisäksi matriisiin P Tämä luku seuraa soveltuvin osin Thomas Koshyn teoksen Fibonacci and Lucas numbers with applications lukua 3 41 Q-matriisi Esitellään ensin Q-matriisi, jota Charles H King tutki 1960-luvulla San Jose State Collegessa Californiassa Olkoon Q 1 1 1 0 Voimme laskea, että matriisin Q determinantti det Q 1 0 1 1 1 ja että lisäksi 1 1 1 1 1 Q, 1 0 1 0 1 1 1 1 1 3 Q 3 1 0 1 1 1 ja edelleen Q 4 5 3 3 Huomaamme Fibonaccin lukujen esiintyvän matriiseissa, järjestysluvultaan eksponenttia vastaavan kahdesti ja sitä seuraavan ja edeltävän diagonaalilla Osoitamme Q-matriisin toteuttavan aina seuraavan ominaisuuden 1 1 Lause 41 Olkoon n 1 ja Q Tällöin 1 0 Q n [ Fn+1 F n F n F n 1 ] 10

Todistus (vrt [3, s 363]) Todistetaan lause induktiolla Todetaan ensin väite todeksi, kun n 1 Siis Q 1 F F 1 1 1 Q F 1 F 0 1 0 Oletetaan sitten väite todeksi, kun n k Siis Q k Fk+1 F k F k F k 1 Tällöin Q k+1 Q k Q 1 Fk+1 F k 1 1 F k F k 1 1 0 Fk+1 + F k F k+1 F k + F k 1 F k Fk+ F k+1 F k+1 F k F(k+1)+1 F (k+1) F (k+1) F (k+1) 1 Siis väite on tosi, kun n k + 1 Induktioperiaatteen mukaan väite on tosi aina, kun n 1 4 Cassinin lause Käyttämällä Q-matriisia, matriisien laskusääntöjä ja lausetta 41, voimme todistaa Cassinin lauseen ja muita tuloksia Fibonaccin luvuille Lause 4 (Cassinin lause) Olkoon n 1 Tällöin Fibonaccin luvuilla on voimassa yhtälö F n 1 F n+1 F n ( 1) n Todistus (vrt [3, s 363]) Koska Q 1, niin Q n ( 1) n Toisaalta lauseen 41 perusteella Q n Fn+1 F n, F n F n 1 ja siis determinatti Q n F n 1 F n+1 F n Saamme näin F n 1 F n+1 F n ( 1) n Lause 43 Seuraavat yhtälöt ovat voimassa aina, kun n 1 ja m 1: (41) (4) (43) (44) F m+n+1 F m+1 F n+1 + F m F n, F m+n F m+1 F n + F m F n 1, F m+n F m F n+1 + F m 1 F n, F m+n 1 F m F n + F m 1 F n 1 11

Todistus (vrt [3, s 364]) Yhtälöstä Q m Q n Q n+m saamme [ Fm+1 F m ] [ Fn+1 F n ] F m F m 1 F n F n 1 Fm+n+1 F m+n F m+n F m+n 1 ja tästä matriisien kertolaskulla Fm+1 F n+1 + F m F n F m+1 F n + F m F n 1 Fm+n+1 F m+n F m F n+1 + F m 1 F n F m F n + F m 1 F n 1 F m+n F m+n 1 Edelleen matriisien yhtäsuuruuden perusteella voimme kirjoittaa alkioittain F m+1 F n+1 + F m F n F m+n+1, F m+1 F n + F m F n 1 F m+n, F m F n+1 + F m 1 F n F m+n, F m F n + F m 1 F n 1 F m+n 1 Voimme johtaa lauseen 43 yhtälöistä lisää hyödyllisiä ominaisuuksia Seuraavia yhtälöitä käytämme myöhemmin matriisin P n lambda-funktiota λ(p n ) laskiessamme Lause 44 Olkoon n 1 Tällöin Fibonaccin ja Lucas n luvut toteuttavat seuraavat yhtälöt: (45) (46) F n+1 F n + F n+1, F n F n L n Todistus (vrt [3, s 364]) Sijoittamalla m n yhtälöön (41) saamme sen suoraan muotoon F n+1 F n + F n+1 Yhtälön (4) erikoistapauksena, kun m n, saamme lauseen 33 perusteella F n F n+1 F n + F n F n 1 F n (F n+1 + F n 1 ) F n L n Lause 45 Olkoon n 1 ja m 1 Tällöin Fibonaccin ja Lucas n luvut toteuttavat seuraavan yhtälön: (47) L m+n F m+1 L n + F m L n 1 Todistus (vrt [3, s 364]) Korvataan n seuraajallaan n + 1 yhtälössä (41), ja lasketaan saatu yhtälö F m+n+ F m+1 F n+ + F m F n+1, 1

yhteen yhtälön (4), kanssa, jolloin saamme F m+n F m+1 F n + F m F n 1 F m+n+ + F m+n F m+1 (F n+ + F n ) + F m (F n+1 + F n 1 ) Lauseen 33 perusteella saamme yhtälön muotoon L m+n+1 F m+1 L n+1 + F m L n Nyt korvataan n edeltäjällään n 1, jolloin saadaan edellinen Lucas n luku L m+n F m+1 L n + F m L n 1 Yhtälöistä (4) ja (43) voimme muotoilla myös seuraavan Fibonaccin ja Lucas n lukuja koskevan ominaisuuden Lause 46 Olkoon n 1 ja m 1 Tällöin (48) F m+n F m L n + F n L m Todistus (Vrt [3, s 364]) Laskemalla yhtälöt (4), F m+n F m+1 F n + F m F n 1, ja (43), F m+n F m F n+1 + F m 1 F n, puolittain yhteen, saamme F m+n F m (F n+1 + F n 1 ) + F n (F m+1 + F m 1 ) Lauseen 33 perusteella F n+1 + F n 1 L n ja F m+1 + F m 1 L m Siis F m+n F m L n + F n L m Lucas n luvuille on olemassa vastaava tulos (vrt [3, s 364]) Todistamme sen seuraavaksi käyttäen luvussa 34 esitettyjä Binet n kaavoja, F n αn β n α β ja L n α n + β n Lähdeteoksessa todistus on jätetty harjoitustehtäväksi Lause 47 Olkoon n 1 ja m 1 Tällöin (49) L m+n L m L n + 5F m F n Todistus Binet n kaavojen avulla kirjoitamme yhtälön oikean puolen muotoon ( α L m L n + 5F m F n (α m + β m )(α n + β n m β m ) ( α n β n ) ) + 5 α β α β Koska α β 5, saadaan kertolaskuja järjestelemällä ( α (α m + β m )(α n + β n m β m ) ( α n β n ) ) + 5 α β α β α m α n + α m β n + β m α n + β m β n + (α m β m )(α n β n ) α m+n + α m β n + β m α n + β m+n + α m α n α m β n β m α n + β m β n (α m+n + β m+n ) L m+n 13

Seuraava ominaisuus, joka saadaan lauseen 47 erikoistapauksena, on lähdekirjassa todettu R-matriisin esittelyn yhteydessä (ks [3, s 367]) Seurauslause 48 Olkoon n 1 Tällöin 5F n L n+1 L n Todistus Yhtälö saadaan suoraan lauseen 47 erikoistapauksena, kun m 1 Tällöin L n+1 L 1 L n + 5F 1 F n L n + 5F n, ja 5F n L n+1 L n 43 M-matriisi Esittelemme lauseessa 49 matriisin M [ 1 1 1 ], jota Sam Moore tutki Community College of Allegheny Countyssa Pennsylvaniassa vuonna 1983 1 1 Lause 49 Olkoon n 1 ja M Tällöin 1 M n [ Fn 1 F n F n F n+1 Todistus (vrt [3, s 618]) Todistamme lauseen induktiolla Väite on tosi, kun n 1, sillä M 1 F 1 F 1 1 M F F +1 1 Oletetaan sitten, että M k [ Fk 1 F k F k F k+1 Matriisien laskusääntöjen ja huomautuksessa 31 esitettyjen yhtälöiden avulla saamme M k+1 M k M 1 Fk 1 F k 1 1 F k F k+1 1 Fk 1 + F k F k 1 + F k F k + F k+1 F k + F k+1 Fk+1 F k+ F k+ F k+3 F(k+1) 1 F (k+1) F (k+1) ] ] F (k+1)+1 Esimerkki 41 M 5 F 5 1 F 5 F9 F 10 F 5 F 5+1 F 10 F 11 34 55 55 89 14

Lause 410 Olkoon n 1, M [ 1 1 1 ] ja α 1+ 5 Tällöin lim n M n [ 1 α F n 1 α α + 1 Todistus (vrt [3, s 365]) Suorittamalla jakolaskun saamme M n Fn 1 /F n 1 F n /F n 1 F n 1 F n /F n 1 F n+1 /F n 1 ] F k F k 1 Koska huomautuksen 3 mukaan raja-arvo lim k lisäksi F n+1 F n 1 + F n 1 + F n, F n 1 F n 1 F n 1 saamme alkioittain raja-arvot lim n F n F n+1 α ja lim F n 1 + α n 1 F n 1 α, kun k 1, ja Lisäksi selvästi F n 1 /F n 1 1 aina, kun n 1 Näin saamme matriisin raja-arvon muotoon M n 1 α lim n F n 1 α α + 1 Vastaavasti matriisijono {Q n /F n 1 } suppenee kohti matriisia [ 1+α α α 1 ] (ks [3, s 365]) 44 Karakteristinen yhtälö ja ominaisarvot Jatkamme Q-matriisin tarkastelua tutkimalla matriisin Q n karakteristista yhtälöä Q n xi 0, missä n 1, I [ 1 0 0 1 ] (vrt [3, s 365 366]) Yhtälön ratkaisut ovat matriisin Q n ominaisarvot Lauseen 33 ja Cassinin lauseen 4 perusteella saamme determinantin muotoon Q n F xi n+1 x F n F n F n 1 x (F n+1 x)(f n 1 x) F n F n x (F n+1 + F n 1 )x + (F n+1 F n 1 F n) x L n x + ( 1) n Ratkaisukaavalla saamme karakteristisen yhtälön x L n x+( 1) n 0 juuret x 1 L n + L n 4( 1) ja 15 x L n L n 4( 1)

Lauseen 36 mukaan L n α n + β n, ja apulauseen 37 perusteella 5F n (α n β n ) Koska lisäksi αβ 1, saamme neliöjuurilausekkeen muotoon Siis L n 4( 1) n (α n + β n ) 4(αβ) n (α n β n ) 5Fn x 1 L n + 5F n 5F n ja x L n 5F n Toisaalta, koska α n + β n L n ja α n β n 5F n, saamme α n α n + β n + α n β n L n + 5F n ja ja samoin α n L n + 5F n, β n α n + β n α n + β n L n 5F n ja β n L n 5F n Olemme siis johtaneet seuraavan lauseen Lause 411 Matriisin Q n ominaisarvot ovat α n ja β n Tutkimme vielä erikoistapausta, kun n 1 Kirjoitamme lauseen 411 muotoon: Seurauslause 41 Matriisin Q ominaisarvot ovat α ja β Saamme karakteristisesta yhtälöstä x L n x + ( 1) n 0 kultaisesta leikkauksestakin tutun yhtälön x x 1 0 Toisaalta 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0, siis Q Q I 0 0 0 0 0 0 Huomaamme, että Q toteuttaa karakteristisen yhtälönsä Tämä on siis yksi Cayley-Hamiltonin lauseen 1 ilmenemä 45 R-matriisi Seuraavaksi tutustumme matriisiin R [ 1 1 ] Sen esittelivät ensimmäisenä, vuonna 1963, V E Hoggatt ja I D Ruggles 16

Lause 413 Olkoon R [ 1 1 ] Tällöin RQ n [ Ln+1 L n L n L n 1 Todistus (vrt [3, s 367]) Lauseen 41 mukaan Q n F n+1 F n F n 1, missä n 1 Matriisien kertolaskulla saamme 1 RQ n Fn+1 F n Fn+1 + F n F n + F n 1 1 F n F n 1 F n+1 F n F n F n 1 Tarkastellaan matriisia alkioittain, Fibonaccin lukujen määritelmää ja lausetta 33 apuna käyttäen Saamme F n+1 + F n F n+1 + F n + F n F n+ + F n L n+1 Vastaavasti edellinen Lucas n luku L n F n + F n 1 Toisaalta F n+1 F n F n+1 + F n 1 + F n F n F n+1 + F n 1 L n, ja sitä edellinen Lucas n luku L n 1 F n F n 1 Voimme siis kirjoittaa Fn+1 + F n F n + F n 1 Ln+1 L n F n+1 F n F n F n 1 L n L n 1 ] F n Lause 414 Olkoon n 1 Tällöin L n+1 L n 1 L n 5( 1) n+1 Todistus (vrt [3, s 367]) Determinantin tulosäännön mukaan RQ n R Q n Lauseen 413 perusteella L n+1 L n 1 F n+1 F n 1 L n L n 1 F n F n 1 Laskemalla determinantit saamme L n+1 L n 1 L n 5(F n+1 F n 1 Fn) Koska Cassinin lauseen mukaan F n+1 F n 1 Fn ( 1) n, voimme kirjoittaa L n+1 L n 1 L n 5( 1) n+1 46 Cramerin lause Seuraavaksi muistutamme mieleen Cramerin lauseen, ja tutkimme, kuinka sen avulla voi johtaa aikaisemmin esitetyn Cassinin lauseen Tähän tarkasteluun olemme tehneet pohjatyötä lähdeteoksesta poiketen jo luvussa 31, kun todistimme, että kahden peräkkäisen Fibonaccin luvun suurin yhteinen tekijä, syt(f k, F k+1 ) 1 17

Lause 415 (Cramerin lause) Olkoon ax + by e cx + dy f Jos ad bc 0, niin yhtälöparin ainoa ratkaisu on x e f a c b d b d ja y Johtaaksemme Cassinin lauseen 4, sovellamme Cramerin lausetta yhtälöpariin jossa esiintyy Fibonaccin lukuja Tutkimme yhtälöparia a c a c e f b d F n x + F n 1 y F n+1 F n+1 x + F n y F n+ Lauseen 3 mukaan kahden peräkkäisen Fibonaccin luvun suurin yhteinen tekijä, syt(f k, F k+1 ) 1 Siis determinantti F n F n+1 F n 1 F n F n F n 1 F n+1 0, joten voimme käyttää Cramerin lausetta Fibonaccin lukujen rekursiokaavan mukaan yksi ratkaisu on selvästi x y 1 Cramerin lauseen perusteella tämä on ainoa ratkaisu, ja voimme kirjoittaa x F n+1 F n+ F n F n+1 F n 1 F n F n 1 F n F n F n+1 F n+1 F n+ 1, y F n F 1 n 1 F n+1 F n Jälkimmäisestä saamme F n F n+1 F n+1 F n+ F n F n+1 F n 1 F n Laskemalla determinantit saamme F n F n+ Fn+1 Fn F n 1 F n+1, siis F n F n+ Fn+1 (F n 1 F n+1 Fn) Merkitään nyt p n F n 1 F n+1 Fn, jolloin edellinen yhtälö saadaan rekursiokaavaksi p n+1 p n, missä p 1 F 0 F F1 1 Todistamme induktiolla, että p n ( 1) n : Alkuaskel on voimassa, sillä p 1 1 Oletamme, että p k ( 1) k Tällöin p k+1 p k ( 1) k ( 1) k+1, ja induktioperiaatteen mukaan p n ( 1) n aina, kun n 1 Olemme näin johtaneet Cassinin lauseen, F n 1 F n+1 Fn ( 1) n 18

47 Lambda-funktio Muusikko Fenton S Stancliff tutki laajasti matriisien lambda-funktiota λ Hänen julkaisemattomiin muistiinpanoihinsa viittaavat myös Marjorie Bicknell ja V E Hoggatt, Jr artikkelissaan aiheesta Stancliff määrittelee matriisin A lambda-funktion, λ(a), determinatin det A muutoksena, kun matriisin A jokaiseen alkioon lisätään luku yksi (ks[, s 47]) Yhdistämällä lambdafunktion Fibonaccin matriiseihin, voimme johtaa jälleen lisää Fibonaccin lukujen ominaisuuksia (vrt [3, s 38 383]) Määritelmä 41 Olkoon A (a ij ) n n ja A (a ij + 1) n n Tällöin λ(a) A A a b Esimerkki 4 Olkoon A Tällöin A c d A ad bc ja A (a + 1)(d + 1) (b + 1)(c + 1) ad bc + a + d b c, sekä λ(a) A A a + d b c a + 1 b + 1 Nyt c + 1 d + 1 Lisätään matriisin A jokaiseen alkioon vakio k Näin määritellyn uuden matriisin A determinantti on A a + k b + k (ad bc) + k(a + d b c), c + k d + k joka voidaan edelleen kirjoittaa määritelmän 41 mukaista λ-funktiota käyttäen muodossa A A + kλ(a) Valitsemalla A Q n, saamme johdettua uuden ominaisuuden Fibonaccin luvuille Lause 416 Olkoon n > Tällöin 4F n F n+ F n+1 F n F n 3 + ( 1) n+1 Todistus (vrt [3, s 38]) Olkoon A Q n Nyt (Q n ) Q n + kλ(q n ) F n Toisaalta, koska Q n F n 1 F n+1, voimme kirjoittaa esimerkin 4 tapaan F n λ(q n ) F n+1 + F n 1 F n F n 1 + F n + F n 1 F n F n F n 1 F n 3 + F n F n F n 3, 19

ja determinantin Q n saamme Cassinin lauseen perusteella yksinkertaisesti muotoon Q n F n+1 F n 1 F n ( 1) n Nyt voimme kirjoittaa (Q n ) ( 1) n + kf n 3 Olkoon nyt k F n Tällöin (Q n ) F n+1 + F n F n + F n F n + F n F n 1 + F n ( 1)n + F n F n 3 Siis F n+ F n F n F n+1 ( 1)n + F n F n 3 Laskemalla determinantin saamme F n+ F n+1 4Fn ( 1) n + F n F n 3, mistä edelleen termejä järjestämällä päädymme lauseen identiteettiin, 4Fn F n+ F n+1 F n F n 3 + ( 1) n+1 48 P-matriisi Seuraavaksi käsiteltävä Fibonaccin matriisi on edellä esitellyistä poiketen kooltaan 3 3-matriisi Sitä ovat tutkineet Marjorie Bicknell ja V E Hoggatt, Jr, San Jose State Collegessa, sekä Terry Brennan Lockheed Missiles and Space Companyssa Olkoon Tutkitaan potensseja 0 0 1 P 0 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 9 P 3 4, P 3 4 7 1 ja P 4 1 19 30 1 4 4 6 9 9 15 5 Löydetäänkö jokin vastaava laskusääntö kuin matriisien Q n ja M n tapauksissa? Huomaamme ainakin mielenkiintoista säännönmukaisuutta, kun vertaamme peräkkäisten matriisien rivejä ja sarakkeita Ensimmäinen rivi näyttäisi 0

olevan sama kuin edellisen matriisin kolmas rivi Samoin ensimmäinen sarake näyttää vastaavan edellisen matriisin viimeistä saraketta Voimme kirjoittaa (ks [3, s 383]) F0 F 0 F 1 F 1 P F 0 F 1 F F 0 F 1 F 1 F, F1 F 1 F F F P 1 F 1 F F F F 1 F F3 F 1 F F F 3 ja P 3 F F 3 F 3 F F 3 F F F F 3 F3 4 F F 3 F 3 F 4 F3 F 3 F 4 F4 Osoitamme matriisin P n toteuttavan aina seuraavan ehdon Lause 417 Olkoon n 1 ja P 0 0 1 0 1 Tällöin 1 1 1 F P n n 1 F n 1 F n F n F n 1 F n Fn+1 F n 1 F n F n F n+1 Fn F n F n+1 Fn+1 Todistus (vrt [3, s 619]) Todistetaan lause induktiolla Todetaan ensin väite todeksi, kun n 1 Siis F P 1 0 F 0 F 1 F 1 0 0 1 F 0 F 1 F F 0 F 1 F 1 F 0 1 P F1 F 1 F F 1 1 1 Oletetaan sitten väite todeksi, kun n k Siis F P k k 1 F k 1 F k F k F k 1 F k Fk+1 F k 1 F k F k F k+1 Fk F k F k+1 Fk+1 Tällöin P k+1 P k P Fk 1 F k 1 F k F k 0 0 1 F k 1 F k Fk+1 F k 1 F k F k F k+1 0 1 Fk F k F k+1 Fk+1 1 1 1 Fk F k 1 F k + Fk Fk 1 + F k 1 F k + F k F k F k+1 Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 F k 1 F k + Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 Fk+1 F k F k+1 + Fk+1 Fk + k F k+1 + Fk+1 Merkitään selkeyden vuoksi Fk F k 1 F k + Fk Fk 1 + F k 1 F k + F k F k F k+1 Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 F k 1 F k + Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 Fk+1 F k F k+1 + Fk+1 Fk + k F k+1 + Fk+1 a b c d e f g h i 1

Fibonaccin lukujen rekursiokaavaa, Cassinin lausetta ja binomin neliön laskusääntöjä apuna käyttäen laskemme alkioittain b F k 1 F k + F k F k (F k+1 + F k ) F k F k+1, c F k 1 + F k 1 F k + F k (F k + F k 1 ) F k+1 Koska voimme kirjoittaa saamme edelleen Lisäksi F k 1 F k F k 1 F k + F k F k+1 F k F k+1 F k ( F k 1 F k+1 ) F k F k+1 F k F k F k+1, e F k+1 F k 1 F k + F k F k+1 F k+1 F k F k+1 F k F k F k+1 (F k + F k+1 ) F k F k+1 F k+ F k F k+1 f F k 1 F k + F k+1 F k 1 F k + F k F k+1 F k+1 + F k F k+1 F k+1 (F k+1 + F k ) F k+1 F k+, h F k F k+1 + F k+1 F k+1 (F k + F k+1 ) F k+1 F k+ i F k + F k F k+1 + F k+1 (F k + F k+1 ) F k+ ja Voimme siis kirjoittaa matriisin Fk F k 1 F k + Fk Fk 1 + F k 1 F k + F k F k F k+1 Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 F k 1 F k + Fk+1 F k 1 F k + F k F k+1 Fk+1 F k F k+1 + Fk+1 Fk + k F k+1 + Fk+1 Fk F k F k+1 F k+1 F k F k+1 Fk+ F k F k+1 F k+1 F k+ P k+1 Fk+1 F k+1 F k+ Fk+ Siis väite on tosi, kun n k + 1 Induktioperiaatteen mukaan F P n n 1 F n 1 F n F n F n 1 F n Fn+1 F n 1 F n F n F n+1 Fn F n F n+1 Fn+1 aina, kun n 1

Esimerkki 43 Voimme laskea lauseen 417 avulla F P 5 4 F 4 F 5 F 5 F 4 F 5 F6 F 4 F 5 F 5 F 6 F5 F 5 F 6 F6 3 3 5 5 9 15 5 3 5 8 3 5 5 8 30 49 80 5 5 8 8 5 40 64 Tässä tapauksessa olisimme toki saaneet ensimmäisen rivin ja sarakkeen myös matriisista P 4, koska se on jo edellä laskettu Lauseen 417 avulla voimme laskea esimerkiksi matriisin P 9 suoraan ilman edellisiä Esimerkki 44 Lasketaan λ(p ) Lasketaan ensin determinantit P ja P, ja näiden avulla funktio λ(p ) P P kuten määritelmässä 41 Saamme 3 3-matriisin determinantin laskettua kofaktorien avulla 0 0 1 1 P 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 + 0 0 1 1 1 1 Kun lasketaan vielä 1 1 P 3 1 3 1 1 1 3 + 1, saadaan λ(p ) ( 1) 1 Tutkitaan nyt lambda-funktiota matriisille a b c A d e f g h i Lasketaan ensin determinantit A ja A Saadaan e A a h f i b d g f i + c d g e h a(ei hf) b(di gf) + c(dh ge) Lisäksi a + 1 b + 1 c + 1 A d + 1 e + 1 f + 1, g + 1 h + 1 i + 1 3

ja A e + 1 f + 1 d + 1 f + 1 d + 1 e + 1 (a + 1) (b + 1) + (c + 1) h + 1 i + 1 g + 1 i + 1 g + 1 h + 1 (a + 1)((ei hf) + e + i h f) (b + 1)((di gf) + d + i g f) + (c + 1)((dh ge) + d + h g e) a(ei hf) + a(e + i h f) + (ei hf) + e + i h f b(di gf) b(d + i g f) (di gf) d i + g + f + c(dh ge) + c(d + h g e) + (dh ge) + d + h g e a(ei hf) + a(e + i h f) + (ei hf) b(di gf) b(d + i g f) (di gf) + c(dh ge) + c(d + h g e) + (dh ge) Saamme A-matriisille lambda-funktion laskemalla λ(a) A A a(ei hf) + a(e + i h f) + (ei hf) b(di gf) b(d + i g f) (di gf) + c(dh ge) + c(d + h g e) + (dh ge) a(ei hf) + b(di gf) c(dh ge) a(e + i h f) + (ei hf) b(d + i g f) (di gf) + c(d + h g e) + (dh ge) ae + ai ah af + ei hf bd bi + bg + bf di + gf + cd + ch cg ce + dh ge Bicknellin ja Hoggattin jalanjäljissä jatkamme laskemista muotoon (vrt [3, s 383]) λ(a) (a + e b d)(e + i h f) (d + h g e)(b + f c e), jonka voimme kirjoittaa determinanttina (a + e b d) (b + f c e) λ(a) (d + h g e) (e + i h f) Koska tällainen mekaaninen laskeminen on varsinkin ilman apuvälineitä kovin työlästä, eikä lopputuloskaan ensinäkemältä mitenkään ilmeinen, tulee houkutus etsiä vastaisen varalle jokin suoraviivaisempi tapa muodostaa matriisin A lambda-funktio, tai lambda-luku (lambda number) λ(a) Bicknell esittelee sellaisen (ks [1, s 60]), ja viittaa tässä Stancliffin julkaisemattomien tulosten lisäksi Thomas Muirin kirjaan Esitämme tämän tavan tässä huomautuksena, ilman todistusta 4

Huomautus 41 Olkoon A (a ij ) n n-matriisi ja olkoon L (c ij ) sellainen, kooltaan yhtä pienempi, (n 1) (n 1)-matriisi, jonka alkiot saadaan matriisista A laskemalla c ij a ij + a i+1,j+1 a i,j+1 a i+1,j Tällöin λ(a) L Tutkitaan lopuksi lambda-funktiota matriisille P n Sijoitetaan A P n Tällöin λ(p n Fn 1 ) + Fn+1 4F n 1 F n F n 1 F n + F n F n+1 Fn F n+1 3F n 1 F n + F n F n+1 Fn Fn+1 Fn+1 3F n 1 F n F n F n 1 Tarkastellaan matriisia alkioittain (vrt [3, s 384]) Muistutamme mieleen Fibonaccin lukujen määritelmän, F n+1 F n + F n 1, ja lauseen 33 jonka mukaan L n F n 1 + F n+1 Lisäksi käytämme lauseen 44 ominaisuuksia F n+1 Fn + Fn+1 ja F n L n F n Näiden avulla laskemme F n 1 F n + F n F n+1 F n F n+1 F n F n 1 + F n F n+1 (F n + F n+1) F n (F n 1 + F n+1 ) F n+1 F n L n F n+1 F n F n+1 F n (F n+1 F n ) F n (F n 1 ) F n Tutkimme sitten lauseketta 3F n 1 F n + F n F n+1 F n F n+1 (vrt [3, s 619]) Laskemme F n + F n+1 3F n 1 F n F n F n+1 F n (F n 1 + F n ) + F n+1 (F n + F n 1 ) 3F n 1 F n F n F n+1 F n F n 1 + F n F n + F n+1 F n + F n+1 F n 1 3F n 1 F n F n F n+1 F n F n + F n+1 F n 1 F n 1 F n F n F n + F n 1 (F n + F n 1 ) F n 1 F n F n F n + F n 1 F n + F n 1 (F n F n ) F n 1 F n F n F n + F n 1 F n F n 1 F n F n 1 F n F n F n F n 1 F n F n (F n F n 1 ) F n, ja alkuperäinen lauseke saadaan näin muotoon 3F n 1 F n + F n F n+1 F n F n+1 F n 5

Kirjoitamme vielä määritelmän mukaan auki F n+1 F n 1 +F n, ja laskemalla binomin neliön, saamme F n 1 + F n+1 4F n 1 F n F n 1 + (F n 1 + F n ) 4F n 1 F n F n 1 + (F n 1 + F n 1 F n + F n) 4F n 1 F n F n 1 + F n 1 F n 1 F n + F n F n 1 + (F n F n 1 ) F n 1 + F n Jatkamme sieventämistä vielä lauseen 44 avulla Merkitsemme F n +1 + F n F (n )+1 F n 3 Saamme determinantin lopulta sievennettyä muotoon λ(p n ) F n 3 Fn F n ( 1) n F n F n 1 F n 3 [( 1) n F n F n 1 ] + F n F n ( 1) n (F n 1 F n 3 F n ) Huomaamme oikeanpuoleisen tekijän olevan sama kuin keskimmäinen alkio matriisissa P n 6

Viitteet [1] M R Bicknell, The Lambda Number of a Matrix: The Sum of Its n Cofactors, The American Mathematical Monthly, Vol 7, No3 (Mar,1965), 60-64 [Verkkodokumentti, viitattu 19401] URL:http://wwwjstororg/stable/313693 [] M R Bicknell ja V E Hoggatt, Jr, 1963, Fibonacci Matrices and Lambda Functions, The Fibonacci Quarterly, 1:(April), 47-5 [Verkkodokumentti, viitattu 19401] URL:wwwfqmathca/Scanned/1- /bicknellpdf [3] T Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications John Wiley & Sons Inc, 001 [4] A S Posamentier, ja I Lehmann, The Fabulous Fibonacci Numbers Prometheus Books, 007 7