Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}. Virittää. Olkoon a = (a,a 2,a 3 R 3. Virittämisessä vaaditaan, että jokainen avaruuden V vektori voidaan esittää joukon S vektoreiden lineaariyhdistelynä. Olkoon a V mielivaltainen. Saadaan yhtälö x (, 4,3x 2 (,3, x 3 (3, 5, x 4 (,2, 2 = (x 3x 3, 4x 3x 2 5x 3 2x 4,3x x 2 x 3 2x 4 = (a,a 2,a 3. Komponenteille saadaan yhtälöryhmä x 3x 3 = a 4x 3x 2 5x 3 2x 4 = a 2 3x x 2 x 3 2x 4 = a 3 Gaussin menetelmällä voidaan osoittaa, että yhtälöryhmä ratkeaa kaikilla oikeilla puolilla. Virittää b V = P 2 ja S = {,t,t 2 2t3}. Virittää. Olkoon p(t = a a ta 2 t 2 P 2 mielivaltainen. Ratkaistaan yhtälö x x 2 (tx 3 (t 2 2t3 = x 3 t 2 (x 2 2x 3 t(x x 2 3x 3 = a a ta 2 t 2, kaikilla t R. Saadaan yhtälöryhmä x x 2 3x 3 = a x 2 2x 3 = a x 3 = a 2 Yhtälöryhmä ratkeaa kaikilla oikeilla puolilla, sillä yhtälöryhmän kerroinmatriisilla on olemassa käänteismatriisi. Virittää. M. H. 25
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 22. Vektorijoukko on lineaariavaruuden L kanta mikäli vektorit ovat vapaita vektorit virittävät avaruuden L. Tutkitaan vapaus: Avaruuden R 3 nollavektorin esitys annetussa kannassa on x(,, T y(2,,3 T z(,, 5 T = (,, T x 2y z = x y z = 3y 5z = Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on x = y = z = (laske!. Avaruuden R 3 virittäminen on yhtäpitävää edellisen yhtälöryhmän kerroinmatriisin käänteismatriisin olemassaolon kanssa. Lasketaan käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin. 2 2 2 2 3 3 5 3 5 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 8 7 3 5 5 2 3 3 Käänteismatriisi on A = 8 7 3 5 5 2 3 3. Vektorin b = (4,,5 T koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälö Ax = b käänteismatriisin avulla: x = A b = Kysytyt koordinaatit ovat,-5,-4. 8 7 3 5 5 2 3 3 4 5 = 5 4. M. H. 25
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 23. a Onko joukko {(,, 2,2,(3,2, 4,5,(, 2,3, 2,(,,,3} avaruuden R 4 vapaa joukko? Jos on, niin lausu vektori (,,, em. vektoreiden lineaariyhdistelynä. Tutkitaan vapaus: Nollavektorin esitys on x(,, 2,2 T y(3,2, 4,5 T z(, 2,3, 2 T w(,,,3 T = (,,, T x 3y w = x 2y 2z w = 2x 4y 3z = 2x 5y 2z 3w = Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on x = y = z = w = (laske!. Siis annettu vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton avaruudessa R 4. Lausutaan vektori (,,, T annetun joukon vektoreiden avulla x(,, 2,2 T y(3,2, 4,5 T z(, 2,3, 2 T w(,,,3 T = (,,, T x 3y w = x 2y 2z w = 2x 4y 3z = 2x 5y 2z 3w = Ratkaistaan yhtälöryhmä vaakarivimuunnoksin 3 2 2 2 2 4 3 2 5 2 3 6 2 2 6 2 2 Yhtälöryhmän ratkaisu on w =, z =, y = 2, x = 6. Vektorin b = (,,, T koordinaatit ovat -6, 2, -,. Tarkistus: 2 3 2 2 2 3 2 2 x 6z w = y 2z = z 2w = w = 6(,, 2,2 T 2(3,2, 4,5 T (, 2,3, 2 T (,,,3 T = (,,, T M. H. 25
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 b Reaalisten 2 2 matriisien muodostama lineaariavaruus on M 2 2 (R = { ( a a A A = 2,a a 2 a kj R }. 22 Onko joukko S = {( ( ( ( 3 2 2 },,, vapaa avaruudessa 2 2 4 5 3 2 3 M 2 2 (R? ( Jos on, niin lausu matriisi A = joukon S matriisien lineaariyhdistelynä. Tutkitaan vapaus: Avaruuden M 2 2 (R nolla-alkio on nollamatriisi O = ( Joukon S matriisien avulla lausuttuna ( ( ( ( 3 2 2 c c 2 2 2 c 4 5 3 c 3 2 4 = O ( ( 3 c 3c 2 c 4 c 2c 2 2c 3 c 4 =. 2c 4c 2 3c 3 2c 5c 2 2c 3 3c 4. Saadaan matriisimuotoinen yhtälö c 3c 2 c 4 = c 2c 2 2c 3 c 4 = 2c 4c 2 3c 3 = 2c 5c 2 2c 3 3c 4 = 3 2 2 2 4 3 2 5 2 3 c c 2 c 3 c 4 = Matriisiyhtälön yksikäsitteinen ratkaisu on c = c 2 = c 3 = c 4 =, joten matriisijoukko S on vapaa M 2 2 (R:ssa ( Lausutaan matriisi A = joukon S matriisien avulla mikäli ( ( ( ( 3 2 2 c c 2 2 2 c 4 5 3 c 3 2 4 = ( ( 2 c 3c 2 c 4 c 2c 2 2c 3 c 4 =. 2c 4c 2 3c 3 2c 5c 2 2c 3 3c 4 ( Saadaan matriisimuotoinen yhtälö c 3c 2 c 4 = c 2c 2 2c 3 c 4 = 2c 4c 2 3c 3 = 2c 5c 2 2c 3 3c 4 = 3 2 2 2 4 3 2 5 2 3 c c 2 c 3 c 4 = Yhtälöryhmän ( ratkaisu on c 4 =, c 3 =, c 2 = 2, c = 6. Matriisin koordinaatit ovat -6, 2, -,. ( ( ( ( 3 2 2 Tarkistus: ( 6 2 2 2 4 5 3 2 2 = (. M. H. 25
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 24. Määrää kaikki sellaiset reaaliluvutk, että vektorijoukkos = {(,,,k,(,,,,(,,,,(k,,2,} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Ratkaisu: Lasketaan ne luvut k, joilla S:n vektorit sarakkeina muodostetulla matriisilla on olemassa käänteismatriisi. k k k 2 k k 2 k k 2 k k 2 k k(2 k k k k 2 k k 2 k k k Ratkaistaan yhtälö k(2 k = eli (k 2 =. Käänteismatriisia ei ole olemassa, jos k =. Muilla parametrin k reaaliarvoilla käänteismatriisin symbolinen lauseke sievenee muotoon 2k (k 2 (k 2 (k 2 (k 2 2k (k k2 k 2 k 2 (k 2 (k 2 (k 2 k( 2k Vastaus: On kanta, jos k. (k 2 k (k 2 (k 2 (k 2 k (k 2 2k (k 2 k (k 2 (k 2 25. a Vektorijoukko S = {(,,,,(,,,,(,,,2,(,,2,} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat, 2,5 ja. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. b Polynomijoukko {t,t 2,t2t 3,2t 2 } on polynomiavaruuden P 3 kanta. Polynomin p(t koordinaatit tässä kannassa ovat, 2,5 ja. Määrää polynomin p(t koordinaatit kannassa {,t,t 2,t 3 }. Ratkaisu a: Luonnollisen kannan vektori saadaan laskemalla lineaariyhdistely annetussa kannassa u = (,,, T ( 2(,,, T 5(,,,2 T (,,2, T = ( 2,6, 2, T. Vektorin u = ( 2,6, 2, T koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat -2, 6, -2,. Ratkaisu b: Polynomin p(t esitys polynomiavaruuden luonnollisessa kannassa {,t,t 2,t 3 } saadaan laskemalla lineaariyhdistely p(t = t( 2 (t 2 5 (t2t 3 (2t 2 = 26t 2t 2 t 3. Polynomin p(t koordinaatit kannassa {,t,t 2,t 3 } ovat -2, 6, -2,. k M. H. 25