Ongelma 1: Miten luonnollisen kielen ilmaisut muutetaan määämuotoisiksi eli fomalisoidaan? 2012-2013 Lasse Lensu 2
Ongelma 2: Mitä ovat oositiologiikka, lauselogiikka ja nollannen ketaluvun logiikka? 2012-2013 Lasse Lensu 3
Ongelma 3: Miten äättelyä voi suoittaa matemaattisesti? Voiko äättelyn automatisoida? 2012-2013 Lasse Lensu 4
Logiikka tutkii sanallisten tai fomaalisten väittämien ja äätelmien sääntöjä. Jotta matemaattista logiikkaa voidaan soveltaa, niin luonnollisen kielen vasin vaaamuotoiset ilmaisut on taeen muuttaa määämuotoisiksi eli fomaaleiksi. Päättelymenetelmät ovat eilaisia ja logiikan ominaisuudet ajoittavat menetelmien soveltamista käytäntöön. 2012-2013 Lasse Lensu 5
Tietojenkäsittelyn eusteet I Poositiologiikka ja äättely 2012-2013 Lasse Lensu 6
Poositiologiikka ja äättely 2012-2013 Lasse Lensu 7
Logiikka J. Koskinen, Logiikkaa ja Boolen algebat S. Alaoutinen, 2008 Käsitteitä Logiikan konnektiivit Looginen äättely 2012-2013 Lasse Lensu 8
Poositiologiikka Poositiologiikka syn. lauselogiikka, nollannen ketaluvun logiikka on fomaalinen kieli. Yhden väitteen sisältävät luonnollisen kielen lauseet ovat jakamattomia atomilauseita. Loogisilla konnektiiveilla yhdysmekeillä yhdistettyjä atomilauseita kutsutaan oositioiksi; myös atomilauseet ovat oositioita. Päätelmä on ajatuksenkulku, jossa yhdestä tai useasta edellytyksestä alkuoletuksesta, emissistä seuaa yksi tai useami loutulos johtoäätös. Päättelysäännöt määittelevät yksikäsitteisesti: Millainen johtoäätös voidaan tehdä annetuista oletuksista. Onko johtoäätös tosi vai eätosi. 2012-2013 Lasse Lensu 9
Logiikan ja äättelyn idea Atomilauseita mekitään symboleilla esim.,,... Jokaisella atomilauseella tulee olla totuusavo: tosi T, tue/t, 1 tai eätosi E, false/f, 0. Atomilauseista voi akentaa uusia oositioita väittämiä loogisilla konnektiiveilla. Jos emissit tosiksi oletetut väittämät eli alkuoletukset ovat tosia ja käytetään äteviä äättelysääntöjä, niin johtoäätös on oikea. 2012-2013 Lasse Lensu 10
Poositioita Maaallo on litteä ja Kuu kietää Masia Maaallo on yöeä ja Kuu kietää Masia Maaallo on litteä ja Kuu kietää Maata Maaallo on yöeä ja Kuu kietää Maata Maaallo on litteä tai Kuu kietää Maata Maaallo on yöeä ja Kuu ei kieä Masia Maaallo ei ole litteä tai Kuu ei kieä Maata Kuu kietää Maata ja Maa kietää Auinkoa 2012-2013 Lasse Lensu 11
Totuustaulu x y JA Maaallo ei ole yöeä Kuu ei kieä Maata E Maaallo ei ole yöeä Kuu kietää Maata E Maaallo on yöeä Kuu ei kieä Maata E Maaallo on yöeä Kuu kietää Maata T 2012-2013 Lasse Lensu 12
Logiikan konnektiivit Negaatio P ei ole niin, että P NOT Konjunktio PQ P ja Q AND Disjunktio PQ P tai Q OR Konditionaali P Q jos P, niin Q Bikonditionaali P Q P, jos ja vain jos Q Peicen viiva P Q ei P eikä Q NOR Sheffein viiva P Q ei sekä P että Q NAND Poissulkeva disjunktio P Q joko P tai Q XOR 2012-2013 Lasse Lensu 13
Totuustaulut Ei ; ja ; tai : E T E E E E E E T E E T E E T T T E E T E T T T T T T T 2012-2013 Lasse Lensu 14
Konditionaali Jos, niin : Kuu ei kieä Maata E Kuu ei kieä Auinkoa E T Kuu ei kieä Maata E Kuu kietää Auinkoa T T Kuu kietää Maata T Kuu ei kieä Auinkoa E E Kuu kietää Maata T Kuu kietää Auinkoa T T 2012-2013 Lasse Lensu 15
Bikonditionaali, jos ja vain jos : E E T T T E T T E E T E E T E T T T T T 2012-2013 Lasse Lensu 16
Peicen viiva Not OR Ei eikä : E E E T E T T E T E T E T T T E 2012-2013 Lasse Lensu 17
Totuustaulut E E T E T T T E E T T T E E T E T E T E E T T T E E T E T E T E E T T E 2012-2013 Lasse Lensu 18
Sheffein viiva Not AND Ei sekä että : E E E T E T E T T E E T T T T E 2012-2013 Lasse Lensu 19
Totuustaulut E E T E T T T E T T T E E E E E T T T E T T T E 2012-2013 Lasse Lensu 20
Konnektiivien sitovuusjäjestys Vahvin ylhäällä, samanavoiset samalla ivillä ja suoitetaan vasemmalta oikealle: Poositioiden käsittelyssä huomioidaan myös sulkeet. 2012-2013 Lasse Lensu 21
Loogisen äättelyn menetelmät Semanttinen menetelmä vt. mekitys: Totuustaulu Syntaktinen menetelmä vt. kielioi: Poosition sieventäminen Päättelysäännöt Resoluutiomenetelmä: Resoluutioäättelysääntö 2012-2013 Lasse Lensu 22
Käsitteistä Jos oositio on kaikissa taauksissa tosi iiumatta siinä olevien atomilauseiden totuusavoista, kyseessä on tautologia. Jos oositio taas on kaikissa taauksissa eätosi, se on kontadiktio. Muutoin oositio on kontingentti. Jos oositio on tautologia, niin sen esittämä väite on tosi. Tautologisuuden voi osoittaa: semanttisesti totuustaululla tai syntaktisesti sieventämällä oositio todeksi. 2012-2013 Lasse Lensu 23
TAUTOLOGIA E E E E T E T E T T T E E T T T T T T T KONTINGENTTI E E E T E E T E T E T E E E E T T T T T KONTRADIKTIO E E E T T E E E T T E T E E T E T E E T E T T T E T E E 2012-2013 Lasse Lensu 24
Esimekki osoituksesta Osoita totuustaululla, että seuaavista emisseistä voidaan äätellä : Eli emisseistä ja ja seuaa tautologiaksi on osoitettava siten 2012-2013 Lasse Lensu 25
E E E E T T T E T E E T E T T T E T E T E E T E E E T E T T E T E E E T T E E E T T T E T T E T E T T T E T T T E T E T E E T T T T T T T T T T 2012-2013 Lasse Lensu 26
2012-2013 Lasse Lensu 27 Poositioiden sieventämissäännöt T T E E E T T E 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Esimekki osoituksesta Osoita sieventämällä todeksi, että seuaavista emisseistä voidaan äätellä : Käytetty sääntö numeot edellisellä kalvolla on keottu seuaavassa kunkin ivin loussa. 2012-2013 Lasse Lensu 28
s. 9 s. 7 s. 9 s. 7 s. 7,8 s.4 s. 6 s. 4 s. 6 sulut ois s.11 T s.13 T 2012-2013 Lasse Lensu 29
Pohdittavaa Matematiikassa vilahtelevat usein symbolit ja : Mitä ne oikeastaan takoittavat? Miten eoavat toisistaan ja? Entä ja? 2012-2013 Lasse Lensu 30
Syntaktinen menetelmä Pemissit Σ={ P 1, P 2,..., P n }. Johtoäätös Q. Päättely on ätevä, jos johtoäätös on tosi aina silloin, kun emissitkin ovat tosia: P 1, P 2,..., P n Q. Edellinen takoittaa, että kyseessä on ätevä äättely. P 1, P 2,..., P n Q antaa luvan äätellä Q, jos jokainen P on jo äätelty tai emissi. 2012-2013 Lasse Lensu 31
Esimekki tehtävästä 1.Jos matkauhelinten kysyntä kasvaa, niin yityksen on laajennettava. 2.Jos yitys laajentaa, niin sen on lisättävä työntekijöitä. 3.Matkauhelinten kysyntä kasvaa. 1, 2 ja 3 ovat emissejä, johtoäätös on: Yityksen on lisättävä työntekijöitä. 2012-2013 Lasse Lensu 32
Päättelysäännöt Pemissi tai jo äätelty Voidaan äätellä Lyh. Säännön nimi P, Q PQ KI Konjunktion intoduktio PQ P, Q KE Konjunktion eliminointi P PQ DI Disjunktion intoduktio PQ ja P R ja Q R R DE Disjunktion eliminointi Oletuksesta P voitu äätellä Q P Q II Imlikaation intoduktio P, P Q Q MP Modus Ponens Oletuksesta P voitu äätellä eätosi P NI Negaation intoduktio P, P eätosi NE Negaation eliminointi P Q, Q P MT Modus Tollens 2012-2013 Lasse Lensu 33
Esimekki syntaktisesta menetelmästä Päättele syntaktisesti seuaavista emisseistä: 2012-2013 Lasse Lensu 34
Syntaktinen äättely 1 2 3 4 Rivit 3, 2; Modus Ponens: 5 Rivit 4, 3; Konjunktion Intoduktio: 6 Rivit 5, 1; Modus Ponens: 2012-2013 Lasse Lensu 35
2012-2013 Lasse Lensu 36 Resoluutiomenetelmä { } { } { } { } { } { } i esolventt, 2 klausuuli, klausuuli1,,,,, Klausuulimuoto : c a c b b a c a c b b a c a c b b a c a c b b a
Klausuulimuoto ja sen käyttö Pemissit on sievennettävä muotoon, jossa on vain konnektiiveja disjunktio ja konjunktio: Disjunktiivinen nomaalimuoto DNM: disjunktiot yhdistävät alkeiskonjunktioita. Konjunktiivinen nomaalimuoto KNM: konjunktiot yhdistävät alkeisdisjunktioita. Disjunktion yhdistämät atomilauseet muodostavat klausuulin alkeisdisjunktio, konjunktio eottaa klausuuleita KNM. Pemissien klausuulit kootaan klausuulijoukoksi, josta muodostetaan esolventteja. Resolventit lisätään klausuulijoukkoon. 2012-2013 Lasse Lensu 37
Päättely esoluutiolla Suoa äättely: Muodosta emisseistä klausuulijoukko. Muodosta uusia esolventteja, kunnes haettu tulos on klausuulijoukossa. Ristiiitatodistus osoita, että voidaan äätellä x: Lisää todistettavan negaatio x emissiksi. Muodosta uusia esolventteja kunnes: Syntyy tyhjä joukko Ø väite itää aikkansa. Uusia esolventteja ei enää synny väite ei idä aikkaansa. 2012-2013 Lasse Lensu 38
Esimekki Päättele suoalla esoluutiomenetelmällä seuaavista emisseistä: 2012-2013 Lasse Lensu 39
2012-2013 Lasse Lensu 40 Suoa esoluutio } { : Resolventit }} },{, },{ },{, },{,, Klausuulijoukko :{{ } },{, { : Resolventit }} },{, },{,, Klausuulijoukko :{{ } :{ }, :{ },, :{
Esimekki Osoita istiiitatodistusta käyttäen esoluutiomenetelmällä, että seuaavista emisseistä seuaa : 2012-2013 Lasse Lensu 41
Ristiiitatodistus :{,, } :{, } :{ } Klausuulijoukko: {{,,}, {, }, {}, { }} Resolventit: {, }, {} Klausuulijoukko: {{,,}, {, }, {}, { },{, }, {}} Resolventit: { } Klausuulijoukko: {{,,}, {, }, {}, { },{, }, {}, { }} Resolventit: { } 2012-2013 Lasse Lensu 42
Yhteenveto Luonnollisen kielen väittämät voidaan fomalisoida ja esittää matemaattisen täsmällisinä oositiologiikan lauseina. Logiikan välineillä voidaan muodostaa annetuista väitteistä uusia väitteitä, selvittää uusien lauseiden totuusavoja ja tuottaa johtoäätöksiä. Päättelymenetelmät: Semanttinen menetelmä totuustaulu Syntaktinen menetelmä oosition sieventäminen ja äättelysäännöt Resoluutiomenetelmä esoluutioäättelysääntö 2012-2013 Lasse Lensu 43