Mat-1139 Matematiikan erikoistyöt Witneyn sateenvarjo suikuavaruudessa Kenrick Bingam 1 41857A, Tf 61997 1 ttp://wwwutfi/ kenny/
Sisältö 1 Jodanto 3 Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 3 1 Witneyn sateenvarjo 3 Klassiset ratkaisut 5 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä 5 4 Ongelmia 6 41 Tapaus 1 6 4 Tapaukset ja 5 6 43 Tapaus 3 7 44 Tapaukset 4 ja 6 7 3 Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 7 31 Jatkaminen 7 3 Primääridekompositio 9 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 1 41 Tapaus 1 4 Tapaus 3 13 43 Tapaus 5 15 5 Yteenveto 16 Merkinnät ja nimitykset 17 Viitteet 18 Liite 1: Axiom-komentojonot 19
1 Jodanto Differentiaaligeometrinen menetelmä on eräs tavallisten differentiaaliytälöiden ratkaisumenetelmä Siinä tarkastellaan geometrisesti differentiaaliytälön määräämää pintaa suikuavaruudessa Suikuavaruutta voidaan ajatella :na, jossa koordinaatit ovat differentiaaliytälön vapaa muuttuja, ratkaisu ja sen derivaatat Differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee tällä pinnalla Käyrän suunta pinnan kussakin pisteessä määräytyy, kun uomioidaan lisäksi :den derivaattaluonne Ratkaisukäyrää voidaan laskea numeerisesti etenemällä aina pieni askel kerrallaan näin laskettuun suuntaan Jos pinta leikkaa itsensä, saattaa ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuottaa ongelmia: kun eri ledillä kulkevat ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa, ratkaisukäyrän kulkusuunta ei ole yksikäsitteinen niiden leikkauspisteessä Jos kuitenkin ratkaisukäyrien korkeamman kertaluvun derivaatat eroavat, voidaan siirtyä korkeamman kertaluvun suikuavaruuteen, jossa ratkaisukäyrät kulkevat erillään, eikä pinta enää leikkaa itseään Korkeamman kertaluvun derivaatoille saadaan riippuvuuksia derivoimalla alkuperäistä differentiaaliytälöä :n suteen, ja poistamalla pinnasta epäoleelliset osat yödyntäen kommutatiivisen algebran ns primääridekompositiota Tässä erikoistyössä tarkastellaan esimerkkinä erästä itsensä leikkaavaa pintaa, ns Witneyn sateenvarjoa, kolmiulotteisessa suikuavaruudessa Koska kolme koordinaattia voidaan ajatella :ksi, :ksi ja :ksi tavalla, saadaan kuusi erilaista tapausta Näistä kolmessa leikkauskodan kautta kulkee useita ratkaisuja Leikkauskota saadaan kaikissa kolmessa tapauksesa kierrettyä siirtymällä neliulotteiseen avaruuteen Differentiaaligeometrinen menetelmä soveltuu myös differentiaaliytälösysteemien ratkaisemiseen, jolloin joudutaan toimimaan väintään viidessä ulottuvuudessa (,,,, ) Tässä erikoistyössä on avainnollisuuden ja yksinkertaisuuden vuoksi rajoituttu tarkastelemaan yden tuntemattoman funktion differentiaaliytälöitä Lukijalle lienee eduksi differentiaaligeometrian ja algebran peruskäsitteiden tuntemus esimerkiksi läteiden [7] ja [8] pojalta Koko ajan liikutaan kuitenkin :ssa ja :ssa, joten ensimmäisen vuoden korkeakouluopinnot matematiikassa antanevat riittävän pojan asian ymmärtämiselle pääpiirteissään, kenties lukuunottamatta primääridekompositio-osuutta Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 1 Witneyn sateenvarjo Witneyn sateenvarjoksi kutsutaan ytälön!# &% (' (1) ratkaisujoukkoa :ssa Se koostuu pinnasta puoliavaruudessa ' (ks kuva 1) sekä sateenvarjon kavasta +' *) ' Pinta on näistä mielenkiintoisempi osa tarkasteltaessa jatkossa -, differentiaaliytälöitä, jotka saadaan ajattelemalla :a suikuavaruutena / Pinnan poikkileikkaukset -tasossa ovat kaksi toisensa leikkaavaa, origon kautta kulkevaa suoraa, 3
joiden kulmakertoimet ovat 1# Poikkileikkaukset -tasossa puolestaan ovat paraabeleja ja - tasossa käyriä (3 4 5 x - -1 1 4 3 x3 1 4 x1 - -4 Kuva 1: Witneyn sateenvarjon pinta Kyseessä ei ole -monisto, sillä pinta leikkaa itsensä pitkin positiivista -akselia Sitä voidaan kuitenkin tarkastella moniston osajoukkona, jolloin, ja ovat :n lokaaleja koordinaatteja Avaruus voidaan nyt tulkita suikuavaruudeksi /, kun muuttujien, ja ajatellaan olevan differentiaaliytälön vapaa muuttuja, differentiaaliytälön ratkaisu ja sen derivaatta 67 78 Muuttujat, ja voidaan samaistaa muuttujiin, ja kuudella eri tavalla: Tällöin ytälö (1) määrää differentiaaliytälön 9 1 3 4 5 6 (' () jonka ratkaisukäyrä kulkee sateenvarjopinnalla Singulariteetissa eli sillä suoralla, jolla pinta leikkaa itsensä, ratkaisun käyttätymiseltä tai sen laskemiselta voidaan odottaa jotakin erikoista 4
; I T 9 b E 9 _ B 9 ^ B g g E B ) ) : Klassiset ratkaisut Differentiaaliytälölle () saadaan kaikilla eri permutaatioilla klassiset ratkaisut: % ('(< = < 8> >?*@ < A =?*@ B % D ('(< 6 1 E < =?*@ F< A?*@ ' % ('(< 6 = < % % % @ < A = HG % ('(< 1 < J KMLNLO 1? J K @ < M @#POQ SR ' N% ('(< 16 U< A @ 1 = < A @ 1 = ' N% ('(< 6 1 < J KMLVLW 1? J KML @ LX< M @#P Q Y>[Z = -R ' 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä Differentiaaliytälöä voidaan läteä ratkaisemaan suikuavaruudessa numeerisesti seuraavalla differentiaaligeometrisella menetelmällä [1,, 9] on 1-kodimensioinen tangentti- 9 Pinnan \' tangenttitaso pisteessä ] S^ / avaruuden _ / a` aliavaruus b 9c ëd 'f# g ^ / a` L b 9 g (' missä (3) b 9 i? b? b ^ _kj / l (4) 9 9 on :n differentiaali Koska differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee pinnalla (', sen tangenttivektori sijaitsee tässä tasossa Suikuavaruuden rakenteesta ei vielä käy ilmi, että :n pitää olla ratkaisukäyrällä :n derivaatta: m Tämä eto voidaan kirjoittaa kontaktimuodon n&6 b % b _kj / l (5) avulla no g p', mikä sekin määrää 1-kodimensioisen aliavaruuden eli tason _ / a` :ssä 3 Ratkaisukäyrän tangenttivektori sijaitsee myös tässä tasossa Ytälöt b 9 g (no g (' (6) määräävät siis pisteessä ] aliavaruuden, joka määrää ratkaisukäyrän tangenttivektorin suunnan yksikäsitteisesti, jos sen dimensio on 1 eli jos tasot leikkaavat toisensa Näiden aliavaruuksien muodostamaa kimppua kutsutaan systeemin distribuutioksi ja ratkaisukäyrää distribuution integraalimonistoksi Jos merkitään tangenttivektoria normaalikannassa gmqg? g? g sr g ut (7) Funktion differentiaali vastaa vvw :n vektorianalyysin Jacobin matriisia, joten ytälö xzyw{} ~& voidaan kirjoittaa kenties ˆ 3 Huomattakoon, että ytälö Š5Œx 6Žm Š x #ˆ saadaan formaalisti kertomalla ytälö Š a x :llä tutummin merkinnöin #y ƒ 5
R ; @ d ytälöt (6) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ts(' missä (8) 78 78 78 78 7 7 Š % ; ' (9) nolla-avaruutta š t L ts('yf ; Distribuutio vastaa siis kussakin pisteessä matriisin Jos nyt matriisin rangi on eli œž ŸSš, ratkaisukäyrää voidaan läteä seuraamaan etenemällä lyyt askel distribuution suuntaan ja projisoimalla näin saatu piste takaisin monistolle 4 Ongelmia Jos kuitenkin œ ŸSš, distribuutio ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa, eikä ratkaisukäyrää voida laskea tällä menetelmällä Tilanne on tällainen esimerkiksi pinnan () leikkaussuoralla 41 Tapaus 1 Koska tapauksessa 1 singulariteetissa FA(' matriisin % ; ' % D % H, joten singulariteetissa ratkaisu- toinen vaakarivi on nollarivi, on distribuution dimensio œž ŸSš käyrän seuraaminen on madotonta % ; ' ' ' ' (1) Jos klassiseen ratkaisuun s?@ B sijoitetaan singulariteetti s', saadaan eto @ ' Singulariteetin kautta kulkee siis ainoastaan ratkaisu M 4 Tapaukset ja 5 Tapauksessa singulaariset ratkaisut ovat sellaisia, joissa F (' Klassisen ratkaisun ensimmäinen derivaatta on 6?*@ c äb (11) joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Nyt on edellisen lisäksi se ongelma, että korkeudella kulkee nyt kaksi ratkaisua, jotka vastaavat @ :n arvoja @ 1 (1) Singulariteetissa joten taas œ ŸSš % ; ' % % D H Š ' ; ' ' ' ' (13) Tapauksessa 5 tilanne on samanlainen: Ensimmäinen derivaatta on 1 = (' 6 (14)
; R kun ', joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Korkeudella kulkee taas kaksi ratkaisua, jotka vastaavat @ :n arvoja @ 1 Distribuution dimensio on jälleen, koska % ; ' % % H Š ' ; ' ' ' ' (15) 43 Tapaus 3 Nyt ratkaisut A HG kulkevat kaikki singulariteetin FA(' kautta Lisäksi ; ;?*@ ; kun ', joten kaikki ratkaisukäyrät kulkevat lisäksi korkeudella ; (16) Saman pisteen kautta ei siis kulje nyt ainoastaan kaksi ratkaisua, vaan ääretön määrä ratkaisuja Ratkaisukäyrää ei voida seurata singulariteetissa, koska ja siis œž ŸSš % ; ' % % Y HO ' ; ' ' ' ' (17) 44 Tapaukset 4 ja 6 Tapauksissa 4 ja 6 singulariteetti ei aieuta ongelmia Ytälölle saadaan @ :n eri arvoilla erilaisia eksponenttimuotoisia ratkaisuja, jotka on määritelty :n positiivisilla arvoilla Niistä mitkään eivät kulje singulariteetin MF ' kautta Lisäksi @ :n arvolla saadaan triviaaliratkaisu A(', joka vastaa sateenvarjon kavaa Tapauksessa 4 ratkaisukäyrä määräytyy matriisin % ; ' % % (18) nolla-avaruudesta Muualla kuin triviaaliratkaisulla mª ', joten ainoastaan triviaaliratkaisulla œ ŸSš Myös tapauksessa 6 matriisin % ; ' % % (19) nolla-avaruus on yksiulotteinen, kun (' ª 3 Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 31 Jatkaminen Systeemin jatkamisella tarkoitetaan alkuperäisen differentiaaliytälön 9 (' () 7
g g b n n b ^ ' ^ _ «derivoimista :n suteen, jolloin saadaan uusi ytälö Se saa tapauksissa 1 6 seuraavat muodot: (' (1) % % D (' () % D % (' (3) % % (' (4) D % % (' (5) [ % % A(' (6) % D % (' (7) jatkon differentiaalille saadaan b M+? b? b? b _kj / l / Ytälöt () ja (1) määrittelevät neliulotteisessa avaruudessa kaksiulotteisen pinnan, jolla ratkaisut kulkevat Sen tangentin määräävät nyt kaksi ytälöä Entinen ytälö b 9 g (' muuntuu muotoon b 9 g b 9 b N g l (' (8) / ± missä ±²³ ±^ / on kanoninen projektio Sen lisäksi j b g (' (3) Kontaktimuotojakin on nyt kaksi Entisestä kontaktimuodosta no ^ _ j / l saadaan kanonisella projektiolla 1-muoto j n ^ / l _ j Ytälön j no g (n& b N g ' (31) lisäksi on :n derivaattaominaisuuden = = määrittelevä ytälö g (' missä (9) (3) b % / l _kj (33) on toinen kontaktimuoto Ytälöt (8), (3), (31) ja (3) ovat nyt matriisimuodossa tµ ' (34) missä ja tµ g g I Fgq r? g 78 7 78 7 78 78 Š 78 78 7 7 7 78 78 Š % ; ' 7 ' = % ' ; '? g? g Fg ^ / l (35) (36) 8
d ] d Ã Ä Ä ^ Ã Ó Ä Ä ` f à ^ Ê Koska nämä ytälöt ovat differentiaaliytälöstä konsistentisti jatkettuja ytälöitä, matriisia vastaavan l lineaarikuvauksen ydin on väintään yksiulotteinen Jos œ ŸSš ;, differentiaaliytälön ratkaisuja voidaan laskea edellä esitetyllä menetelmällä :ssä ei ole monisto, vaan se leikkaa itsensä, joten ratkaisukäyrän seuraaminen on madotonta leikkauskäyrän pisteissä; lisäksi läellä singulariteettia se voi olla numeerisesti vaikeaa Jatketun systeemin kodalla tilanne voi olla samanlainen, jolloin ratkaisukäyrän laskeminen ei onnistu pinnan leikkauspisteissä Ytälön 9 ' määräämä pinta / 3 Primääridekompositio Ytälöiden 9 ' [8] 8 ¹º' määräämää pintaa voidaan tarkastella polynomien 9 ja virittämän ideaalin 9 af inina varieteettina [5] ¾k 8 d 9?*¼ ½L ] ja ¼ muuttujien,, ja polynomeja f (37) V^ / L ] ^ ^ ja À ª Ideaalia sanotaan primääri-ideaaliksi, jos aina kun À Á Primääridekompositioksi kutsutaan renkaan  ideaalin ajotelmaa missä primääri-ideaalit 1 Mikään Ä ª Ç Ä ^ Ã Ä Â toteuttavat seuraavat edot: Ä ei sisällä muiden ideaalien leikkausta, kun È É ª ('6 ], niin Á ^ 8 ^ (38) jollakin ] (39) &Å ÆÆ ÆÅ Ä c Å Å Æ ÆÆYÅ Primääridekompositio on yödyllinen konstruktio, jos rengas   :n ideaalilla on äärellinen määrä virittäjiä: on Noeterin rengas eli kun jokaisella Lause 31 Noeterin renkaan aidolla ideaalilla on yksikäsitteinen primääridekompositio Todistus löytyy läteestä [3] 8 voidaan siis muodostaa primääri- Koska tarkasteltavat ideaalit ovat äärellisesti viritettyjä, ideaalille dekompositio Jättämällä leikkauksen ideaaleista osa pois saadaan laajempi ideaali Ë 8 8 Ä ÄWÌ8ÍmÎÏ Ð ÐÒÑ ÑÒÑ Ð (4) (41) Sen varieteetti on vastaavasti pienempi, koska varieteetin pisteille asetetaan enemmän rajoituksia Sopivalla valinnalla voidaan saada se varieteetti, jolla differentiaaliytälön ratkaisuna mielekäs käyrä kulkee Koska kiinnostuksen koteena on läinnä ideaalin varieteetti, voidaan alkuideaalien sijaan tarkastella niiden radikaali-ideaaleja Ä ] L ]DÕ jollakin Ö f, sillä ^ 9
Ê ^ ^ Å ^ ' ^ Lause 3 Jos on ideaalin uø mielival- Todistus Koska selvästi ¾± Olkoon mielivaltainen, jolloin siis ] tainen Tällöin ¼ ^ Õ jollakin Ö radikaali-ideaali, niin varieteetit ¾k ja ¾k l, niin ¾k Ø ¾k, joten riittää osoittaa, että ¾k Ø ¾k ' ¾k kaikille ] Olkoon ¼ ^, joten ¼ l Õ U' ja siis myös ¼ U' ¾k Siten ovat samat Primääridekompositio ja radikaali-ideaalit on laskettu Axiom-ojelmiston [6] avulla Käytetyt komentojonot on esitetty liitteessä 1 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 41 Tapaus Tapauksessa jatko on Tällöin singulariteetissa % D % (' (4) % % D ' ' ' ' ' % [ % % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' (43) % ' ; ' % ' ; ' H Š[ l joten œ ŸSš, täsmälleen silloin kuin 9 ;, jolloin :n vasemman alakulman / -alimatriisin determinantti on nolla Kuten ytälöistä Ù ' käy ilmi, ratkaisukäyrillä nimenomaan pätee singulariteetissa D ; l, joten š ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa singulariteetissa Ratkaisun seuraaminen onnistuu kuitenkin yödynnettäessä primääridekompositiota missä Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat Huomattakoon, että ideaalin 8 8 &Å (44) 6 [ % Ú? % Ú % Ú %? % Ú? N%? % Ú? % % %? %? % Ú? radikaali-ideaali on %? Ú? N%? % % % 1? N% (45) (46) % (47)
9 Ë I ; % ; ; âû â B B B c 9 B ja :n virittäjät saadaan lisäämällä tämän virittäjiin polynomi %? 9 %, ja että tässä, kuten muillakin permutaatioilla, viimeisessä ideaalissa esiintyy alkuperäinen ytälö (', joiden varieteetit ovat systeemin singulari- Jätetään uomiotta mielenkiinnottomat ideaalit teetti ja origo Valitaan siis 8 Merkitään (' saadaan ratkaistua Ë ja :n virittäjiä ytälössä (46) esitetyssä järjestyksessä 9, 9, 9, 9 ja 9eÛ Asettamalla 9 6 FD? % 1 (48) Neliöjuuren merkin eri valinnoilla saatavat pinnat eivät leikkaa toisiaan, sillä kun ³ ', ³ÝÜ Kun nämä :n ja :n lausekkeet sijoitetaan ytälöiin 9 ', 9 ' 9ÞÛ ja ', ne toteutuvat identtisesti Täten :n informaatio sisältyy jo polynomeiin 9 9 ja siinä mielessä, että ¾k ¾k l ¾kl 9 l (49) Tämä on numeeristen laskujen kannalta mukavaa, koska distribuutio voidaan nyt laskea neliömatriisin nolla-avaruudesta 7 Š 78 Š 7 Š 7 Š 78 7 78 Š 7 7 = 78 = 78 7 = 7 78 = 7 Š 7 = % ; ' ' = % ' ; ' Lausekkeista (48) nädään, että -akseli ei leikkaa pintaa ¾k A D % ; % % ;? % ; ' ' % ' ; '?*@ (5) Tämä sopii yteen klassisen ratkaisun (51) kanssa sikäli, että ainoa ytälöt uùußà' toteuttava ratkaisu saadaan @ :n arvolla, jonka toinen derivaatta läestyy ääretöntä, kun ³ ' = =?*@ (5) Kuvassa on piirrettynä kolme tapauksen ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun parametrin @ arvot ovat: á á á % % % ; > ;ã, @ % ;Y; % > ä >, @ ;Y; %, @ % ä Näistä kaksi ensimmäistä leikkaa toisensa singulariteetissa korkeudella > Kolmas läpäisee singulariteetin korkeudella >lå çæ Laskut on tety Matematica-ojelmistolla käyttäen läteessä [] esiteltyä ojelmaa Kuvassa 3 on piirretty -tasoon pisteestä % ; askelta, toleranssi,1) sekä tarkka ratkaisu A % ä 11 ; ;Y; lätien numeerisesti laskettu ratkaisu (1 (53)
4 x - -4 1 y1-1 6 4 y Kuva : Ratkaisuja tapauksessa 14 1-1 -5 5 1 8 6 Kuva 3: Tarkka (out viiva) ja numeerisesti laskettu ratkaisu (paksu viiva) tapauksessa 1
â % % ' % Å Å B è 4 Tapaus 3 Tapauksen 3 kaikki klassiset ratkaisut kulkevat / :ssä pisteen A ;?*@ ' ; kautta, minkä takia ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuossa pisteessä ei voi onnistua Systeemin jatkaminen auttaa, sillä toinen derivaatta riippuu parametrin @ sillä % @ ;?*@ % @ (54) (55) arvosta Jatketun systeemin distribuutio on singulariteetissa silti kaksiulotteinen, % '? % % % ; ' ' % ' ; ' HO jonka / -alimatriisin determinantti % (', onan 6 ; ' ' ' ' % ' ' % ; ' ' % ' ; ' kaikilla ratkaisuilla (56) Eteenpäin päästään käyttämällä primääridekompositiota 8 &Å (57) missä 6 % %? ; %? % %? %? Ú %?????? %? %? % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat % ;? %? Näistä ylätään taas mielenkiinnottomina muut kuin % Ú? %? (58) (59), jonka virittäjiä merkitään ytälössä (59) esi- 9 tetyssä järjestyksessä 9, ja 9 Eto 6 ; 9 singulariteetissa saadaan tällöin sijoittamalla :n lausekkeeseen FA(', jolloin saadaan ; % (' < ('ßéˆ ; ja uomaamalla, että jos (', saadaan pelkästään triviaaliratkaisu Mê(' Varieteetti ¾± 9 saadaan nyt käyttämällä pelkästään ytälöitä M' 9 ja voidaan ratkaista % ; 1 A öì ; 13 ë' : Jos (6) ë' ª, niistä (61)
Ë Û % Û ; Û % Û Û â % 9 ä ' ja 9 sijoitettaessa nämä ytälö ' toteutuu identtisesti Lausekkeissa esiintyvät ¾k 1 - ja ì -merkit eivät nytkään ole osoitus siitä, että pinta leikkaisi itsensä, sillä koska ; í' ª, aarat eivät ydy missään Jos taas = = % @ ', voidaan ratkaista suoraan 9 (' < ('#é ; (' < F mitkä toteuttavat identtisesti ytälön 9 neliömatriisin (6) (63) î' Ratkaisun tangentti voidaan siis laskea singulariteetissa % I? % ' % % 5 ' % ' ' % ; ' ' % ; ' ' (64) % ' ; ' % ' ; ' Y HO nolla-avaruudesta, sillä Ë :n vasemman alakulman / -osamatriisin determinantti on % 6 % ' ª, sillä ratkaisukäyrällä ; -1 y 1 3 y1 1-5 5 x 1 Kuva 4: Ratkaisuja tapauksessa 3 Kuvassa 4 näkyy kolme ratkaisukäyrää, jotka leikkaavat toisensa pisteessä alkupisteet ja vastaavat klassisen ratkaisun (54) parametrin @ á á á % % % Û ', @ (' æ, @ ; % ä l, @ arvot ovat: ' ; Niiden Ratkaisukäyrät on laskettu ja piirretty nytkin []-läteen ojelman avulla 14
Ë % % Å Å ' è 43 Tapaus 5 Tapauksessa 5 matriisin % ' ' ' ' '? % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' % ' ; ' % ' ; ' H Š 9 nolla-avarus on singulariteetissa kaksiulotteinen, sillä samoin kuin tapauksessa nädään ytälöistä ï(', että AF Primääridekompositioksi saadaan nyt missä % % % % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat 8 % % % % % Ë Jätetään jälleen 9 uomiotta muut kuin järjestyksessä 9,, 9 ja 9 9 Ytälöistä 9 AF %? 9 jotka toteuttavat ytälöt 9 (' Å % % (65) (66) % % % % N% % (67) (68) ja merkitään sen virittäjiä ytälössä (68) esiintyvässä (' voidaan nyt ratkaista suoraan 6F Ratkaisukäyrän tangentti määräytyy singulariteetissa siis neliömatriisin % (69) % % ; % ; % ' % ; ' %? ' % ; ' % ' % ; ' ' % ; ' ' (7) % ' ; ' % ' ; ' Š nolla-avaruudesta, joka on yksiulotteinen paitsi, kun (' Jos º', seuraa ytälöstä 9 Ẍº', että µð' Tämä tilanne vastaa vain ytä yksittäistä klassista ratkaisua: parametrin @ arvon täytyy olla, jolloin M ñ çæ Tällöin mistään ideaalin polynomista ei saada etoa - eikä -komponentille, joten ratkaisukäyrän seuraaminen ei onnistu Systeemin jatkaminen uudelleen saattaisi tällöin tuottaa tuloksia Kuvassa 5 on piirrettynä kaksi tapauksen 5 ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun A =?*@ (71) parametrin @ arvot ovat: 15
I Û % y1 - -4 1 y x - Kuva 5: Ratkaisuja tapauksessa 5 á á % % çæ % I I, @ ; Û, @ % ; Ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa singulariteetissa korkeudella 1 Huomattakoon jälkimmäisen ratkaisun kodalla mielenkiintoinen kulkeminen sateenvarjon ledeltä toiselle laakson A(' kautta 5 Yteenveto Systeemin jatkaminen ja primääridekomposition soveltaminen väärien komponenttien poistamiseen osoittautui Witneyn sateenvarjon kodalla toimivaksi menetelmäksi singulariteetin poistamiseen / Tapauksessa 5 jäi yksittäinen ratkaisu, jonka laskeminen ei onnistunut ratkaisu kulki singulariteetin kautta / :ssäkään alkuperäisen systeemin singulariteettikodassa Tämä tilanne muistuttaa tapauksen 1 tilannetta, jossa vain yksi :ssä Systeemin jatkaminen saattaisi auttaa molemmissa tapauksissa, mutta sitä ei kokeiltu Menetelmä vaatii jonkin verran käsityötä sen analysoinnissa, mitkä primääridekomposition antamista ideaaleista jätetään uomiotta, kun alutaan poistaa varieteetin epäoleelliset komponentit Jotta menetelmästä saataisiin elppokäyttöinen algoritmi, tämä askel pitäisi saada automatisoitua Tällöin olisi myös syytä selvittää teoreettisesti, onko tällainen ylipäätään aina madollista 16
ò Merkinnät š _ b 7 ô ô ¾ _ ô ô f ô r Vastaa 7ó Moniston ô lokaalin koordinaatin õ suuntainen kantavektori tangenttiavaruudessa _ õ Moniston ô koordinaattifunktion õ differentiaali eli _ j œ Ÿ / _ j / :n 7 7ó :lle duaalinen kantavektori Vektoriavaruuden ¾ dimensio Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden ensimmäisen kertaluvun suikuavaruus Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden d toisen kertaluvun suikuavaruus Luonnollisten ; lukujen joukko Matriisin nolla-avaruus Kanoninen projektio Reaalilukujen joukko Moniston ô tangenttiavaruus :n duaali eli moniston ô tangenttiavaruuden lineaaristen funktionaalien lineaariavaruus Nimitykset Distribuutio Distribution 3 Integraalimonisto Integral manifold 3 Jatkaminen, jatko Prolongation 31 Kontaktimuoto ontact form, 31 Noeterin rengas Noeterian ring 3 Primääridekompositio Primary decomposition 3 Suikuavaruus Jet space 1 Varieteetti Variety 3 17
ö Viitteet [1] Teijo Arponen, Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations: Numerical Results, Researc Report A37, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology, 1996 [] Teijo Arponen, Differentiaalialgebrallisten ytälöiden numeerinen laskenta, diplomityö Teknillisen korkeakoulun teknillisen matematiikan ja fysiikan osastolla, 1996 [3] Tomas Becker, Volker Weispfenning, Gröbner Bases: A omputational Approac to ommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993 [4] William M Bootby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Edition, Academic Press, 1986 [5] David ox, Jon Little, Donal O Sea, Ideals, Varieties, Algoritms, Springer-Verlag, 199 [6] Ricard D Jenks, Robert S Sutor, Axiom: Te Scienti c omputation System, Springer-Verlag, 199 [7] Klaus Jänic, Vektoranalysis, Auage, Springer-Verlag, 1993 [8] W Keit Nicolson, Introduction to Abstract Algebra, PWS-Kent, 1993 [9] Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations, Researc Report A383, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology, 1996 18
Liite 1 Axiom-komentojonot Primääridekomposition laskemiseen on käytetty seuraavia axiom-komentojonoja: Tapaus dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*y1**-x^; -- tapaus )read djaprdec Tapaus 3 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y1*x**-y**; -- tapaus 3 )read djaprdec Tapaus 5 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*x**-y1**; -- tapaus 5 )read djaprdec Näissä talletetaan Orderly DifferentialPolynomial -tyyppiseen muuttujaan p1 käsiteltävä 9 polynomi / ³ Vapaata muuttujaa merkitään x:llä ja ratkaisua y:lla Ratkaisun derivaattoja ja merkitään y1:llä ja y:lla Lopuksi kutsutaan jäljempänä esitettävää djaprdec-komentojonoa Yteinen osuus: djaprdec p:=d(p1); pz1:=(eval(p1,[y1=z1,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); pz:=(eval(p,[y1=z1,y=z,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); idp:=ideal([pz1,pz]); radical(idp) dec:=primarydecomp(idp); #dec for i in 1#dec repeat output deci for i in 1#dec repeat output radical(deci) Yteisessä osuudessa derivoidaan ensin p1:llä merkitty polynomi 9 Näin saatava jatko talletetaan nimelle p 19
Seuraavaksi p1 ja p muunnetaan Distributed Multivariate Polynomial -tyyppisiksi ja tallennetaan nimille pz1 ja pz, koska primääridekompositio on määritelty axiomissa vain tämäntyyppisten olioiden virittämille ideaaleille Näissä polynomeissa merkitään :ää edelleen x:llä, mutta :tä ja sen derivaattoja ja merkitään z:lla, z1:llä ja z:lla Polynomien pz1 ja pz virittämä ideaali tallennetaan muuttujaan idp ja sen radikaali-ideaali lasketaan mielenkiinnon vuoksi Seuraavaksi lasketaan idp:n primääridekompositio ja se tallennetaan muuttujaan dec Lopuksi tulostetaan primääridekomposition ideaalit sekä niiden radikaali-ideaalit