Markku J. Lampinen, Voitto Kotiaho, Mikko Auvinen TERMODYNAMIIKAN PERUSTEIDEN LASKUTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN

Markku J. Lampinen, Voitto Kotiaho, Mikko Auvinen TERMODYNAMIIKAN PERUSTEIDEN LASKUTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Aalto yliopisto Energiatekniikan laitos 2014

Sisältö Sisältö 1 1. Termodynamiikka ja lämmönsiirto 3 1.1 Tehtävät: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase, virtaussysteemin energiatase........................ 3 1.2 Tehtävät: Palaminen, lämpöarvo................ 33 1.3 Tehtävät: Toinen pääsääntö................... 51 1.4 Tehtävät: Ensimmäinen ja toinen pääsääntö......... 65 1.5 Tehtävät: Tasapainotila..................... 103 1.6 Tehtävät: Sekalaiset....................... 107 1.7 Tehtävät: Lämmönsiirto-oppi.................. 125 2. Kemiallinen termodynamiikka 149 2.1 Tehtävät: Reaalikaasut...................... 149 2.2 Tehtävät: Kemiallinen entalpia, kemiallinen potentiaali, muodostumisentalpia, lämpöarvo, reaktorin energiatase..... 159 2.3 Tehtävät: Sähkökemia, polttokennot ja akut......... 177 2.4 Tehtävät: Tasapainotila..................... 195 2.5 Tehtävät: Liuokset........................ 221 2.6 Tehtävät: Palaminen, reaktiokinetiikka, kostean polttoaineen lämpöarvo.......................... 227 2.7 Tehtävät: Sekalaiset....................... 245 3. Teknillinen termodynamiikka 253 3.1 Tehtävät: Kostea ilma...................... 253 3.2 Tehtävät: Virtausoppi....................... 277 3.3 Tehtävät: Exergia-analyysi................... 289 3.4 Tehtävät: Epästationääri lämmönsiirtyminen......... 301 3.5 Tehtävät: Säiliön tyhjennys ja täyttö.............. 307 1

Sisältö 3.6 Tehtävät: Suutinvirtaus..................... 313 A. JANAF-taulukot 319 2

1. Termodynamiikka ja lämmönsiirto 1.1 Tehtävät: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase, virtaussysteemin energiatase 1.1.1 Tehtävä Laske Schmidtin höyrytaulukoiden avulla 20 C:sen veden höyrystymisessä tapahtuva sisäenergian muutos u u ja määritä sisäenergian arvotu jau. Schmidtin höyrytaulukoissa on sovittu nollapisteeksiu (0,01 C) 0. 1.1.2 Tehtävä Sähkökäyttöisellä veden höyrystimellä tuotetaan 20 C:sta yhden barin paineessa olevasta vedestä 100 C kylläistä vesihöyryä 0,05 kg/s. a) Määritä sisään syötettävän veden entalpia yhtälön h(20 C,1 bar) = h (20 C)+v(1 T 1 γ 1 )(p 2 p 1 ) avulla (ks. kirjan kaava (169)) ja osoita numeroilla, että erittäin hyvällä tarkkuudella pätee h(20 C,1bar) = h (20 C) b) Laske höyrystimen ottama sähköteho. 1.1.3 Tehtävä Eräs painepesuri tuottaa mäntäpumpulla 120 barin paineista vettä kapasiteetillä 3 litr/min. Laske painepesurin ottama sähkötehoteho, kun pumpun hyötysuhde on 50% ja sähkömoottorin 70%. 3

1.1.4 Tehtävä Vesi tulee suuttimeen tilassa (20 C, 7 bar) ja purkautuu siitä ulkoilmaan, jonka paine on 1 bar. Suuttimesta purkautuvan veden virtausnopeus on 30 m/s. Laske suuttimesta purkautuvan veden lämpötila. 1.1.5 Tehtävä Kerrostalon lämmitys on toteutettu kaukolämmöllä, jossa kaukolämpöpuolen lämpötilat mitoitustilanteessa ovat 100 C/43 C (meno/paluu) ja radiaattoripuolen 40 C/70 C (paluu/meno). Painehäviöt lämmönsiirtimissä ovat: kaukolämpöpuoli 60 kpa ja radiaattoripuoli 25 kpa. a) Laske kaukolämpöpuolen ja radiaattoripuolen vesivirrat mitoitustilanteessa, kun lämmönvaihtimessa siirtyvä lämpöteho on 150 kw. b) Osoita kirjan esimerkin 11 mukaan, että painehäviöillä ei ole merkitystä lämpötehojen laskennassa. 1.1.6 Tehtävä Kaukolämpölinjassa oleva vesipumppu imee 50 C:sta vettä 50 litra/s ja nostaa sen painetta 75 kpa. Vesipumpun hyötysuhde on 75% ja sähkömoottorin 95%. Laske pumpun ottama akseliteho ja sähkömoottorin ottama sähköteho. Laske pumpun paineaukosta ulos tulevan veden lämpötila. 1.1.7 Tehtävä Paineilmakompressori imee 20 C:sta huoneilmaa 0,15 m 3 /s ja puristaa sen huoneilman paineesta (1 bar) paineeseen 7 bar. Mittausten mukaan kompressoria pyörittävän sähkömoottorin ottama sähköteho on 61 kw. Sähkömoottorin hyötysuhde on 0,92. a) Laske paineilmakompressorin ottama akseliteho. b) Laske paineilmakompressorin paineilma-aukosta pois virtaavan paineilman lämpötila, kun kompressoria ei jäähdytetä. c) Kompressorin jälkeen paineilmalinjaan on sijoitettu vesijäähdytteinen lämmönvaihdin jolla paineilma jäähdytetään lämpötilaan 20 C. Laske jäähdyttimen teho ja vertaa sitä kompressorin akselitehoon. Voiko koko akseliteho siirtyä jäähdytysveteen? 4

1.1.8 Tehtävä Uimahallin altaasta haihtuu vettä noin 0,3 kg/m 2 h, kun veden lämpötila on 27 C (haihdutus riippuu myös ilman lämpötilasta ja sen kosteudesta). Altaassa (25m x 10m) on vettä noin 550 m 3 ja se vaihtuu kierrätyspumpun ansiosta kerran noin neljässä tunnissa eli vesipumpun virtaama on 140 m 3 /h. a) Laadi energiatase uima-altaalle ja laske altaalle tulevan kierrätysveden lämpötila, kun altaasta poistuvan kierrätysveden lämpötila on sama kuin altaan ja joka siis halutaan pitää lämpötilassa 27 C. Muu lämmönsiirtoteho altaan pinnalla (konvektio ja säteily) jätetään haihdutuksen nähden vähämerkityksellisenä huomioon ottamatta. Esittele tässä tarkastelussa oleva kirjan kaavan (90) systeemi. b) Laske kierrätyspumpun akseliteho, kun pumpun paineen nosto on 0,8 bar ja pumpun hyötysuhde on 60 %. c) Haihtumista vastaava vesimäärä syötetään kierrätysveteen vesijohtoverkosta noin 10 C:n lämpötilassa. Veden kierrätykseen on sijoitettu lämmönvaihdin, jonka avulla altaan kierrätysveteen syötetään tarvittava lämpöteho. Laske tämä lämpöteho. Ohje: Tee kokonaisenergiatase, jossa sisään menevinä energiavirtoina ovat syöttövesi, pumpun akseliteho ja lämmityspatterin veteen siirtämä lämpöteho sekä poistuvana energiavirtaamana altaasta haihtuva vesihöyry. Mikä tällöin on systeeminä? 1.1.9 Tehtävä Toimistotilan poistoilman lämmön talteenotto (LTO) on toteutettu ns. pyörivällä LTO-roottorilla, joka on tehty laskostetuista alumiinilamelleista. Mitoitustilanteessa poistoilmavirta on 0,36 kg/s (0,3 m 3 /s) ja sen lämpötila ennen LTO-roottoria on T s1 = 22 C sekä ulkoilman eli tuloilman lämpötila on T u1 = 26 C ennen LTO-roottoria. Mittauksen mukaan LTOroottorilta poistuvan tuloilman lämpötila mitoitustilanteessa oli T u2 = +12 C. a) Laske mittausten perusteella LTO-roottorin ns. lämpötilahyötysuhde ε = T u2 T u1 T s1 T u1 ja LTO-roottorilta poistuvan poistoilman lämpötila T s2 kun koneellinen tuloilmavirta on säädetty 10 % pienemmäksi kuin poistoilmavirta eli arvoon 0,32 kg/s. Vesihöyryn mahdollista tiivistymistä (poistoilmasta LTO-roottoriin) ja höyrystymistä (LTO-roottorista tuloilmaan) ei oteta huomioon. Mikä on mitoitustilanteessa lämmön talteenottoteho 5

(W) ja tarvittava kokonaislisälämmitysteho (josta osan kattaa puhallinteho, ks. b-kohta), kun tuloilma lämmitetään 20 C:seen? b) LTO-roottorin jälkeen tuloilmavirtaan on sijoitettu tuloilmapuhallin, joka kattaa tuloilmavirran painehäviöt (kokonaispainehäviö = 465 Pa). Laske tuloilmapuhaltimen sähkömoottorin ottama sähköteho, kun puhaltimen hyötysuhde on 57 % ja tasavirtasähkömoottorin hyötysuhde on 90 %. Laske ilman lämpeneminen puhaltimessa, kun sähkömoottori on myös sijoitettu kanavan sisään. c) Laske LTO-roottorilla aikaan saatu vuotuinen lämmitysenergian säästö (kwh), kun ilmanvaihdon vuotuinen käyttöaika on 200 pv x 10 h/pv = 2000 h ja kun tämän ajanjakson keskimääräinen ulkolämpötila on T u1 = +5 C. Lämpötilahyötysuhde pysyy ulkolämpötilan muuttuessa samana. d) Miksi poistoilmavirta tulee aina mitoittaa suuremmaksi kuin tuloilmavirta? Mikä ongelma aiheutuu levylämmönsiirtimellä toteutetulla LTO:ssa, kun ulkona on pitkään kova pakkanen kuten talvella 2010? 1.1.10 Tehtävä Putkessa virtaa 60 C:sta vettä 6 barin (abs) paineessa. Putkilinjassa on kuristusventtiili, jossa veden paine putoaa 0.1 barin paineeseen. Laske lämpötila venttiilin jälkeen ja siinä olevan veden ja vesihöyryn suhteelliset määrät. Miltä tilanne näyttää näkölasissa, kuinka paljon tilavuudesta on vesihöyryä ja paljonko pisaroita? Mitä tapahtuu paineilman lämpötilalle vastaavassa paineen pudotuksessa 6 bar/0,1 bar? 1.1.11 Tehtävä Tarkastellaan reversiibeliä kiertoprosessia R, joka toimiessaan lämpövoimaprosessina tekee jokaisella syklillä ulos ympäristöönsä nettotyömäärän W(R) ja ottaa vastaan syklin aikana ympäristöstä nettolämpömäärän Q(R). a) Osoita ensimmäisen pääsäännön ikiliikkuja eli energian syntyminen tyhjästä on mahdoton periaatteen nojalla, että on mahdotonta löytää lämpövoimakonetta, joka suorittaisi kiertoprosessin P 1 siten, että sen ympäristöönsä tekemä nettotyömäärä olisi W(P 1 ) = W(R) mutta toisaalta sen ympäristöstä vastaan ottama nettolämpömäärä olisiq(p 1 ) < Q(R). b) Osoita ensimmäisen pääsäännön energian häviäminen on mahdoton periaatteen nojalla, että on mahdotonta löytää lämpövoimakonetta, 6

joka toteuttaisi kiertoprosessin P 2 siten, että sen ympäristöönsä tekemä nettotyömäärä olisi W(P 2 ) = W(R) mutta sen ympäristöstä vastaan ottama nettolämpömäärä olisi Q(P 2 ) > Q(R). c) Mikä vaihtoehto jää jäljelle mielivaltaiselle kiertoprosessille P, jolle pätee W(P) = W(R) ja mitä se merkitsee? 1.1.12 Tehtävä Energiatase yleisessä muodossa voidaan kirjoittaa muotoon [U(B) U(ref)] (U(A) U(ref)] = [Q in (P) Q out (P)] [W in (P) W out (P)] missä U(ref) kuvaa systeemin sisäenergian arvoa valitussa referenssitilassa. a) Mitä tarkoittaa yhtälön oikealla puolella oleva symboli P? Miksi emme saa kirjoittaa esimerkiksi Q in (P) Q out (P) = Q(B) Q(A) tai W in (P) W out (P) = W(B) W(A) b) Jos systeeminä on 1 kg 0 C:sta vettä (tila A), joka jäätyy 0 C:seksi jääksi ilmanpaineessa 1 bar, niin mitä tarkoittavat yhtälössä (1) esiintyvät termit? Anna myös niiden lukuarvot, ainakin likimääräisesti, kun referenssitilaksi valitaan 0 C:nen vesi yhden barin paineessa ja sen arvoksi asetetaan nolla. 1.1.13 Tehtävä Uimahallin altaasta haihtuu vettä noin 0,3 kg/m 2 h, kun veden lämpötila on 27 C (haihdutus riippuu myös ilman lämpötilasta ja sen kosteudesta). Altaassa (25m x 10m) on vettä noin 550 m 3 ja se vaihtuu kierrätyspumpun ansiosta kerran noin neljässä tunnissa eli vesipumpun virtaama on 140 m 3 /h. Altaasta poistuvan kierrätysveden lämpötila on sama kuin altaan lämpötila. Altaan pinnalta poistuvassa lämmönsiirtotehossa otetaan huomioon ainoastaan haihdutus ja muu lämmönsiirtoteho (konvektio ja säteily) jätetään vähämerkityksellisenä huomioon ottamatta. a) Laadi kurssikirjan yhtälön (155) pohjalta energiatase uima-altaalle ja laske altaalle tulevan kierrätysveden lämpötila. b) Esittele tässä tarkastelussa oleva kurssikirjan kaavan (90) systeemi, 7

sen muutos A B ja johda sen pohjalta a-kohdassa käyttämäsi energiataseyhtälö. 1.1.14 Tehtävä Tuulen nopeus on w 1. Tuulen kohdatessa tuuliturbiinin sen nopeus on w 2 ja kauempana tuuliturbiinin jälkeen w 3. a) Osoita Bernoullin yhtälön (p+ 1 2 ρ22 =vakio) ja liikemääräyhtälön avulla että kitkattomassa virtauksessa w 2 = w 1+w 3 2. Ohje: Kirjoita Bernoullin yhtälö ennen turbiinia ja turbiinin jälkeen. Ajava voima on paine-ero turbiinin yli. b) Osoita a-kohdan tulosta hyväksikäyttäen että suurin mahdollinen hyötysuhde saavutetaan kun w 3 w 1 = 1 3. c) Osoita, että maksimimaalinen hyötysuhde tuuliturbiinille on η = 16 27. Miksi hyötysuhde ei voi olla yksi? d) Mitoita maksimaalisen hyötysuhteen mukaan toimiva tuuliturbiini jolla saadaan tuulen nopeudella 12 m/s teho 1 MW (laske lapojen kärkisäde). 1.1.15 Tehtävä Johda yleisestä energiataseesta (yhtälö (90)) energiataseelle differentiaalimuotodq = du+pdv. Milloin tämä muoto on pätevä ja mihin tapauksiin se soveltuu? 8

Ratkaisut: Ensimmäinen pääsääntö, energiatase Ratkaisu 1.1.1 a) Laske u, u ja u u Entalpian määritelmän h = u + pv avulla saadaan u u = [h pv ] [h pv ] Kylläisen vesihöyryn (yläindeksi ) ja kylläisen veden ( ) entalpiat sekä ominaistilavuudet voidaan lukea taulukkokirjan taulukosta 18. Paineena käytetään lämpötilan 20 C määräämää kylläistä painetta. Sisäenergian muutokseksi saadaan u u = [2538,4 10 3 J/kg 0,002341 10 6 Pa 57,79 m 3 /kg]...... [82,9 10 3 J/kg 0,002341 10 6 Pa 0,001002 m 3 /kg] = 2403,1 kj/kg 82,9 kj/kg = 2320 kj/kg } {{ } } {{ } u u Raportin 136 höyrytaulukoissa sanotaan, että entalpian nollatasona olisi kylläinen vesi lämpötilassa 0,01 C mutta tarkkaan ottaen nollatasona on u (0,01 C) = 0. Täten h (0,01 C) = u (0,01 C)+p (0,01 C)v (0,01 C) = 0+611 Pa 0,001 m 3 /kg = 0,611 J/kg = 0,000611 kj/kg Virhe on siis mitätön eikä vaikuta lukuarvoihin. Ratkaisu 1.1.2 a) Laske h(20 C,1bar) Kun entalpia lasketaan kaavalla h(20 C,1bar) = h (20 C)+v(1 T 1 γ 1 )(p 2 p 1 ) paineesta riippuvan termin ajatellaan olevan entalpiamuutos, joka tapahtuu siirryttäessä kylläisen tilan paineesta lopputilan paineeseen. Eli nyt p 1 = p (20 C) ja p 2 = 1 bar ja p (20 C) { }} { h = 82,9+0,001(1 293 0,206 10 3 ) (0,1 0,002341) 10 6 = 82,9 kj/kg+0,092 kj/kg = 83 kj/kg h (20 C) } {{ } = pieni 9

Tuloksesta huomataan, että paineesta riippuva termi on häviävän pieni verrattuna lämpötilatermiin. Pienillä paine-eroilla veden entalpia on hyvällä tarkkuudella riippuvainen vain lämpötilasta, eli h(20 C,1 bar) h (20 C) b) Laske sähköteho Energiatase höyrystimelle on φ+ṁh(20 C,1bar) = ṁh (100 C) mistä voidaan ratkaista sähköteho taulukon 18 avulla φ = ṁ(h (100 C) h(20 C,1bar)) ṁ(h (100 C) h (20 C)) = 0,05 kg/s (2676,1 kj/kg 82,9 kj/kg) = 130 kw Ratkaisu 1.1.3 Pumpun ottama teoreettinen teho saadaan yhtälöllä P teor = V p Olettamalla, että pumppu nostaa paineen 1 barista (voi käyttää muutakin alkupainetta, esim. 5 bar) teoreettiseksi tehoksi saadaan P teor = V p = 0,003 m3 /min 60 s/min (120 1) 10 5 Pa = 595 W Pumpun hyötysuhteesta voidaan ratkaista pumpun ottama akseliteho η a = P teor P a = P teor = 595W P a η a 0,5 = 1190 W ja edelleen sähkömoottorin hyötysuhteesta voidaan ratkaista sähköteho η s = P a P s = P a = 1190W P s η s 0,7 = 1,7 kw Ratkaisu 1.1.4 Purkautuvan veden lämpötila suuttimen jälkeen voidaan ratkaista energiataseen avulla ṁ [ h(t 1, p 1 )+ 1 ] [ 2 w2 1 = ṁ h(t 2, p 2 )+ 1 ] 2 w2 2 10

missä h on ominaisentalpia ja w virtausnopeus. Olettamalla, että nopeus w 1 on erittäin pieni, saadaan h(t 1, p 1 ) = h(t 2, p 2 )+ 1 2 w2 2 h(t 2, p 2 ) h(t 1, p 1 ) = 1 2 w2 2 Nesteiden entalpiaero voidaan laskea kaavalla h = h(t 2, p 2 ) h(t 1, p 1 ) = c p (T 2 T 1 )+v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 ) missä v on ominaistilavuus ja γ tilavuuden lämpötilakerroin, joka voidaan lukea esimerkiksi taulukkokirjan taulukosta 14. Nyt lämpötilaksi suuttimen jälkeen saadaan T 2 T 1 = 1 [ h v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 )] c p T 2 = T 1 + 1 [ 1 ] c p 2 w2 2 v(1 T 1 γ)(p 2 p 1 ) = 20+ 1 [ 1 4186 2 303 0,001 (1 293,15 0,207 10 3 ) (1 7) 10 5] = 20,0027 C 20 C Ratkaisu 1.1.5 a) Laske massavirrat Sekä kaukolämpö- että radiaattoripuolen massivirrat voidaan laskea lämmönsiirtimen lämpötehon perusteella, sillä sama teho joka lähtee kaukolämpöpuolelta tulee radiaattoripuolelle. φ = ṁ 1 c p T 1 = ṁ 2 c p T 2 ṁ 1 = φ c p T 1 ṁ 2 = φ c p T 2 = 150 kw 4,18 kj/kgk 57K = 150 kw 4,18 kj/kgk 30K = 0,63 kg/s = 1,2 kg/s b) Osoita, että painehäviöllä ei ole merkitystä lämpötehoja laskettaessa lämmönvaihtimille Nesteiden ominaisentalpian muutokselle pätee h = c p T +v(1 T 1 γ 1 ) p Lasketaan erikseen entalpian lämpötilasta sekä paineesta riippuvat termit: v(1 T 1 γ 1 ) p = 0,001 m 3 /kg (1 373 K 0,752 10 3 1/K) 60 10 3 Pa = 0,043 kj/kg 11

c p T = 4,18 kj/kgk 57 K = 238 kj/kg eli lämpötilasta riippuva termi on huomattavasti suurempi kuin paineesta riippuva. Lasketaan vielä näiden suhde v(1 T 1 γ 1 ) p c p T 0,043 kj/kg = 238 kj/kg = 0,018% Suhde on niin pieni, että vaikka jättäisimme paineesta riippuvan termin pois laskiessa lämpötehoja lämmönvaihtimille, syntyvä virhe on mitättömän pieni. Ratkaisu 1.1.6 Pumpun teoreettinen teho on tuttuun tapaan P teor = V p = 0,05 m 3 /s 75 10 3 Pa = 3,75 kw ja pumpun hyötysuhteen avulla saadaan pumpun akseliteho η p = P teor P a = P teor 3,75 kw = = 5 kw P a η p 0,75 ja sähkömoottorin hyötysuhteen avulla saadaan sähköteho η sm = P a P sm = P a = 5 kw = 5,26 kw P sm η sm 0,95 Kuva 1.1. Pumppu putkessa sekä sähkömoottori sen ulkopuolella Kaukolämpöpumppujen sähkömoottorit sijoitetaan yleensä putken ulkopuolelle. Tällöin sähkömoottorin hukkateho ei lämmitä putkessa virtaavaa vettä, vaan esimerkiksi sähkömoottorin laakereita ja sähkömoottorin ympäröivää ilmaa. Tilanne on havainnollistettu kuvassa 1.1. 12

Energiatase kuvan 1.1 tapaukselle on P a +ṁh 1 = ṁh 2 mistä saadaan P a +ṁh 1 = ṁh 2 P a = ṁ(h 2 h 1 ) nesteiden entalpiaerotukselle pätee h = c p T +v(1 T 1 γ) p mistä saadaan ratkaistua veden lämpeneminen P a = ṁ[c p T +v(1 T 1 γ) p] T = 1 [ ] Pa c p ṁ v(1 T 1γ) p = 1 4180 0,01 K [ 5000 50 0,001(1 323 0,457 10 3 ) 75 10 3 missä veden ominaistilavuus v sekä tilavuuden lämpötilakerroin γ (taulukko 14) on otettu lämpötilassa T 1 = 50 C ja veden massavirtana on käytetty ṁ = ρ V = 1 kg/l 50 l/s = 50 kg/s. ] Ratkaisu 1.1.7 Ps Moottori ϕ P 1 2 3 a) Kompressorin akseliteho Kompressorin ottaman akselitehon P voi ratkaista hyötysuhteen avulla η s = P P s P = η s P s = 0,92 61 = 56,12 kw b) Ilman lämpötila, kun kompressoria ei jäähdytetä Kompressorin energiataseesta saadaan P +ṁh 1 = ṁh 2 P = ṁ(h 2 h 1 ) 13

Ideaalikaasuille pätee h 2 h 1 = c p (T 2 T 1 ) eli nyt saadaan P = ṁc p (T 2 T 1 ) T 2 = T 1 + P ṁc p Taulukkokirjasta saadaan 20 C ilman tiheydeksi 1,18 kg/m 3 ja nyt ilman massavirraksi saadaan ṁ = ρ V = 1,18 0,15 = 0,178 kg/s Nyt ilman poistumislämpötilaksi saadaan T 2 = 20+ 56,12 103 0,178 1006 = 335 C missä ilman ominaislämpökapasiteettina on käytetty 1006 J/kgK. c) Jäähdyttimen teho Jäähdyttimen energiataseesta saadaan ṁh 2 = φ+ṁh 3 φ = ṁ(h 2 h 3 ) = ṁc p (T 2 T 3 ) = 0,178 1006 (335 20) = 56,1 kw Jäähdytystehosta tulee siis sama kuin akselitehosta. Jäähdytysteho ja akseliteho ovat yhtäsuuret, koska ilma jäähdytetään takaisin huoneilman lämpötilaan ja ideaalikaasulla ominaisentalpia riippuu vain lämpötilasta, ei paineesta. 1 kg paineilmaa sisältää saman sisäenergian kuin 1 kg huoneilmaa, mutta paineilmassa sama energia on laadukkaammassa muodossa, koska siitä ulossaatava työmäärä on suurempi kuin huoneilmasta. Koko akseliteho siis todellakin siirtyy jäähdytysveteen. Ratkaisu 1.1.8 Kuva 1.2. Tehtävän 1.1.8 uima-altaan energiavirrat 14

Tekemällä kuvan 1.2 mukaisen energiataseen, saamme ṁ in h in = ṁ h h h +ṁ out h out missä alaindeksillä in viitataan altaaseen menevään veteen, out kiertovesipumpulle menevään veteen ja h altaasta poistuvaan haihtuneeseen veteen. Uima-altaan massataseeksi saadaan ṁ in = ṁ h +ṁ out ja yhdistämällä massataseen energiataseeseen saadaan ṁ in (h in h out ) = ṁ in c p T = ṁ h (h h h out ) missä sisään- ja ulosmenevän veden entalpiaeroa h in h out on approksimoitu kaavalla h c p T (koska paine-ero sisään- ja ulosvirtauksessa on häviävän pieni). Pienissä paineissa veden entalpia riippuu lähes ainoastaan lämpötilasta. 27 C veden entalpia voidaan siis approksimoida olevan yhtä suuri kuin 27 C kylläisen veden entalpian. Myös haihtuneen veden (höyryn) entalpia voidaan approksimoida olevan lähes yhtä suuri kuin kylläisen höyryn entalpian. Kylläiset entalpiat saadaan puolestaan taulukosta 18: h out h (27 C) = 112,3 kj/kg h h h (27 C) = 2551,1 kj/kg Tehtävänannosta saadaan sisään meneväksi massavirraksi ṁ in = 140 m3 /h 1000 kg/m 3 3600 s/h = 38,9 kg/s ja haihtumisen massavirraksi ṁ h = 0,3 kg/m2 h 25 m 10 m 3600 s/h = 0,0208 kg/s Sisään menevä lämpötila voidaan nyt ratkaista T = ṁh(h h h out ) ṁ in c p = = 0,3K T in = 27,3 C 0,0208kg/s (2551,1kJ/kg 112,3kJ/kg) 38,9kg/s 4,18kJ/kgK b) Laske kiertovesipumpun teho P Pumpun teho voidaan laskea tuttuun tapaan yhtälöllä P = V p η = 140 m 3 /h 60 60 s/h 0,8 105 Pa = 5,2 kw 0,6 15

c) Laske tarvittava lämmitysteho Kuva 1.3. Uima-altaan energiavirrat Kuvassa 1.3 on esitetty periaatekuva uima-altaan toiminnasta. Sisempi taseraja (katkoviivalla merkitty) on se, jota käytimme a-kohdassa. Nyt käytämme ulompaa taserajaa. Taserajan läpäisevät nyt φ, P, ṁ h h(10 C) sekä ṁ h h h. Energiataseeksi saadaan P +φ+ṁ h h(10 C) = ṁ h h h mistä voimme ratkaista lämmitystehon φ = ṁ h h h P ṁ h h(10 C) = 0,0208 kg/s 2551,1 kj/kg 5,2 kw 0,0208 kg/s 41,2 kj/kg = 47 kw 16

Ratkaisu 1.1.9 Kuva 1.4. LTO:n toimintakaavio Lämpötilahyötysuhde voidaan laskea tehtävänannon perusteella ε = T u2 T u1 285 K 247 K = T s1 T u1 295 K 247 K = 0,79 Kuvassa 1.4 on esitetty lämmöntalteenoton periaatekuva. T s2 :n ratkaisemiseen tarvitsemme energiataseen kuvaan piirretyn taserajan mukaisesti: ṁ u h u1 +ṁ s h s1 = ṁ u h u2 +ṁ s h s2 Energiataseesta voimme ratkaista T s2 :n muistamalla, että ideaalikaasun entalpiamuutos voidaan lausua h = c p T ṁ u h u1 +ṁ s h s1 = ṁ u h u2 +ṁ s h s2 ṁ s (h s2 h s1 ) = ṁ u (h u1 h u2 ) ṁ s c p (T s2 T s1 ) = ṁ u c p (T u1 T u2 ) T s2 = T s1 + ṁu(t u1 T u2 ) 0,32 kg/s (247 K 285 K) = 295 K+ ṁ s 0,36 kg/s 261 K = 11,7 C Lämmöntalteenoton tehon laskemiseksi tarvitsemme energiataseen joko tuloilmavirran tai poistoilmavirran mukaan. Poistoilmavirrasta poistuva lämpöteho on yhtä suuri kuin tuloilmavirtaan tuleva lämpöteho, joten lämmöntalteenoton teho voidaan ratkaista kumman tahansa avulla. Tuloilma: ṁ u h u1 +φ LTO = ṁ u h u2 φ LTO = ṁ u (h u2 h u1 ) = ṁ u c p (T u2 T u1 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (12 C ( 26 C)) 12,2 kw 17

Postoilma: ṁ s h s1 = φ LTO +ṁ s h s2 φ LTO = ṁ s (h s1 h s1 ) = ṁ s c p (T s1 T s1 ) = 0,36 kg/s 1,006 kj/kgk (22 C ( 11,7 C)) 12,2 kw Ilmavirran lämmittämiseen tarvittava kokonaislisälämmitysteho saadaan myös energiataseen avulla: ṁ u h u2 +φ lisä = ṁ u h u4 φ lisä = ṁ u (h u4 h u2 ) = ṁ u c p (T u4 T u2 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (20 C 12 C)) 2,6 kw Huom. nyt siis tarvittava kokonaislisälämmitysteho sisältää myös puhaltimen osuuden, eli kuvan 1.4 merkinnöillä φ lisä = φ+p. b) Laske sähkömoottorin teho ja ilman lämpeneminen Puhaltimen teoreettinen teho voidaan laskea jälleen kerran yhtälöllä P teor = V p = ṁ ρ 0,32 kg/s p = 465 Pa = 124 W 1,2 kg/m3 Puhaltimen hyötysuhteen avulla voidaan laskea puhaltimen akseliteho η p = P teor P a P a = P teor η p = 124 W 0,57 = 218 W Sähkömoottorin hyötysuhteen avulla voidaan laskea sähköteho η s = P a P P = P a = 218 W = 242 W η s 0,9 Kuva 1.5. Puhallin ja sähkömoottori kanavassa Koska sähkömoottori on sijoitettu kanavan sisään kuvan 1.5 mukaisesti, myös sen hukkateho lämmittää ilmavirtaa. Ilman lämpiminen ratkeaa 18

kuvan 1.5 mukaisen energiataseen avulla: ṁ u h u2 +P = ṁ u h u3 P = ṁ u (h u3 h u2 ) ilma on ideaalikaasu: T = P ṁ u c p = P = ṁ u c p T 240 W 0,32 kg/s 1006 J/kgK 0,75 K c) Laske säästetty energia Nyt siis huoneen lämpötila halutaan pitää edelleen 22 C:ssä, eli T s1 = 22 C. Lämpötilahyötysuhteen avulla voidaan laskea uusi T u2 T u2 = T u1 +ε(t s1 T u1 ) = 5 C+0,79 (22 C 5 C) = 18,43 C LTO:n teho voidaan laskea samalla tavalla kuin a-kohdassa: φ LTO = ṁ u c p (T u2 T u1 ) = 0,32 kg/s 1,006 kj/kgk (18,43 C 5 C) = 4,32 kw ja säästetty energia saadaan kertomalla teho käyttöajalla E = φ LTO t = 4,32 kw 2000h 8600 kwh d) Järjestämällä huoneeseen alipaine ulkoilmaan nähden voidaan estää veden tiivistyminen seinän sisälle, kun ulkolämpötila on kylmempi kuin huonelämpötila. Sellaisessa kohdassa seinän sisällä, missä tiivistyy vettä, alkaa helposti kasvamaan hometta. Huoneilma ja ulkoilma ovat käytännössä aina ns. kosteaa ilmaa, eli ilmaa joka sisältää jonkin verran vesihöyryä, joka tiivistyy nestemäiseksi vedeksi kun kostea ilma koskettaa pintaa, jonka lämpötila on alle kastepisteen (vesihöyryn osapainetta vastaavan kylläisen lämpötilan). Kun poistoilmavirta on suurempi kuin tuloilmavirta, on rakennuksen sisällä alipaine ja päinvastaisessa tilanteessa puolestaan rakennuksen sisällä on ylipaine. Kosteaa ilmaa kulkeutuu aina pieniä määriä seinän läpi (mm. diffundoitumalla) suuremman paineen puolelta pienemmän paineen puolelle. Toisaalta tämän kulkeutuvan ilman lämpötila on tietyssä kohdassa seinää aina sama kuin seinän lämpötila siinä kohdassa. Jos sisällä olisi ylipaine, niin kostea sisäilma siis kulkeutuisi seinän läpi ja sen lämpötila laskisi sitä mukaa kun se lähestyy seinän ulkopintaa. Jossain kohdassa seinän lämpötila todennäköisesti saavuttaisi ilman kastepisteen ja vettä täten kondensoituisi (tiivistyisi) seinän sisälle. 19

Kun sisällä on puolestaan alipaine, niin kosteaa ilmaa kulkeutuu ulkoilmasta sisäilmaan päin. Ilman kulkeutuessa kohti seinän sisäpintaa sen lämpötila koko ajan kasvaa eli menee koko ajan kauemmaksi kastepisteestä. Täten vettä ei voi kondensoitua seinän sisälle. Ratkaisu 1.1.10 Vesi on venttiilin jälkeen kylläisessä tilassa, eli sen lämpötila voidaan lukea paineen funktiona taulukosta 19. Paine venttiilin jälkeen on 0,1 bar eli taulukosta 19 saadaan T 46 C. Venttiilille pätee h 1 + 1 2 w2 1 = h 2 + 1 2 w2 2 ja olettamalla w 1 w 2 (tai olettamalla että nopeustermit ovat pieniä) saadaan h 1 = h 2. Entalpia venttiilin yli siis säilyy. Entalpia ennen venttiiliä saadaan laskemalla =pieni { }} { h 1 = h(60 C,6bar) = h (60 C)+ v(1 T 1 γ) p h (60 C) = 251,5 kj/kg missä paineesta riippuva termi on oletettu merkityksettömän pieneksi (laskemalla voidaan tarkistaa sen olevan n. 0,5 kj/kg) ja on täten jätetty huomiotta. Huom. jos paine-ero on suuri, paineesta riippuva termi kasvaa suureksi ja se täytyy myös ottaa huomioon. Kylläiselle seokselle, jossa on sekä kylläistä nestettä että kylläistä höyryä, voidaan laskea entalpia yhtälöllä h = xh +(1 x)h missä x on höyryn massaosuus, h kylläisen höyryn entalpia ja h kylläisen nesteen entalpia. Merkkaamalla entalpiat ennen ja jälkeen venttiilin voidaan höyryn massaosuus ratkaista lukemalla kylläisen veden ja höyryn entalpiat höyrytaulukoista h 1 (60 C,6 bar) = h 2 (46 C;0,1 bar) = xh (46 C)+(1 x)h (46 C) x = h 2 h (46 C) h (46 C) h (46 C) = 251,5 191,6 2584,8 191,6 = 0,025 eli höyryä on 2,5 m-% ja nestemäistä vettä 97,5 m-% Miltä tilanne näyttää näkölasissa? Silmä ei näe massoja, vaan tilavuuksia. Tarvitsemme siis joko höyryn tai veden tilavuusosuuden. Käyttämällä tietoja V = mv sekä m = xm ja 20

m = (1 x)m voimme laskea höyryn tilavuusosuuden: V V +V = = m v m v +m v = xmv xmv +(1 x)mv 0,025 14,55 m 3 /kg 0,025 14,55 m 3 /kg+(1 0,025) 0,00101 m 3 /kg 99,7 % missä ominaistilavuudet on luettu höyrytaulukoista. Näkölasissa näkyy siis pelkkää höyryä sekä vain muutama vesipisara, vaikka massasta 97,5 % on nestemäistä vettä. Mitä käy paineilman lämpötilalle vastaavassa tilanteessa? Ilman voi olettaa käyttäytyvän ideaalikaasun tavoin, eli sen entalpia riippuu vain lämpötilasta. Entalpiamuutos venttiilissä on siis h = c p T = 0 T = 0 Ilman lämpötila pysy siis vakiona venttiilissä. Ratkaisu 1.1.11 Tässä ratkaisussa käsitellään kaikki lämmöt Q ja työt W positiivisina suureina siten että kuvassa oleva nuoli osoittaa onko lämpö tai työ systemiin vai systeemistä pois. Kiertoprosessia R voidaan kuvata koneena johon menee lämpö Q(R) ja josta tulee ulos työ W(R): Koska R on reversiibeli, on sille olemassa vastakkainen kiertoprosessi R siten että siihen menee työ W(R ) ja tulee ulos lämpö Q(R ) siten että W(R ) = W(R) ja Q(R ) = Q(R): 21

a) W(P 1 ) = W(R), Q(P 1 ) < Q(R) Oletetaan että on olemassa kiertoprosessi P 1 siten että W(P 1 ) = W(R) ja Q(P1) < Q(R). Tällöin on W(P 1 ) = W(R ) ja voidaan tehdä kiertoprosesseista R ja P 1 yhdistelmäkone siten että kaikki P 1 :sta saatu työ menee kiertoprosessin R käyttämiseen: Mutta koska nyt on Q(P 1 ) < Q(R ), niin koko lämpö Q(P 1 ) voidaan ottaa lämmöstä Q(R ) siten että yhdistelmäkoneesta tulee ulos lämpöjen erotus Q(R ) - Q(P 1 ) eikä mitään muuta. Koska sekä P 1 että R ovat kiertoprosesseja, on koko systeemin tila näiden prosessien jälkeen sama kuin mikä se oli ennen prosessia. Täten erotus Q(R ) - Q(P 1 ) ei voi olla otettu systeemiin varastoituneesta energiasta vaan se on otettu tyhjästä. Toistamalla kiertoprosesseja P 1 ja R loputtomasti uudestaan saataisiin siis loputon määrä lämpöä tyhjästä. Mutta tämä on ristiriidassa lauseen "energian syntyminen tyhjästä on mahdoton"kanssa. Koska kiertoprosessi P 1 voitiin valita mielivaltaisesti tehtävänannossa annettuja ehtoja lukuunottamatta, on täten mahdotonta löytää prosessia P 1. b) W(P 2 ) = W(R), Q(P 2 ) > Q(R) Aivan vastaavalla päättelyllä kuin kohdassa a) voitaisiin konstruoida yhdistelmäkone johon menee sisään loputtoman monta kertaa lämpö Q(P 2 ) - Q(R ) ilman että tämä lämpö varastoituisi systeemiin: 22

Täten myös kiertoprosessin P 2 löytäminen on mahdotonta. c) Mikä on ainoa vaihtoehto? Ainoa mahdollinen vaihtoehto, joka jää jäljelle, on täten Q(P) = Q(R). Tämä merkitsee, että mielivaltaiselle kiertoprosessille P, jolle pätee W(P) = W(R), pätee myös Q(P) = Q(R). Kun nämä yhtälöt jaetaan puolittain, saadaan W(P) Q(P) = W(R) Q(R) Eli jokaiselle kiertoprosessille P löytyy reversiibeli kiertoprosessi R siten että ylläoleva yhtälö pätee. Kurssikirjan kappaleessa 2.1 (s. 33-35) on perusteltu täsmällisemmin että kyseinen suhde W(P) Q(P) = W(R) Q(R) on yleispätevä luonnonvakio jolle on aiemmin käytetty nimitystä lämmön mekaaninen ekvivalentti ja joka on voitu asettaa ykköseksi kun työlle ja lämmölle on otettu sama yksikkö Joule. Ratkaisu 1.1.12 a) Symboli P tarkoittaa prosessia, joka vie systeemin tilasta A tilaan B. Lämpö Q sekä työ W eivät ole tilansuureita. Vaikka tietäisimme systeemin tilan, emme voi laskea sille suuretta lämpö Q tai työ W. Kirjoitusmuoto Q(B) Q(A) implikoi, että lämpö olisi tilansuure, minkä takia näin ei saa siis kirjoittaa. Lämpö Q ja työ W ovat prosessille P ominaisia suureita eli niiden arvo riippuu prosessin alku- ja lopputilan (A ja B) lisäksi siitä millainen prosessi P on. b) U(ref) = sisäenergia referenssitilassa U(B) = sisäenergia tilassa B U(A) = sisäenergia tilassa A 23

Q in (P) = systeemiin tuotu lämpö Q out (P) = systeemin luovuttama lämpö W in (P) = systeemiin tehty työ W out (P) = systeemin tekemä paisuntatyö ilmanpainetta vastaan Systeemi on alussa referenssitilassa, mistä seuraa U(A) = 0. Jäätyessä vesi vapauttaa lämpöä ympäristöön, ja ympäristöstä ei siirry lämpöä systeemiin eli Q in = 0. Jäätyessä vesi laajenee hieman, eli se tekee ympäristöön paisuntatyötä. Ympäristö ei puolestaan tee työtä veteen, eli W in = 0. Näiden perusteella energiatase sievenee muotoon U(B) U(A) = Q out W out Paisuntatyö vakiopainetta vastaan voidaan esittää yhtälöllä W = p V jonka avulla saadaan W out = p(v B V A ) U(B) U(A) = Q out p(v B V A ) U(B)+pV B [U(A)+pV A ] = H(B) H(A) = Q out missä on käytetty entalpian määritelmää H = U +pv. Entalpian muutos veden jäätyessä on sen jäätymislämpö kerrottuna veden massalla. Jäätymislämpö voidaan lukea taulukkokirjan taulukosta Jään aineominaisuuksia. Systeemistä lähteväksi lämmöksi saadaan siis Q out = 333 kj/kg 1 kg = 333 kj ja paisuntatyöksi saadaan veden ja jään tiheyksien avulla W out = p(v B V A ) = p( m m ) = 10 5 1 kg Pa ( ρ j ρ v 917 kg/m 3 1 kg 1000 kg/m 3) = 9 J ja näiden avulla tilan B sisäenergiaksi U(B) = Q out W out = 333 10 3 J 9 J 333 kj Δx1. Qin Δx2. p1 m1 A B A B p2. m2. Qout 24

Ratkaisu 1.1.13 Uima-altaasta höyrystyvän veden massavirran voi laskea yhtälöllä ṁ h = 0,3 kg/m 2 h 25 m 10 m = 75 kg/h = 0,0208 kg/s Uima-altaan sisääntulevaksi vesivirraksi saadaan ṁ 1 = ρ 1 V1 = 1000 140/3600 = 38,9 kg/s ja poistuvaksi vesivirraksi saadaan massataseesta ṁ 1 = ṁ 2 +ṁ h ṁ 2 = ṁ 1 ṁ h = 38,9 0,0208 = 38,8792 Kurssikirjan kaavasta (155) saadaan h 1 + 1 2 w2 1 + gh }{{} }{{} 1 + Q in +P }{{} L,in = ṁ 2 h 2 + 1 }{{} 2 w2 2 + gh }{{} }{{} 2 + Q out +P }{{} L,out } {{ } <<h 1 <<h 1 =0 =0 <<h 2 <<h 2 =0 =0 ṁ 1 +ṁ h h h + 1 2 w2 h + gh }{{} }{{} h <<h h ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h <<h h Entalpia ulosmenoaukossa on suurinpiirtein yhtä suuri kuin kylläisen veden entalpia lämpötilassa 27 C ja höyrystyneen veden entalpia on suurinpiirtein yhtä suuri kuin kylläisen höyryn entalpia lämpötilassa 27 C eli h 2 h (27 C) = 112,3 kj/kg h h h (27 C) = 2551,1 kj/kg Nyt entalpiaksi sisääntuloaukolla saadaan ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h h 1 = ṁ2h 2 +ṁ h h h ṁ 1 = 38,8792 112,3+0,0208 2551,1 = 113,6 kj/kg 38,9 Höyrytaulukoista nähdään, että h (28 C) = 116,5 kj/kg > h 1. Sisääntulolämpötila sijaitsee siis 27 C:n ja 28 C:n välillä, joten sisääntulolämpötila voidaan ratkaista lineaarisesti interpoloimalla. Interpoloimalla saadaan 116,5 112,3 28 27 = 113,6 112,3 28 T T = 27,3 C 25

Systeemin raja tilassa A Systeemin raja tilassa B p=ph Vh = whahδt Vallas V2 = w2a2δt V1 = w1a1δt b) Tehdään tarkastelu siten kuin on tehty kirjan kappaleessa 2.8 w 1 = tulevan kierrätysveden nopeus A 1 = tuloputken poikkipinta-ala w h = höyryn virtausnopeus pois altaan pinnasta A h = altaan poikkipinta-ala w 2 = poistuvan kierrätysveden nopeus A 2 = poistoputken poikkipinta-ala V(A) = V 1 +V allas V(B) = V allas +V h +V 2 t = aika, joka kuluu prosessiin A B Työmäärät muutoksen t aikana systeemin ja ympäristön välillä: W in = pa 1 w 1 t W out = pa 2 w 2 t+p h A h w h t Toisaalta Vastaavasti pa 1 w 1 t = pv 1 ρ 1 A 1 w } {{ } 1 t = pv 1 ṁ 1 t ṁ 1 pa 2 w 2 t = pv 2 ṁ 2 t p h A h w h t = p h v h ṁ h t Täten W in = pv 1 ṁ 1 t (1.1) W out = pv 2 ṁ 2 t+p h v h ṁ h t (1.2) Systeemin sisäenergia tilassa A ja B (kineettinen energia ja potentiaalienergia oletetaan niin pieniksi sisäenergiaan verrattuna, että ne voi- 26

daan jättää huomioon ottamatta). U(A) = ρudv (1.3) U(B) U(A) = U(B) = V(B) V(A) V(B) ρudv ρudv (1.4) V(A) ρudv = ρudv ρudv V allas +V 2 +V h V allas +V 1 (1.5) = ρudv + ρudv + ρudv ρudv ρudv V allas V 2 V h V allas V 1 (1.6) = ρudv + ρudv ρudv (1.7) V 2 V h V 1 ρudv = ρ 2 u 2 V 2 = ρ 2 u 2 w 2 A 2 t = u 2 ṁ 2 t (1.8) V 2 ρudv = ρ h u h V h = ρ h u h w h A h t = u h ṁ h t (1.9) V h ρudv = ρ 1 u 1 V 1 = ρ 1 u 1 w 1 A 1 t = u 1 ṁ 1 t (1.10) V 1 U(B) U(A) = u 2 ṁ 2 t+u h ṁ h t u 1 ṁ 1 t (1.11) Kaava (90): U(B) U(A) = (Q in Q out ) +(W } {{ } in W out ) 0 Sijoittamalla tähän yllä olevat yhtälöt (1.2) ja (1.11) saadaan u 2 ṁ 2 t+u h ṁ h t u 1 ṁ 1 t = pv 1 ṁ 1 t pv 2 ṁ 2 t p h v h ṁ h t u 2 ṁ 2 +u h ṁ h u 1 ṁ 1 = pv 1 ṁ 1 pv 2 ṁ 2 p h v h ṁ h u 1 ṁ 1 +pv 1 ṁ 1 = u 2 ṁ 2 pv 2 +u h ṁ h +p h v h ṁ h ṁ 1 (u 1 +pv 1 ) = ṁ 2 (u 2 +pv 2 )+ṁ h (u h +p h v h ) ṁ 1 h 1 = ṁ 2 h 2 +ṁ h h h MOT Ratkaisu 1.1.14 a) Bernoullin yhtälö ennen turbiinia on p + 1 2 ρ 1w 2 1 = p + + 1 2 ρ 2w 2 2 27

ja turbiinin jälkeen p + 1 2 ρ 2w 2 2 = p + 1 2 ρ 3w 2 3 Laskemalla yllä olevat yhtälöt puolittain yhteen saadaan p + 1 2 ρ 1w 2 1 = p + + 1 2 ρ 2w 2 2 p + 1 2 ρ 2w2 2 = p + 1 2 ρ 3w3 2 p + 1 2 ρ 1w1 2 = p + + 1 2 ρ 3w3 2 mistä saadaan p + p = 1 2 ρ(w2 1 w3) 2 (1.12) Liikemääräyhtälön mukaan pätee F = ṁ v josta saadaan osalle 1-2 p A 1 +p (A 2 A 1 ) p + A 2 = ṁ(v 2 v 1 ) ja vastaavasti osalle 2-3 saadaan p A 2 +p (A 3 A 2 ) p A 3 = ṁ(v 3 v 2 ) Laskemalla liikemääräyhtälöt puolittain yhteen saadaan p A 1 +p (A 2 A 1 ) p + A 2 = ṁ(v 2 v 1 ) p A 2 +p (A 3 A 2 ) p A 3 = ṁ(v 3 v 2 ) Yhdistämällä edellä johdetut yhtälöt (1.12) ja (1.13) A 2 (p + p ) = ṁ(v 1 v 3 ) (1.13) [ ] ρw 2 A 2 1 {}}{ A 2 2 ρ(w2 1 w3) 2 = ṁ (w 1 w 3 ) 1 A 2 2 ρ(w2 1 w3) 2 = ρw 2 A 2 (w 1 w 3 ) w 2 = 1 w1 2 w2 3 = 1 (w 1 w 3 )(w 1 +w 3 ) = w 1 +w 3 2w 1 w 2 2 w 1 w 3 2 b ja c) Hyötysuhteen maksimi Turbiinin energiataseeksi saadaan [ ṁ h 1 + 1 ] [ 2 w2 1 = P +ṁ h 3 + 1 ] 2 w2 3 [ ṁ c p (T 1 T 0 )+ 1 ] [ 2 w 1 = P +ṁ c p (T 3 T 0 )+ 1 ] 2 w2 3 28

missä P on turbiinin mekaaninen teho ja T 0 on referenssilämpötila, jossa entalpia h = 0. Nyt turbiinin teho P voidaan ratkaista [ P = ṁ c p (T 1 T 3 )+ 1 ] 2 (w2 1 w3) 2 Ideaalitapauksessa virtaavan ilman lämpötila pysyy vakiona (todellisessa tapauksessa se kasvaa hieman) eli T 1 = T 3. Nyt tehoksi saadaan P = 1 2ṁ(w2 1 w3) 2 = 1 2 ρw 2A 2 (w1 2 w3) 2 = 1 2 ρw 1 +w 3 A 2 (w1 2 w 2 2 3) = 1 4 ρa 2(w 1 +w 3 )(w1 2 w Turbiinin hyötysuhde eli tehokerroin on määritelty η = P 1 2ṁA 2 w 2 1 missä P on turbiinin teho, w 1 tuulen nopeus ja ṁ A2 on ilman massavirta, joka menisi turbiinin pyyhkäisypinta-alan läpi, jos turbiinia ei olisi. Sijoittamalla tähän tehon lausekkeen ja yhteyden ṁ A2 = ρa 2 w 1 saadaan P η = 1 2 ρa 2w 1 w1 2 = Merkitsemällä suhdetta w 3 w 1 = z saadaan 1 4 ρa 2(w 1 +w 3 )(w1 2 w2 3 ) 1 2 ρa 2w1 3 = 1 ( 1+ w ) 2 ( 3 1 w ) 3 2 w 1 w 1 η = 1 2 (1+z)2 (1 z) missä 0 z 1 sillä 0 w 3 w 1. Funktion paikallinen minimi tai maksimi on sen alku- tai loppupisteessä tai derivaatan nollakohdassa. Derivoimalla saadaan dη dz = 1 ( 1 2z 3z 2 ) 2 Merkkaamalla tämän nollaksi saadaan dη dz = 1 ( 1 2z 3z 2 ) = 0 2 3z 2 2z +1 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan z = 2± ( 2) 2 4 3 1 2 3 = 2±4 6 = 1 Joista vain positiivinen juuri on fysikaalisesti järkevä. Sijoittamalla tämän hyötysuhteen lausekkeeseen saadaan η( 1 3 ) = 1 2 ( 1+ 1 ) 2 ( 1 1 ) = 16 3 3 27 1 3 29

Tarkistamalla vielä hyötysuhteen arvot sen päätepisteissä saadaan η(0) = 1 2 (1+0)2 (1 0) = 1 2 η(1) = 1 2 (1+1)2 (1 1) = 0 eli hyötysuhteen maksimi saavutetaan pisteessä w 3 w 1 = 1 3 maksimi on 16 27. ja hyötysuhteen Jos hyötysuhde olisi 1, kaikki tuulen energia siirtyisi mekaaniseksi tehoksi. Tuulen teho on puolestaan riippuvainen sen nopeudesta eli ṁ 1 2 w2. Jotta kaikki tuulen tehosta siirtyisi mekaaniseksi tehoksi, tuulen nopeuden pitäisi mennä nollaksi eli tuulen pitäisi pysähtyä kokonaan. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä tuulen pysähtyminen tuuliturbiiniin johtaisin ilman varastoitumiseen turbiiniin. Ilman kuitenkin täytyy myös poistua turbiinista, eli nopeus ei voi mennä nollaksi ja hyötysuhde ei voi olla 1. d) Tuuliturbiinin mitoitus P η = 1 2 ρa 2w 1 w1 2 P A 2 = = 16 27 16 27 1 2 ρw 1w 2 1 10 6 = 16 27 1 = 1628 m2 2 1,2 122 A = πr 2 r = A 1628 π = π = 23 m Ratkaisu 1.1.15 U(B) U(A) = [Q in (P) Q out (P)]+[W in (P) W out (P)] Kun tila B lähestyy tilaa A, niin prosessi P tulee differentiaalisen pieneksi jolloin U(B) U(A) du, joka on kokonaisdifferentiaali systeemin sisäenergian lisäykselle, Qin(P) Qout(P) dq, joka on symbolinen differentiaalimuoto pienelle systeemiin tuodulle nettolämpömäärälle ja vastaavasti Win(P) Wout(P) dw, 30

joka on symbolinen differentiaalimuoto pienelle systeemin tekemälle nettotyölle. dq ja dw siis eivät ole kokonaisdifferentiaaleja, koska Q ja W eivät ole tilasuureita! Saadaan du = dq dwdq = du +dw. Kun systeemin ja ympäristön rajapinnasta tekee pinta-ala A paisuntatyötä ympäristöön, niin dw = padz = pdv, missä dz on rajapinnan siirtymä matka ja dv = Adz on systeemin tilavuuden lisäys. Saadaan lopulta dq = du +pdv Jos ainoa työmuoto on paisuntatyö, jolle pätee dw = pdv, niin paisuntaprosessi on palautuva eli reversiibeli (kirjan sivut 38-39). Täten yhtälö dq = du +pdv pätee vain palautuvalle eli reversiibelille prosessille. 31

32

1.2 Tehtävät: Palaminen, lämpöarvo 1.2.1 Tehtävä Metaanikaasua poltetaan 2 mol/s ilmakertoimella λ = 1,2 (Venäjältä Suomeen tuotava maakaasu on lähes yksinomaan metaania, noin 98 %). a) Laske tarvittava palamisilmavirta (mol/s) ja palamisilmapuhaltimen tilavuusvirta (m 3 /s), kun palamisilman lämpötila puhaltimen imuaukossa on 25 C. b) Laske polttoaineteho, kun metaanikaasua poltetaan 2 mol/s. c) Savukaasuista mitataan vapaan hapeno 2 (g) mooliosuudeksi 4 %. Mikä on tällöin palamisen ilmakerroin? 1.2.2 Tehtävä Kevyen polttoöljyn koostumus painoprosentteina on likimain hiili (C) 87 % ja vety (H) 13 % (Kevyessä polttoöljyssä olevan rikin määrä painoprosentteina on nykyisin vain noin 0,1 %). Kevyen polttoöljyn kalorimetrinen lämpöarvo on noin 45,4 MJ/kg. a) Laske polttoöljyn tehollinen lämpöarvo (MJ/kg). b) Laske polttoöljyn muodostumisentalpian arvo (MJ/kg). c) Laske savukaasujen koostumus ja palamisilman tarve (mol/kgpolttoöljyä) ilmakertoimella λ = 1,2. d) Laske savukaasuhäviöt (kj/kgpolttoöljyä) ilmakertoimella λ = 1,2, kun savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 440 K. Ohje: Kirjan esimerkki 26. e) Laske d-kohdan arvoilla savukaasuhäviöteho (kw) kun polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s. Mikä on tällöin kattilan polttoaineteho ja hyötysuhde, kun kattilan muut lämpöhäviöt ovat 2 % polttoainetehosta? 1.2.3 Tehtävä a) Poltettaessa 1 kg kevyttä polttoöljyä ilmalla syntyi savukaasuja seuraavasti (mittaustulos): CO 2 (g) = 71,5 mol/kg, H 2 O(g) = 67,8 mol/kg, N 2 (g) = 456,2 mol/kg ja O 2 (g) = 15,6 mol/kg polttoöljyä. Laske tämän mittaustuloksen perusteella palamisilman määrä (happi ja typpi eriteltynä, mol/kg polttoöljyä) ja ilmakerroin. Ohje 1: Palamisilma oletetaan täysin kuivaksi ja polttoöljyn oletetaan 33

sisältävän vain hiiltä ja vetyä. Rikin, kosteuden ja hapen osuus polttoaineessa on yhteensä alle yhden massaprosentin eikä sitä oteta siksi tässä huomioon. Ohje 2: Tarkistukseksi: Typen ja hapen suhde tavallisessa ilmassa on noin 3,77. Ohje 3: Ilmakerroin λ määritellään suhteena todellinen happimäärä teoreettinen hapen tarve b) Laske savukaasujen koostumus ja palamisilman tarve (mol/kg öljyä) ilmakertoimilla λ = 1,0 ja λ = 1,5. c) Laske savukaasuhäviöt (kj/kg polttoöljyä) ilmakertoimilla λ = 1,0, λ = 1,148 ja λ = 1,5. Savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 450K. Ohje: käytä hyväksesi kirjan esimerkin 26 lukuja ominaislämpökapasiteeteille. Laske myös savukaasujen häviötehot näillä kolmella ilmakertoimella (1.0, 1.148 ja 1.5), kun polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s ja vertaa niitä polttoainetehoon (prosenttiosuus). d) Laske savukaasuhäviö (kj/kg) ja häviöteho ilmakertoimella λ = 1,148 käyttämällä hyväksi kirjan taulukkoa 11. Polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s. Vertaa tulosta c-kohtaan. Savukaasujen poistumislämpötila kattilasta on 450 K. e) Laske savukaasuhäviö ja häviöteho ilmakertoimella λ = 1,148 käsittelemällä savukaasut typen suuresta osuudesta johtuen likimain ilmana eli esimerkiksi ilmakertoimella λ = 1,148 savukaasuilmaa syntyy yhteensä 611,1 mol/kg polttoöljyä. Polttoaineen kulutus on 0,25 kg/s ja savukaasujen poistumislämpötila 450 K. Kuinka suuri prosentuaalinen virhe näin menetellen tehdään verrattuna c- tai d-kohtaan? 1.2.4 Tehtävä a) Määritä taulukossa 12 esitettyjen palamislämpöarvojen perusteella häkäkaasunco(g) muodostumisentalpian arvo lämpötilassa 25 C ja yhden barin paineessa eli luku H f. Vertaa sitä taulukkoon 10. b) Laske häkäkaasun CO(g) hapettumisen hiilidioksidiksi CO 2 (g) lämpöarvo taulukon 11 avulla. Vertaa sitä taulukkoon 12. c) Muuttuuko lämpöarvo jos hapettaminen tehdään ilmalla ja vieläpä isolla ilmakertoimella? Miksi ei? 34

1.2.5 Tehtävä Vesihöyryn muodostumisentalpia 25 C:ssa on -241,83 kj/mol (kirjan taulukko 11), joka on sama kuin vesihöyryn kemiallinen entalpia siinä lämpötilassa ideaalikaasuna. Kylläisen vesihöyryn entalpia lämpötilassa 360 C on h (360 C) = 2485,4 kj/kg (Scmidtin höyrytaulukko). Määritä kylläisen vesihöyryn (360 C) kemiallinen entalpia ja vertaa sitä taulukon 11 arvoon. Miksi arvot poikkeavat toisistaan? 1.2.6 Tehtävä Raskaan polttoöljyn kalorimetrinen lämpöarvo on 42,3 MJ/kg ja tehollinen lämpöarvo 40,0 MJ/kg. Arvioi tämän perusteella, kuinka paljon polttoaineessa on vetyä (massaprosentteina), kun polttoaine oletetaan täysin kuivaksi eli kaikki syntyvä vesi on peräisin vedyn hapettumisesta. 1.2.7 Tehtävä Pakokaasujen koostumus Otto- eli bensiinimoottorissa oli erään mittauksen mukaan ennen katalysaattoria (mooliprosentteja): N 2 (g) 72 % H 2 O(g) 12,6 % CO 2 (g) 14 % CO(g) 0,7 % O 2 (g) 0,7 % Palamattomien hiilivetyjen määrä HC *) ennen katalysaattoria oli 150 ppm (ppm = parts per million) ja katalysaattorin jälkeen 10 ppm. Häkäkaasun CO määrä katalysaattorin jälkeen oli 100 ppm. Katalysaattoriin tulevien pakokaasujen lämpötila oli 550 K. a) Etsi kurssikirjan taulukosta 11 (s. 80) katalysaattoriin menevien kaasujen kemialliset entalpiat lämpötiloissa 550 K ja 600 K. Palamattomat hiilivedyt voidaan pienimerkityksellisinä jättää huomioon ottamatta. b) Laske a-kohdan entalpioiden avulla katalysaattorista ulostulevan pakokaasun lämpötila, kun katalysaattori käsitellään adiabaattisena. Ohje: Vain häkäkaasun hapettuminen (0,7 % 100 ppm) otetaan huomioon ja se voidaan laskea siten että ulostuleva häkäkaasumäärä on nolla. c) Mikä on katalysaattorista ulostulevan pakokaasun lämpötila, jos hä- 35

käkaasun määrä ennen katalysaattoria on 1,5 %? *) Palamattomat hiilivedyt sisältävät samoja hiilivety-yhdisteitä kuin polttoaine ja niille käytetään yleismerkintää HC. 1.2.8 Tehtävä Palamisen reaktionopeusmallia voidaan kuvata Arheniuksen esittämällä eksponenttimallilla r exp( E/RT), missä E on ns. aktivointienergia, jonka suuruus riippuu käytettävästä katalyytistä. Metaanikaasun palamiselle aktivointienergian arvo ilman katalyyttiä on noin E = 120 kj/mol (ks. kirjan sivu 25, kaava (59)). Jos hapen osapaine putoaa vertailutilanteesta kymmenenteen osaan, niin paljonko vastaavasti palamislämpötilan tulee nousta vertailutilanteesta T 1 = 1000 K jotta reaktionopeus pysyisi samana? 36

Ratkaisut: Palaminen, lämpöarvo Ratkaisu 1.2.1 a) Palamisilmavirta Palamisilman laskemista varten tarvittavan hapen määrän voi laskea metaanin palamisreaktion avulla. Metaanin palamisreaktio on CH 4 (g)+2o 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g) Koska poltto tapahtuu ilmalla, tulee hapen mukana myös typpeä. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli typpeä tulee 3,77-kertainen määärä happeen verrattuna eli reaktioyhtälöstä tulee CH 4 (g)+2o 2 (g)+3,77 2N 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g)+3,77 2N 2 (g) Ottamalla huomioon ilmakerroin λ saadaan reaktioyhtälöksi CH 4 (g)+λ2o 2 (g)+λ3,77 2N 2 (g) CO 2 (g)+2h 2 O(g)+(λ 1)2O 2 (g)+λ3,77 2N 2 (g (1.14) Reaktioyhtälön kertoimista nähdään, että happea tarvitaan kaksinkertainen määrä metaaniin verrattuna. Metaania poltetaan 2 mol/s, joten happea tarvitaan siis teoreettisesti ṅ O2 = 2 2 = 4 mol/s. Ottamalla ilmakerroin λ = 1,2 huomioon, hapentarpeeksi saadaan 1,2 4 = 4,8 mol/s. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli ṅ N2 = 3,77ṅ O2 = 3,77 4,8 = 18,096 mol/s Ilmaa tarvitaan siis ṅ i = ṅ O2 +ṅ N2 = 4,8+18,096 = 22,896 mol = 23 mol/s Ilman (happi + typpi) kokonaiskonsentraatio onc = p/rt = 10 5 8,314 298,15 = 40,3 mol/m 3 ja siis tilavuusvirta V = ṅ c = 22,896 40,3 = 0,57 m3 /s b) Polttoaineteho Polttoainetehon φ p voi laskea metaanin tehollisen lämpöarvon q avulla φ p = ṅq = 2 802,9 = 1605,8 kw = 1,6 MW missä lämpöarvo on luettu kurssikirjan taulukosta 12. 37

c) Ilmakerroin Tehtävän a-kohdasta reaktioyhtälöstä (1.14) nähdään, että x O2 = (λ 1)2 1+2+(λ 1)2+3,77 2λ ja kun x O2 = 0,04, saadaan tästä ratkaisuksi λ = 1,27. Ratkaisu 1.2.2 a) Polttoöljyn tehollinen lämpöarvo Tehollisen (q) ja kalorimetrisen (q 0 ) lämpöarvon ero on veden lauhtumisesta saatava energiamäärä eli q = q 0 H vap missä H vap on palamisreaktiossa syntyneen veden höyrystämiseen tarvittava energia, joka on toisaalta H vap = m H2 Ol H2 O missä l H2 O on veden höyrystymislämpö 25 C:ssä. Teholisen lämpöarvon laskemiseksi tarvitaan siis kevyen polttoöljyn palamisessa syntyvän veden määrä. Tarkastellaan siis yhtä (1) kiloa kevyttä polttoöljyä. Kilossa polttoöljyä on tehtävänannon mukaisesti vetyä Ainemääränä tämä on Vedyn palamisen reaktioyhtälö on m H2 = w H2 m p = 0,13 1 kg = 0,13 kg n H2 = m H 2 = 0,13 = 65 mol M H2 0,002 H 2 (g)+ 1 2 O 2 H 2 O(g) Reaktioyhtälön kertoimista nähdään, että syntyneen veden ainemäärä on yhtä suuri kuin palaneen vedyn ainemäärä. Jos tätä ei intuitiivisesti huomaa, voi tehdä verrannon: reaktioaineiden ainemäärät ovat suoraanverrannolliset reaktioyhtälön kertoimiin, eli n H2 n H2 O = 1 1 n H 2 = n H2 O Syntyneen veden massa on m H2 O = M H2 On H2 O = 0,018 65 = 1,17 kg 38

Lukemalla veden lauhtumislämmönl H2 O(25 C) = 2442,5kJ/kg taulukkokirjasta saadaan H vap = 1,17 2442,5 = 2857,725 kj = 2,857725 MJ ja teholliseksi lämpöarvoksi saadaan nyt q = 45,4 2,857725 = 42,5 MJ/kg b) Kevyen polttoöljyn muodostumisentalpian arvo entalpia Hiili ja vety vapaina alkuaineina polttoöljyn muodostumisentalpia kevyt polttoöljy polttoöljyn palamislämpö Polttoöljyssä olevan vapaan hiilen C(s) ja vapaan vedyn H2(g) teoreettinen yhteenlaskettu palamislämpö CO2, H2O Kevyt polttoöljy on likimain C 16 H 34. Öljyn palaessa hiilivetysidokset katkeavat ja tähän kuluu energiaa. Siksi öljyn palamislämpö on pienempi kuin siinä olevien hiilen ja vedyn yhteenlaskettu palamislämpö. Kilossa kevyttä polttoöljyä on hiiltä sekä vetyä m C = w C m p = 0,87 1 = 0,87 kg m H2 = w H2 m p = 0,13 1 = 0,13 kg Ainemäärinä vastaavat luvut ovat n C = m C = 0,87 = 72,5 mol M C 0,012 n H2 = 65 mol Hiilen sekä vedyn teholliset lämpöarvot ovat taulukosta 11 luettuna q C = 393,5 kj/mol q H2 = 242 kj/mol 39

Jos yhden polttoöljykilon sisältämä hiili sekä vety poltettaisiin erikseen, syntyisi lämpöä siis 72,5 393,5+65 242 = 44258,75 kj = 44,26 MJ Toisaalta jos yhden kilon kevyttä polttoainetta polttaa, syntyy lämpöä 1 42,5 = 42,5 MJ Muodostumisentalpia on näiden kahden yllä lasketun luvun erotus eli 42,5 44,26 = 1,76 MJ/kg c) Palamisilmamäärä ja savukaasujen koostumus b-kohdan tietojen mukaisesti kilossa polttoöljyä on 72,5 mol hiiltä sekä 65 mol vetyä muodossa H 2 ilmaistuna. Hiilen palamisen reaktioyhtälön C(s)+O 2 (g) CO 2 (g) kertoimien mukaan happea tarvitaan mooleina yhtä paljon kuin hiiltä eli n O2,1 = n C = 72,5 mol Lisäksi vedyn palamisen reaktioyhtälön H 2 (g)+ 1 2 O 2 H 2 O(g) kertoimien mukaan happea tarvitaan puolet vedyn määrästä eli n O2,2 = 1 2 n H 2 = 1 65 = 32,5 mol 2 Happea tarvitaan teoreettisesti siis yhteensä n O2,teor = n O2,1 +n O2,2 = 72,5+32,5 = 105 mol ja ilmakertoimella λ = 1,2 happea otetaan määrä 105 + (λ 1) 105 = 105+21 = 126 mol. Palamisilma koostuu hapesta ja typestä. Hapen ja typen suhde ilmassa on 3,77 eli hapen mukana typpeä tulee 3,77 kertainen määrä happeen nähden. Palaminen voidaan siis kuvata seuraavalla bruttoreaktioyhtälöllä 72,5C +65H 2 +(105+21)O 2 +3,77 126N } {{ } 2 72,5CO 2 +65H 2 O +21O 2 +475N 2 475 40

ja savukaasun koostumukseksi saadaan x CO2 = x H2 O = 0,1026 x O2 = 0,033 x N2 = 0,750 72,5 72,5+65+21+475 = 0,1144 ja palamisilman tarve on 126 + 475 = 601 mol/kg d) Savukaasuhäviöt Savukaasuhäviöillä tarkoitetaan kuumien savukaasujen mukana menetettyä energiaa verrattuna tilanteeseen, jossa savukaasut jäähdytettäisiin 25 C:seen. Savukaasuhäviöt voidaan siis laskea yhtälöllä q sk = i n i c p,i (T T 0 ) = n CO2 c p,co2 (T T 0 )+n H2 Oc p,h2 O(T T 0 )+n O2 c p,o2 (T T 0 ) +n N2 c p,n2 (T T 0 ) missän i on savukaasukomponentin ainemäärä,c p,i savukaasukomponentin ominaislämpökapasiteetti keskimääräisessä lämpötilassa, T savukaasun lämpötila jat 0 = 298 K. Lukemalla ominaislämpökapasiteetit esimerkiksi kurssikirjan takaa saadaan savukaasuhäviöiksi q sk = 72,5 41,1 (440 298)+65 34,3 (440 298)+21 30,3 (440 298) +475 29,25 (440 298) = 2,8 MJ/kg e) Savukaasuhäviöteho, polttoaineteho ja hyötysuhde Savukaasuhäviötehoksi saadaan d-kohdan perusteella φ sk = ṁ p q sk = 0,25 2,8 = 0,7 MW = 700 kw Polttoainetehoksi saadaan tehollisen lämpöarvon avulla φ p = ṁ p q = 0,25 42,5 = 10,6 MW Kattilan hyötysuhteeksi saadaan η k = φ p φ sk 0,02φ p φ p = 10,6 0,7 0,02 10,6 10,6 = 0,91 41