MILJA VEHMAANPERÄ TRIGONOMETRIAN PERUSTEITA. Kandidaatintyö

MILJA VEHMAANPERÄ TRIGONOMETRIAN PERUSTEITA Kandidaatintyö Tarkastaja: Simo Ali-Löytty Palautettu 7.3.2014

I TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma MILJA VEHMAANPERÄ: Trigonometrian perusteita Kandidaatintyö, 23 sivua Helmikuu 2014 Pääaine: Matematiikka Tarkastajat: Simo Ali-Löytty Avainsanat: sinifunktio, kosinifunktio, kosinilause Sini- ja kosinifunktio ovat trigonometrian perusfunktioita, jotka voidaan määritellä monilla eri tavoilla. Kosinilause taas on eräs tärkeä trigonometrian tulos, jonka avulla voidaan selvittää kolmion kulmat, jos kaikki sivut tunnetaan tai tuntematon sivu, jos muut sivut ja niiden välinen kulma tiedetään. Tässä työssä on tarkoitus esitellä ensin trigonometrian perusteita, eli aksioomia ja niiden avulla todistettuja asian kannalta keskeisiä lauseita. Työssä esitellään myös neljä erilaista tapaa määritellä sini- ja kosinifunktiot: suorakulmainen kolmio, yksikköympyrä, vektorit ja sarjakehitelmä. Lopuksi esitellään vielä kosinilause, todistetaan se sekä tasogeometriaa että vektoreita apuna käyttäen, ja esitetään esimerkki kosinilauseen käytöstä.

II ALKUSANAT Tämä tekniikan kandidaatintyö on tehty Tampereen teknillisen yliopiston Matematiikan laitokselle. Haluan kiittää kandidaatintyön ohjaajaani Simo Ali-Löyttyä mielenkiintoisesta aiheesta sekä neuvoista ja kannustuksesta työn tekemisessä.

III SISÄLLYS 1. Johdanto.................................... 1 2. Tasogeometrian perusteita........................... 2 2.1 Tasogeometrian aksioomia........................ 2 2.2 Kulmat.................................. 5 2.3 Ympyrä.................................. 10 3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja....................... 12 3.1 Suorakulmainen kolmio.......................... 12 3.2 Yksikköympyrä.............................. 14 3.3 Vektorit ja pistetulo........................... 15 3.4 Sarjakehitelmä.............................. 16 4. Kosinilause................................... 21 5. Yhteenveto................................... 26 Lähteet....................................... 27

IV TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT A a AB ABC AB AB = piste suora tai janan pituus pisteiden A ja B kautta kulkeva suora pisteiden A ja C kulkeva suora, ja pisteiden A ja B välissä suoralla on piste C jana puolisuora yhtenevyysrelaatio kulma α, β, γ kulmia a a a x, a y kolmio yhdensuuntaisuus kohtisuoruus vektori vektorin pituus vektorin suorakulmaiset komponentit i, j koordinaattiakselien suuntaisen yksikkövektorit R C Z ( n k) reaalilukujen joukko kompleksilukujen joukko kokonaislukujen joukko binomikerroin joukkoonkuulumisoperaattori kaikkikvanttori summa

V Γ(O, A) i OA-säteinen ympyrä ääretön imaginääriyksikkö! kertoma ekvivalenssi

1 1. JOHDANTO Trigonometria on vanha matematiikan ala, jota on etenkin kehityskaarensa alkuaikoina käytetty pääasiassa osana tähtitiedettä ja taivaankappaleiden sijannin määrittämistä. Trigonometria oli pitkään osa tähtitiedettä, mutta erosi ennen pitkää täysin omaksi matematiikan alakseen. Sana trigonometria tulee kreikan kielen sanoista trigon ja metron, ja tarkoittaa vapaasti suomennettuna kolmion mittausta. Juuri sitä trigonometrian katsotaankin perinteisesti olevan: geometrian ongelmien ratkaisua kolmioita apuna käyttäen. Trigonometrian kehitys voidaan jakaa karkeasti kolmeen vaiheeseen. Ensimmäisessä vaiheessa trigonometria sai alkunsa ja alkoi levitä. Toisessa vaiheessa, keskiajan lopulta 1600-luvun keskivaiheille, käsitteet alkoivat tarkentua, ja trigonometriset funktiot saivat alkunsa. Kolmannessa vaiheessa trigonometria muuttui analyyttiseksi ja osaksi analyysiä. Eräs tärkeistä keksinnöistä oli tuolloin sinifunktion sarjakehitelmä. Ennen 1700-luvun puoliväliä trigonometria oli kehittynyt jo yli siitä tasosta, mitä lukion oppimäärään nykyään sisältyy. Trigonometria rakentuu siis kolmioiden ja kulmien ympärille. Perustana kaikelle on tieto suorakulmaisten kolmioiden yhdenmuotoisuudesta, kun suoran kulman lisäksi kolmioissa on myös toinen yhtenevä kulma. Koska yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinsivujen suhteet ovat samat, kolmion sivujen suhteet määräytyvät siis ainoastaan suorakulmaisen kolmion terävän kulman perusteella. Näitä kolmion sivujen välisiä suhteita voidaan kutsua trigonometrisiksi funktioiksi. Näitä funktioita on kaiken kaikkiaan kuusi, joista tärkeimmät ovat sini- ja kosinifunktio. Funktiot voidaan määritellä joko klassisesti suorakulmaisen kolmion avulla tai yleisemmin esimerkiksi yksikköympyrällä tai sarjakehitelmällä. Trigonometristen funktioiden lisäksi toinen tärkeä osa kolmioiden tuntemattomien osien ratkaisua ovat sinilause ja kosinilause. Näiden työkalujen avulla on mahdollista ratkaista kulmien ja sivujen arvoja, kun osa niistä tiedetään. Tässä työssä keskitytään sini- ja kosinifunktioiden erilaisiin määritelmiin sekä kosinilauseeseen, pythagoraan lauseeseen, ja niiden todistuksiin. Sinin ja kosinin määritelmissä on mukana sekä geometrisia että ei-geometrisia määritelmiä. Alussa on myös esitelty keskeisimpiä aksioomia ja lauseita työn loppuosan aiheiden kannalta.

2 2. TASOGEOMETRIAN PERUSTEITA Tasogeometria on nimensä mukaisesti tasoa, eli 2-ulotteisen avaruuden osia käsittelevä geometrian osa-alue. Tasogeometriaan katsotaan kuuluvaksi esimerkiksi pisteet, suorat, monikulmiot, ympyrät ja kulmat. 2.1 Tasogeometrian aksioomia Geometriassa, kuten matematiikassa yleensäkin, kaikki teoria ja mallit lähtevät liikkeelle aksioomista. Aksioomien avulla voidaan nitoa asiat yhteen ja todistaa teorian kannalta tärkeät lauseet. Geometriassa mahdollisia aksioomajärjestelmiä on useita, mutta tässä tarkastelussa keskitytään ainoastaan Eukleideen aksioomajärjestelmään, jossa peruskäsitteinä ovat pisteet, suorat ja tasot. Kuusi ensimmäistä aksioomaa ovat niin kutsuttuja liittymis- ja järjestysaksioomia. Aksiooma 1. Jokaista kahta eri pistettä A ja B kohti on olemassa vain ja ainoastaan yksi suora a, niin että A a ja B a. Tällöin voidaan myös merkitä a=ab. [1, s.9.] Aksiooma 2. Jokaisella suoralla on ainakin kaksi pistettä. Tasossa on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.[1, s.10.] Jos piste B on suoralla AC näiden kahden pisteen välissä, voidaan merkitä ABC. Seuraavat kolme aksioomaa määrittävät tätä välissäolon käsitettä. Aksiooma 3. Jos ABC, niin A, B ja C ovat suoran AC eri pisteitä ja tällöin myös CBA [1, s.10]. Aksiooma 4. Jos A ja B ovat eri pisteitä, niin suoralla AB on sellainen piste C, että ABC [1, s.10]. Aksiooma 5. Kolmesta saman suoran pisteestä enintään yksi on kahden muun välissä [1, s.11]. Janaksi kutsutaan kaikkia niitä pisteitä, jotka ovat suoralla AB näiden kahden pisteen välissä. Pisteet A ja B ovat siis tämän janan päätepisteet. Sisäpisteiksi kutsutaan puolestaan kaikkia niitä pisteitä, jotka ovat suoralla sen päätepisteiden välissä.

2. Tasogeometrian perusteita 3 Janat leikkaavat toisensa, jos niillä on jokin yhteinen sisäpiste ja ne ovat eri suorilla. Samoin voidaan määritellä myös suorien ja puolisuorien leikkaaminen. Suorat siis leikkaavat toisensa silloin, kun niillä on yhteinen piste ja suorat ovat erit. Kuudennessa aksioomassa, eli niin kutsutussa Paschin aksioomassa, ajatus on, että jos jokin suora kulkee kolmion sisään, niin se kulkee myös ulos sieltä. Toisin sanottuna suora leikkaa kolmion kyljen kahdesti. Aksiooma 6. Olkoon A, B ja C pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla. Olkoon a suora ja A / a,b / a, C / a. Jos a leikkaa janan AB, niin se leikkaa ainakin toisen janoista AC ja BC.[1, s.15.] Jos mihin tahansa kohtaan suoraa asetetaan piste ja katkaistaan se siitä kohdalta, muodostuu kaksi puolisuoraa. Puolisuoria kutsutaan vastakkaisiksi, jos niiden suunnat ovat vastakkaiset. Eli jos AOB, niin puolisuorat OA ja OB ovat vastakkaiset. Jos pisteet A, B ja O eivät ole samalla suoralla, ne muodostavat kulman AOB, jonka kylkinä ovat puolisuorat OA ja OB. Tämän kulman aukeamaan kuuluvat ne pisteet, jotka ovat sekä samalla puolella puolisuoraa OA kuin B että samalla puolella puolisuoraa OB kuin A. Jos taas mihin tahansa kohtaan tasoa asetetaan suora, se jakaa kaikki suoralle kuulumattomat tason pisteet kahteen joukkoon. Näitä kahta pistejoukkoa kutsutaan puolitasoiksi. Samaan puolitasoon kuuluvat pisteet ovat siis samalla puolella suoraa. Oletetaan, että piste O jakaa suoran AB kahteen puolisuoraan OA ja OB, ja kiinnitetään puolisuora OA. Määrätään sitten, että puolisuoran OA toinen puoli on tämän puolisuoran oikea ja vastaavasti puolisuoran OB vasen puoli ja päinvastoin. Liittymis- ja järjestysaksioomien lisäksi esitellään myös yhtenevyysaksioomat, jotka nimensä mukaan määrittelevät sekä janojen että kulmien yhtenevyyden. Aksioomista kolme ensimmäistä määrittävät yhtenevyysrelaation = janoille ja kolme jälkimmäistä vastaavasti kulmille. Aksiooma 7. Jos AB on jana ja CE on puolisuora, niin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuoran CE piste D niin, että AB = CD [1, s.22]. Aksiooma 8. Jos janoille AB, CD ja EF pätee AB = EF ja CD = EF, niin AB = CD [1, s.22]. Aksiooma 9. Olkoon ABC ja A B C. Jos AB = A B AC = A C. [1, s.22.] ja BC = B C, niin Voidaan osoittaa, että janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Olkoon AB jana, ja puolisuoralla CE on aksiooman 7 mukaan piste D niin, että AB = CD. Koska AB = CD ja AB = CD, niin aksiooman 8 mukaan AB = AB. Yhtenevyys on siis refleksiivinen. Olkoon sitten AB = CD. Refleksiivisyyden perusteella

2. Tasogeometrian perusteita 4 CD = CD, joten myös CD = AB. Yhtenevyys on siis myös symmetrinen. Olkoon AB = CD ja CD = EF. Symmetrisyyden perusteella EF = CD, joten edelleen aksiooman 8 mukaan AB = EF. Täten yhtenevyys on myös transitiivinen. Koska janojen yhtenevyys on sekä refleksiivinen, symmetrinen että transitiivinen, se on siis ekvivalenssirelaatio. Määritellään ennen seuraavien aksioomien esittelyä janojen AB ja CD yhteenlasku aksiooman 9 avulla. Olkoon r puolisuoran AB vastakkainen puolisuora. Aksiooman 7 mukaan voidaan valita puolisuoralta r sellainen piste E, että BE = CD. Tällöin janojen AB ja CD summa AB + CD = AE. Voidaan myös havaita, että jos AB = A B ja CD = C D, niin summa A B +C D = A E, ja B E = C D. Nämä havainnot yhdistämällä saadaan, että BE = CD = C D = B E. Ja koska AB = A B, aksiooman 9 mukaan AE = A E, eli edelleen AB + CD = A B + C D. (2.1) Aksiooma 10. Olkoon BAC kulma ja A B puolisuora sekä D piste, joka ei ole suoralla A B. Tällöin on olemassa yksi ja vain yksi puolisuora A C samalla puolella suoraa A B kuin D, siten että BAC = B A C.[1, s.23.] Aksiooma 11. Jos kulmille α, β ja γ on α = γ ja β = γ, niin α = β [1, s.23]. Aksiooma 12. Jos kolmioissa ABC ja A B C on AB = A B, AC = A C, ja BAC = B A C, niin nämä kolmiot ovat yhtenevät [1, s.24]. Kun puhutaan yhtenevistä janoista, se tarkoittaa, että janat ovat yhtäpitkät. Vastaavasti yhtenevät kulmat ovat siis yhtäsuuret. Jos suorat m ja l ovat samat tai eivät leikkaa toisiaan, ne ovat yhdensuuntaiset, jolloin voidaan merkitä m l. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset ne ovat erisuuntaiset. Esitellään vielä yksi nimenomaan euklidiselle geometrialle olennainen yhdensuuntaisuutta kuvaava aksiooma, paralleeliaksiooma. Kyseinen aksiooma esitetään englantilaisen matemaatikon John Playfairin muotoilemana. Aksiooma 13. Olkoon piste A suoran l ulkopuolella. Tällöin on olemassa enintään yksi sellainen suora m, että A on suoralla m ja l m. [1, s.32.]

2. Tasogeometrian perusteita 5 2.2 Kulmat Aiemmin suorien yhteydessä puhuttiin samalla suoralla olevista puolisuorista. Jos nyt pisteet A, B ja C eivät olekaan samalla suoralla, muodostuu puolisuorat AB ja AC, joiden yhdistettä kutsutaan kulmaksi, ja merkitään BAC. Nämä puolisuorat ovat kulman kyljet, ja kulman kärki on piste A. Oikeaksi kyljeksi kutsutaan sitä kylkeä, joka on toisen kyljen oikealla puolella, ja vastaavasti vasemmaksi kyljeksi sitä, joka on toisen kyljen vasemmalla puolella. Kulmat BAD ja EAC ovat toistensa ristikulmia, mikäli suorien BC ja DE leikkauspiste on A ja lisäksi BAC ja DAE. Tämä on havainnollistettu kuvassa 2.1. Vieruskulmia ovat puolestaan kulmat EAC ja EAB mikäli CAB. Kaksi kulmaa ovat toistensa suplementtikulmia, jos toinen kulma on yhtenevä toisen kulman vieruskulman kanssa. Kahden suplementtikulman summa on siis 180. Jos jokin kulma on yhtenevä vieruskulmansa kanssa, kulmaa kutsutaan suoraksi kulmaksi. Jos kulma on suoraa kulmaa pienempi, sitä kutsutaan teräväksi kulmaksi, ja jos taas suurempi, niin tylpäksi kulmaksi. Kuva 2.1: Ristikulmat. Lause 1. Yhtenevien kulmien vieruskulmat ovat yhtenevät [1, s.24]. Todistus. Olkoon BAC = B A C ja BAD ensimmäisen ja B A D jälkimmäisen kulman vieruskulma, kuten kuvassa 2.2. Aksiooman 7 mukaan, jos AC on jana ja D C puolisuora, niin on olemassa puolisuoran D C piste A, siten että AC = A C. Vastaavasti voidaan olettaa, että AB = A B ja AD = A D. Koska BAC = B A C ja lisäksi AB = A B ja AC = A C, niin aksiooman 12 mukaan ACB = A C B. Tällöin myös ACB = A C B ja edelleen aksiooman 12 mukaan CB = C B. Nyt kaavan (2.1) perusteella DC = D C, josta seuraa aksiooman 12 mukaan DCB = D C B. Siis BDA = B D A ja BD = B D, joten aksiooman 12 mukaan BDA = B D A, josta seuraa BAD = B A D. [1, s.24.]

2. Tasogeometrian perusteita 6 Kuva 2.2: Yhtenevien kulmien vieruskulmien yhtenevyys. Kolmioksi kutsutaan tasokuviota, jolla on kolme sivua, jotka voivat olla eri pituisia ja kolme kulmaa, jotka voivat olla erisuuruisia. Kolmio voidaan luokitella sivujen pituuksien mukaan joko yleiseksi kolmioksi, tasasivuiseksi kolmioksi tai tasakylkiseksi kolmioksi. Kolmiota on tasasivuinen, jos kaikki sen muodostavat janat ovat yhteneviä, eli AB = BC = CA. Kolmio on puolestaan tasakylkinen, jos siinä on kaksi keskenään yhtenevää janaa. Eli jos esimerkiksi AC = BC, sanotaan, että kolmio ABC on tasakylkinen. Tällöin janaa AB kutsutaan kolmion kannaksi ja janoja AC ja BC kolmion kyljiksi. Kulmia CAB ja CBA sanotaan kolmion kantakulmiksi, ja taas kulmaa ACB huippukulmaksi. Kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi, jos yksi sen kulmista on suorakulma. Suorakulman viereisiä sivuja kutsutaan kateeteiksi, ja vastaavaa sivua hypotenuusaksi. Kun on määritelty kolmio, palataan vielä hetkeksi takaisin janoihin. Aiemmin todettiin, että janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Janoja voidaan ajatella myös ekvivalenssiluokkina, joille yhteenlasku voidaan määritellä luokkien edustajien yhteenlaskua hyödyntäen. Ekvivalenssiluokista voidaan käyttää niiden edustajien nimeä, mikäli sekaannuksen vaaraa ei ole, eli relaatio AB c voidaan merkitä myös AB = c. Yhteenlaskun seurauksena syntyy myös vähennyslasku. Jos a ja b ovat kahden janan ekvivalenssiluokat, niin joko a = b tai on olemassa ekvivalenssiluokka c, siten että a + c = b tai on olemassa ekvivalenssiluokka d, siten että a = b + d. Valitaan yksi ekvivalenssiluokista, kutsutaan sitä yksikköjanaksi ja merkitään symbolilla 1. [2, s.23.] Määritellään vielä kahden janan a ja b tulo ab. Jos AB on yksikköjana 1 ja DE ekvivalenssiluokan b edustaja. Lisäksi suorakulmaisessa kolmiossa ABC kulma ABC on suora BC a eli BC = a. Merkitään sitten kulmaa BAC = α. Koska suorakulmaisessa kolmiossa kaksi muuta kulmaa ovat suoraa kulmaa pienempiä, niin

2. Tasogeometrian perusteita 7 α < 90. Muodostetaan toinen suorakulmainen kolmio DEF, siten että DE b eli DE = b ja EDF = α. Nyt voidaan määritellä tulo ab janan F E edustamaksi ekvivalenssiluokaksi. Janojen tulon määritystä on havainnollistettu kuvassa 2.3. Sekä janojen tulo että yhteenlasku ovat liitännäisiä ja vaihdannaisia operaatioita. [2, s.23.] Kuva 2.3: Janojen tulo. Tutkitaan seuraavaksi kuvan 2.4 suorakulmaista kolmiota ABC, jossa AB = 1, BC = a ja kulma ABC on suorakulma. Otetaan mukaan tarkasteluun toinen suorakulmainen kolmion DEF, jossa DE = b, kulma DEF on suora ja F DE = ABC. Tällöin janojen tulon määritelmän mukaan EF = ab. Piirretään sitten F G janan DE suuntaiseksi samalle puolelle suoraa DF kuin E, kuten kuvassa 2.4. Valitaan piste G siten, että F G = c ja lisäksi piste H suoralta DF siten, että HG F G. Edelleen janojen tulon määritelmän mukaan tällöin GH = ac. Lisätään sitten vielä piste I siten, että muodostuu kuvan 2.4 mukainen suorakulmainen kolmio DHI, jossa kulma DIH on suora. Tällöin muodostuu suorakulmio, jossa IG = EF, eli myös IG = ab. Tällöin IH = ab+ac, ja toisaalta DI = b+c. Tällöin saadaan suorakulmaisesta kolmiosta DHI janojen tulon määritelmän perusteella IH = a(b + c). Tästä edelleen kuvan 2.4 perusteella a(b + c) = ab + ac. Koska summa ja tulo ovat vaihdannaisia, myös (a + b)c = ac + bc, eli janojen tulo ja summa noudattavat osittelulakia. [2, s.23] Kuva 2.4: Osittelulain todistuksessa apuna käytetyt kolmiot.

2. Tasogeometrian perusteita 8 Lause 2. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät [1, s.27]. Todistus. Olkoon kuvassa 2.5 tasakylkinen kolmio T = ABC. Tällöin siis CA = CB. Aksiooman 4 mukaan voidaan valita suoralta CA piste D, siten että CAD. Aksiooman 7 mukaan suoralta CB löydetään yksikäsitteinen piste E, niin että CBE ja BE = AD. Tällöin aksiooman 9 mukaan CD = CE. Koska aksiooman 12 mukaan CDB = CEA, niin ADB = BEA ja AE = DB. Tästä seuraa, että ADB = BEA, joten BAD = ABE ja edelleen lauseen 1 nojalla CAB = CBA. [1, s.27.] Kuva 2.5: Tasakylkisen kolmion kantakulmien yhtenevyys. Lause 3. Kolmion kulman vieruskulma on kolmion muita kulmia suurempi [1, s.29]. Todistus. Sivuutetaan. Katso [1, s.29]. Lause 4. Olkoot l, m ja n eri suoria. Oletetaan, että suora n leikkaa suoran l pisteessä A, suora n leikkaa suoran m pisteessä B, suoran n pisteelle C on ABC, suoran l piste P ja suoran m piste Q ovat samalla puolella suoraa n. Jos BAP = CBQ, niin l m. [1, s.31] Todistus. Tehdään vastaoletus, että suorat l ja m eivät ole yhdensuuntaisia, vaan leikkaavat toisensa siten, että niiden leikkauspiste on X, kuten kuvassa 2.6. Oletetaan ensin, että X, P ja Q ovat samalla puolella suoraa n. Jos XBA ja CBX ovat vieruskulmia, niin BAX = CBX. Tämä on kuitenkin ristiriidassa lauseen 3 kanssa, eli vastaoletus on väärä. [1, s.31.] Oletetaan sitten, että X on eri puolella

2. Tasogeometrian perusteita 9 suoraa n kuin P ja Q. Samanlaisella päättelyllä saadaan, että XBA ja CBX ovat vieruskulmia, ja BAX = CBX, niin syntyy ristiriita. Koska molemmissa tapauksissa päädyttiin ristiriitaan, vastaoletus on väärä ja täten l m. Kuva 2.6: Suorien yhdensuuntaisuuden havainnollistus. Lauseessa 4 mainittuja ja kuvassa 2.6 näkyviä kulmia BAP ja CBQ voidaan kutsua samankohtaisiksi kulmiksi. Kahden suoran leikatessa kolmannen, muodostuu molempiin leikkauspisteisiin neljä kulmaa. Kahden eri leikkauspisteen kulmat ovat samankohtaiset jos leikkaava suora on molemmilla kulmilla samannimisenä kylkenä. Lause 5. Jos suora leikkaa kahta yhdensuuntaista suoraa, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtenevät [1, s.32]. Todistus. Olkoot l ja m kaksi eri suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia. Suora n leikkaa suoran l pisteessä A ja suoran m pisteessä B. Tällöin on aksiooman 10 mukaan olemassa sellainen pisteen B kautta kulkeva suora m, että suoran n leikatessa suoria l ja m samankohtaiset kulmat ovat yhtenevät. Tällöin lauseen 4 mukaan l m. Oletuksen mukaan myös l m, joten aksiooman 13 mukaan m = m, mistä väitös seuraa. [1, s.32.] Lause 6. Kolmion kahden kulman summa on yhtenevä kolmannen kulman vieruskulman kanssa [1, s.33]. Todistus. Olkoon ABC kolmio, ja D sellainen piste, että ACD. Tällöin lauseen 3 mukaan CAB < BCD. Kulman BCD aukeamassa on siis sellainen piste E, että ECD = CAB. Tällöin lauseen 4 mukaan AB CE, ja siis edelleen ABC = BCE. Nyt siis CAB + ABC = ECD + BCE = BCD, ja lause on todistettu. [1, s.33.]

2. Tasogeometrian perusteita 10 Käsiteltäessä kolmioita eräs tärkeä työkalu on kolmioiden yhdenmuotoisuus. Kolmioiden ABC ja A B C sanotaan olevan yhdenmuotoisia, jos kolmioiden vastaavat kulmat, esimerkiksi ABC ja A B C, ovat yhtenevät, ja jos a a = b b = c c. Tässä on merkitty kolmion sivuja a = BC, b = CA ja c = AB, ja vastaavasti myös toiselle kolmiolle. Aina näiden kaikkien yhdenmuotoisuusehtojen ei tarvitse kuitenkaan täyttyä, vaan riittää että osa ehdoista toteutuu. Esimerkiksi riittää että kaksi kolmion kulmaparia ovat yhteneviä. Lause 7. Jos kolmioissa ABC ja A B C on ABC = A B C ja BCA = B C A, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Todistus. Sivuutetaan. Katso [2, s.24]. Tässä käytiin teoriaa yhdenmuotoisuudesta vain vähän. Lisää tietoa kiinnostuneille löytyy esimerkiksi lähteestä [2, s.24-25]. 2.3 Ympyrä Siirrytään hetkeksi käsittelemään hieman ympyrää. Käsitellään tässä vain aivan perusasiat, mutta halutessa lisää tietoa löytyy muun muassa lähteestä [1]. Jos otetaan kaksi eri pistettä A ja O, voidaan piirtää ympyrä niin, että sen keskipisteenä on O ja se kulkee pisteen A kautta. Tällöin voidaan sanoa, että ympyrän säde on OA ja merkitä Γ = Γ(O, A). Tähän joukkoon kuuluu kaikki ne pisteet B, joille OB = OA. Kyseisessä merkinnässä käy siis ilmi sekä ympyrän keskipiste että säde. Jos säde ei ole asiayhteydessä kiinnostava, voidaan merkitä vain Γ = Γ(O). Jos sen sijaan halutaan ilmaista, että jokin piste B on ympyrällä Γ tai ympyrän Γ säde on B, voidaan kirjoittaa B Γ. [1, s.35.] Jos ympyrän keskipisteen läpi piirretään suora, se leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä. Näiden kahden pisteen välistä yhdysjanaa kutsutaan ympyrän halkaisijaksi. Yhdysjana, jota voidaan kutsua halkaisijaksi ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen, vaan kaikkia tämän yhdysjanan kanssa yhteneviä janoja voidaan kutsua kyseisen ympyrän halkaisijoiksi. Lause 8. Olkoon AB ympyrän Γ = Γ(O) halkaisija. Jos C Γ ja C A, B, niin ACB on suora. [1, s.40.]

2. Tasogeometrian perusteita 11 Todistus. Lauseen 6 mukaan kulman ACB vieruskulma ACD = CAB + ABC. Koska kolmiot OAC ja OBC ovat tasakylkisiä, lauseen 2 mukaan CAB = OCA ja ABC = OCB. Tästä seuraa, että ACD = OCA + OCB = ACB. Eli kulma ACB on siis yhtenevä vieruskulman kanssa, mistä lause seuraa. [1, s.40.] Keskuskulmaksi kutsutaan kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Ympyrän kehästä jää aina kulmaan jokin kaari, jota kutsutaan keskuskulmaa vastaavaksi kaareksi. Kehäkulmaksi sen sijaan kutsutaan kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä, ja kumpikin kylki leikkaa tai sivuaa ympyrän kehää. Lisäksi keskuskulman ja sitä vastaavan kehäkulman kyljet leikkaavat ympyrän kaaren samoissa kohdissa. [2, s.11-12.] Lause 9. Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Täten samaa kaarta (tai yhteneviä kaaria) vastaavat keskuskulmat ovat yhtenevät, ja saman kaaren (tai yhtenevien kaarien) sisältämät kehäkulmat ovat yhtenevät. [1, s.43.] Todistus. Sivuutetaan. Katso [1, s.43].

12 3. SININ JA KOSININ MÄÄRITTELYTAPOJA Kaksi tärkeintä trigonometrista funktiota ovat sini- ja kosinifunktio, jotka voidaan matematiikassa määritellä monella eri tapaa. Esitellään seuraavaksi muutama niistä. 3.1 Suorakulmainen kolmio Yksinkertaisin sinin ja kosinin määritelmä perustuu suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteisiin. Kuvan 3.1 suorakulmaisen kolmion teräville kulmille voidaan määritellä, että sin(α) = a c, (3.1) cos(α) = b c. (3.2) Kuva 3.1: Suorakulmainen kolmio. Esitellään suorakulmaiseen kolmioon liittyvä tärkeä lause. Tätä lausetta kolmion sivujen pituuksien välisistä suhteista kutsutaan pythagoraan lauseeksi kreikkalaisen matemaatikon Pythagoras Samoslaisen mukaan [7]. Lause 10. Jos c on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja a ja b ovat sen kateetit, niin c 2 = a 2 + b 2.

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 13 Todistus. Tutkitaan kuvan 3.2 mukaista suorakulmaista kolmiota ABC, jossa AC CB, eli kulma ACB on suora [1, s.25]. Olkoon piste C / c. Näytetään ensin, että on olemassa vain yksi piste D c, niin että CD c, kuten kuvassa 3.2. Jos tällaisia pisteitä olisi useampi, olisi D D, D c, D c, jolloin CD c ja CD c. Tällöin kolmiossa CD D kulmien CD D ja CD D vieruskulmat olisivat yhtä suuret (lause 1). Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, sillä kolmiossa vain yksi kulma voi olla suora (lause 6). Täten piste D on yksikäsitteinen, mikäli sellainen on olemassa. Kuva 3.2: Hypotenuusalta c on mahdollista löytää piste D, siten että CD c. Olkoon piste E c mielivaltainen. On olemassa pisteen E kautta kulkeva suora e, siten että e c [1, s.25]. Jos C e, niin E = D, ja jos C / e, niin pisteen C kautta kulkee suora m e [1, s.32]. Suorat m ja c leikkaavat pisteessä D, jolloin muodostuvat kulmat ovat yhteneviä suorien c ja e leikkauspisteeseen muodostuvien samankohtaisten kulmien kanssa (lause 5). Koska nämä kulmat olivat suoria, myös leikkauspisteeseen D muodostuvat kulmat ovat suoria, jolloin CD c [1, s.25]. Täten on olemassa piste D, joka on yksikäsitteinen ja CD c. Olkoon lisäksi AD = x ja DB = y, kuten kuvassa 3.2. Yhdenmuotoisista kolmioista CAD ja ABC (lause 7) saadaan x b = b c cx = bb = b 2. Samoin kolmioista BCD ja ABC saadaan yhdenmuotoisuuden (lause 7) nojalla y a = a c cy = aa = a 2. Koska x + y = c, saadaan osittelulakia ja edellisiä apuna käyttäen a 2 + b 2 = cx + cy = c(x + y) = cc = c 2.

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 14 Todistetaan sinin ja kosinin määritelmien (3.1) ja (3.2) sekä pythagoraan lauseen 10 perusteella trigonometrian peruslause sinin ja kosinin välisestä yhteydestä. Lause 11. Kaikille kulmille α on sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1. Todistus. ( a ) ( 2 2 b sin 2 (α) + cos 2 (α) = + = c c) a2 c + b2 2 c = a2 + b 2 2 c 2 = c2 c 2 = 1. 3.2 Yksikköympyrä Suorakulmaisesta kolmiosta seuraava askel on sinin ja kosinin määrittely yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrä on kuvan 3.3 kaltainen ympyrä, jonka keskipiste on sijoitettu origoon ja jonka säde on yhden yksikön mittainen. Yksikköympyrän tapauksessa laajennetaan sallitut kulmat terävästä kulmasta kaikkiin mahdollisiin kulman arvoihin. Tässä kulman arvojen on mahdollista olla myös negatiivisia. Määrätään kulman alkukylki positiivisen x-akselin suuntaiseksi, ja loppukylki voi osoittaa mihin suuntaan tahansa. Määritellään kulman etumerkki siten, että jos siirryttäessä alkukyljestä loppukylkeen kuljetaan vastapäivään, kulma on positiivinen, ja jos taas myötäpäivään, kulma on negatiivinen. Kulman suuruus voidaan ilmoittaa joko asteina tai radiaaneina. Radiaaneilla ilmoitettaessa määritellään, että täysi kulma 360 = 2π radiaania. Voidaan määritellä, että π on ympyrän kehän pituuden suhde ympyrän halkaisijan pituuteen. Myöhemmin sarjakehitelmien yhteydessä, luvussa 3.4., määritellään π myös toisella tavalla (3.19). Jos kulman loppukylki leikkaa yksikköympyrän kehän pisteessä P (x, y), voidaan määritellä, että sin(α) = y, (3.3) cos(α) = x. (3.4) Kulman arvo voi olla siis mikä tahansa, positiivinen tai negatiivinen, eikä sen suuruutta ole rajoitettu. Näin ollen sini- ja kosinifunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko R. Huomataan kuitenkin, että funktio saa saman arvon aina 2π radiaanin välein, eli sin(α) = sin(α + 2πn) ja cos(α) = cos(α + 2πn), n Z. Tätä

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 15 kulman ominaisuutta kutsutaan jaksollisuudeksi. Koska sini ja kosini on määritelty koordinaatteina, jotka sijaitsevat yksikköympyrän kehällä, funktiot voivat saada arvonsa väliltä [ 1, 1]. Kuva 3.3: Yksikköympyrä. Luvussa 2.2 esiteltiin suplementtikulman käsite ja todettiin, että α ja β ovat suplementtikulmia jos α + β = π [3, s.29]. Suplementtikulmille on voimassa sin(α) = sin(β), (3.5) cos(α) = cos(β). (3.6) 3.3 Vektorit ja pistetulo Vektoriksi kutsutaan oliota, jolla on suuruus ja suunta. Yleisesti matematiikassa suuruus mielletään vektorin pituudeksi. Vektorin suunta voi olla avaruudellisesti mikä tahansa, mutta tässä käsitellään vain kaksiulotteisia tason vektoreita. Jokainen vektori voidaan esittää suorakulmaisten komponenttien avulla. Kuvassa 3.4 on kuvattu vektorin jakamista näihin komponentteiden. Otetaan avuksi koordinaatisto ja valitaan positiivisten akselien suuntaiset yksikkövektorit i ja j. Jokainen x-akselin suuntainen vektori voidaan esittää muodossa a x i ja jokainen y-akselin suuntainen vektori puolestaan muodossa a y j. Kertoimet a x ja a y ovat skalaareja, jotka kuvaavat vektorin suuruutta kunkin koordinaattiakselin suuntaan. Yksikkövektorit i ja j sen sijaan kertovat komponentin suunnan. Jokainen yleinen xy-tason vektori voidaan esittää muodossa a = a x i + a y j.

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 16 Kuva 3.4: Vektorin jako suorakulmaisiin komponentteihin. Komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, johon voidaan käyttää edellä esitettyjä sinin (3.1) ja kosinin (3.2) määritelmiä suorakulmaisesta kolmiosta. Näin saadaan sin(α) = a y a, missä a on vektorin a pituus. cos(α) = a x a, Tarkastellaa sitten kahta vektoria a ja b, ja merkitään niiden välistä kulmaa (a, b). Kun valitaan kulma siten, että 0 (a, b) 180, voidaan määritellä vektoreiden pistetulo [3, s.64] a b = a b cos(a, b). (3.7) Tästä voidaan ratkaista vektoreiden suuntien välisen kulman kosini cos(a, b) = a b a b. (3.8) Kahden vektorin pistetulo on skalaari, joka on positiivinen silloin, kun vektoreiden välinen kulma on terävä, ja negatiivinen kun kulma on tylppä. Jos vektoreiden välinen kulma on suora, niin pistetulo on nolla, sillä cos(90 ) = 0. 3.4 Sarjakehitelmä Sini- ja kosinifunktio on mahdollista määritellä myös sarjakehitelmien avulla. Määritellään ensin eksponenttifunktion sarjakehitelmä [4, s.1] kaikille kompleksiluvuille z C. e z = n=0 z n n! = 1 + z + 1 2! z2 + 1 3! z3 + 1 4! z4 +... (3.9)

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 17 Todistetaan sitten, että tämä sarja on itseisesti suppeneva. Käytetään todistuksessa suhdetestiä [5, s.66], jossa verrataan sarjan kahden peräkkäisen termin välistä suhdetta. Suhdetesti on voimassa kaikilla kompleksiluvuilla, ja siitä saadaan lim n z n+1 (n+1)! z n n! = lim z n+1 n! n (n + 1)! z n = lim z n z n! n (n + 1)n! z n = lim n z n + 1 = 0. Koska raja-arvo on pienempi kuin yksi, sarja suppenee itseisesti. Tällöin sarjan summan termien järjestystä voidaan vapaasti vaihtaa, eikä summa muutu. [5, s.72.] Tämä sarja suppenee tasaisesti jokaisessa kompleksitason osajoukossa [4, s.1]. Koska sarja on itseisesti suppeneva, voidaan määritellä kahden sarjan tulo. Kun molemmat tulon tekijänä olevat sarjat ovat suppenevia ja ainakin toinen niistä itseisesti, myös tulosarja on suppeneva. Esitellään seuraavaksi lause kahden sarjan tulon laskemiseksi. Neljäs ehto on niin kutsuttu Caychyn kertosääntö. Lause 12. Oletetaan, että n=0 a n, suppenee itseisesti n=0 a n = A, n=0 b n = B, c n = n k=0 a kb n k (n = 0, 1, 2,...). Tällöin n=0 c n = AB. Todistus. Sivuutetaan. Katso [5, s.74]. Palautetaan vielä mieleen binomikerroin [6, s.18] ( ) n = k n! k!(n k)! (3.10) ja binomikaava [6, s.19] n k=0 ( ) n x k y n k = (x + y) n. (3.11) k Lasketaan nyt näiden avulla kahden eksponenttisarjan tulo. Tulon tekijöinä on nyt kaksi itseisesti suppenevaa sarjaa, jolloin myös tulosarja on suppeneva. Käytetään lisäksi hyväksi binomikerrointa (3.10) sekä binomikaavaa (3.11), jolloin saadaan

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 18 e x e y (3.9) = L12 = L12 = = (3.10) = (3.11) = k=0 n=0 x k k! c n n n=0 k=0 n=0 k=0 n=0 m=0 x k k! y m m! y n k (n k)! n 1 n! n! k!(n k)! xk y n k 1 n ( ) n x k y n k n! k n=0 k=0 (x + y) n = e x+y. n! (3.12) Erikoistapauksena huomataan, että jos z = 0, niin e 0 = 1 + 0 + 1 2! 02 + 1 3! 03 +... = 1. (3.13) Kohtien (3.9), (3.12) ja (3.13) perusteella saadaan 1 = e 0 = e z z = e z e z, eli e z 0, z C. Tarkastellaan seuraavaksi funktiota e iy, y R: e iy = 1 + iy + 1 2! (iy)2 + 1 3! (iy)3 + 1 4! (iy)4 + 1 5! (iy)5 +... = 1 + iy 1 2! y2 i 1 3! y3 + 1 4! y4 + i 1 5! y5... (3.14) Jaetaan tämä erikseen reaaliosaan ja imaginääriosaan ja määritellään, että e iy = f(y) + ig(y). (3.15) Lisäksi muistetaan Eulerin kaava e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Tästä ja kaavasta (3.15) seuraa, että cos(y) = f(y) = 1 1 2! y2 + 1 4! y4... = n=0 ( 1) n y 2n, (3.16) (2n)!

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 19 sin(y) = g(y) = y 1 3! y3 + 1 5! y5... = n=0 ( 1) n y 2n+1. (3.17) (2n + 1)! Vastaavasti voidaan ratkaista lauseke myös kun eksponenttifuntion eksponentti on negatiivinen. Tällöin saamme eksponenttifuntioille määritelmät e iy = cos(y) + i sin(y), y R, (3.18) e iy = cos(y) i sin(y), y R. (3.19) Lasketaan nämä puolittain yhteen, ja vaihdetaan reaalimuuttujien y paikalle kompleksiset muuttujat z. Lausekkeet oon määritelty myös kompleksiluvuille, joten näin voidaan tehdä. Näin saadaan ratkaistua sinille ja kosinille määritelmät sin(z) = eiz e iz, z C, (3.20) 2i cos(z) = eiz + e iz, z C. (3.21) 2 Näytetään, että trigonometrian perusfunktio sin 2 (α) + cos 2 (α) = 1 on voimassa myös kompleksiluvuilla. Muistetaan lisäksi, että imaginääriyksikölle i pätee i 2 = 1. Käytetään kaavoja (3.20) ja (3.21), ja saadaan ( ) e iz e iz 2 ( ) e iz + e iz 2 + = ei2z 2e iz e iz + e i2z 2i 2 4 + ei2z + 2e iz e iz + e i2z. 4 Kohdan (3.12) mukaan e iz e iz = e iz iz = e 0 = 1, joten edelleen = ei2z 2 + e i2z + ei2z + 2 + e i2z 4 4 = ei2z + 2 e i2z + e i2z + 2 + e i2z 4 = 4 4 = 1. Määritellään vielä lopuksi π toisella tapaa kuin aiemmin yksikköympyrän yhteydessä. Käytetään nyt hyväksi kosinin sarjakehitelmää (3.16). Valitaan y = 2, jolloin sarjan termien itseisarvot pienenevät ja etumerkit vuorottelevat. Lasketaan sitten sarjan (3.16) kolmen ensimmäisen termin summa, josta saadaan 1 22 2! + 24 4! = 1 3.

3. Sinin ja kosinin määrittelytapoja 20 Koska sarjan termit pienenevät koko ajan ja termit ovat vuorotellen negatiivisia ja positiivisia, sarjan summa pienenee koko ajan. Siten cos(2) < 1. Koska tiedetään, 3 että cos(0) = 1 ja lisäksi kosini on jatkuva reaaliakselilla, löytyy pienin positiivinen luku t 0, siten että cos(t 0 ) = 0, Määritellään, että π = 2t 0. (3.22)

21 4. KOSINILAUSE Eräs trigonometrian tärkeistä peruslauseista on kosinilause, jonka avulla voidaan ratkaista kolmion sivun pituus, kun tiedetään kaksi sivun pituutta sekä näiden sivujen välinen kulma. Kun merkitään kolmion sivuja a, b ja c ja sivujen a ja b välistä kulmaa α, voidaan kirjoittaa kosinilause Lause 13. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α). Todistus. Jos α on suorakulma, cos(90 ) = 0. Tällöin kosinilause palautuu pythagoraan lauseeksi (10), joka on todistettu edellä. Tarkasteltavaksi jää siis vielä tapaukset kun α on terävä tai tylppä. Otetaan ensin käsittelyyn kuvan 4.1 tapaus, eli kun α < 90. Kuva 4.1: Kosinilauseen todistuksen malli, kun kulma α on terävä. Löydetään kolmion kärjen kautta kulkeva jana h, siten että b h (lauseen 10 todistus). Muodostetaan Pythagoraan lauseen (10) avulla muodostuneista suorakulmaisista kolmioista kaksi yhtälöä, joita voidaan muokata osittelulain ja liitännäisyyden avulla muotoon a 2 = x 2 + h 2 c 2 = (b x) 2 + h 2 = b 2 2bx + x 2 + h 2. Ratkaistaan näistä molemmista korkeuden neliö, ja saadaan

4. Kosinilause 22 h 2 = a 2 x 2 h 2 = c 2 b 2 + 2bx x 2. Nyt molemmissa yhtälöissä vasen puoli on sama, jolloin voidaan kirjoittaa oikeat puolet yhtäsuuriksi, eli a 2 x 2 = c 2 b 2 + 2bx x 2 x = a2 + b 2 c 2. 2b Toisaalta kosinin määritelmän (3.2) mukaan voidaan lausua suorakulmaisesta kolmiosta josta saadaan ratkaistua cos(α) = x a a2 +b2 c2 2b = a = a2 + b 2 c 2, 2ab c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α). Otetaan seuraavaksi tapaus, jota havainnollistetaan kuvassa 4.2, eli kun α > 90. Jälleen löydetään kolmion kärjen kautta kulkeva jana h, siten että h b (lauseen 10 todistus). Kuva 4.2: Kosinilauseen todistuksen havainnollistus, kun kulma α on tylppä. Toimitaan samoin kuin edellä, ja muodostetaan kaksi yhtälöä pythagoraan lausetta (10), osittelulakia ja liitännäisyyttä apuna käyttäen a 2 = h 2 + x 2 c 2 = (b + x) 2 + h 2 = b 2 + 2bx + x 2 + h 2. Ratkaistaan molemmista korkeuden neliö ja merkitään ne yhtäsuuriksi a 2 x 2 = c b 2 x 2 2bx x = a2 b 2 + c 2. 2b

4. Kosinilause 23 Nyt kuvan 4.2 mukaan saadaan suorakulmaisesta kolmiosta cos(β) = x a. Koska α ja β ovat suplementtikulmia, niille pätee α + β = π β = π α. Lisäksi käytetään suplementtikulmien ominaisuutta kosinifunktiolle (3.6), jolloin saadaan cos(π α) = x cos(α) = x a a. Sijoitetaan aiemmin ratkaistu x lausekkeeseen ja ratkaistaan, jolloin saadaan cos(α) = a 2 b 2 +c 2 2b a = a2 b 2 + c 2 2ab c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α). Tehdään todistus vielä myös toisella tapaa käyttäen apuna vektoreita. Kuvassa 4.3 on esitetty esimerkkitapaus vektoreilla muodostetusta kolmiosta. Kuva 4.3: Vektoreista muodostettu kolmio. c 2 = a b 2 = (a b) (a b) = (a a) (a b) (b a) + (b b) = (a a) 2(a b) + (b b) = a 2 2(a b) + b 2. Käytetään pistetulon määritelmää (3.7), jolloin saadaan c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(a, b). Pythagoraan lause on siis erikoistapaus kosinilauseesta, sillä se palautuu pythagoraan lauseeksi aina kun yksi kulmista on suora. Myös vektoreilla laskettaessa pistetu-

4. Kosinilause 24 lon arvon ollessa nolla, kosinilauseesta muotoutuu pythagoraan lause. Pythagoraan lause olisi voitu todistaa myös tällä tapaa vektoreilla. Tehdään lopuksi vielä pieni esimerkki kosinilauseen käytöstä. Todistetaan sen avulla Stewartin lause [1, s.66]: Olkoon kolmion ABC sivut AB = c, BC = a ja CA = b. Olkoon piste X kolmion ABC sivulla BC. Jos BX = m, CX = n ja AX = p, niin a(p 2 +mn) = b 2 m+c 2 n. Stewartin lauseen kolmiota on havainnollistettu kuvassa 4.4. Kuva 4.4: Stewartin lauseen kolmio. Sovelletaan kosinilausetta (lause 13) kolmioon ABX ja toisaalta kolmioon ACX. Käytetään hyväksi myös suplementtikulmien ominaisuutta (3.6), eli cos(β) = cos(π α) = cos(α). Tällöin saadaan kosinilauseella kaksi yhtälöä c 2 = m 2 + p 2 2mp cos(α), b 2 = n 2 + p 2 2np cos(β) = n 2 + p 2 + 2np cos(α). Ratkaistaan näistä molemmista kosini, ja merkitään ne yhtäsuuriksi, jolloin saadaan m 2 + p 2 c 2 2mp = b2 n 2 p 2. 2np Kerrotaan ristiin ja jaetaan puolittain 2p:llä. Tällöin jäljelle jää n(m 2 + p 2 c 2 ) = m(b 2 n 2 p 2 ) nm 2 + np 2 nc 2 = mb 2 mn 2 mp 2 nm 2 + np 2 + mn 2 + mp 2 = b 2 m + c 2 n mn(m + n) + (m + n)p 2 = b 2 m + c 2 n.

4. Kosinilause 25 Koska a = m + n, saadaan mna + ap 2 = b 2 m + c 2 n a(p 2 + mn) = b 2 m + c 2 n. Näin saatiin todistettua Stewartin lause kosinilausetta apuna käyttäen.

26 5. YHTEENVETO Tässä kandidaatintyössä käsiteltiin trigonometrian perusteita. Eukleideen aksioomajärjestelmän avulla todistettiin muutamia peruslauseita kulmista, kolmioista ja ympyröistä. Näistä edettiin trigonometristen funktioiden, sinin ja kosinin määritelmiin, joita esiteltiin neljä: suorakulmaisesta kolmiosta saatavat klassiset määritelmät, yksikköympyrästä saatava yleisempi määritelmä, vektoreiden komponenttiesitys sekä sarjateoriasta johtavat määritelmät, jotka eivät ole geometrisia. Lopuksi esiteltiin trigonometrian tärkeä tulos, kosinilause. Kosinilauseen avulla voidaan ratkaista kulmat, jos tiedetään kolmion kaikkien sivujen pituudet tai vaihtoehtoisesti tuntematon sivu, kun tunnetaan kaksi muuta sivua ja niiden välinen kulma. Kosinilause myös todistetaan kahdella eri tekniikalla. Toisessa todistuksessa käytetään hyväksi klassista kosinin määritelmää ja pythagoraan lausetta, ja toisessa käytetään vektorilaskentaa: vektorin normia ja pistetuloa. Kosinilausetta voidaan kutsua myös laajennetuksi pythagoraan lauseeksi, sillä kahden sivun ollessa toisiaan vastaan kohtisuorassa kosinilause palautuu pythagoraan lauseeksi. Kosinilausetta apuna käyttäen saatiin myös todistettua stewartin lause geometriasta.

27 LÄHTEET [1] Lehtinen, M., Merikoski, J., ja Tossavainen, T. 2007. Johdatus tasogeometriaan, 1. painos. Helsinki, WSOY Oppimateriaalit Oy. 163 s. [2] Väisälä, K., Geometria, [pdf], 94s, [viitattu 10.12.2013]. Saatavissa: http://solmu.math.helsinki.fi/2011/geometria.pdf [3] Lehtonen, H., Potinkara, J., Soininen, A., Öistämö, J. 1996. Teknillinen geometria ja trigonometria, 16.painos, Tammertekniikka. 254 s. [4] Rudin, W., Real and complex analysis, Third edition, [pdf], 415p, [viitattu 5.2.2014]. Saatavissa: http://ruangbacafmipa.staff.ub.ac.id/files/2012/02/realand-complex-analysis-by-walter-rudin.pdf [5] Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, Third edition, [pdf], 342p, [viitattu 17.2.2014]. Saatavissa: http://www.math.boun.edu.tr/instructors/ozturk/eskiders/guz12m331/rud.pdf [6] Alestalo, P. Binomikaava.2013. Solmu 2 [verkkolehti].s.18-19 [viitattu 17.2.2014]. Saatavissa: http://solmu.math.helsinki.fi/2013/2/solmu56.pdf [7] Kunnap, J. Pythagoraan lause. 2000-2001. Solmu 1 [verkkolehti]. s.19 [viitattu 17.2.2014]. Saatavissa: http://solmu.math.helsinki.fi/2000/2/solmu14.pdf