Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä 8 litraa minuutissa (monisteen esimerkissä on lieriö) Olkoon astian korkeus H = 20 cm ja olkoon kartion R r r R h pohjan (eli läpinnan) säde R = 20 cm Kstään vedenpinnan nousunopeutta sillä hetkellä, jolloin astia tätt Olkoon t aika Oletetaan, että hetkellä t = 0 astia on thjä Olkoon h = h(t) nestepinnan korkeus hetkellä t Vedenpinnan sen hetkinen säde on r = hr/h kuvion mukaan Merkitään w = 8 l/min (veden tulonopeus) Kstt nousunopeus on dh dt sillä hetkellä, jolloin astia tätt Mielivaltaisella hetkellä t veden tilavuus on toisaalta wt (sisään virranneen veden määrä) ja toisaalta se on πr2 h (veden muodostaman kartion tilavuus) Tästä saadaan htälö ja kun sijoitetaan r = hr/h, niin wt = πr2 h, H Ratkaistaan h: Derivoidaan: wt = π h = ( hr H ) 2h = πr 2 H 2 h H 2 w πr 2 t/ dh H dt = 2 w πr 2 H t 2/ = 2 w 9πR 2 t 2/ Hetkellä, jolloin astia tätt, on wt = πr2 H, josta t = πr2 H/w Kun tämä sijoitetaan, saadaan dh H dt = 2 w w 9πR 2 πr 2 H 2 = w π R 6 = w πr 2 Kun sijoitetaan arvot (ja pannaan kiinnostuksella merkille, etteihän tulos riipukaan H:sta!), saadaan dh dt = 8000 cm /min π 20 2 cm 2 6,66 cm/min
Selvästi helpommalla olisi päässt, jos olisi huomannut derivoida h:n implisiittisesti t:n suhteen htälöstä wt = πr2 H 2 h, siis muistaen että h on t:n funktio, h = h(t): w = πr2 H 2 h2 h = πr2 H 2 h2 h, ja kun tähän sijoittaa h = H (astian tättminen), seuraa w = πr 2 h, josta saadaan, että h = w/(πr 2 ) astian tättmishetkellä Huomautus Vielä helpommalla olisi tehtävässä päässt, jos olisi ollut kllin ovela huomatakseen seuraavan: Jos tarkastellaan astian tättmishetkellä aivan pientä aikaväliä t ja merkitään vastaavaa vedenpinnan nousua h:lla, niin aikavälillä t veden tilavuuden lisäs on toisaalta w t ja toisaalta noin πr 2 h (matalan lieriön tilavuus) Seuraa että likimain w t = πr 2 h, josta h/ t = w/(πr 2 ) Kun aikavälin t annetaan lähestä nollaa, niin rajalla osamäärä h/ t lähest derivaattaa dh dt ja htälön likimääräisskin poistuu, ja saadaan lopputulos dh dt = w/(πr2 ) kätännöllisesti katsoen ilman laskuja Tällainen päättel menee kuitenkin tähän kurssiin nähden ehkä liian pitkälle, joskin se saattaisi sopia peruskurssi B:lle Lokaaliset ääriarvot Monisteessa määritellään sivulla 85 funktion f() (lokaaliset eli paikalliset) minimit ja maksimit Yhteisellä nimellä niitä sanotaan lokaalisiksi eli paikallisiksi ääriarvoiksi Sivulla 86 todetaan, että ilmeisesti ne lötvät pisteistä, joissa f () = 0 tai joissa f () ei ole olemassa Esitetään tässä muodollinen todistus Lause Olkoon funktio f() määritelt ainakin välillä ( 0 r, 0 + r) missä r > 0 Oletetaan, että 0 on f:n lokaalinen ääriarvokohta Silloin joko f ( 0 ) ei ole olemassa tai f ( 0 ) = 0 Todistus Tarkastellaan tapausta, jossa 0 on lokaalinen maksimikohta; minimin tapaus käsiteltäisiin vastaavasti Siis on väli ( 0 ϵ, 0 +ϵ), jossa aina f() f( 0 ) Oletetaan, että f ( 0 ) on olemassa Siis raja-arvo f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0 0 2
on olemassa Katsomalla vasemmanpuolista raja-arvoa saadaan f ( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0, 0 0 koska tässä raja-arvon otossa (siis kun 0 ϵ < < 0 ) osoittaja f() f( 0 ) on koko ajan 0 ja nimittäjä 0 on < 0 Siis f ( 0 ) 0 Katsomalla taas oikeanpuolista raja-arvoa nähdään samoin, että f ( 0 ) 0 Näin ollen väkisinkin f ( 0 ) = 0 a) Funktiolla f() = 2 4+ = ( 2) 2 on lokaalinen minikohta = 2, jossa f (2) = 0, ja lokaalinen minimiarvo f(2) = = f() 2 b) Funktiolla g() = on lokaalinen minikohta = 0, jossa g (0) ei ole olemassa, ja lokaalinen minimiarvo g(0) = 0 = Huomautus Jos kstään funktion f() lokaalisia ääriarvokohtia, niin tarkoitus on lötää ko :n arvot, mutta jos kstäänkin lokaalisia ääriarvoja, niin kuuluu antaa funktion ko arvotkin Olkoon f() = Etsi lokaaliset ääriarvot Koska f () on olemassa kaikkialla (kseessä on polnomi), niin lokaaliset ääriarvokohdat ovat niiden pisteiden joukossa, joissa f () = 0 Tästä ehdosta saadaan f () = 2 = 0 = ± Ovatko nämä todella lokaalisia ääriarvokohtia? Voisivathan ne olla esimerkiksi ns terassipisteitä; katso monisteen sivun 87 lintä kuvaa Seuraavaa vaihetta sanotaan ääriarvojen laadun tutkimiseksi Tehdään f ():n merkkitarkastelu Siitä nähdään milloin f() on vähenevä ja milloin kasvava (vrt s 87) f () + + f() kasvava vähenevä kasvava Näin ollen = / on maksimikohta ja = / on minimikohta
Vastaus Funktiolla on lokaalinen minimi f(/ ) = 2/( ) ja lokaalinen maksimi f( / ) = 2/( ) Etsi funktion f() = 2 Derivaatalla lokaaliset ääriarvot f () = 2 = 2 ei ole nollakohtia Tästä ei seuraa, ettei funktiolla olisi lokaalisia ääriarvoja, koska on ksi piste = 0, jossa derivaatta ei ole olemassa Se tät tutkia erikseen Derivaatan merkki vaihtuu kun = 0: f () < 0 kun < 0, ja f () > 0 kun > 0 Siis f() on vähenevä negatiivisilla :n arvoilla ja kasvava positiivisilla :n arvoilla Siispä = 0 on lokaalinen minimikohta, ja f:llä on lokaalinen minimi f(0) = 0 Kuvaaja on seuraava = 2/ Globaaliset ääriarvot eli suurin ja pienin arvo Edellä on tarkasteltu lokaalisia ääriarvoja Usein kstään funktion suurinta ja pienintä arvoa jossakin alueessa Tätä koskee lause 24 s 68, joka eritisesti sanoo, että suljetulla välillä jatkuvalla funktiolla on ko välillä suurin ja pienin arvo M = f() m a 2 b Esimerkiksi kuvion tilanteessa funktion suurin ja pienin arvo välillä [a, b] ovat M ja m ja ne saavutetaan pisteissä ja 2 On ilmeistä, että jos suurin arvo M saavutetaan pisteessä, siis jos f( ) = M, niin joko on välin päätepiste tai on lokaalinen maksimikohta Sama koskee pienintä arvoa Siispä suurimman ja pienimmän arvon etsiminen välillä [a, b] etenee leensä seuraavasti: 4
) Etsitään potentiaaliset lokaaliset ääriarvot f( ),, f( n ) etsimällä ne kohdat (a, b), joissa f () = 0 tai f () ei ole olemassa 2) Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä, siis f(a) ja f(b) ) Verrataan mikä arvoista f( ),, f( n ), f(a), f(b) on suurin ja mikä pienin 58 Olkoon f() = 2 a) Etsitään f():n lokaaliset ääriarvot koko R:ssä Derivaatta on f () = 2 = 2 ( 0), josta nähdään sekä ainoa nollakohta = (2/) = 8/27 että merkinvaihtelu; huomaa, että merkki vaihtuu mös kohdassa = 0, jossa f () ei ole olemassa 0 8 27 2 + + + f () + + Näin ollen funktiolla on lokaalinen maksimi f(0) = 0 ja lokaalinen minimi f(8/27) = 8 27 ( ) 8 2/ 27 = 8 27 4 9 = 4 27 b) Etsitään nt f():n suurin ja pienin arvo välillä [, 2] Listataan funktion arvot lödetissä lokaalisissa ääriarvokohdissa sekä päätepisteissä: f(0) = 0, f( 8 27 ) = 4 27 0,5, f( ) = 2, f(2) = 2 2 2 0,4 Valitaan pienin ja suurin: Funktion pienin arvo välillä [, 2] on f( ) = 2 ja suurin arvo on f(2) = 2 2 2 Tässä tapauksessa ne siis lödettiin välin päätepisteistä Monisteen sivulla 88 on kuvio tilanteesta Huomautus Edellä oli puhetta vain suljetusta äärellisestä välistä [a, b] Jos tutkitaan muunlaisia välejä, niin suurinta tai pienintä arvoa ei välttämättä ole olemassa edes jatkuvalla funktiolla 5
Mitkä ovat funktion f() = 2 suurin ja pienin arvo välillä (0, )? Edellisen esimerkin laskuista ja funktion kuvaajasta s 88 nähdään vastaus: Pienin arvo on f( 8 27 ) = 4 27 ja suurinta arvoa ei ole Tarkemmin: suurinta arvoa ei ole, koska f() = ( ) 2 kun, joten f() saa mielivaltaisen suuria arvoja Differentiaali Johdatteleva esimerkki Ajatellaan, että meidän on laskettava lauseke f() = 2 ja olemme jostain saaneet :lle epävarman arvon = 0,5 Laskemme f(0,5) = ( 2 )2 = =,720508 = 0,8660254 2 2 Montako desimaalia kannattaa ottaa? Miten suuri virhe aiheutuu :n mahdollisesta väärästä arvosta? Ajatellaan, että olemme saaneet :n mukana virhearvion = 0,5 ± 0, Toisin sanoen :n virheellä on arvio 0, Lasketaan derivaatta f () = 2 Kirjoitetaan f:n virheelle arvio (selits seuraa jäljempänä): f f ( 2 ) = f ( 2 ) 2 ( 2 )2 0, = = 0 =,720508 0 = 0,057750 0,06, 2 0, 2 josta nähdään, ettei kannata ottaa enempää kuin kaksi desimaalia, ja f(0,5) = 0,87 ± 0,06 Miksi tämä derivaattatemppu toimii? Toimiiko se? Kllä vain, ja kohta selitetään leisesti, mistä kaava f f () tulee (siis selitetään tarkemmin f:n differentiaali) Tehdään nt tässä esimerkissä vielä tarkistus laskemalla f:lle virhearvio toisin Koska on arvioitu 0,4 0,6, niin f(0,6) f(0,5) f(0,4) (huomaa että f() on vähenevä kun 0,5), josta 0,80 f(0,5) 0,92 6
Ei saatu aivan samaa tulosta kuin derivaattakonstilla, joka antoi 0,8 f(0,5) 0,9, mutta se johtuu osittain siitä, että otettiin vain kaksi desimaalia Derivaatta antoi oikein hvän virhearvion Aivan tarkkaan tulokseen ei edes kannata prkiä, koska :nkin virhe oli vain arvio Arvoidessa virhe derivaatan avulla (differentiaalin avulla) saadaan helpolla laskulla kätännössä riittävän hvä tulos Tosin tässä ksinkertaisessa tapauksessa menetelmän helpommuus ei tullut esiin Mutkikkaammilla funktioilla se näkisi paremmin, ja peruskurssi B:ssä menetelmä kehitetään useamman muuttujan funktioihin, joissa sen hödlliss on kiistatta selvä Differentiaali Olkoon f() derivoituva funktio An- netaan argumentille pieni muutos Silloin f():n vastaava muutos on = f() f = f( + ) f() Erotusosamäärä pisteessä on f( + ) f() ( + ) = f, f( + ) f() f + joka on kuviossa olevan jänteen kulmakerroin Toisaalta tangentin kulmakerroin on f (); siis f f () kun 0 = f() f } f tangentti, kk=f () Seuraa f f () kun 0 (Monisteessa s 89 tämä on johdettu paremmin) Määritelmä 50 Funktion f() differentiaali (arvoilla ja ) on df = f () 7
(Monisteessa merkitään mös d) Nt voimme kirjoittaa f df = f () Geometrinen merkits on seuraavassa kuviossa = f() f } df Yhteenveto: df = f () (f:n differentiaali), df = :n muutos liikuttaessa tangenttia pitkin, f = f():n todellinen muutos, f df joten df:ää voi kättää f:n approksimaationa Perinteisesti usein merkitään d:llä Monisteen esimerkissä 5 on selits tämän luvallisuudelle: funktiolla f() = saadaan df =, siis d = Silloin differentiaalin lauseke leiselle funktiolle f saa muodon df = f ()d Noudatamme tätä jatkossa, mutta kätämme f:n todelliselle muutokselle edelleen merkintää f (Poikkeuksena on siis että merkitsemme = d) Huomautus Differentiaalin antamaa approksimaatiota sanotaan ensimmäisen kertaluvun approksimaatioksi tai lineaariseksi approksimaatioksi Tämä viittaa siihen, että lausekkeessa f f ()d esiint d ensimmäisessä potenssissa, toisin sanoen se on d:n suhteen lineaarinen lauseke Peruskurssi B:ssä opitaan korkeamman kertaluvun approksimaatioista Talorin polnomien ja sarjojen htedessä 52 Kädään tässä läpi esimerkki 52, koska monisteessa on siinä puute 8
Piirretään paperille harpilla mprä Halutaan tietää sen pinta-ala A Mitataan sitä varten säde r (Saadaan ehkä 5 cm tai jotain muuta, mutta tätä tietoa ei nt tarvita) Arvioidaan suhteelliseksi mittausvirheeksi 2% Tämä tarkoittaa, että jos merkitään r:n todellista virhettä dr:llä, niin dr r 2% Mitatusta r:n arvosta lasketaan A = πr 2 (Saadaan siis A = π 5 2 cm 2 tai jotain muuta) Haluamme nt tietää, kuinka tarkka A:n arvo saatiin Suhteellinen virhe on A A, missä A on todellinen virhe Koska A = A(r) = πr 2, niin differentiaalista saadaan approksimaatio A da = A (r)dr = 2πr dr Siis A A da A = A (r)dr A = 2πr dr πr 2 = 2 dr r 2 2% = 4% Jostain materiaalista, jonka tihes on ρ, valmistetaan umpinainen kuutio, joka sitten punnitaan Massaksi saadaan m Oletetaan, että mittauksen suhteellinen virhe on dm m,5% Massasta lasketaan kuution särmä s kaavasta s = m/ρ (koska m = ρs ) Kuinka suuri on s:n suhteellinen virhe? Arvioidaan differentiaalin avulla: s s ds s = s (m)dm s s = m dm s = dm m,5% = 0,5% Derivaatta laskettiin näin: koska s(m) = ρ m /, niin s (m) = ρ m 2/ = m / ρ m = s m = s m Koska leisesti f f ()d kun d 0, missä (f) = f( + d) f(), niin f( + d) f() + f ()d kun d 0 Esimerkiksi eksponenttifunktiolle f() = e saadaan e +d e + e d kun d 0 Valitsemalla = 0 ja merkitsemällä d:n paikalle tästä tulee e + kun 0 9
Tämä siis on e :n ensimmäisen kertaluvun approksimaatio kohdan = 0 lähellä Geometrisesti tämä merkitsee vain sitä, että kuvaajalla = e on kohdassa = 0 tangenttina suora = + = e = + Kärän parametriesits Tämä osa on johdantoa parametrimuodossa annettujen funktioiden derivointiin, mikä asia kuuluu osattavaksi tentissä Sen sijaan parametrimuotoisia käriä ei kstä tentissä, mutta lienevät mielenkiintoista lukemista, ja niiden mmärtäminen on varmasti eduksi (mprä) Ymprän 2 + 2 = r 2 eräs parametriesits on { = r cos t (0 t < 2π) = r sin t Tämä tarkoittaa, että aina kun parametrille t valitaan jokin arvo, niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) on mprällä 2 + 2 = r 2, ja kun t kä välin [0, 2π), niin piste (, ) = (r cos t, r sin t) kä koko mprän Esimerkiksi, kun t:lle annetaan arvot 0, π/4, π/2, 2π/, π ja π/2, saadaan seuraavat pisteet t (, ) 0 (r, 0) π/4 ( 2 r, 2 r) t = 2π/ t = π/2 t = π/4 π/2 (0, r) 2π/ ( 2 r, 2 r) t = π r t = 0 π ( r, 0) π/2 (0, r) t = π/2 (ellipsi) Ellipsillä on parametriesits { = a cos t = b sin t 2 a 2 + 2 b 2 = b a (0 t < 2π) 0
Nimittäin, kun (, ) = (a cos t, b sin t), niin (, ) toteuttaa ellipsin htälön, sillä 2 a 2 + 2 (a cos t)2 (b sin t)2 = b2 a 2 + b 2 = cos 2 t + sin 2 t =, ja on helppo todeta, että kun t kä koko välin [0, 2π), niin (, ) kä koko ellipsin (hperbeli) Monisteessa on huomautuksessa 250 (s 54) annettu hperbelille 2 2 = 2 2 = parametriesits { = cosh t = sinh t (t R), joka itse asiassa antaakin vain hperbelin oikean haaran Se, että piste (, ) = (cosh t, sinh t) on tällä hperbelillä, johtuu identiteetistä cosh 2 t sinh 2 t = Huomaamalla, että (, ) = (cosh t, sinh t) = ( 2 (e + e ), 2 (e e ) ) ja merkitsemällä 2 e = u, saadaan hperbelille toinenkin mukavan näköinen parametriesits, { = u + u = u u (u R), ja kun tässä annetaan u:n kädä koko R, niin saadaankin hperbelin molemmat haarat Parametrimuodossa voidaan esittää helposti monia sovelluksissa esiintviä käriä, joille ei saada helppoa htälömuotoista esitstä Tässä kaksi esimerkkiä
Kardioidi { = 2 cos t cos 2t = 2 sin t sin 2t (0 t < 2π) Eräs Lissajous n kärä { = cos t (0 t < 2π) = sin 4t Parametrimuotoiset funktiot Funktioista ja käristä Tunnetusti funktion f() kuvaaja on kärä = f() Kääntäen, annettu kärä ei välttämättä ole minkään funktion kuvaaja Esimerkiksi alla oikeanpuoleisessa kuviossa on kärä, joka ei ole minkään funktion kuvaaja jo siitä sstä, että esimerkiksi :n arvolla saataisiin funktiolle kaksi eri arvoa = f() 2 + + 2 4 = Kätännössä leensä kuitenkin rajoittumalla kärän kllin pieneen osaan siitä saadaan funktion kuvaaja Esimerkiksi mprän 2 + 2 = voi ajatella koostuvan kahden eri funktion kuvaajista, nimittäin funktioiden f : [, ] R, f () = 2, f 2 : [, ] R, f 2 () = 2 2 + 2 = = 2 = 2 2
Funktion parametriesits Jos funktion f() kuvaajalla = f() (joka siis on kärä) on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin sitä sanotaan funktion f() parametriesitkseksi (Tässä (t) ja (t) ovat joitain t:n funktioita) nä tarkastellaan funktiota f() = 2 Sen kuvaaja on siis o mprän läpuolisko Koska tällä kärällä on parametriesits { = cos t (0 t π) = sin t niin tämä on funktion f() = 2 : [, ] R eräs parametriesits Parametrimuotoisen funktion derivointi Monisteen lopussa oleva esimerkki 54 koskee tärkeää asiaa, josta usein tulee tenttiin tehtävä Jos funktiolla f() on parametriesits { = (t) (a t b), = (t) niin funktion derivaatan saa kaavasta f () = (t) (t), tai jos merkitään = f() kuten monisteessa, niin d d = (t) (t) Huomaa, että vasemmalla on derivaatta :n suhteen ja oikealla derivaatat t:n suhteen Kaavaa ei meillä todisteta, mutta muistisäännön saa seuraavasta: Huomautus (t) (t) = d/dt d/dt = d d Tässä htedessä noudatettu perinteinen kätäntö on varmasti hiukan sekoittava Merkitään () ja merkitään (t), ja nämä ovat eri funktioita Nt pitää ajatella niin, että kun kirjoitetaan (), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta, ja kun kirjoitetaan (t), niin tarkoitetaan sitä, miten suure riippuu muuttujasta t Niinpä, jos o kaava kirjoitetaan () = (t) (t),
niin vasemmalla () ja oikealla (t) ovat aivan eri derivaattoja Esimerkiksi parametriesitksessä { = t = t 2 on siis (t) = t 2, mutta kun eliminoidaan htälöistä t, niin saadaan :n -riippuvuudeksi () = 2/ Siis (t) = 2t mutta () = 2 / Tämä kätäntö on oikeastaan ristiriidassa normaalikätännön kanssa; tavallisestihan mmärretään, että jos esimerkiksi (t) = t 2, niin silloin () = 2 ja vaikkapa (p) = p 2 ja niin edelleen Asiahtedestä on vain mmärrettävä, mitä merkinnöillä kulloinkin tarkoitetaan Olkoon funktiolla f() parametriesits { = t = t 2 (t R) Lasketaan f (8) Piste = 8 saadaan kun t = 2 Siis f (8) = (t) (t) t=2 = 2t t 2 t=2 = 2 t t=2 = Aivan sama tehtävä voitaisiin lausua: Kun kärällä on parametriesits { = t = t 2 (t R) niin on laskettava sen tangentin kulmakerroin kohdassa (8, 4) Kuvio on seuraava = f() (8, 4) t = 2 Kätimme kaavaa f () = (t)/ (t) Tämän tehtävän olisi voinut ratkaista toisinkin Nimittäin kärän parametriesitksestä on helppo eliminoida t jolloin saadaan = 2/ Tämä on funktion lauseke tavallisessa muodossa, f() = 2/ Derivoinnin olisi voinut tehdä tästä lausekkeestakin: f () = 2 /, josta f (8) = 2 = 2 8 2 = Silloinkin, kun parametrin pst eliminoimaan, kuten äsken, niin sitä ei kannata tehdä, jos parametrimuoto on helppoa muotoa Johdetaan esimerkkinä ellipsin 2 a 2 + 2 b 2 = 4
pisteeseen ( 0, 0 ) piirretn tangentin htälö Saman tehtävän ratkaisimme aikaisemmin implisiittisellä derivoinnilla, mutta kätetään nt ellipsin parametriesitstä b ( 0, 0 ) t 0 a { = a cos t = b sin t (0 t < 2π) Piste ( 0, 0 ) saadaan sellaisella parametrin arvolla t 0, että { a cos t0 = 0, b sin t 0 = 0 Tangentin kulmakerroin on joten pisteessä ( 0, 0 ) se on d d = (t) (t) = b cos t a sin t, b cos t 0 a sin t 0 = b2 a 2 a cos t 0 b sin t 0 = b2 a 2 0 0 Saman saimme aikoinaan implisiittisellä derivoinnilla, ja laskun loppu menee samoin kuin silloin Edellä oli erään Lissajous n kärän { = cos t = sin 4t (0 t < 2π) kuva Mikä on tangentin kulmakerroin origossa? Lasketaan ensin parametrin arvo: = 0 cos t = 0 t = π 2 + nπ t = π 6 + n π, = 0 sin 4t = 0 4t = nπ t = n π 4 Sijoittamalla ratkaisut ksikkömprään nähdään, että hteisiä ratkaisuja välillä 0 t < 2π on kaksi: t = π 2 ja t = π 2 Derivaatta on d d = (t) (t) = 4 cos 4t sin t Kun t = π 2 saadaan d d = 4, ja kun t = π 2 d niin d = 4 5