Valtiotieteellinen tiedekunta Talous- ja tilastotieteen valintakoe rvosteluperusteet Kesä 2015 KIRJISUUSKOE 1a Euron dollarimääräistä kysyntää ja tarjontaa voidaan kuvata seuraavasti: Euron dollarikurssi ilmoitetaan sanomalla, kuinka monta dollaria tarvitaan yhden euron hankkimiseksi. Euron dollarimääräinen kysyntä tarkoittaa sitä, että dollareita halutaan vaihtaa euroiksi. Euron dollarimääräinen kysyntä muodostuu kahdesta erästä. Dollareita halutaan vaihtaa euroiksi, koska US:n kansalaiset (US:n dollaria kotivaluuttanaan käyttävät yritykset tai henkilöt) haluavat ostaa Euroopasta palveluja tai tavaroita. Tämä on euron ulkomaankauppakysyntää. Samoin he tarvitsevat euroja sijoittaakseen eurooppalaisiin arvopapereihin ja muihin varallisuuskohteisiin. Tämä on euron sijoituskysyntää (Pohjola, 233). Euron dollarikurssin ollessa alhainen (korkea), tarvitaan entistä vähemmän (enemmän) dollareita yhden euron hankkimiseksi, joten eurooppalaiset tuotteet ja sijoituskohteet ovat edullisia (kalliita) ja niitä hankitaan paljon (vähän). Euroja kysytään siis runsaasti (vähän). Euron kysyntäkäyrä laskee oikealle, kuten yllä olevassa kuviossa on esitetty (Gillespie s. 472). Euron dollarimääräisessaä tarjonnassa on kyse siitä, että euroa kotivaluuttanaan käyttävät haluavat vaihtaa euroja dollareiksi kaupan tai sijoitusten tekemiseksi. Kun euron dollarikurssi on korkea (alhainen), saadaan yhdellä eurolla runsaasti (vähän) dollareita, ja halukkuus kauppaan tai sijoituksiin on suuri (pieni); euron tarjontakäyrä on nouseva kuvion osoittamalla tavalla. Toteutunut valuuttakurssi sijaitsee kysynnän ja tarjonnan leikkauspisteessä E (Gillespie s. 472). b EKP:n elvyttävä rahapolitiikka laskee korkoja Euroalueella. Euron sijoituskysyntä heikkenee nopeasti (lyhyellä aikavälillä) ja euron kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle (DD). Euron kurssi heikkenee arvoon E b. (Euro devalvoituu, depreciation Gillespie s. 478 ja 481, Pohjola 236). Euron tarjontakäyrä puolestaan siirtyy oikealle, kun eurooppalaiset 1
sijoittajat ostavat sijoituskohteita US:sta ja kurssiksi muodostuu E c. Kaikkiaan siis euro heikkenee. Pitkällä aikavälillä yhden hinnan laki määrää valuuttakurssin (Pohjola 235). Tämän ilmoittaa ostovoimapariteettiyhtälö P * E. P Elvyttävä rahapolitiikan tarkoitus on lisätä taloudellista toimeliaisuutta, joka kiihdyttää inflaatiota euroalueella (P nousee), jolloin euro heikkenee edelleen pitkällä aikavälillä. c Raakaöljyn hinnan lasku US:ssa suuntaa nopeasti öljyn kysyntää US:han ja dollareiden kysyntä vahvistuu. Euron tarjontakäyrä siirtyy oikealle (SS). Uusi kurssi on katkoviivoin merkittyjen suorien leikkauspisteessä E b. Euro siis heikkenee suhteessa dollariin. Pidemmällä aikavälillä öljyn hinnanlasku laskee miltei kaikkien hyödykkeiden hintoja, sillä energiakustannukset ovat tärkeä osa tuotanto- ja kuljetuskustannuksia. US:n kansalaiset eivät enää halua ostaa suhteellisesti kalliimpia tuotteita Euroopasta, jolloin euron kysyntä pienenee (kysyntäkäyrä asemaan DD). Euro heikkenee edelleen ja dollari vahvistuu (Gillsepie s. 478). Pitkällä aikavälillä valuuttakurssi E määräytyy siis ostovoimapariteetin eli yhden hinnan lain perusteella siten, että hitaamman inflaatiomaan (US) valuutta vahvistuu ja nopeamman inflaatiomaan/alueen (euroalue) valuutta heikkenee (Pohjola s. 325). 2
2a Ratkaistaan tasapainohinnat ja määrät kummallekin hyödykkeelle asettamalla kysyntä ja tarjonta yhtäsuuriksi: S S D D : : 1 ½Q 1 ½Q 11 2Q 5 ½Q Q Q Kuvio osoittaa kysyntä- ja tarjontakäyrien sijainnin, sekä tasapainon. Hyödykkeiden tasapainohinta ja määrä ovat samat, vaikka niiden kysyntäkäyrät eroavat toisistaan. 4 4 P P 3 3 b Tuottajien maksettavaksi asetettu eromääräinen vero nostaa tarjontakäyrät S ylemmäs kummankin hyödykkeen tapauksessa (kuviossa katkoviiva ja maininta vero ). Uudet tasapainohinta ja -määrä saadaan jälleen ratkaistua, ja ne ovat Q 3,6 P 3, 8 ja Q 3 P 3,5. eivän hinta reagoi veroon voimakkaammin (ja määrä vähemmän), koska leivän kysyntä on joustamattomampaa. Verokertymä on kuviossa esiintyvä suorakaiteen pinta-ala (Gillespie, s.108). eivän tapauksessa pinta-ala on 3,6 1 3, 6 ja appelsiinien tapauksessa 3 1 3. Verotuloja maksimoidakseen verottajan kannattaa verottaa joutamattoman kysynnän hyödykettä, sillä veropohja (tasapainomäärä, myyty/ostettu määrä) reagoi vain vähän veron asettamiseen. 3
3. a) Olkoon V= saadaan valkoinen pallo, R1= pallo poimitaan rasiasta 1 ja R2= pallo poimitaan rasiasta 2. Todennäköisyys sille, että saatu pallo on valkoinen on P(V) = P(V (R1 R2)) = P((V R1) (V R2)) = P(V R1) + P(V R2) = P(R1)P(V R1) + P(R2)P(V R2), jossa P(V R1)=P( saadaan valkoinen pallo ehdolla, että pallo poimitaan rasiasta 1 ) ja P(V R2)=P( saadaan valkoinen pallo ehdolla, että pallo poimitaan rasiasta 2 ). Koska rasia valitaan umpimähkään, niin P(R1) = P(R2) = 1 / 2. Koska pallo poimitaan valitusta rasiasta umpimähkään, niin P(V R1)= (suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä)/(alkeistapahtumien kokonaismäärä) = 2 / 4 = 1 / 2 ja P(V R2)= (suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä)/(alkeistapahtumien kokonaismäärä) = 1 / 5. Kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan näin ollen P(V) = (1 / 2)(1 / 2) + (1 / 2)(1 / 5) = 1 / 4 + 1 / 10 = 7 / 20 = 0,35. b) Tapa 1. Voitottomia arpoja on kuusi kappaletta, joten kolme arpaa voidaan valita niistä ( 6 3 ) = 6! = 20 eri tavalla. Kaiken kaikkiaan arpoja on kymmenen kappaletta, joten kolme 3!3! arpaa voidaan valita niistä ( 10 3 ) = 10! = 120 eri tavalla. Todennäköisyys sille, että yksikään 7!3! Villen arvoista ei voita on suotuisien alkeistapahtumien määrä jaettuna alkeistapahtumien kokonaismäärällä eli P( Yksikään arpa ei voita ) = 20/120 = 1/6. Tapa 2. Nostetaan arvat yksitellen. Tällöin todennäköisyydeksi saadaan P( Yksikään arpa ei voita ) = P( Ensimmäinen arpa ei voita )P( Toinen arpa ei voita ehdolla, että ensimmäinen arpa ei voittanut )P( Kolmas arpa ei voita ehdolla, että ensimmäinen ja toinen arpa ei voittanut ) = (6/10)(5/9)(4/8) = 1/6. 4
4. a) Funktion f(x) ensimmäinen derivaatta on d dx f(x) = f (x) = 5 4x 5 1 3 3x 3 1 = 20x 4 9x 2 b) Etsitään ensin funktion derivaatan nollakohdat: f (x) = 0 20x 4 9x 2 = 0 x 2 (20x 2 9) = 0 x = 0 tai 20x 2 = 9 x = 0 tai x 2 = 9 20 x = 0 tai x = ± 3 20. Koska x 2 0 niin 20x 2 9 määrää derivaatan f (x) = x 2 (20x 2 9) merkin. Funktio on kasvava derivaatan ollessa positiivinen ja laskeva derivaatan ollessa negatiivinen. Muodostetaan kaavio: f (x) + + f(x) Funktio on kasvava väleillä (, 3 20 ) ja ( 3 3/ 20 0 3/ 20 20, ) ja vähenevä välillä ( 3 20, 3 20 ). c) Funktion ääriarvokohdat löytyvät b)-kohdan kaavion perusteella derivaatan nollakohdista 3/ 20 ja 3/ 20, koska derivaatta vaihtaa merkkiä kyseisissä kohdissa. Paikallinen maksimikohta on 3/ 20 (vasemmalla puolella kasvava ja oikealla puolella nouseva) ja paikallinen minimikohta on 3/ 20 (vasemmalla puolella laskeva ja oikealla puolella nouseva). Derivaatan nollakohta x=0 ei ole ääriarvokohta vaan satulapiste, koska derivaatta ei vaihda merkkiä kyseisessä kohdassa. 5
INEISTOKOE 5a Hinnat ja määrät Vuos i CD-levyjen hinta CD-levyjen määrä kpl Spotify-latauksen hinta 1 20 100 20 50 2 20 75 10 75 3 20 50 5 100 Vuos i Nimellinen eli käypähintainen bruttokansantuot e 1 20*100+20*50 = 3 000 2 20*75+10*75 = 2 250 3 20*50+5*100 = 1 500 Vuos i Reaalinen eli kiinteähintainen bruttokansantuot e 1 20*100+20*50 = 3 000 2 20*75+20*75 = 3 000 3 20*50+20*100 = 3 000 Vuos Bruttokansantuottee hintaindeksi vuosi 1=100 i n 1 (3 000/3 000)*10 = 100 0 2 (2 250/3 = 75 000)*100 3 (1 500/3 000)*100 = 50 Spotify-latausten määrä kpl vuoden_1_hinnoi n b Nimellinen bruttokansantuote laskee. Tätä ei yleensä pidetä hyvänä merkkinä; kansainväliset luottoluokitukset ja maan yleinen kansainvälinen arvostus saattavat laskea. Nämä saattavat laukaista korjaavia talouspoliittisia toimia, joita ei todellisuudessa tarvittaisi tai jotka saattavat olla jopa haitallisia. Reaalinen bruttokansantuote säilyy ennallaan. Tämäkään ei kuvaa todellista hyvinvoinnin ja elintason kehitystä voimakkaasti digitalisoituvassa maassa. Tosiasiassa musiikin kuuntelu on kyseisenä periodina voinut kasvaa, jolloin kansalaisten hyvinvointi on noussut. Esimerkiksi kohta a esittää, kuinka kuluttajien ylijäämä nousee monopoliyrityksen tapauksessa, mutta tämä on vain yksi näkökulma kuluttajien hyvinvoinnin nousuun. Bruttokansantuotteen hintaindeksi on laskenut, osoittaen, että maassa saattaa olla deflaatiopaineita. Kyseessä ei kuitenkaan ole tavanomainen, kysynnän heikkoudesta johtuva deflaatio, vaan teknisestä kehityksestä/digitalisaatiosta johtuva kustannusten ja tarjontahintojen lasku. Kokonaisuutena arvioiden siis kansantalouden tilinpito ja sen eri erät kuvaa huonosti digitalisoituvan maan tilannetta; tilannekuvasta muodostuu liian pessimistinen. 6
6 a Hajontakuvio tukee artikkelin väitettä, sillä tietokoneiden määrän kasvaessa keskimääräinen talouskasvu on ollut suurempi. Kun tietokoneita on kahdella sadasta, talouskasvu on aina positiivista. Vastaus voi viitata yleisesti aineistossa esiintyvään melko suureen hajontaan, joka viittaa alhaiseen selitysasteeseen. Kaikissa maissa tietokoneiden määrä on vähäinen, mutta kyse ei ehkä olekaan tietokoneiden suoraviivaisesta vaikutuksesta, vaan tietokoneiden määrä saattaa heijastella talouden teknologian ja koulutuksen tasoa, jotka artikkeli nostaa keskeisiksi talouskasvun vetureiksi. Vastauksessa voidaan viitata myös siihen artikkelin näkemykseen, että digitalisaatio ei välttämättä näy maan BKT:ssa, joten hajontakuvioon on mahdollista suhtautua kriittisesti. Tärkeää on pohtia hajontakuviota artikkelissa esitettyjen näkökohtien valossa. b lla oleva kuvio osoittaa regressiosuoran, jonka yhtälö on y 0,411 0, 45x, missä x on tietokoneiden määrä per 100 henkeä ja y on keskimääräinen talouskasvu. Oleellista on, että regressiosuora on nouseva. Vakiota ei voida asettaa nollaksi ilman selkeitä perusteluja. c Kuviossa on myös osoitettu ennustevirheet (residuaalit) Intialle ja Gambialle. Koska Intiassa tietokoneita on 1,23 kpl /100 henkeä, regressiosuoran ennuste Intian talouskasvulle on y 0,411 0,45*1,23 0,96%. Koska Intian keskimääräinen kasvu oli 3,34%, ennustevirhe siis 3,34 0,96 2, 38 prosenttiyksikköä. Vastaavasti Gambian ennustevirhe on -0,97 prosenttiyksikköä. Intia kasvoi siis huomattavasti ennustettua nopeammin ja Gambia huomattavasti ennustettua nopeammin. Indonesian ennustettua nopeampi kasvu selittyy esimerkiksi väestön kohoavalla koulutustasolla, laskevalla väestönkasvulla ja kohtuullisen hyvällä poliittisen järjestelmän vakaudella. Sen sijaan Gambia on kärsinyt erityisesti naisten alhaisesta koulutuksesta ja korkeasta syntyvyydestä. Tärkeintä on, että vastaaja ymmärtää maiden eroavan monessa muussakin suhteessa kuin tietokoneiden määrässä ja osaa mainita joitakin eroja. 7
8
7. Olkoon x= keskiasteen koulutuksen suorittaneiden kuukausipalkka. Oletuksen perusteella x~n(3000,1500 2 ). Todennäköisyys, että kuukausipalkka x poikkeaa keskimääräisestä kuukausipalkasta 3000 enemmän kuin 1500 on P( x-3000 >1500) = 1-P( x-3000 1500) = 1-P(-1500 x-3000 1500) = 1-P(1500 x 4500) = 1-P[(1500-µ x )/σ x (x-µ x )/ σ x (4500-µ x )/ σ x ] = 1-P[(1500 3000)/1500 z (4500-3000)/1500)] = 1-P(-1 z 1) = 1-(Φ(1)- Φ(-1)) = 1 - Φ(1) + 1- Φ(1) = 2(1- Φ(1)) = 2(1-0,8413) = 2*0,1587 = 0,3174 0,32, jossa z~n(0,1) ja Φ(x) on N(0,1)-jakauman kertymäfunktio. Vastaus: Keskiasteen koulutuksen suorittaneista noin 32 prosentilla kuukausipalkka poikkeaa keskimääräisestä kuukausipalkasta enemmän kuin 1500. 9
8. a) Muodostetaan taulukko, jossa ovat vuosilukuja 1990, 2000 ja 2005 vastaavat muunnokset x, funktion arvot f(x) sekä havaitut tietokoneiden määrät sataa henkilöä kohden: Vuosiluku x f(x) tietokoneita / 100 henkilöä 1990 (1990-1990)/5=0 a 10 2000 (2000-1990)/5=2 a+2b+4c 52 2005 (2005-1990)/5=3 a+3b+9c 85 Taulukossa olevat funktion f(x) arvot on laskettu seuraavalla tavalla: f(0) = a + b 0 + c 0 2 = a f(2) = a + b 2 + c 2 2 = a + 2b + 4c 2 f(3) = a + b 3 + c 3 2 = a + 3b + 9c 2 Pakotetaan seuraavaksi funktio kulkemaan pisteiden (0;10),(2;52) ja (3;85) kautta. Saadaan yhtälöryhmä a = 10 { a + 2b + 4c = 52 a + 3b + 9c = 85 Sijoitetaan a=10 kahteen jälkimmäiseen yhtälöön. Näin saadaan yhtälöpari 2b + 4c = 42 { 3b + 9c = 75 Kertomalla ensimmäinen yhtälö puolittain luvulla 3/2 yhtälöpari saadaan muotoon 3b + 6c = 63 { 3b + 9c = 75 Kun ensimmäinen yhtälö vähennetään toisesta yhtälöstä, niin saadaan 3c = 12 c = 4. Sijoittamalla c=4 edellisen yhtälöparin ensimmäiseen yhtälöön saadaan 3b + 24 = 63 3b = 39 b = 13. Mallin parametrit ovat siis a=10, b=13 ja c=4. b) asketaan ensin mitä muuttujan x arvoa vastaa vuosiluku 1995: x=(1995-1990)/5 = 1. asketaan mallin antama arvio tietokoneiden määrälle sataa henkilöä kohden kohdassa x=1: f(1) = 10 + 13 1 + 4 1 2 = 10 + 13 + 4 = 27. c) Ratkaistaan yhtälö 10 + 13 x + 4 x 2 = 0: x = 13 ± 132 4 4 10 2 4 = 13 ± 9 8 = 13 ± 3 8 Yhtälöllä on kaksi ratkaisua x = (-13-3)/8 = -16/8 = -2 ja x = (-13+3)/8 = -10/8 = -5/4. Ratkaisut täytyy seuraavaksi muuntaa takaisin vuosiluvuiksi. Johdetaan muunnoskaava: x = vuosi 1990 5 5x = vuosi 1990 vuosi = 5x + 1990. rvoa x = 2 vastaava vuosiluku on 5 ( 2) + 1990 = 10 + 1990 = 1980. ja arvoa x = 5/4 vastaava vuosiluku on 5 ( 5 25 ) + 1990 = 4 4 + 1990 = 6 1 + 1990 = 1983,75 4 10
eli vuoden 1983 syksyllä. Mallin antamat arvot kohdan x = 5/4 (vuosi 1983) vasemmalla puolella eivät ole mielekkäitä, koska kohtien x = 2 ja x = 5 4 = 1 1 4 välillä malli antaa negatiivisia arvoja. Vastauksissa on kuitenkin hyväksytty sekä vuosiluku 1980 että vuosiluku 1983. 11