11. 10. 007 Lukion matematiikkakilailun alkukilailun ratkaisut Perussarja P1. Merkitään :llä aidan ja h:lla housujen hankintahintaa sekä m:llä näiden yhteistä myyntihintaa. Tiedetään, että m 100% = 0% ja m h h 100% = 0% eli m =1; = 6 5 =0;8h = 5 h: Siis = 5 6 m ja h = 5 m, joten 5 + h = 6 + 5 m = 5 +6 5 m = 50 6 m = 5 1 m>m: Siis kulut tuotteista olivat suuremmat kuin saatu hinta, joten kauias kärsi taiota kauasta. P. 1000 = 500 = ( ) 500 = 500 < 5 500 = 5 50 = (5 ) 50 = 5 50 < 7 50 = (3 3 ) 50 = 3 3 50 = 3 750, joten luvuista ienin on 1000, keskimmäinen 5 500 ja suurin 3 750. P3. Tehtävän monikulmio olkoon P 1 P P 1, jossa kärjet on lueteltu niin, että arittomilla i kärkeä Pi vastaava kulma on 60 ffi. Merkitään myös P 0 = P 1, P 1 = P 11 jne. Kolmio Pi 1PiPi+1 on tasasivuinen, jonka sivu on s, sillä s = jpi 1Pij = jpipi+1j ja ]Pi 1PiPi+1 = 60 ffi, kun i f1; 3; 5; 7; 9; 11g. Tästä seuraa, että kuusikulmion P 0 P P P 6 P 8 P 10 kaikkien sivujen ituus on s. Toisaalta arillisilla i f0; ; ; 6; 8; 10g saadaan ]Pi PiPi+ = ]Pi 1PiPi+1 ]Pi+1PiPi+ ]Pi 1PiPi =0 ffi 60 ffi 60 ffi = 10 ffi :
Koska kaikki kuusikulmion P 0 P P P 6 P 8 P 10 sivut ja kulmat ovat yhtä suuria, niin kuusikulmio on säännöllinen. Se siis jakautuu kuudeksi tasasivuiseksi kolmioksi, joiden sivujen ituus on s. P 3 P5 P P P 1 P 6 P 0 P 7 P8 P 10 P 11 Koska kunkin tasasivuisen kolmion inta-ala kuviossa on s s 3= kulmion inta-ala on (6 + 6) s 3 =3s 3: P. Piirretään uheväleistä verkko: P 9 = s 3, niin 1- E G Ministerit E ja G eivät kuule juorua ensimmäisenä eivätkä viimeisenä ja ovat vain kahden ministerin kanssa uheväleissä, joten E on kuullut juorun :lta tai :lta ja kertoo sen edelleen :lle tai :lle, kun taas G on kuullut juorun :lta tai :ltäjakertoo sen edelleen :lle tai :lle. Näistä viidestä ministeristä juorun on kuullut ensimmäisenä siis joko tai. Edellisessä taauksessa on kuullut juorun :ltä :n kautta ja taas :lta :n välityksellä, jälkimmäisessä taauksessa taas on :ltä :n kautta ja :ltä :n välityksellä. E G E Molemmissa taauksissa on kuullut juorun neljäntenä. G
Välisarja V1. Merkitään kettujen osuutta x:llä. Jäniksien osuus on siis 1 x ja näistä 0% luulee olevansa kettuja. Ketuista taas vain 90% tietää olevansa kettuja. aastattelututkimuksen mukaan (1 x) 0;+x 0;9 =0;5 () 0;7x =0;3 () x = 3 7 ß 3% V. Merkitään ison neliön sivun ituutta s:llä ja uoliymyrän sädettä r:llä. Tällöin Pythagoraan lauseen mukaan toisaalta r = s + s = 5 s toisaalta joten r = s + + = s +s +3; 5 s = s +s +3 () s s 3 = 0 () s =± +3=± 6 () s =8; sillä s>0. Isomman neliön sivun ituus on siten 8. V3. Ensimmäinen oilas ratkaisi itse asiassa yhtälön x + b Λ x + c = 0 ja toinen yhtälön x + bx + c Λ = 0, missä b Λ 6= b ja c Λ 6= c. Ensimmäisen oilaan yhtälön juurien tulo on 3=c ja toisen oilaan yhtälön juurien summa on +5= b: Siis b = 7 ja c = 6,joten alkueräinen ratkaistava yhtälö oli x 7x +6=0 () (x 1)(x 6) = 0 () x =1_ x =6: Oikeat juuret olivat siis 1 ja 6. uomautus: Tehtävän voi tietenkin ratkaista tuntematta juurten summaa ja tuloa sijoittamalla ratkaisut takaisin yhtälöihin. Näin saadaan neljän yhtälön ryhmä 8 >< >: +b Λ + c =0 9+3b Λ + c =0 +b + c Λ =0 5 + 5b + c Λ =0;
josta kertoimet b ja c saa myös selville. V. Taa 1: Kun k Z +, yhtälöllä x + y = k on selvästi k 1 ositiivista kokonaislukuratkaisua. Koska x + y + z =007 () x + y = 007 z, niin tehtävän yhtälöllä on siis 006 m ratkaisua jokaista z = m kohti, missä m Z, 1» m» 006. Siis kaikkiaan ratkaisuja on 006 1 + 005 (006 m) = 005 + 00+ + 1 = 005 = 011 015 m=1 kaaletta. Taa : x + y + z = 007 () (x 1)+(y 1) + (z 1) = 00ja jälkimmäinen yhtälö kuvaa tunnettua kombinatorista tilannetta, miten 00 omenaa voidaan jakaa kolmen lasen kesken. Jako voidaan tehdä niin, että omenat asetetaan riviin ja niiden välille asetetaan kaksi keiä jakomerkeiksi. Yhteensä omenoita ja keejä varten tarvitaan 006 aikka, joista siis keien aikat voi valita 006 006 005 = = 011 015 tavalla. voin sarja 1. Paras taa asettaa särmiö uoliallon sisään on niin, että ohjat tulevat vastakkain ja ohjien keskiisteet yhtyvät. Särmiön ohjan keskiisteen etäisyys yläkärjestä on (1 m=) + (1m=) +(5m) = 6 +7 +5 m= 110 m ß 10;5 m: Siis myös ienimmän soivan allon säde on 110 m ß 10;5 m.. Tarkasteltava luku on esitetty aritmeettisena summana, jossa yhteenlaskettavien keskiarvo on((k + 19) + (19k + 1))= = 10k + 10 ja yhteenlaskettavia on 19 kaaletta. Siis luku on 19 (10k+10) = 190 (k+1). Jotta tämä olisi neliöluku, on jokaisen alkuluvun esiinnyttävä luvun alkutekijäesityksessä arillisen monta kertaa. Koska 190 = 5 19, on lukujen, 5ja19 myös jaettava k +1,joten k +1 190 eli k 189. Toisaalta kun k = 189, niin 190 (k + 1) = 190 eli neliöluku. Pienin tehtävän ehdon toteuttava k on siis k = 189. 3. Kunkin ikkukolmion sivuista yksi on kolmion sivusta osa ja kaksi muuta kolmion muiden sivujen kanssa yhdensuuntaisia. Kaikki tarkasteltavat kolmiot ovat siis yhdenmuotoisia. Olkoon yksi kolmion sivuista a sekä a 1, a ja a 3 vastaavat ikkukolmioiden sivut. Yhdenmuotoisuudesta seuraa, että a = 1 a 1 = a = 3 a : 3
Olkoot Q ja sivun a ääteisteet. Merkitään sivujen ja isteen P kautta kulkevien suorien leikkausisteitä kuten kuvassa. Q 1 1 P Q 3 Q 3 3 Tällöin QQ 3 PQ 1 ja 3 P ovat suunnikkaita, joten jqq 3 j = a 1 ja j 3 j = a. Siis a = jqj = jqq 3 j + jq 3 3 j + j 3 j = a 1 + a 3 + a = a 1 + a + a 3 ; mistä neliöön korottamalla ja edellistä verrantoa käyttämällä seuraa a = a 1 + a + a 3 +a 1a +a 1 a 3 +a a 3 ) = 1 + + 3 + 1 + 1 3 + 3 :. uomataan, että 007 = 9 3, joten kaikilla n N ätee 9 j 007n. Toisaalta yhdeksällä jaollisuutta koskevan säännön mukaan luku on jaollinen yhdeksällä täsmälleen silloin, kun sen numeroiden summa on jaollinen yhdellä, joten jaollisuudesta 9 j 007n seuraa 9 j f(n). Siis kuvauksen f arvot ovat yhdeksällä jaollisia. Toisaalta f(0) = 0, f(1) on luvun 007 numeroiden summa eli +0+0+7 = 9, f(10001) on luvun 0 07 007 numeroiden summa eli +0+0+7++0+0+7 = 18 = 9, f(100 010 001) on luvun 00 70 07 007 numeroiden summa eli 3 (+0+0+7)=3 9 ja yleisesti sillä luvussa 007 10 i = f( 10 i )=m 9; 10 i+3 +7 10 i = 007007 z 007} m toistoa esiintyy nollien lisäksi m kakkosta ja seitsemää. Siis kuvauksen f arvojoukko on f 9n j n N g.