Matemaattinen Analyysi

Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x + 1)y(x). Kommentti: MacLaurinin sarjaa varten tarvitsemme derivaattojen lausekkeet. Tässä tapauksessa se onnistuu: Ratkaisu. y (x) = (x + 1)y(x) y (x) = y(x) + (x + 1)y (x) y (x) = y (x) + 1 y (x) + (x + 1)y (x) = y (x) + (x + 1)y (x) y () (x) = y (x) + 1 y (x) + (x + 1)y (x) = y (x) + (x + 1)y (x) y () (x) = y (x) + 1 y (x) + (x + 1)y () (x) = y (x) + (x + 1)y () (x) y (6) (x) = y () (x) + 1 y () (x) + (x + 1)y () (x) = y () (x) + (x + 1)y () (x) Käyttämällä alkuarvoa y(0) = ja edellä saatuja lausekkeita, saamme derivaattojen arvot nollassa: y(0) = y (0) = y(0) = y (0) = y(0) + y (0) = + = y (0) = y (0) + y (0) = + = 6 y () (0) = y (0) + y (0) = + 6 = 1 y () (0) = y (0) + y () (0) = 6 + 1 = y (6) (0) = y () (0) + y () (0) = 1 + = 1 Näistä saamme edelleen MacLaurinin sarjakehitelmän y(x) = k=0 y (k) (0) x k = + x + k!! x + 6! x + 1! x +! x + 1 6! x6 +... = + x + x + x + x + 0 x + 11 60 x6 +... Vastaus: y(x) = + x + x + x + x + 0 x + 11 60 x6 +...

Edellä annettu tehtävä on nyt suoritettu. Jatkamme hieman jotta saamme mielikuvan potenssisarjan pätevyydestä. Ratkaistaan DY separoimalla: = (x + 1)y dx y = (x + 1)dx + C ln y = 1 x + x + C y = Ce 0,x +x alkuarvo y = e 0,x +x Piirretään DY:n ratkaisufunktion kuvaaja ja MacLaurinin sarjan osasummien määrittelemien funktioiden kuvaajia 6 termia 0 0. 0. 0.6 0. 1 6 termia 0 0. 0. 0.6 0. 1 6 6 termia 0 0. 0. 0.6 0. 1 6 termia 0 0. 0. 0.6 0. 1 Punainen käyrä on oikea ratkaisufunktio. Sininen käyrä on MacLaurinin sarjasta katkaisemalla saatu polynomi.

. Ratkaise differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut (a) y + xy = 0 (b) y + xy = x Kommentti: Differentiaaliyhtälöt ovat ensimmäisen kertaluvun lineaarisia. (a)-kohdassa DY on homogeeninen, ja sen yleinen ratkaisu saadaan separoimalla. (b)-kohdassa DY on ei-homogeeninen. Ratkaistaan separoimalla HY:n yleinen ratkaisu y 0 ja yritteellä DY:n yksityisratkaisu y 1. Niiden summa y 0 (x) + y 1 (x) on DY:n yleinen ratkaisu. (a) Separoidaan DY dx = xy y y = xdx = xdx + C 1 ln y = 1 x dx + C 1 y(x) = Ce x / (b) HY on sama kuin a-kohdan differentiaaliyhtälö, joten sen yleinen ratkaisu saadaan a-kohdasta y 0 (x) = Ce x /. DY:n yksityisratkaisu saadaan yritteellä y 1 (x) = Ax + B, DY : y + xy = x y 1(x) = A DY : sij y 1,y 1 A + x(ax + B) = x A = 0, B = Siis y 1 (x) = ja yleinen ratkaisu on Vastaus: y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) = Ce x / +.

. Ratkaise y = x(1 y), kun y(0) = 0.. Kommentti: Differentiaaliyhtälö on ensimäistä kertalukua, se voidaan separoida, ja sille on annettu alkuarvo. Separoidaan Alkuarvo merkitsee sitä, että Siis: Vastaus: y(x) = 1 0, e x /. = x(1 y) dx = x dx 1 y y 1 = x dx + C ln y 1 = 1 x + C y 1 = Ce x / y = 1 + Ce x / y(0) = 0, 1 + C = 0, C = 0,.. Yrityksellä on 1000 potentiaalista asiakasta. Seuraavassa aikamuuttuja t mittaa ajan kulumista päivinä. Hetkellä t yrityksellä on y(t) todellista asiakasta. Joka päivä yritys menettää osan todellisista asiakkaistaan ja vastaavasti tehokkaan markkinoinnin ansiosta joka päivä yritys saa uusia todellisia asiakkaita. Mallinnetaan näitä muutoksia seuraavasti y menetys = 0, 01 y(t) dt y uudet = 0, 10 y(t) (1000 y(t)) dt 1000 Muodosta prosessia kuvaava differentiaaliyhtälö. Miten suureksi markkinaosuus nousee? Ratkaisu = y uudet y menetys = 0, 10 y(t) (1000 y(t)) dt 0, 01 y(t) dt 1000 dx = 0, 10y(t) 0, 0001y(t) 0, 01y(t) y (t) = 0, 0y(t) 0, 0001y(t) (logistinen A = 0, 0, B = 0, 0001) Markkinaosuus lähestyy arvoa lim t y(t) = A/B = 0, 0/0, 0001 = 00. Vastaus: DY: y = 0, 0y 0, 0001y, y(t) t 00

. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Differentiaaliyhtälö on toista kertalukua, lineaarinen, vakiokertoiminen, ei-homogeeninen. Karakteristinen yhtälö: r + r + = 0 r = ± 1 1 r = 1 ± i HY:n yleinen ratkaisu: Karakteristisen yhtälön kompleksisen juuren reaaliosa on α = 1 ja imaginaariosa on β = 1. Siten homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on y 0 (x) = C 1 e x sin x + C e x cos x. DY:n yksityisratkaisu: Tehdään yrite: y 1 = Ax + B, y 1 = A, y 1 = 0. Yrite toteuttaa DY:n, jos 0 + A + (Ax + B) = x Ax + (A + B) = x { DY:n yksityisratkaisu on siis y 1 (x) = 1 x 1. DY:n yleinen ratkaisu: DY:n yleinen ratkaisu on { A = 1 A = 1/ (A + ) = 0 B = 1/ y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) = C 1 e x sin x + C e x cos x + 1 x 1. Integroimisvakioita emme voi nyt ratkaista, koska alkuarvoja ei ole tiedossa. Siis Vastaus: C 1 e x sin x + C e x cos x + 1 x 1

6. Ratkaise y + 6y + y = 100, kun y(0) = ja y (0) = Kommentti: Differentiaaliyhtälö on toista kertalukua, lineaarinen, vakiokertoiminen, ei-homogeeninen. Koska RHS on vakio, niin yritteenä toimii vakio. Koska alkuarvot tiedetään, niin integroimisvakiot saavat numeroarvot. Karakteristinen yhtälö: r + 6r + = 0 r = 6 ± 6 1 1 HY:n yleinen ratkaisu: { r1 = 1 r = y 0 (x) = C 1 e x + C e x. DY:n yksityisratkaisu: Tehdään yrite: y 1 = A, y 1 = 0, y 1 = 0. Yrite toteuttaa DY:n, jos DY:n yksityisratkaisu on siis y 1 (x) = 0. DY:n yleinen ratkaisu: DY:n yleinen ratkaisu on Alkuarvot: Ratkaisufunktion derivaatta on 0 + 6 0 + A = 100 A = 0 y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) = C 1 e x + C e x + 0. y (x) = C 1 e x C e x. { { { y(0) = y (0) = C1 + C + 0 = C 1 C = C1 = 1, C =, Ainoa funktio, jolla on kaikki annetut ominaisuudet on siis Vastaus: y(x) = 1, e x +, e x + 0.

. Tarkastellaan kulutustuotteen markkinoita. Tuotteen hinta on p ja määrä varastossa on q. Tuotteen kysyntä on D = a 1 b 1 p ja tarjonta on S = a + b p. Varaston muutosnopeus on q = S D. Varastoja pyritään pitämään keskimäärin suunnitellun kokoisena q e samoin hintaa pyritää ohjaamaan tavoitearvoonsa p e. Hintaa ohjataan tätä varten niin, että dp/dt = α(q e q) + β(p e p). Oletamme, että kaikke edellä esiintyneet vakiot a 1, b 1, a, b, q e, p e, α, β ovat positiivisia. Millainen tulee β:n arvon olla, jotta tasapaino olisi stabiili? Miten tasapaino riippuu tavoitehinnasta p e ja tavoitevarastosta q e. Mitä arvoa q lähestyy systeemin vakiintuessa? p (t) = α(q e q) + β(p e p) p = αq βp p = α( a + b p (a 1 b 1 p)) βp p + βp + α(b 1 + b )p = α(a 1 + a ) Dynamiikkaa kuvaava DY on teisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen, ja myös RHS on vakio. Kaikki kertoimet ovat positiivisia, joten tasapaino on stabiili. Tasapainoratkaisu on DY:n yksityisratkaisu, joka on vakio p 1 (t) = a 1 + a b 1 + b.