Luvun 10 laskuesimerkit
Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5 m ja ne ovat yhtä kaukana puomin keskipisteestä. Sigge haluaisia seisoa puomin oikeassa päädyssä. Jos puomi on alunperin levossa, niin kuinka massiivinen Sigge-serkku saa korkeintaan olla?
Tilanteessa, jossa systeemi vielä juuri ja juuri pysyy tasapainossa, on Siggen ja puomin yhteinen painopiste (massakeskipiste) oikeanpuoleisen tukipisteen yläpuolella. Valitaan koordinaatisto siten, että sen origo on puomin keskipisteessä ja positiivinen x-akseli osoittaa oikealle. Tällöin puomin painopiste on x P = 0 ja Siggen x Sigge = L/2 = 3.0 m. Oikeanpuoleisen pukin tukipisteen koordinaatti puolestaan on x S = D/2. Koska vetovoimakiihtyvyys ei sanottavammin muutu systeemin sisällä, ratkaistaan systeemin painopiste soveltaen massakeskipisteen laskussa käytettyä kaavaa: r cg = mi r i mi joka voidaan nyt esittää yksinkertaisesti x cg = M 0 + m L/2 M + m = m L M + m 2
Asetetaan nyt x cg = x S ja ratkaistaan m: m L M + m 2 = D 2 ml = (M + m)d m = M D L D 1.5 m = 90 kg = 30 kg 6.0 m 1.5 m
Esimerkki 11.2 Autolehti ilmoittaa urheiluauton painojakauman olevan sellainen, että painosta 47% on takapyörillä ja 53% etupyörillä, ja että rengasväli on 2.46 m.
Tämä tarkoittaa sitä, että etupyöriin kohdistuva normaalivoima on suuruudeltaan 0.53w ja takapyöriin 0.47w, missä w on auton paino. Rengasväli taas on auton etu- ja taka-akselien välimatka. Miten kaukana auton taka-akselista auton massakeskipiste on?
Oletetaan auton olevan levossa tai liikkuvan suoraviivaisesti vakionopeudella, tällöin siihen ei kohdistu mitään nettovoimaa tai nettovääntömomenttia. Valitaan kuvan mukaisesti xy-koordinaatisto siten, että origo on taka-akselissa, positiivinen x-akseli kohti auton etupäätä (oikealla) ja positiivinen y-akseli on ylöspäin. Positiivinen kiertosuunta olkoon vastapäivään. Merkitään massakeskipisteen etäisyyttä taka-akselista L cg. Auton paino w kohdistuu alaspäin ja sillä on vipuvarsi L cg taka-akselin R suhteen. Etupyöriin kohdistuvan normaalivoiman vipuvarsi on puolestaan rengasväli 2.46 m. Takapyöriin kohdistuvalla normaalivoimalla ei ole vipuvartta taka-akselin suhteen. Fx = 0, sillä voimilla ei ole x-suuntaisia komponentteja. Fy = 0, sillä F y = 0.47w + 0.53w + ( w) = 0.
Taka-akseliin R kohdistuva momentti on 0, sillä auto ei pyöri taka-akselinsa ympäri: τr = 0.47w 0 wl cg + 0.53w 2.46 m = 0 L cg = 1.30 m Eli auton massakeskipiste on 1.30 m taka-akselin etupuolella.
Esimerkki 11.3 Lady Elaine on vangittuna Sir Mordredin linnaan. Sir Lancelot rientää pelastamaan häntä ja pystyttää tikkaat linnan seinää vasten. Tikkaiden pituus on 5.0 m ja niiden paino on 180 N. Lancelot, jonka paino on 800 N, päättää tehdä pelastustehtävästä mielenkiintoisemman kiivettyään kolmanneksen matkasta ylös ja irrottaa kätensä, jolloin koko hänen painonsa on jalkojen varassa tikkailla. Tikkaiden kulma maanpintaan nähden on 53.1.
Seinä on kitkaton siinä olevan limaisen sammaleen vuoksi. a) Mikä on tikkaiden alapäähän B kohdistuva normaalivoima ja kitkavoima? b) Mikä on staattisen kitkakertoimen vähintään oltava, jotta tikkaat eivät liukuisi? c) Mikä on kontaktivoiman suunta ja suuruus tikkaiden alapäässä? Huom: tikkaiden kulma on sopivasti valittu, jotta päästään klassiseen pythagoralaiseen kolmioon 3-4-5.
Lancelotin ja tikkaiden muodostama systeemi on staattinen, joten voimme asettaa kaksi tasapainoehtoa. Asetetaan xy-koordinaatiston origo tikkaiden alapäähän B, positiivinen x-akseli oikealle kohti seinää ja positiivinen y-akseli ylöspäin. Positiivinen kiertosuunta voidaan valita vaikka vastapäivään. Oletetaan tikkaiden olevan yhtenäiset, ts. niiden massakeskipiste yhtyy niiden geometriseen keskipisteeseen. Kitkaton seinä kohdistaa tikkaisiin ainoastaan normaalivoiman n 1 tikkaiden yläpäähän, kohtisuoraan seinän tasoon nähden. Tikkaiden alapäähän kohdistuu normaalivoima n 2 suoraan ylöspäin, sekä kitkavoima f s pinnan suuntaisesti kohti seinää, estäen tikkaita liukumasta. a) Koska systeemi on tasapainossa, kaikkien siihen kohdistuvien voimien (ja niiden komponenttien) summan on oltava nolla: Fx = f s + (n 1 ) = 0 ja Fy = n 2 + ( 800 N) + ( 180 N) = 0.
Tässä on kaksi yhtälöä kolmelle tuntemattomalle suureelle n 1, n 2 ja f s. Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan n 2 = 980 N, eli tällä voimalla maa työntää tikkaita ylöspäin. Tikkaiden alapäähän kohdistuvien voimien momenttien on oltava niinikään nolla, voiman n 1 vipuvarsi (kohtisuora etäisyys) on 4.0 m, tikkaiden painon 1.5 m ja Lancelotin painon 1.0 m. Normaalivoimalla n 2 ei ole vipuvartta tikkaiden alapään suhteen, ei myöskään kitkavoimalla. Näin saadaan kiertosuunnat huomioiden nettomomentille: τb = n 1 4.0 m 180 N 1.5 m 800 N 1.0 m+n 2 0+f s 0 = 0 Tästä ratkaistuna n 1 = 268 N. Sijoittamalla tämä voiman F x -komponentin lausekkeeseen taas saadaan f s = 268 N.
b) Staattinen kitkavoima f s ei voi ylittää arvoa µ s n 2, joten kitkakertoimen on oltava vähintään µ s,min = f s n 2 = 268 N 980 N = 0.27
c) Kontaktivoiman FB komponentit ovat pinnan suuntainen f s ja pintaa vastaan kohtisuora n 2, joten F B = f s^i + n 2^j = (268 N)^i + (980 N)^j joten suuruus F B = (268 N) 2 + (980 N) 2 = 1020 N ja suunta 980 N θ = arctan 268 N = 75
Esimerkki 11.4 Teräksisen sauvan pituus on vapaana roikkuessaan 2.0 m ja sen poikkipinta-ala on 0.30 cm 2. Sauvaa alapäähän ripustetaan nyt 550 kg massainen punnus. Mikä on sauvaan kohdistuva jännitys, suhteellinen venymä ja pituuden muutos? Jännitys: F A 550 kg 9.80 m/s2 = = 3.0 10 5 m 2 1.8 10 8 Pa Suhteellinen venymä (teräksen Youngin moduli Y = 2.0 10 11 Pa): l l 0 = jännitys Y = 1.8 108 Pa 2.0 10 11 Pa = 9.0 10 4 Ja pituuden muutos: l = 9.0 10 4 2.0 m = 1.8 mm