Neliömatriisin adjungaatti, L24

Neliömatriisin adjungaatti, L24

1 2 1 3 Matriisi = A = 7 4 6 5 2 0 ( ) 7 6 Alimatriisi = A 12 = 5 0 Minori = det(a 12 ) = 7 6 5 0 = 30 Kofaktori = ( 1) 1+2 det(a 12 ) = 30

2 Määritelmä n n neliö-matriisin A adjungaatti, Adj(A), on matriisin A kofaktorikaavion transpoosi. Helppo tapa tehdä adjungaatti yksinkertaisin askelin, on ensin laskea kaikki minorit. Jos m ij = Det(A ij ) on matriisin A paikkaan i,j liittyvä minori, niin Adj(A) = +m 11 m 21 +m 31 m 12 +m 22 m 32 +m 13 m 23 +m 33......

3 Esimerkki 1: Laske adjungaatti matriisille 2 1 3 A = 7 4 6. 5 2 0 Lasketaan ensin minorit m 11 = 4 6 2 0 = 12 m 12 = 7 6 5 0 = 30 m 13 = m 21 = 1 3 2 0 = 6 m 22 = 2 3 5 0 = 15 m 23 = m 31 = 1 3 4 6 = 6 m 32 = 2 3 7 6 = 33 m 33 = 7 4 5 2 2 1 5 2 2 1 7 4 = 34 = 1 = 15

4 m 11 = 4 6 2 0 = 12 m 12 = 7 6 5 0 = 30 m 13 = m 21 = 1 3 2 0 = 6 m 22 = 2 3 5 0 = 15 m 23 = m 31 = 1 3 4 6 = 6 m 32 = 2 3 7 6 = 33 m 33 = 7 4 5 2 2 1 5 2 2 1 7 4 = 34 = 1 = 15 Adj(A) = +m 11 m 21 +m 31 m 12 +m 22 m 32 +m 13 m 23 +m 33 = = +( 12) (6) +( 6) (30) +( 15) ( 33) +( 34) (1) +(15) 12 6 6 30 15 33 34 1 15

5 Lasketaan seuraavaksi matriisin A ja sen adjungaatin Adj(A) matriisitulo. +m 11 m 21 +m 31 B = A Adj(A) = m 12 +m 22 m 32 a 31 a 32 a 33 +m 13 m 23 +m 33 b 11 = a 11 m 11 a 12 m 12 + a 13 m 13 = a 31 a 32 a 33 = Det(A) b 12 = a 11 m 21 + a 12 m 22 a 13 m 23 = a 31 a 32 a 33 = 0 b 13 = a 11 m 31 a 12 m 32 + a 13 m 33 = = 0

6 B = A Adj(A) = a 31 a 32 a 33 +m 11 m 21 +m 31 m 12 +m 22 m 32 +m 13 m 23 +m 33 b 21 = a 21 m 11 a 22 m 12 + a 23 m 13 = a 31 a 32 a 33 = 0 b 22 = a 21 m 21 + a 22 m 22 a 23 m 23 = a 31 a 32 a 33 = Det(A) b 23 = a 21 m 31 a 22 m 32 + a 23 m 33 = = 0

7 B = A Adj(A) = a 31 a 32 a 33 +m 11 m 21 +m 31 m 12 +m 22 m 32 +m 13 m 23 +m 33 a 31 a 32 a 33 b 31 = a 31 m 11 a 32 m 12 + a 33 m 13 = a 31 a 32 a 33 = 0 b 32 = a 31 m 21 + a 32 m 22 a 33 m 23 = a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 = 0 b 33 = a 31 m 31 a 32 m 32 + a 33 m 33 = = Det(A)

8 Johtopäätös: A Adj(A) = Det(A) 0 0 0 Det(A) 0 0 0 Det(A) A ( ) Adj(A) = I Det(A) = Det(A) I Eli Lause: Jos matriisi A on säännöllinen, eli Det(A) 0, niin A 1 = 1 Det(A) Adj(A)

9 esimerkki 2: Esimerkin 1 matriisille 2 1 3 Det(A) = 7 4 6 5 2 0 = +(2) 4 6 2 0 ( 1) 7 6 5 0 + (3) 7 4 5 2 = 2 (0 12) + (0 + 30) + 3 ( 14 20) = 96 Siis A 1 = = 1 Det(A) Adj(A) = 1 12 6 6 30 15 33 96 34 1 15 12/96 6/96 6/96 30/96 15/96 33/96 34/96 1/96 15/96

10 Seuraavaksi ratkaisemme yhtälöryhmän (Oletuksella D = Det(A) 0) Ax = b a 31 a 32 a 33 x = A 1 b x 1 x 2 = 1 D x 3 x 1 x 2 x 3 = b 1 b 2 b 3 m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 b 1 b 2 b 3

11 x 1 x 2 x 3 m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 m 13 m 23 m 33 = 1 D x 1 = 1 D (m 11b 1 m 21 b 2 + m 31 b 3 ) = 1 b 1 a 12 a 13 D b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 x 2 = 1 D ( m 12b 1 + m 22 b 2 m 32 b 3 ) = 1 a 11 b 1 a 13 D a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 x 3 = 1 D (m 13b 1 m 23 b 2 + m 33 b 3 ) = 1 a 11 a 12 b 1 D a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 b 1 b 2 b 3

12 Lause (:) Jos kvadraattisen yhtälöryhmän Ax = b kerroinkaavio on säänöllinen (Det(A) 0), niin muuttujan x k arvo yhtälöryhmän ratkaisussa on x k = D k D, missä D on kerroinkaavion determinantti, ja D k on determinantti kaaviolle, jonka k:s sarake on RHS-vektori b ja muut sarakkeet ovat samoja kuin kerroinkaaviossa A.

13 Esimerkki: Ratkaistaan yhtälöryhmä 3x + 2y + z = 0 x y z = 0 x + 3y z = 6 D = D 2 = 3 2 1 1 1 1 1 3 1 3 0 1 1 0 1 1 6 1 = 6, D 1 = = 12, D 3 = 0 2 1 0 1 1 6 3 1 3 2 0 1 1 0 1 3 6 = 6, = 6, x 1 = D 1 D = 6 6 = 1, x 2 = D 2 D = 12 6 = 2, x 3 = D 3 D = 6 6 = 1,