Graafin virittävä puu 1 / 20

Graafin virittävä puu 1 / 20 Graafin virittävä puu PuuT on graafingvirittävä puu (spanning tree), jos se sisältää kaikkig:n pisteet. Virittäviä puita: 2 / 20 Yhdistämisongelma Yhdistämisongelma:(Connector problem): Yhdistettävänsolmua mahdollisimman pienin kustannuksin/linkkien lukumäärin. Löydettävä painotetun graafin kevein virittävä puu. JosG α on painotettu graafi, missäα : E G R + painofunktio, niin virittävän puun paino α(t) = e T α(e). 3 / 20 1

Primin/Jarnikin algoritmi Primin algoritmi OlkoonG α = (V,E) painotettu graafi ja V = n. (i) Olkoonu 1 V eräs piste,v 1 = {u 1 } jae 1 =. (ii)aina kuni = 2,3,...,n (tässä järjestyksessä)e i = uv on kevein sellainen viiva, ettäu V i 1 jav / V i 1. Olkoon E i = E i 1 {e i } jav i = V i 1 {v}. Lopulta saadaan yhtenäinen graafit = (V n,e n ). Koskauv E i (v / V i 1 jau V i 1 ), niint ei sisällä piiriä Koska E n = n 1 ja V n = n, niint ong α :n virittävä puu lauseen 10.1 perusteella. 4 / 20 Esimerkki Primin algoritmista Esimerkki. Määrää allaolevan painotetun graafin kevein virittävä puu Primin algoritmilla. Ratk.... 5 / 20 2

Primin algoritmin täydellisyys Lause 7.15. Koko Primin algoritmin suorituksen ajan puut i = (V i,e i ) on jonking α :n virittävän keveimmän puun alipuu. Todistus. Sivuutetaan. Seuraus. Primin algoritmi tuottaa painotetun graafing α keveimmän virittävän puun. 6 / 20 7.10. Suunnatut graafit 7 / 20 Johdanto Vuorovaikutus epäsymmetristä (esim. tiedonsiirto, nesteen virtaus, yksisuuntainen liikenne jne.) Mallina suunnattu graafi. Viivojen kapasiteetilla merkitystä/rajoituksia painotettu suunnattu graafi. Määritellään aluksi suunnattu graafi Muunnetaan aikaisempia graafeihin liittyviä käsitteitä suunnatuille graafeille sopiviksi. 8 / 20 3

Määritelmiä ja perustuloksia Suunnattu graafi (digraph, directed graph)d = (V D,E D ) on järjestetty pari, missäv D on äärellinen pisteiden joukko jae D V D V D on (suunnattujen) viivojen eli nuolien joukko ilmanvv tyyppisiä viivoja. Viivojen joukkoe D on järjestettyjen parien joukko, eli yleisesti(u,v) (v,u). Viiva(u,v) kirjoitetaan edelleen muodossauv, mutta nytuv vu. Suunnatun viivan (nuolen)e = uv käänteisviiva (inverse ofe) on suunnattu viivae 1 = vu. Suunnattuja viivoja kutsutaan myös nuoliksi. 9 / 20 Esimerkki Esimerkki. Suunnattu graafi D = ({a,b,c,d},{ab,bc,bd,cb,cd}) Nuolicb on nuolenbc käänteisviiva. 10 / 20 4

Suunnatut aligraafit OlkoonD = (V D,E D ) suunnattu graafi. SilloinAon graafind (i) suunnattu aligraafi (subdiagraph), josv A V D jae A E D, (ii)indusoitu suunnattu aligraafi, jos on olemassa sellainenx V D, ettäv A = X jae A = E D (X X). Silloin merkitääna = D[X]. D[{b,c}] = ({b,c},{bc,cb}). 11 / 20 Alusgraafi ja orientaatio Suunnatun graafind = (V D,E D ) alusgraafi (underlying graph)u(d) = (V D,E D ) on graafi, joka saadaan tulkitsemalla graafindviivat viivoiksi ilman suuntaa. Suunnattu graafid on graafingorientaatio (orientation), josg=u(d) ja aina kune E D, niine 1 / E D. SilloinD on orientoitu graafi 12 / 20 5

Suunnattu kulku OlkoonD = (V D,E D ) suunnattu graafi. Silloin graafinu(d) kulku W : e 1 e 2 e k : u v on suunnatun graafind suunnattu kulku (directed walk), jose i E D aina kuni = 1,2,...,k. Suunnattu polku: Suunnattu kulku ilman pisteiden toistoa. Suunnattu piiri: Suljettu suunnattu kulku ilman pisteiden toistoa. 13 / 20 Yhtenäisyys Suunnattu graafid (i) yhtenäinen, jos graafiu(d) on yhtenäinen, (ii) unilateraalinen (unilateral), jos aina kunu,v V D on olemassa suunnattu polkuu v tai polkuv u, (iii)vahvasti yhtenäinen (strongly connected) jos aina kunu,v V D on olemassa suunnatut polutu v ja v u. Maksimaalinen vahvasti yhtenäinen indusoitu suunnattu aligraafi on suunnatun graafind vahva komponentti (di-component). 14 / 20 6

Aste Suunnatussa graafissad pisteenv V D (i) tuloaste (indegree) on pisteeseen tulevien viivojen lukumäärä eli degd I (v) = {e E D e = xv} (ii) lähtöaste (outdegree) on pisteestä lähtevien viivojen lukumäärä, eli deg O D(v) = {e E D e = vx}. 15 / 20 Handshaking Suunnatuille graafeille on voimassa Handshaking lemmaa vastaava tulos (joko tarjoat tai hyväksyt kättelyn). Apulause: Suunnatulle graafilledon voimassa: v Ddeg I D (v) = E D = v D deg O D (v). 16 / 20 7

Yksisuuntainen liikenne Yksisuuntainen liikenne-ongelma: Minkälaisen katuverkoston kadut voidaan muuntaa yksisuuntaisiksi niin, että jokaiseen kaupunginosan rakennukseen on pääsy? Katujen risteykset pisteitä Kadut nuolia Ongelman uusi muotoilu: Milloin graafillagon vahvasti yhtenäinen orientaatio? Ongelman ratkaisi Robbins: 17 / 20 Robbins Lause 7.16. Yhtenäisellä graafillagon vahvasti yhtenäinen orientaatio G ei sisällä siltaa. Todistus "". Oletus:Gon vahvasti yhtenäinen Vastaoletus:Gsisältää sillane = uv MilläänG:n orientaatiolla ei ole molempia polkujau v jav u. EliGei ole vahvasti yhtenäinen. Ristiriita oletuksen kanssa. 18 / 20 8

Todistus jatkoa " "Oletus:Gei sisällä siltaa. G sisältää piirin Piirillä aina vahvasti yhtenäinen orientaatio. Olkoon nyth G pistemäärältään suuring:n indusoitu aligraafi, jolla on vahvasti yhtenäinen orientaatio,d H. Vastaoletus:H G G yhtenäinen.h ong:n indusoitu aligraafi.h G. On olemassa sellainen viivae = vu E G, että u V H jav / V H. 19 / 20 Todistus jatkoa 2 G ei sisällä siltaa On olemassag:n piiri C : epq : v u w v, missäp : u w on graafinh polku ja polun muut pisteet paitsiwovat joukonv G \V H pisteitä. (H on indusoitu aligraafi, joten piiri löytyy) Q : w v GraafinH orientaatio D H sisältää suunnatun polunp : u w. Orientoidaane = uv suuntaane : v u ja polussaqesiintyvät viivat suuntaanq : w v.... 20 / 20 9