Indekseistä, L12
1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n } aritmeettinen lasketaan kaavalla a aka = a 1 + a 2 + + a n n = 1 n n a j. j=1 Lukujoukon {a 1, a 2,..., a n }, eli keskiverto, lasketaan kaavalla n a gka = (a 1 a 2 a n ) 1/n = j=1 a j 1/n.
2 Olkoon p t tuotteen hinta vuonna t. Perusvuonna t = t 0 indeksi saa arvon X t0 = 100. Vertailuvuonna t t 0 indeksi saa arvon X t = p t p t0 100. Jos X t > 100, niin vertailuvuoden hinta on korkeampi kuin perusvuonna. Jos X t < 100, niin vertailuvuoden hinta on alempi kuin perusvuonna.
3 Seuraavassa taulukossa on tuotteen hintoja usean vuoden ajalta. indeksi vuosi- kasvuvuosi hinta X t = kasvu tekijä p t p t t p t 0 100 g t 100% r t = 1 + g t 2000 16,00 100,0 2001 20,00 125,0 25,00% 1,2500 2002 26,00 162,5 30,00% 1,3000 2003 30,00 187,5 15,38% 1,1538 2004 36,00 225,0 20,00% 1,2000 2005 41,00 256,3 13,89% 1,1389 2006 45,00 281,3 9,76% 1,0976 2007 50,00 312,5 11,11% 1,1111 2008 52,00 325,0 4,00% 1,0400 2009 52,50 328,1 0,96% 1,0096 2010 54,00 337,5 2,86% 1,0286
4 vuosi- kasvuvuosi hinta indeksi kasvu tekijä t p t X t g t 100% r t = 1 + g t 2003 30,00 187,5 2004 36,00 225,0 20,00% 1,2000 r 2004 = p 2004 p 2003 = 36,00 30,00 = 1,20 g 2004 = p 2004 p 2003 1 = 0,20 Kasvutekijä voidaan yhtä hyvin laskea indeksin perusteella r 2004 = X 2004 X 2003 = 225,0 187,5 = 1,20
Keskimääräinen kasvu. 5 Useamman vuoden aikana toteutunutta hinnan keskimääräistä kasvuvauhtia eli inaatiota voidaan kuvata vuosikasvu-prosenttien lla (arithmetic mean) g aka 100% = 1 10 2010 t=2001 g t 100% = 13,3%, tai kasvutekijöiden lla (arithmetic mean) r aka = 1 10 2010 t=2001 r t = 1,133, tai kasvutekijöiden keskiverrolla (geometric mean) r gka = (r 2001 r 2002 r 2010 ) 1/10 = 1,129.
Keskimääräinen kasvu. 6 Kasvutekijöiden keskiverto on käsitteenä yksinkertaisempi koska se voidaan laskea kahdesta hinnasta, perusvuoden ja vertailuvuoden hinnoista (tai indekseistä). r gka = (r 2001 r 2002 r 2009 r 2010 ) 1/10 ( ) 1/10 p2001 = p2002 p2009 p2010 = p 2000 p 2001 p 2008 = ( ) 1/10 X2010 X 2000 p 2009 ( ) 1/10 p2010 p 2000 ρ aka = 1 10 (ρ 2001 + ρ 2002 + + ρ 2010 ) = 1 10 (ln(r 2001) + ln(r 2002 ) + + ln(r 2010 )) = ln{(r 2001 r 2002 r 2010 ) 1/10 } = ln r gka
. 7 Jos yrityksen (tai kansalaisen) käytössään oleva varallisuus kasvaa keskimääräisellä kasvutekijällä r gka = r = 1 + i, niin sanomme että r ja i kuvaavat nimelliskorkoa. Varallisuus (pääoma) vuonna t saadaan kaavasta K t = K t0 (1 + i) t t 0 i = nimelliskorkokanta Hintatason keskimääräistä kasvuvauhtia kuvaa inaatiokorkokanta g. Hintataso p t vuonna t on p t = p t0 (1 + g) t t 0
. 8 ostovoima vuonna t on Q t = K t p t = K 0(1 + i) t t0 p 0 (1 + g) t t 0 = Q 0 ( 1 + i 1 + g ) t t0 ostovoiman kasvua kuvaa reaalikorko. tekijä r ja reaalikorkokanta i ovat edellisen perusteella r = 1 + i 1 + g i = 1 + i 1 + g 1 = 1 + i 1 + g 1 + g 1 + g = i g 1 + g Jos inaatio ei ole korkea (eli on g pieni), niin i i g reaalikorko nimelliskorko inaatiokorko.
. 9 K t vuoteen t 1 = se rahamäärä, jolla vuonna t 1 sai ostettu yhtä monta tuotetta kuin rahamäärällä K t saa ostettua vuonna t = K t pt 1 p t = K t Xt 1 X t. Erityisesti pääoman K t perusvuoteen t 0 on K t pt 0 p t = K t 100 X t
. 10 Tarkastellaan seuraavien kolmen tuotteen hintoja perusvuonna t 0 = 2000 ja vertailuvuonna t = 2010. tuote 2000 2000 k p t0 q t0 p t q t paino 1 2,00 10 5,00 100 w 1 2 5,00 20 6,00 18 w 2 3 20,00 50 15,00 50 w 3 Kun laskemme tuoteryhmän n, niin annamme yleensä joillekin tuotteille muita suuremman painon. ( ) w1 p 1t +w 2 p 2t +w 3 p 3t 3 w 1 +w 2 +w 3 X t = ( ) k=1 w1 = w kp kt p 1t 0 +w 2p 2t 0 +w 3p 3t 3 0 w 1 +w 2 +w k=1 w kp kt0 3
. 11 Jos annamme ensimmäiselle tuotteelle kaksinkertaisen painon muihin nähden, niin indeksi on 2 5,00 + 1 6,00 + 1 15,00 X t = 100 = 106,9 2 2,00 + 1 5,00 + 1 20,00 Jos annamme kolmannelle tuotteelle kaksinkertaisen painon muihin nähden, niin indeksi on X t = 1 5,00 + 1 6,00 + 2 15,00 100 = 87,2 1 2,00 + 1 5,00 + 2 20,00 PAINOJEN VALINNALLA ON MERKITYSTÄ!
12
13