HARJOITUS 1. 1. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Aurinko laskee länteen. (b) Jos otat, et aja. (c) Jos Heli ei tule tänään käymään, katson televisiosta jalkapalloa, mutta en visailua. (d) Jos et veikkaa, et voi voittaa. (e) Stalin ei hyökännyt Norjaan, vaan Suomeen. (f) Jääkaapissa on maitoa tai piimää. 2. Formalisoi seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Stalin ei hyökännyt Norjaan eikä Ruotsiin. (b) Jos Suomi tai Norja voittaa ensi kesänä Brasilian jalkapallossa, niin minä olen Kiinan keisari. (c) Ei savua ilman tulta. 3. Formalisoi tai yritä formalisoida seuraavat lauseet lauselogiikassa. (a) Sulje ovi ja pyyhi jalkasi! (b) Presidentin saapuessa miehet paljastivat päänsä. (c) En pese tänään pyykkiä vain jos sataa. 4. Mikä seuraavista lauseista poikkeaa muista lauselogiikan kannalta? (a) Matti ja Teppo ovat laulajia. (b) Matti ja Teppo ovat veljeksiä. (c) Matti ja Teppo ovat turkulaisia. 5. Muodosta seuraavien lauseiden rakennepuut. (a) A B C (b) A B C (c) A B
HARJOITUS 2. 1. Laadi seuraaville lauseille totuustaulukot. (a) A B C (b) A B C (c) A B C (d) A B C 2. Osoita seuraavat lauseet tautologioiksi. (a) A A (b) A B A B (c) A B A (d) A A A 3. Osoita seuraavat loogiset yhtäpitävyydet. (a) A B A B (b) A B A B A B 4. Olkoon Q lause A B P, jossa P:n tekijät ovat täsmälleen A ja B. (a) Mikä on vähimmäisvaatimus lauseelle P, jolla lause Q on tautologia? (b) Keksi lause P, jolla Q on tautologia. (c) Keksi lause, joka täyttää täsmälleen a-kohdan vaatimuksen.
HARJOITUS 3. 1. Osoita: (a) P P Q (b) P Q Q 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä: (a) A B C, B, C, Siispä A (b) A B C, B, Siispä A 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä: (a) Jos otat, et aja. Siis jos ajat, et ota. (b) Jos pienyritykset joutuvat vaikeuksiin, Suomen kansantalous romahtaa. Valtion ulkomaista velkaa lisätään tai Suomen kansantalous romahtaa. Siispä jos valtion ulkomaista velkaa ei lisätä, pienyritykset joutuvat vaikeuksiin. (c) Jos otat, et aja. Ajat tai et ota. Siispä et ota. (d) Jos Martti on poliisi, hän käyttää virkapukua. Martti käyttää virkapukua ja ajaa työssään paljon autoa. Siispä Martti on poliisi. 4. Mitkä seuraavista lausejoukoista ovat ristiriitaisia? (a) Jos Heli tulee tänään käymään, lähdemme leffaan tai pizzalle. Jos lähdemme leffaan, Heli ei tule tänään käymään. Emme lähde pizzalle. (b) A B, A B,C,B C
HARJOITUS 4. 1. Voidaanko seuraavat periaatteet hyväksyä päättelysäännöiksi? (a) Lauseista P Q ja P saadaan päätellä lause Q. (b) Lauseista P Q ja P saadaan päätellä lause P Q. 2. Osoita seuraavat päätelmät päteviksi todistupuilla. (a) Jos otat, et aja. Siispä jos ajat, et ota. (b) Jos otat, et aja. Ajat tai et ota. Siispä et ota. 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä. Osoita pätevät päteviksi todistuspuilla. (a) Tupakointi on kielletty yliopiston sisätiloissa. Jos tupakointi on kielletty yliopiston sisätiloissa ja yliopiston tupakkahuoneet sijaitsevat yliopiston sisätiloissa, tupakointi ei ole sallittu yliopiston tupakkahuoneissa. Jos yliopiston tupakkahuoneet sijaitsevat yliopiston sisätiloissa, tupakointi on sallittu niissä. Siispä yliopiston tupakkahuoneet eivät sijaitse yliopiston sisätiloissa. (b) Eläin on lintu tai lisko. Jos sillä on höyhenet, se on lintu. Eläimellä ei ole höyheniä. Siispä se on lisko. (c) Jos verotus kevenee, kansantalous elpyy. Kansantalous ei elvy tai hallitus kaatuu. Hallitus ei kaadu ja verotus kevenee. Siispä Turku on Suomen pääkaupunki.
HARJOITUS 5. 1. Osoita seuraavat johdettavuudet käyttämällä pelkkiä tuonti- ja eliminointisääntöjä. (a) P Q, Q P (b) P Q R P Q P R (c) P Q R P Q P R (d) P Q,Q R P R 2. Olkoot A a, b, c ja B c, d. Mitkä seuraavista pitävät paikkansa? (a) a A (b) a A (c) a A (d) c A Muodosta seuraavat joukot: (e) A B (f) A A B (g) x x A B B 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä diagrammimenetelmällä. (a) Jokainen opiskelija on ihminen. Joku ihminen on viininmaistaja. Siispä joku opiskelija on viininmaistaja. (b) Jokainen ateisti on kommunisti. Kukaan uskovainen ei ole kommunisti. Siispä kukaan uskovainen ei ole ateisti. (c) Jokainen ateisti on kommunisti. Kukaan uskovainen ei ole ateisti. Siispä kukaan uskovainen ei ole kommunisti. (d) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Fritz on Brockenin kummitus. Siispä Fritz ei ole kummitus.
HARJOITUS 6. 1. Piirrä seuraavien lauseiden kuvaamia tilanteita vastaavat diagrammit. (a) Tarja pitää Pentistä. (b) Martti on poliisi, joka pidätti Roopen. (c) Satu on jotakuta koripallojoukkueen pelaajaa pitempi. (d) Joku koptilainen omistaa aasin. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä diagrammimenetelmällä. (a) Paavo pitää Seposta. Seppo on kepulainen. Kukaan kepulainen ei ole kommunisti. Siispä Paavo pitää jostakusta, joka ei ole kommunisti. (b) Paavo ei pidä Pekasta. Pekka on kansalliskiihkoilija. Jotkut kansalliskiihkoilijat ovat rasisteja. Siispä Paavo ei pidä jostakusta rasistista. 3. Formalisoi seuraavat lauseet predikaattilogiikassa. (a) Jaana on Tuukan äiti. (b) Tuukalla on äiti. (c) Kaikilla on äiti. (d) Joku ei ole kenenkään äiti. (e) Kukaan ei ole kaikkien äiti. (f) Jokin sota on kaikkien sotien äiti. 4. Mitkä seuraavista merkkijonoista ovat predikaattilogiikan kaavoja? (a) x y P x Q y R x, y (b) x P x y Q y R x y (c) P x x Q x,y R x
HARJOITUS 7. 1. Formalisoi seuraavat lauseet predikaattilogiikassa. (a) Kaikki terrierit ovat koiria. (b) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. (c) Jotkut nisäkkäät eivät ole koiria. (d) Paavo Lipponen ei äänestänyt ketään kepulaista. (e) Jokaisen miehen äiti on joku nainen. (f) Joku koptilainen omistaa aasin. (g) Jokainen, joka piirtää ympyrän, piirtää kuvion. 2. Mitkä seuraavista kaavoista ovat lauseita? Merkitse kaavoihin vapaat muuttujat ja kvanttorien vaikutusalat. (a) F x x F x G x,y (b) x F x G x H x (c) x F x y G y H x, y (d) x y F x G x H x, y 3. Siirrä negaatio kaavassa x y zr x,y,z kvanttorien sisäpuolelle. 4. Formalisoi seuraavat lauseet käyttämällä toisaaltaa pelkkää eksistenssikvanttoria ja toisaalta pelkkää universaalikvanttoria. (a) Kaikki terrierit ovat koiria. (b) Mikään leijona ei ole kavioeläin.
HARJOITUS 8. 1. Osoita seuraavat päätelmät päteviksi päättelysäännöin. (a) Persianlahden sota on kaikkien sotien äiti. Persianlahden sota on sota. Siis Persianlahden sota on itsensä äiti. (b) Väinö rakastaa Ainoa. Aino rakastaa jokaista, joka rakastaa häntä. Siis Aino rakastaa Väinöä. (c) Jokainen terrieri on koira. Jokainen koira on kaikkiruokainen. Siis jokainen terrieri on kaikkiruokainen. (d) Mikään kavioeläin ei ole kala. Jokainen aasi on kavioeläin. Siis mikään aasi ei ole kala. (e) Jokaisessa raitiovaunussa mölyää joku humalainen. Siis jokaisessa raitiovaunussa mölyää joku hullu tai humalainen. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä predikaattilogiikan keinoin. (a) Jokin lammas ei ole valkoinen. Kaikki lampaat ovat kotieläimiä. Siis jokin kotieläin ei ole valkoinen. (b) Jokaisella on äiti. Siis joku on kaikkien äiti. (c) Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Fritz ei ole Brockenin kummitus. Siis Fritz on kummitus. (d) Jokainen suutari korjaa jonkin kengän. Jokainen kenkä on jalkine. Siis jokainen suutari korjaa jonkin jalkineen. (e) Kukaan suutari ei korjaa yhtään takkia. Kaikki takit ovat päällysvaatteita. Siispä kukaan suutari ei korjaa yhtään päällysvaatetta. (f) Jokainen ympyrä on kuvio. Siis jokainen, joka piirtää ympyrän, piirtää kuvion. (g) Jotkut intialaiset eivät ole lukutaitoisia. Kaikki, jotka eivät ole lukutaitoisia, eivät tunne kreikkalaisia aakkosia. Siis jotkut intialaiset eivät tunne kreikkalaisia aakkosia.
HARJOITUS 9. 1. Suorita ehdotettu sijoitus, jos sen saa tehdä. (a) Kaavassa F x, y G x sijoitus x/a (b) Kaavassa y H x, y G y sijoitus x/y (c) Kaavassa x H x, y G y sijoitus y/z 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä identiteetillä varustetun predikaattilogiikan keinoin. (a) Fritz on Brockenin kummitus. Mikään Brockenin kummitus ei ole kummitus. Chesterburyn linnan koputtaja on kummitus. Siis Fritz ei ole Chesterburyn linnan koputtaja. (b) Sauli on puhemies. Niinistö on puhemies. On korkeintaan yksi puhemies. Siis Sauli on Niinistö. 3. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä predikaattilogiikan keinoin. Arvioi lopuksi saamiasi tuloksiasi. (a) Jokainen suutari on korjannut jalkineita. Jokainen kenkä on jalkine. Siis jokainen suutari on korjannut kenkiä. (b) Patriarkka Pimen on ortodoksipappi. Kaikki ortodoksipapit ovat miehiä. Siis Patriarkka Pimen ei ole nainen. (c) Kaikki Sepin esi-isät ovat ihmisiä. Sepillä on esi-isiä. Siis joku on ihminen. (d) Jokaisella tapahtumalla on syy. Siis on kaikkien tapahtumien syy. (e) Satu on jotakuta koripallojoukkueen pelaajaa pitempi. Kaikki koripallojoukkueen pelaajat ovat Raimoa pitempiä. Siis Satu on Raimoa pitempi.
HARJOITUS 10. 1. Formalisoi seuraavat lauseet identiteetillä varustetussa predikaattilogiikassa. (a) On täsmälleen kaksi valtiovarainministeriä. (b) Suomen nykyinen presidentti on nainen. (c) Maailman pisin henkilö on mies. 2. Tutki seuraavien päätelmien pätevyyttä. (a) Tiku on pikkuorava. Taku on pikkuorava. Tiku ei ole Taku. Siis on vähintään kaksi pikkuoravaa. (b) On täsmälleen yksi presidentti. Halonen on presidentti. Halonen ei ole Arajärvi. Siispä Arajärvi ei ole presidentti. 3. Mitkä seuraavista periaatteista näyttävät pätevän pitempi kuin -suhteesta? P x, y xon pitempi kuin y x y P x, y P y, x x y P x, y P y,x x y z P x, y P y, z P x, z xp x, x