Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39
Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälön toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälön ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälön ratkaisujoukoksi. Jos b = 0, yhtälö on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0. 2 / 39
Lineaarinen yhtälö Esimerkki 1 Ovatko seuraavat yhtälöt lineaarisia? Miksi? a) x 1 + x 2 = 100x 3 + 9, b) x2 2 4x 5 = 0, c) e x 1 = 4, d) 3x 1 + (log 3) 3 x 2 = 0, e) x 1 x 2 = 5. 3 / 39
Lineaarinen yhtälö Ratkaisu a) x 1 + x 2 = 100x 3 + 9 x 1 + x 2 100x 3 = 9 eli yhtälö on lineearinen b) x 2 2 4x 5 = 0; x 2 on toisessa potenssissa, joten yhtälö ei ole lineaarinen. c) e x 1 = 4 x 1 log(e) = log 4 x 1 = log 4 eli alkuperäinen yhtälö ei ole linearinen, mutta siitä saadaan muokattua yhtäpitävä lineaarinen yhtälö. d) 3x 1 + (log 3) 3 x 2 = 0; muuttujien kertoimet ovat reaalilukuja, joten yhtälö on lineaarinen. e) x 1 x 2 = 5; muuttujilla on kertoimena toinen muuttuja, joten yhtälö ei ole lineaarinen. 4 / 39
Lineaarinen yhtälö Esimerkki 2 a) Yhtälö 2x = 8 voidaan ratkaista kertomalla puolittain luvulla, jolloin saadaan x = 4. 1 2 b) Yhtälö 2x 1 + 3x 2 = 1 voidaan kirjoittaa muodossa x 2 = 1 3 (1 2x 1) (tai muodossa x 1 = 1 2 (1 3x 2)). Tämä on suoran yhtälö, jonka kulmakerroin on 2/3 ja se leikkaa x 2 -akselin kohdassa 1/3. Yleinen ratkaisu on x 1 = t ja x 2 = 1 (1 2t), 3 missä t R on vapaa muuttuja. Ratkaisuja on siis ääretön määrä. Esimerkiksi x 1 = 1 ja x 2 = 1 on yksi ratkaisu. c) Yhtälö 3x 1 + 6x 2 + x 3 = 4 määrää tason avaruuteen R 3. Myös tällä yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja: x 1 = t, x 2 = s ja x 3 = 4 3t 6s, t, s R. 5 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä 2 x 2 1 3 2 1 1 2 3 1 x 1 (a) Yhtälön x 2 = 1/3 (2/3)x 1 kuvaaja (Esim. 2 b)) (b) Yhtälön x 3 = 4 3x 1 6x 2 kuvaaja (Esim. 2 c)) 6 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Määritelmä 2 Lineaarinen yhtälöryhmä on muotoa a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k, missä a ij, b i R, i = 1,..., k, j = 1,... n, ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia. Yhtälöryhmän toteuttavaa lukujonoa (x 1, x 2,..., x n ) sanotaan yhtälöryhmän ratkaisuksi ja kaikkien ratkaisujen joukkoa sanotaan yhtälöryhmän ratkaisujoukoksi. Jos b 1 = b 2 = = b k = 0, yhtälöryhmä on homogeeninen ja sillä on aina triviaaliratkaisu x 1 = x 2 = = x n = 0. 7 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 3 Ratkaise yhtälöparit a) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 b) { x1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 { x1 2x 2 = 1 c). x 1 + 2x 2 = 1 Tulkitse ratkaisut geometrisesti. Ratkaisu a) Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan x 2 = 2. Sijottamalla tämä ylempään yhtälöön ja ratkaisemalla tästä yhtälöstä x 1 saadaan x 1 = 3. Täten yhtälöparilla on tasan yksi ratkaisu { x1 = 3 x 2 = 2. Geometrinen tulkinta: Kaksi erisuuntaista suoraa, jotka leikkaavat pisteessä (x 1, x 2 ) = (3, 2). 8 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Ratkaisu b) Laskemalla yhtälöt yhteen saadaan 0 = 2. Tämä ei pidä paikkaansa, joten yhtälöparilla ei ole ratkaisua. Geometrinen tulkinta:kaksi saman suuntaista suoraa, jotka eivät leikkaa. Ratkaisu c) Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan 0 = 0. Tämä on aina tosi, joten yhtälöillä ääretön määrä ratkaisuja. Geometrinen tulkinta: Saman suoran kaksi eri esitystapaa, jolloin leikkauspisteitä on ääretön määrä. 9 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 4 Yhtälöparin { ax1 + bx 2 = e cx 1 + dx 2 = f ratkaisu on suorien ax 1 + bx 2 = e ja cx 1 + dx 2 = f leikkauspiste.leikkauspiste on yksikäsitteinen täsmälleen silloin kun suorat eivät ole yhdensuuntaiset, toisin sanoen (b 0, d 0) a b c d eli ad bc 0. Jos ad bc = 0, niin suorat ovat yhdensuuntaiset. Tällöin ne eivät leikkaa, eli yhtälöparilla ei ole ratkaisua, tai ne ovat sama suora, jolloin yhtälöparilla on äärettömän monta ratkaisua, sillä jokainen (x 1, x 2 ), joka kuuluu suoralle, on ratkaisu. 10 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä 11 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 5 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0. 4x 1 + 7x 2 3x 3 = 3 Lisäämällä 1. yhtälö luvulla 4 kerrottuna 3. yhtälöön saadaan x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 0. x 2 + x 3 = 3 12 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 5 Kun kerrotaan 2. rivi puolella (jaetaan kahdella), niin saadaan x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0. x 2 + x 3 = 3 Edelleen, kun lisätään 2. rivi kolmanteen, saadaan x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0. 3x 3 = 3 13 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 5 Kun kerrotaan 3. rivi luvulla 1 3, niin saadaan x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 4x 3 = 0. x 3 = 1 Edelleen, kun lisätään 3. rivi luvulla 1 kerrottuna 1. riviin ja lisätään 3. rivi luvulla 4 kerrottuna 2. riviin, saadaan x 1 2x 2 = 1 x 2 = 4. x 3 = 1 14 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä Esimerkki 5 Kun lopuksi lisätään 2. rivi luvulla 2 kerrottuna 1. riviin, niin saadaan x 1 = 7 x 2 = 4. x 3 = 1. Tarkistetaan ratkaisu: 7 2 ( 4) 1 = 0 2 ( 4) 8 ( 1) = 0. 4 ( 7) + 7 ( 4) 3 ( 1) = 3. 15 / 39
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin, että se on helpompi ratkaista. Rivioperaatiot eivät muuta yhtälöryhmän ratkaisuja, vaan alkuperäisellä ja muokatulla yhtälöryhmällä on samat ratkaisut. 16 / 39
Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan ratkaista käyttämällä seuraavia operaatioita: P ij : vaihdetaan yhtälöt i ja j keskenään. M i (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c 0. A ij (c): kerrotaan yhtälö i luvulla c R ja lisätään se yhtälöön j, missä i j. 17 / 39
Miten operaatiot vaikuttavat yhtälöryhmän ratkaisuihin? Määritelmä 3 Kaksi yhtälöryhmää (merkitään A ja B) ovat ekvivalentit, jos yhtälöryhmä A saadaan yhtälöryhmästä B tekemällä äärellisen määrän rivioperaatioita. 18 / 39
Lause 1 Ekvivalenteilla yhtälöryhmillä on samat ratkaisut. Todistus. Jos kahden yhtälön paikkaa vaihdetaan keskenään eli suoritetaan rivioperaatio P ij, on selvä, että se ei vaikuta yhtälöryhmän ratkaisuihin. Jos yhtälöä kerrotaan puolittain luvulla c R\{0}, se ei muuta yhtälön ratkaisuja. Täten rivioperaatio M i (c) ei vaikuta yhtälöryhmän ratkaisuihin. Rivioperaation A ij (c) perustelu sivuutetaan. 19 / 39
Koska rivioperaatiot vaikuttavat vain kertoimiin a ij ja b i, on kätevää kirjoittaa yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n = b k laajennettuna kerroinmatriisina a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2..... a k1 a k2 a kn b k Eli jätetään muuttujat (x:t) ja välimerkit (+:t) kirjoittamatta (muistetaan kuitenkin niiden paikat), korvataan =-merkit pystysuoralla viivalla ja lisätään sulut. 20 / 39
Esimerkki 6 Muodosta yhtälöryhmän a) x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 b) 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 laajennettu kerroinmatriisi. Miten voit ratkaista yhtälöryhmät käyttämällä laajennettua kerroinmatriisia? Etsi yhtälöryhmien ratkaisujoukot. 21 / 39
Ratkaisu a) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9. 22 / 39
Ratkaisu a) Nyt 1 2 1 0 0 2 8 8 A 13(4) 4 5 9 9 1 2 1 0 0 1 4 4 A 23(3) A 0 3 13 9 21 (2) A 32 (4) A 31 (7) 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3, 1 2 1 0 0 2 8 8 0 3 13 9 1 0 7 8 0 1 4 4 0 0 1 3 joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (29, 16, 3) R 3 (ei muita ratkaisuja). M 2( 1 2 ) 23 / 39
Ratkaisu b) Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on 2x 1 x 2 = 5 x 1 + x 3 = 5 3x 1 x 2 x 3 = 0 2 1 0 5 1 0 1 5 3 1 1 0. 24 / 39
Ratkaisu b) Nyt 2 1 0 5 1 0 1 5 P 12 3 1 1 0 1 0 1 5 A 13 ( 3) 0 1 2 5 A 12 ( 2) 0 1 4 15 A 23 (1) M 3 ( 1 2 ) 1 0 1 5 0 1 2 5 0 0 2 10 1 0 1 5 0 1 0 5 0 0 1 5 1 0 1 5 2 1 0 5 3 1 1 0 M 2( 1) A 32(1) A 31( 1) 1 0 1 5 0 1 2 5 0 1 4 15 1 0 1 5 0 1 0 5 0 0 2 10 1 0 0 0 0 1 0 5, 0 0 1 5 joten ratkaisu on (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 5, 5) R 3 (ei muita ratkaisuja). 25 / 39
Määritelmä 4 Matriisia kutsutaan redusoiduksi porrasmatriisiksi, jos siinä on pelkät nollarivit ovat alimmaisina, jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 26 / 39
Ennakkotehtävä seuraavalle luentokerralle Tehtävä Ovatko seuraavat laajennetut kerroinmatriisit redusoituja porrasmatriiseja? 1 0 0 5 1 0 0 0 (a) 0 1 0 2 (b) 0 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 1 (c) 1 6 0 0 4 2 0 0 1 0 3 1 0 0 0 1 5 2 0 0 0 0 0 0 Mitkä ovat laajennettujen kerroinmatriisien esittämien yhtälöryhmien ratkaisut? 27 / 39
Ennakkotehtävän ratkaisu Kaikki kerroinmatriisit ovat redusoituja porrasmatriiseja, sillä jos niissä on nollarivejä, ne ovat alimmaisina, niissä jokaisen rivin ensimmäinen nollasta eroava luku on 1 ja sen ylä- ja alapuolella on pelkkiä nollia, niissä ylemmän rivin ensimmäinen 1 on alemman rivin ensimmäisen 1:sen vasemmalla puolella. 28 / 39
Ennakkotehtävän ratkaisu (a) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 = 5 x 2 = 2 x 3 = 4 eli tässä on yksikäsitteinen ratkaisu. (b) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 = 0 x 2 + 2x 3 = 0, 0 = 1 joten viimeinen yhtälö on epätosi ja näin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. 29 / 39
Ennakkotehtävän ratkaisu (c) Laajennettu kerroinmatriisi yhtälömuodossa on x 1 + 6x 2 + 4x 5 = 2 x 1 = 2 6x 2 4x 5 x 3 + 3x 5 = 1 x 3 = 1 3x 5 x 4 + 5x 5 = 2 x 4 = 2 5x 5 x 1 = 2 6s 4t x 2 = s R x 3 = 1 3t. x 4 = 2 5t x 5 = t R Tämä ratkaisu vektorimuodossa esitettynä on (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 2 6s 4t, s, 1 3t, 2 5t, t) = ( 2, 0, 1, 2, 0) + s( 1, 1, 0, 0, 0) + t( 1, 0, 1, 5, 1), missä s, t R. 30 / 39
Redusoidun porrasmatriisin ratkaisujen lukumäärä: (1) 1 0 0 d 1 0 1 0 0 d 2... 0 1 d n 0 0 0... 0 0 0 x 1 = d 1 x 2 = d 2. x n = d n. eli yksikäsitteinen ratkaisu. (2) Jokin riveistä on 0 0 c, missä c 0. Tällöin saadaan yhtälö 0 = c, mikä on ristiriita, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. (3) Kun tapaukset (1) ja (2) eivät esiinny, niin epätriviaaleja yhtälöitä on vähemmän kuin tuntemattomia ja yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. 31 / 39
Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä: 1. Kirjoita yhtälöryhmä laajennettuna kerroinmatriisina. 2. Muuta kerroinmatriisi rivioperaatioilla redusoiduksi porrasmatriisiksi. 3. Lue ratkaisu redusoidusta porrasmatriisista kirjoittamalla se takaisin yhtälöryhmäksi. 32 / 39
Esimerkki 7 Ratkaise Gaussin ja Jordanin eliminointimenetelmällä yhtälö x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = 3. 33 / 39
Ratkaisu Yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi on x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = 3 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 6 2 3 2 4 3 9 3. 34 / 39
Ratkaisu Nyt 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 6 2 3 2 4 3 9 3 A 13 ( 3) A 12 ( 2) M 2 ( 1 3 ) A 21 ( 1) A 23 (1) M 3 ( 1 6 ) 1 1 2 1 3 1 0 3 6 0 0 0 0 1 2 6 18 0 1 1 2 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 1 2 6 18 0 1 0 0 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 6 18 0 1 0 0 1 3 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 35 / 39
Ratkaisu A 31 ( 1) 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 Tämä laajennettu kerroinmatriisi vastaa yhtälöryhmää x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x 2 = 2s x 2 2x 3 = 0 x 2 = 2x 3 x 3 = s R. x 4 + 3x 5 = 0 x 4 = 3x 5 x 4 = 3t x 5 = t R Tämä ratkaisu vektorimuodossa esitettynä on (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (1, 2s, s, 3t, t) = (1, 0, 0, 0, 0) + s(0, 2, 1, 0, 0) + t(0, 0, 0 3, 1), missä s, t R.. 36 / 39
Esimerkki 8 Miten yhtälöryhmän x 1 + ax 3 = b + 1 2x 1 + x 2 + 4ax 3 = 4b + 2 3x 2 5ax 3 = 5b 1 ratkaisujen lukumäärä riippuu vakioista a ja b? 37 / 39
Ratkaisu Laajennettu kerroinmatriisi on 1 0 a b + 1 1 0 a b + 1 2 1 4a 4b + 2 A 12( 2) 0 1 2a 2b 0 3 5a 5b 1 0 3 5a 5b 1 1 0 a b + 1 1 0 0 2 A 23 (3) 0 1 2a 2b A 31( 1) 0 1 0 2 A 0 0 a b 1 32 ( 2) 0 0 a b 1 38 / 39
Ratkaisu Jos a 0, niin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 = b 1 a. Jos a = 0 ja b 1, niin yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Jos a = 0 ja b = 1, niin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua x 1 = 2 x 2 = 2 x 3 R. 39 / 39