187 13. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö. Se on yleisessä muodossaan yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja. Jos derivaatoissa on osittaisderivaattoja, kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jos vain tavallisia derivaattoja, tavallinen differentiaaliyhtälö. Tällä kurssilla käsittelemme vain jälkimmäisiä, ja niitäkin lyhyesti. Differentiaaliyhtälön kertaluku on siinä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku. Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen yhtälössä esiintyvät derivaatat esiintyvät siinä lineaarisesti eli asteluvulla 1. Jos silloin tuntemattoman funktion ja derivaattojen kertoimet ovat vakioita, kyseessä on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö. Tuntematon funktio ja sen derivaatat laitetaan pääsääntöisesti yhtälön vasemmalle puolelle. Jos silloin oikealle puolelle jää, kyseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen. Esim. 1 Tarkastellaan seuraavia differentiaaliyhtälöitä: a) y'''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = Näistä a ja c ovat lineaarisia, b on epälineaarinen. Yhtälön a kertaluku on 3, yhtälön b kertaluku on 4 ja c on toisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen yhtälö. Yhtälöt a ja b ovat epähomogeenisia. Differentiaaliyhtälön ratkaisuja ovat funktiot, jotka sijoitettuna yhtälöön toteuttavat sen jollakin avoimella välillä. Yleiseen ratkaisuun sisältyy kertaluvun ilmoittama määrä toisistaan riippumattomia vakioita eli parametreja. Parametrit tai osa niistä voidaan kiinnittää alkuehdoilla tai reunaehdoilla, jolloin kyseessä on alkuarvoprobleema tai reunaarvoprobleema.
188 Esim. Yhtälön y''( x) + y( x) = yleinen ratkaisu on yx ( ) = c1sinx+ ccosx, missä c1, c R ovat parametreja. Alkuarvoprobleeman y''( x) + y( x) =, y() =, y'() = ratkaisu (yksikäsitteinen) on yx ( ) = sin x. Reuna-arvoprobleeman y''( x) + y( x) =, y() =, y( π ) = ratkaisuja ovat kaikki funktiot yx ( ) = csin x, c R. Reuna-arvoprobleemalla y''( x) + y( x) =, y() =, y'( π ) = 1 taas ei ole ratkaisua lainkaan. Kuten esimerkistä näkyy, differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä tarvitse olla olemassa ratkaisua, ja jos sellaisia on, niiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä. Tähän kysymykseen palaamme myöhemmin differentiaaliyhtälösysteemien yhteydessä. Käymme seuraavassa läpi yksinkertaisimpia perustapauksia 1. ja. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä. Yleisempi teoria esitetään sitten myöhemmin. Totuttelemme kuitenkin yleiseen differentiaalisysteemien merkintätapaan jo nyt merkitsemällä tuntematonta funktiota useimmiten x:llä ja muuttujaa t:llä ("aika"). 1) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: x'( t) ax( t) = eli x'( t) = ax( t), joka voidaan esittää muodossa x'( t) = a. xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = at + d, missä d on integroimisvakio. Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon
189 at d at d x( t) = exp( at+ d) = e + = e e Koska jokainen luku c R on esitettävissä lausekkeena ±e d jollakin d, saadaan itseisarvomerkit poistettua ja yleinen ratkaisu on x t at () = e c missä c on mielivaltainen vakio. Alkuehdon x()=x toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x : x() t = e at x. ) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: x'( t) ax( t) = b( t) eli x'( t) = ax( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=ax(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on edellisen nojalla x h (t)=e at c. Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=ax(t)+b(t) yksityisratkaisu saadaan ns. vakion varioinnilla eli etsimällä ratkaisua muodossa x(t)=e at c(t). Silloin saadaan derivoimalla ja sijoittamalla epähomogeeniseen yhtälöön: josta sievenee yhtälö ae at c(t)+e at c'(t)=ae at c(t) + b(t) c'(t)=e -at b(t), eli eräs yksityisratkaisu on
19 x p (t)=e at e at b(t)dt. Silloin yleinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yksityisratkaisu: x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt Alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu on silloin t x(t)=e at a( t s) x + e b() s ds. Jos edellä vakio a vaihtuu funktioksi a(t), niin ratkaisujen johto menee lähes samalla tavalla, kun termi at korvataan integraalilla atdt () : 3) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: x'( t) a( t) x( t) = eli x'( t) = a( t) x( t). Yleinen ratkaisu on () xt () = e atdt c ja alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu t () xt () e atdt = x.
191 4) Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: x'( t) a( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = a( t) x( t) + b( t). Yleinen ratkaisu on atdt () atdt () atdt () x() t = e c+ e e b() t dt. π π Esim. 3 x '( t) + (tan t) x( t) = cos t, < t <. sin t Koska atdt ( ) = ( tan tdt ) = dt= ln(cos t) cost yleinen ratkaisu on, niin e a() t dt = cost, joten 1 x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t. cost Epälineaariset differentiaaliyhtälöt ovat yleensä ratkaistavissa korkeintaan numeerisesti. Mutta dimensiossa 1 eli 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöissä tietyt erityistapaukset ratkeavat periaatteessa helposti. Erikoistemppuihin perehtyminen ei nykyisin kuitenkaan enää ole tarpeellista (ohjelmistot Maple etc.), paitsi seuraavaa, joka on niin tavallinen, että esiintyy eri alojen oppikirjoissa "luonnonlakien" yms. johtamisissa: 5) Ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö: x'( t) = h( t) g( x( t)),
19 Tämä on siis muotoa, missä oikealla puolella muuttujat t ja x ovat "separoituneet". Silloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (vasemmalle separoituneet x, oikealle pelkästään t:stä riippuvat.) x'( t) / g( x( t)) = h( t), josta puolittain integroituna x '( t ) / g ( x ( t )) dt = h ( t ) dt. Tämä integrointi onnistuessaan antaa yhtälön yleisen ratkaisun. Edellä olemme jo käyttäneetkin tätä menettelyä ensimmäisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisujen johtamisessa. Esim. 4 x '( t) t x( t) = t (epälineaarinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t (1 + x( t) ) = t dt = t dt 1 + xt ( ) 1 + xt ( ) Sijoitetaan vasempaan integraaliin u = x( t), du = x'( t) dt, jolloin saadaan du 1 3 tdt arctan u 3 t c 1+ u = = +. Siis yleinen ratkaisu on x t = t + c. 1 3 () tan( 3 ) Esim. 5 x '( t) = x( t)(1- sin( t)) x'( t) x'( t) = 1 sin( t) dt = (1 sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x ja t separoitiin eri ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, merk. t cos( t) =, c on mielivaltainen vakio. c d =± e :
193 6) Toisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: y''( t) + ay'( t) + by( t) = Koska eksponenttifunktio on ainoa funktio, joka derivoitaessa antaa takaisin saman funktion vakiolla kerrottuna, voidaan ratkaisua hakea rt sijoittamalla yt ( ) = e. Jakamalla sijoituksen jälkeen nollasta rt poikkeavalla lausekkeella e saadaan, että yhtälö toteutuu, jos r on karakteristisen yhtälön r + ar+ b= juuri. Tilanne jakaantuu juurten ominaisuuksien mukaan kolmeen tapaukseen (ei todistetta tässä tarkemmin, koska seuraa myöhemmästä differentiaaliyhtälöryhmien teoriasta): Olkoot karakteristisen yhtälön r + ar+ b= juuret λ ja µ. Silloin yllä olevan differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on 1. yt () t t ce 1 ce µ. yt () λt λt ce 1 cte 3. αt 1 β = +, jos juuret ovat reaalisia ja λ µ = +, jos λ=µ yt () = ce sin( αt t) + ce cos( βt), jos λ=α+iβ, µ=α-iβ, β. Esim. 6 Hae differentiaaliyhtälön y''- y'- y = yleinen ratkaisu Karakteristinen yhtälö r r =, juuret ja -1. Siis tapaus 1. Yleinen t t ratkaisu yt () = ce + ce. 1 Esim. 7 Ratkaise alkuarvoprobleema y'' + y' + 5y =, y( π) = e π, y '( π) = 3e π Karakteristinen yhtälö r + r+ 5=, juuret kompleksiset: -1+i ja -1-i. Siis tapaus 3. Yleinen ratkaisu
194 t yt () = ce sint+ ce cost. t 1 π π π Alkuehdot: y( π ) = e ce = e c = 1; t t t t y'( t) = ce sin t+ ce cost e cost e sin t, 1 1 π π π π y'( π ) = 3e ce 1 e = 3e c1 =. Siis alkuarvoprobleeman ratkaisu on t t yt () = e sint+ e cost. Tapauksessa 3 ratkaisu on usein hyödyllistä esittää yhtenä sinilausekkeena (tai kosini-). Siihen päästään käyttämällä ns. harmonisia identiteettejä acosωt+ bsinωt= Asin( ωt+ φ) b a missä A = a + b ja cos φ =, sinφ =, sekä A A acosωt+ bsinωt= Acos( ωt δ), a b missä A = a + b ja cos δ =, sinδ =. A A Esim. 8 Edellisen esimerkin ratkaisufunktiolle saadaan muoto t t t yt ( ) = e (cos t+ sin t) = e 1+ 4 cos( t δ ) = 5e cos( t δ ), missä 1 π cos δ =, sinδ =, joten < δ < eli δ = arctan 1.17. 5 5
195 14. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskeva perustulos: Alkuarvotehtävän olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause Oletetaan, että funktio f: R n R R n on jatkuva pisteen (x, t ) ympäristössä U I ja että derivaattamatriisi f on olemassa ja jatkuva x siellä (derivointi muuttujan x suhteen). Silloin alkuarvotehtävällä x'(t) = f(x(t),t), x(t )=x on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollakin välillä J I, t J. Jos lisäksi matriisin f x olemassa koko välillä I. alkiot ovat rajoitettuja, niin tämä ratkaisu on Lineaariset systeemit. Seuraavassa tarkastellaan ns. autonomisten vakiokertoimisten homogeenisten differentiaalisysteemien ratkaisemista analyyttisesti (numeerisiin menetelmiin ei tässä nyt puututa). Systeemi on muotoa (1) x'(t) = Ax(t) ja haettavana on yleinen ratkaisu tai alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu. Matriisi A on kokoa n n oleva vakiomatriisi (siis ajasta t riippumaton) ja tilavektori x(t) R n. Koska nyt oikean puolen derivaatta on vakiomatriisi A, olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause on voimassa koko avaruudessa (U=R n, I=R).
196 Kun n=1 eli systeemi on yksiulotteinen x'( t) = ax( t), yleiseksi ratkaisuksi at saatiin luvussa 13 x( t) = e c ja alkuehdon x() = x toteuttavaksi ratkaisuksi x() t = e at x. Osoittautuu, että tämä muoto ratkaisuille pätee myös korkeammissa dimensioissa n. Silloin a:n tilalla on matriisi A ja e At on matriisin At (=ta) matriisiarvoinen funktio. Matriisieksponenttifunktio e A voidaan määritellä e x :n sarjakehitelmän avulla sijoittamalla luvun x paikalle neliömatriisi A (ks. sarjateorian osuus). Mutta tässä vaiheessa tyydymme yksinkertaisempaan tapaukseen ja oletamme A:n olevan reaalisen diagonalisoituvan matriisin. Diagonalisoituvalle matriisille A on olemassa ei-singulaarinen matriisi Q =[v 1,...,v n ] siten, että () A = QDQ -1, missä lävistäjämatriisin D=diag(λ 1,..., λ n ) lävistäjällä on A:n ominaisarvot. Aikaisemmin olemme osoittaneet, että tällöin A k = QD k Q -1. Edelleen tämä avulla voidaan osoittaa, että vastaava pätee jokaiselle polynomille p: p(a) = Qp(D)Q -1, missä p(d) = diag(p(λ 1 ),...,p(λ n )). Kuten sarjateoriassa todetaan, sarjat ovat polynomien (osasummien) raja-arvoja. On siis luontevaa määritellä diagonalisoituvan matriisin A eksponenttifunktio yhteydellä (3) e A = Qe D Q -1, missä e D = diag(exp(λ 1 ),...,exp(λ n )). Tämä määritelmä voidaan osoittaa sarjateorian avulla esitettävissä olevaan yleisempään määritelmään yhteensopivaksi.
197 Alkuarvotehtävän (4) x'(t) = Ax(t), x() = x ratkaisuksi saadaan nyt vektorifunktio (5) x(t) = e At x. Derivoimalla todetaan, että kyseessä on ratkaisu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q -1 )x = Q(d/dte Dt )Q -1 x = Q(De Dt )Q -1 x = QDQ -1 Qe Dt Q -1 x =Ae At x =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdon x()=x, on se olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan alkuarvotehtävän yksikäsitteinen ratkaisu. Lähdetään sitten toista kautta hakemaan yleistä ratkaisua. Todetaan ensin, että jos x 1,..., x k ovat lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) ratkaisuja, niin myös niiden jokainen lineaarikombinaatio x(t) = c 1 x 1 (t) +...+ c k x k (t) on sitä. (Operaattori L(x)=x'-Ax on lineaarinen.) Funktioita x 1,..., x k sanotaan välillä I lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtälö c 1 x 1 () t + cnxn() t = toteutuu välillä I vain, kun c = = c n =. 1 Jos funktiot x i ovat lineaarisen systeemin ratkaisuja, riippumattomuutta selvitettäessä ei kuitenkaan tarvitse tutkia jokaista t, vaan yksikin t 1
198 riittää. Jos nimittäin vektorit x 1 (t),..., x k (t) ovat riippuvia hetkellä t 1, niin silloin on joillakin kertoimilla c i voimassa yhtälö c 1 x 1 (t 1 ) +...+ c k x k (t 1 ) = (t 1 ) jolloin molemmilla puolilla esiintyy alkuarvotehtävän x'(t)=ax(t), x(t 1 )= ratkaisu. Ne ovat siis samat kaikilla t, joten funktiot x 1,..., x k ovat lineaarisesti riippuvia. Lineaarisen systeemin x'(t)=ax(t) yleinen ratkaisu muodostuu mistä hyvänsä n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta x 1,..., x n niiden lineaarikombinaationa: (6) x(t) = c 1 x 1 (t) +...+ c n x n (t). Tämä seuraa olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseesta ja siitä, että mielivaltainen alkutila x saadaan sopivilla kertoimilla c i yhtälöstä c 1 x 1 () +...+ c n x n () =x. (Vektorit x1 (),, x n () ovat lineaarisesti riippumattomia ja niitä on n kappaletta, joten ne muodostavat avaruuden R n kannan.) Kerroinyhtälö on matriisimuodossa [x 1 (),...,x n ()]c =x, missä c=[c 1,...,c n ] T. Kerroinmatriisi on ei-singulaarinen, koska sen sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis kerroinyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu c. Tästä saadaan sen lineaarikombinaation c 1 x 1 (t) +...+ c n x n (t) kertoimet, joka on alkutilan x määräämää ratkaisu differentiaaliyhtälösysteemille.
199 Matriisia X(t) = [x 1 (t),...,x n (t)] sanotaan differentiaaliyhtälösysteemin fundamentaalimatriisiksi. Sitä käyttäen yleinen ratkaisu(6) voidaan esittää muodossa (7) x(t) = X(t)c. Fundamentaalimatriisi ei ole yksikäsitteinen, sehän rakentuu valituista n:stä lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta. Usein kuitenkin asetetaan ehto X()=I. Silloin alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu on (8) x(t) = X(t)x. Näemme siis, että diagonalisoituvan matriisin tapauksessa yksikäsitteisyyslauseen nojalla e At on fundamentaalimatriisi: (9) X(t) = e At, X()=I. Yleinen ratkaisu (7) voidaan siis esittää myös muodossa (1) x(t) = e At c. Jos A on diagonalisoituva ja Q =[v 1,...,v n ] rakentuu sen lineaarisesti riippumattomista ominaisvektoreista (joita siis on täysi määrä n), niin alkuarvotehtävän ratkaisuksi saatiin x(t) = e At x = Qe Dt Q -1 x, joka voidaan kirjoittaa muotoon (11) x(t) = [exp(λ 1 t)v 1... exp(λ n t)v n ] T Q -1 x. Merkitsemällä c = Q -1 x = [c 1,...,c n ] T saadaan (1) x(t) = c 1 exp(λ 1 t)v 1 +...+ c n exp(λ n t)v n,
joka on yleisen ratkaisun (6) muotoa, jos kertoimet c i ovat mielivaltaisia ja x i (t) = exp(λ i t)v i. Jokainen tällainen x i (t) todella on ratkaisu: derivoidaan ja käytetään ominaisvektorin ominaisuutta Av i =λ i v i x'(t) = d/dt(exp(λ i t)v i ) = λ i exp(λ i t)v i =exp(λ i t)av i = A(exp(λ i t)v i ) =Ax(t). Siis yleinen ratkaisu (1) on "aukikirjoitettuna" lauseke (1). Alkuehdon x()=x toteuttava ratkaisu kaavasta (1) saadaan, jos c =Q -1 x eli yhtälön Qc=x ratkaisu. Esim. 1 x' = 1 1 4 1 x Matriisin A = 1 1 4 1 ominaisarvot ovat 3 ja -1, sekä vastaavat ominaisvektorit [1 ] T ja [1 -] T. Yleinen ratkaisu on silloin x(t) = ce 1 t 1 + ce 3t 1 (muotoa 1) = e e 3t e 3t t e t c (muotoa 7 ) 3t t ce 1 + ce = 3t ce 1 ce t (ratkaisu komponenteittain).
1 Edellä oletettiin, että matriisi A on diagonalisoituva. Tällainen on tilanne täsmälleen silloin, kun jokaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on sama kuin algebrallinen. Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: Olkoon A:n ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku, geometrinen kertaluku 1 ja vektori u λ:aa vastaava ominaisvektori. Silloin kaksi λ:aa vastaavaa lineaarisesti riippumatonta systeemin x' = Ax ratkaisua ovat (13) e λt u ja te λt u + e λt v. missä vektorit u ja v ratkaistaan yhtälöistä (14) (A-λI)u =, (A-λI)v = u. (Todistetaan sijoittamalla (13) yhtälöön x' = Ax. Ensimmäinen yhtälö ilmaisee sen, että u on A:n ominaisvektori.) Edelleen, jos λ:n algebrallinen kertaluku on 3 ja geometrinen kertaluku 1, niin lineaarisesti riippuvia ratkaisuja differentiaaliyhtälösysteemille ovat (15) e λt u, te λt u + e λt v ja ½t e λt u + te λt v + e λt w, missä u, v ja w ratkaistaan peräkkäin yhtälöistä (16) (A-λI)u =, (A-λI)v = u, (A-λI)w = v. Esim. Ratkaistaan differentiaaliyhtälösysteemi x'(t) = 5 4 1 x(t). 5 Ominaisarvot: 5 λ 4 1 λ = (5 λ)( λ(5 λ) 4) ( 4)(5 λ) = (5 λ)( λ 5 λ) = 5 λ λ = 5, λ = 1, 3
Ominaisvektorit ominaisarvolle 5: 4 1 5 1 1 5 1 1 x1+ x3 =, x =, vain yksi lineaarisesti riippumaton: esim. u =. 1 Toinen rakennettava kaavan (14) avulla (yleistetty ominaisvektori): 4 1 5 1 5/ ( A 5 I) v = u 1 5 1 ½ 1 ½ 1 5/ x1+ x3 = 5/, x = ½, v = ½ + s, valitaan esim. s = 1, jolloin 1 ½ v = ½. 1 4 Ominaisarvon ominaisvektoriksi saadaan vastaavasti w = 5. Siis yleinen ratkaisu on kaavan (13) mukaisesti: ½ 4 5t 5t 5t x () t = ce 1 + c( te + e ½) + c 3 5. 1 1 1 Yleisemmät tilanteet johtavat matriisien Jordanin kanonisen muodon käyttöön. (Ks. kurssi Differentiaaliyhtälöt.)
3 Seuraavaksi tarkastellaan (yksinkertaisen) kompleksisen ominaisarvon λ=α+iβ tapausta. Matriisi A oletetaan reaaliseksi ja differentiaaliyhtälösysteemille haetaan nimenomaan reaalisia ratkaisuja. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot esiintyvät liittolukupareina λ 1, =α±iβ. Silloin yleensä myös vastaavat ominaisvektorit ovat kompleksivektoreita, ja reaalimatriisin tapauksessa ne ovat toistensa liittovektoreita. Suoralla sijoituksella todetaan, että jos v on vastaava ominaisvektori, niin (17) e (α+iβ)t v on systeemin ratkaisu (kompleksinen), ja sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös. Ne ovat silloin kaksi ominaisarvoon λ 1 =α+iβ liittyvää reaalista ratkaisua. Koska ominaisarvoon λ =α-iβ liittyvät samat reaaliset ratkaisut, saadaan näitä kahta kompleksista ominaisarvoa vastaamaan lopulta kaksi reaalista ratkaisua (18) Re(e (α+iβ)t v) ja Im(e (α+iβ)t v). Jos merkitään v=a+ib, saadaan silloin yhtälöistä e (α+iβ)t v=e αt e iβ t v = e αt (cos(βt)+isin(βt))(a+ib) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b +i(cos(βt)b+sin(βt)a)) ratkaisujen muodoksi (19) x 1 (t) = e αt (cos(βt)a-sin(βt)b) ja x (t) = e αt (cos(βt)b+sin(βt)a)). 8 Esim. 3 Tarkastellaan alkuarvotehtävää x' = 1 x, x()= 1. Kerroinmatriisin ominaisarvot ovat ±i, ja vastaava ominaisvektori v= + i 1, josta reaaliosa a = 1 ja imaginaariosa b =. Systeemin yleinen ratkaisu on siis x(t)=c 1 (cost 1 -sint )+c (cost +sint 1 ). Alkuehdot toteutuvat, kun vakioilla on arvot c 1 =1, c =.
4 'Tarkastellaan vielä epähomogeenisen yhtälön alkuarvoprobleemaa: () x'(t) = Ax(t) + b(t), x()=x. Tässä A on edelleen vakiomatriisi ja funktio b jatkuva. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan yksikäsitteinen ratkaisu on olemassa. Todetaan ensin yleinen yhteys homogeenisen ja epähomogeenisen lineaaristen differentiaaliyhtälösysteemien välille: Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yhtälön jokin yksityisratkaisu. Eli jos x h on homogeenisen systeemin x'=ax yleinen ratkaisu ja x p epähomogeenisen systeemin x'=ax+b yksityisratkaisu, niin epähomogeenisen systeemin yleinen ratkaisu on x=x h +x p. Haetaan vinkki ratkaisun muodolle taas yksiulotteisesta tapauksesta: Yhtälön x'( t) = ax( t) + b( t) yleinen ratkaisu on x(t)=e at c + e at e -at b(t)dt ja alkuarvoprobleeman ratkaisu alkuehdolla x() = x t x(t)=e at a( t s) x + e b() s ds. Kokeillaan siis n-ulotteiselle systeemille alkuarvotehtävän ratkaisuksi (1) x(t)=e At x + t ea(t-s) b(s) ds, joka derivoimalla ja sijoittamalla todetaan ratkaisuksi. Se on siis olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen perusteella probleeman () yksikäsitteinen ratkaisu. Yleinen ratkaisu saadaan korvaamalla x yleisellä vakiovektorilla c.
5 Esim. 4 Ratkaistaan alkuarvoprobleema x'(t) = 3 1 4 x(t)+ 3 t t e, x()= 3. A:n ominaisarvot ovat -5 ja -, vastaavat ominaisvektorit v 1 1 1 = & = v 1. Silloin A:n diagonalisointi antaa eksponenttifunktion: e At 5t 1 5t 1 1 e 3 3 1 1 e 1 1 1 1 = t t 1 1 e 1 = 1. e 3 3 Siis alkuarvotehtävän ratkaisu on kaavan (1) mukaisesti t () = At A( t s) + ( ) x t e x e b s ds 5t 1 1 t 5( t s) 1 1 e 1 1 3 3 3 1 1 e 3 3 3s = + ds t 1 ( t s) 1 s 1 e 3 3 1 e 3 3 e t 5t 5s 1 4s e ( e s 5 3 e ) ds 5 t 1 1 3 e ( 4 t t ) 1 3 e t s 1 s e ( e s+ 3 e ) ds = + (matriisi yhteisenä tekijänä) 5 5t 1 1 1 t 37 5t 1 1 3 e 5 t ( 5 1 e + 3 e = 4 t 1 1 t 1 t ) 1 + 3e t + 3e + 6e 1 1 1 t 537 5t 1 1 5 t 5 ( 1 e + 3 e 1 1 t 9 t ) 1 t 3e 6e = + + 6 7 1 t 3 t 179 5t 5t 5 + 4e + e + 1e = 3 1 1 t 3 t 179 t. 5t 5 + e + e 5 e
6 15. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Keskitymme tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin, jotka ovat muotoa x '(t) = f(t, x(t)), x(t) R n. Tässä f on jatkuva funktio: R R n R. Vektorin x(t) voidaan sanoa esittävän systeemin tilaa ajanhetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrän n-ulotteisessa avaruudessa. Systeemin ratkaisu avoimella välillä I on tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio x, joka toteuttaa yllä mainitun yhtälön tämän välin jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Alkuarvotehtävässä x '(t) = f(t, x(t)), x(t )=c ratkaisun määrätään kulkevan ajanhetkellä t pisteen c kautta. Edellisessä luvussa olevan lauseen mukaan ratkaisu on tällöin yksikäsitteinen. Ensimmäisen kertaluvun derivaattaan keskittyminen edellä ei ole kovin yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Edellytyksenä tälle on, että esiintyvä korkein derivaatta voidaan ratkaista yhtälöstä. Esim. 1 Muutetaan seuraava differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi: y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaan x1( t) = y( t), x( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivaatoille saadaan
7 x '( t) = x ( t) 1 x '( t) = x ( t) 3 x '() t = 1/ x ()- t x () t + 3/ x () t. 3 1 3 Differentiaaliyhtälösysteemien tasapainotilat ja stabiilius. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(t, x(t)), x(t) R n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista. Esim. Systeemin tasapainopisteet ovat (, nπ). f(x) = [sin(x 1 +x ) exp(x 1 )-1] T Systeemi on tasapainopisteessä x stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman x' = f(x), x() = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > kohti on olemassa δ > siten,että
8 x * - x < δ x(t) - x < ε kaikilla t>. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja x(t) x, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus K saa olla mikä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:
9 Avaruuden R n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a), jolloin ainoa tasapainopiste on origo. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on <. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila. Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax + b = x = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) ) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.
1 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x ) + f '(x )(x-x ). Koska tasapainopisteessä x on f(x ) =, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x ja b = - f '(x )x. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat <, niin tasapainotila x on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.
11 Tason R lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle luokitella seuraavasti ominaisarvojen λ 1, λ avulla:
1