Monitahokkaat MHK-SciFest 2011: työpajan Koe Matematiikka! osaraportti Mitro Makkonen, Alpo Voutilainen ja Kaisa Ronkanen Joensuussa 8.5.2011 Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto Joensuun kampus Kurssin vastaava opettaja: Martti Pesonen Opettajat: Tiina Komulainen, Eric Lehman, Eric Reyssat Vertaisohjaaja: Kaisa Ronkanen Tiivistelmä Tämä on Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta kurssin työpisteraportti, jossa käsitellään sitä mitä kaikkea kurssi sisälsi. Tämä raportti käsittelee pääasiassa sitä miten SciFest tapahtuman työpisteen pitämiseen valmistauduttiin ja miten itse työpisteen pitäminen onnistui. Siis toisessa osiossa on selostus siitä kuinka työpisteen pitämiseen valmistauduttiin. Kolmannessa osiossa kuvaillaan työpisteen ohjelmaa SciFest 2011 tapahtumassa. Neljännessä osiossa kerrotaan onnistumisia ja kokemuksia. Viidennessä ja viimeisessä osiossa kuvaillaan ongelmia, joita ilmeni matkan varrella ja suosituksia jatkoa varten.
Monitahokkaat Matematiikan havainnollistaminen ja kerhotoiminta kurssiin liittyvän SciFest 2011 työpajan Koe Matematiikka! työpisteraportti. Tässä esityksessä työpajalla tarkoitetaan työpajakokonaisuutta Koe matematiikka! ja sen viiden eri työryhmän pitämiä osapajoja työpisteiksi. Kullakin työpisteellä voi olla useita osioita, jotka ovat itsenäisiä tai toisiinsa liittyviä pienimpiä toimintakokonaisuuksia. 1. Johdanto Työpisteen pitämiseen valmistauduttiin suunnittelemalla pajaohjelma (kts. liitteet-osio) sekä tekemällä työpisteen osioita varten oheismateriaalia ja rekvisiittaa. Tämän lisäksi osallistuttiiin lähiopetusjaksoille, jossa saatiin teoreettista pohjaa siihen mitä työpisteissä esiteltiin ja havainnollistettiin. Saatiin myös käytännön opastusta kerhotoiminnan järjestämiseen( Komulainen). Meidän työpisteen ohjelma koostui siis kolmesta osiosta, joissa havainnollistettiin Platonin kappaleita ja muita monitahokkaita ja sitä miten niitä rakennellaan. 2. Työpisteen pitämiseen valmistautuminen Työpisteen pitämiseen valmistauduttiin yhteisillä lähiopetusjaksoilla 4.-25.2. ja 8.-12.4.2011. Erityisesti kerhotoimintakoulutusviikonlopussa 11-13.02 (Tiina Komulainen) saatiin eväitä kerhotoiminnan järjestämiseen. Valmistauduttiin myös tekemällä ryhmätöitä, suunnittelemalla SciFestiin työpiste ja tekemällä siitä raportti. Sen lisäksi harjoiteltiin kerho- ja työpajatoimintaa lyhyiden työpisteiden (10-15 min) avulla pe 25.03.2011 yliopistolla Joensuun Educalla koululaisten Tämä toimii! tapahtumassa klo 9-14 välisenä aikana. Työpiste nimeltään Monitahokkaat siis pidettiin SciFest-tapahtumassa, joka oli 13-16.4 ja joka kuului Koe matematiikka! nimiseen työpajaan. Seuraavaksi arvioidaan tuntimääriä, jotka käytettiin välineiden valmistamiseen, ohjeistuksen tekoon jne. Niitä on vaikea arvioida, mutta arvioisin, että 4 h/vko, joten ehkä yhteensä 16 h välineiden valmistamiseen ja ohjeistuksen tekoon jne. Sen lisäksi ryhmäläiset valmistelivat pajaa omalla ajallaan. Sitten pohditaan miten tarvikkeet oli hankittu. Suurin osa tarvikkeista oli jo valmiina, mutta osa tarvikkeista kuten liimapuikot hankittiin esim. Tiimarista. Sermin seinillä oli monitahokkaita käsitteleviä julisteita. Näiden välineiden valmistamiseen tarvittiin myös työkaluja, joista ainakin tarvittiin liimapuikkoja ja saksia. Näiden ja muiden työkalujen avulla tehtiin välineet valmiiksi pisteen pitoa varten. Meillä oli jo siis valmiina joitakin kuten osion 1 kepit ja jekkulankaa. Sitten meillä oli myös tulostusta vaille valmiina osion 2 paperiset Platonin kappaleiden mallit. Myöskin meillä oli valmiina Polydron-palat osiota 3 varten. Mutta valmiiksi saatiin kysymys- vastauslaput, joiden avulla haastettiin lapset miettimään monitahokkaan tahkon, särmän ja muiden käsitteiden määritelmiä, itse tehty juliste Eulerin 2
lauseen todistuksen havainnollistamisesta verkkoteorian avulla, joka oli tarkoitettu enemmän aikuisille. Valmiiksi saatiin myös esimerkkimonitahokkaat tikuista ja herneistä rakennettuna ja malli isommasta monitahokkaasta ts. ikosaedrista, jonka sisään viritettiin naru kärkien välille ja havainnollistettiin sisään muodostuva monitahokas, duaalinen kappale; dodekaedri. Näistä valmiiksi saaduista välineistä oikeastaan kaikkia käytettiin työpisteillä. 3. Työpisteen ohjelma SciFestissä 2011 Työpiste koostui kolmesta osiosta. Ensimmäisessä osiossa kisailtiin siitä, kuka saa rakennettua nopeimmin tetraedrin. Toisessa osiossa rakennettiin säännöllisiä monitahokkaita ns. Platonin kappaleita paperisten mallien avulla leikkaa ja liimaa menetelmällä ja kolmannessa osiossa rakennettiin erilaisia monitahokkaita muovisten, toisiinsa kiinnittyvien palojen avulla. Työpisteessä suoritettiin osiot pajaan tulleen ryhmän kanssa aina tässä järjestyksessä 3.1. Osio 1: Rakentelukisa Materiaalit - pitkät puukepit - jekkulankaa Kuva 1 Kuvassa osallistujat kisailemassa Tetraedrin rakentamisessa. Ensin oli siis vuorossa pienimuotoinen kisa ja ryhmä jaettiin yleensä pienempiin ryhmiin s.e. pajaan osallistujat pääsivät ratkomaan pulmaa pienryhmissä. Tehtäväksianto kuului kutakuinkin seuraavasti; rakentakaa näistä kepeistä neljä kolmiota s.e. kepit saavat koskettaa toisiaan vain päistään. Sen jälkeen annettiin lupa aloittaa rakentelu jekkulankaa ja keppejä hyväksikäyttäen. Se pienryhmä, joka ensimmäisenä sai tehtävän valmiiksi, nousi joko seisomaan ja nosti kätensä tai 3
huusi: Hep!. Kutakuinkin kaikissa ryhmissä tehtävä saatiin suoritettua loppuun ja jos pähkinä tuntui liian vaikealta ja kului aikaa ilman, että kukaan olisi saanut neljä kolmiota saatettiin tehtävää helpottaa antamalla seuraava vihje; Rakennettu kappale saa olla kolmiulotteinen. Tämän jälkeen yleensä joku työpisteeseen osallistuvasta pienryhmästä sai ongelman ratkaistua pienellä viiveellä. 3.2.Osio 2: Säännöllisten monitahokkaiden rakentelu paperimallista Materiaalit - paperimallit - sakset ja liimaa - kysymys - vastauslaput Kuva 2 Kuvassa työpisteeseen osallistujat rakentamassa paperimalleista Platonin kappaleita Kuva 3 Kuvassa paperimalleja ja valmiita rakennettuja monitahokkaita Tämän jälkeen siirryttiin siis askartelemaan leikkaa ja liimaa menetelmällä paperisista malleista säännöllisiä monitahokkaita. Työpisteelle osallistujat olivat siis pöydissä ja ensin saksilla leikkasivat säännöllisen monitahokkaan irti paperista. Sen jälkeen osallistujat yleensä irroittivat kuvion ja ryhtyivät taittelemaan kappaletta kolmiulotteiseksi särmiä pitkin s.e. kappaleen tahkot alkoivat tulla esiin. Tämän jälkeen yleensä otettiin liimaa ja läpät liimattiin kiinni muuhun osaan kappaletta. Mukana oli myös värikyniä, joilla osallistujat saivat halutessaan värittää ensin kappaleen pinnan ennen kuin leikkasivat kuviota irti paperista. 4
Kuva 4 Kuvassa osallistujat värittämässä Platonin kappaleita 3.3.Osio 3: Monitahokkaiden rakentelu muovipaloista Materiaalit - Muoviset Polydron kappaleet Kuva 5 Kuvassa osallistujat rakentamassa monitahokkaita Polydron-paloista. Kuva 6 Kuvassa valmiiksi rakennettuja epäsäännöllisiä (jalkapallo) ja säännöllisiä (Ikosaedri) monitahokkaita. Lopuksi viimeisenä, mutta ei vähäisimpänä oli erilaisten monitahokkaiden rakentelu muovisista Polydron paloista. Palat kiinnittyivät toisiinsa, sillä muoviin oli tehty aukot joihin vastinkappaleen vastinosa voitiin 5
kiinnittää. Palaset olivat muodoltaan säännöllisiä kolmioita, suorakulmaisia kolmioita, tasakylkisiä kolmioita, neliöitä, säännöllisiä monikulmioita kuten viisikulmioita ja kuusikulmioita. Näistä sitten rakennettiin kolmiulotteisia monitahokkaita kiinnittämällä ne toisiinsa. Kuva 7 Kuvassa osallistujat rakentamassa monitahokkaita Polydron-paloista. 4. Kokemukset, onnistuminen Kokemukset olivat enimmäkseen positiivisia. Saatiin kaikki pisteeseen tulevat ryhmät näistä osioista kunnialla läpi. Tehtäväksiannot oli ilmeisesti niin selkeitä tai tehtävät niin helppoja, että ei paljon kysymyksiä tarvinnut esittää. Toki kysymyksiäkin tuli ja se piti pisteen ohjaajat valppaina auttamaan tarvittaessa. Koen, että työpisteen pitäminen onnistui hyvin. Kokemukset olivat myös positiivisia. Osion kaksi Platonin kappaleiden paperimalleista joutui hakemaan lisätulosteita tiuhaan tahtiin, koska ryhmäläiset rakentelivat ahkerasti niistä monitahokkaita. Osiossa kaksi oli vaarana se, että paperimallit loppuisivat kesken, mutta sen sijaan muissa osioissa rakennettavaa riitti eikä niistä puuttunut mitään vaan kaikille riitti aina rakenneltavaa. Osiossa yksi oli vaikeutena se, että kun kukin ryhmä oli saanut kokoon tetraedrin, niin silloin kappaleiden purkaminen eli jekkulankojen irroittaminen jäi usein jonkin vapaan ohjaajan vastuulle ja se oli hidasta näpertelyä varsinkin jos sitä joutui tekemään joka ryhmän kohdalla. 6
5. Ongelmat ja suositukset jatkoa varten Tapahtumapaikalla tilankäyttö muodostui pieneksi ongelmaksi. Suuret ryhmät eivät meinanneet mahtua pöytien ääreen ja ensimmäinen tehtävä jouduttiin suorittamaan monen ryhmän osalta käytävällä pajan ulkopuolella. Ensi kerralla pajalle pitäisi varata lisää tilaa. 20 hengen ryhmät olivat melkoinen haaste 2-3 ohjaajalle. Onneksi isoilla ryhmillä oli yleensä omat opettajat mukana. Mutta ehdottomasti on saatava seuraavalla kerralla pienemmät ryhmät. Pajan sisältö sopi parhaiten alakoululaisille, joka olisi pitänyt etukäteen mainostaa paremmin netissä ja lehdessä olleessa pajakuvauksessa. Yläkoululaisia pajan sisältö ei aina näyttänyt kiinnostavan. Monitahokkaat oli aiheena vaikea sovellusten keksimisen kannalta. Nyt pajan kaikki osat olivat sisällöllisesti hyvin lähellä toisiaan: aluksi monitahokkaan rakentaminen kepeistä, sitten monitahokkaan rakentaminen paperista, lopuksi monitahokkaan rakentaminen rakennuspalikoista. Seuraavalla kerralla voisi vakavasti harkita yhteistyön tekemistä jonkin kemian tai biologian pajan kanssa. Esimerkiksi virukset tai kemiallisten sidosten kuvat ovat monitahokkaan muotoisia. Parempia sovelluksia pitäisi keksiä. 7
6. Liitteet Monitahokkaat ryhmän pajasuunnitelma SciFest-tapahtumaan 2011. Pajan toiminnallinen osuus: 1. Yksinkertaisten monitahokkaiden rakentaminen pitkistä kepeistä. Annetaan ryhmälle kuusi pitkää keppia ja jekkulankaa ja käsketään rakentamaan näistä neljä kolmiota siten, että kepit saavat koskettaa toisiaan vain päistä. Pitäisi muodostua tetraedri. Jos aikaa riittää, ryhmät voivat rakentaa myös isompia monitahokkaita. 2. Säännöllisten monitahokkaiden ja muidenkin otusten rakentaminen muovisista rakennuspalikoista. 3. Platonin kappeleiden askartelu paperimalleista leikkaa ja liimaa-menetelmällä. 4. Haastetaan lapset miettimään monitahokkaan tahkon, särmän ja muiden käsitteiden määritelmiä kysymys- vastauslapuilla. Pajan rekvisiitta ja koristeet: 5. Itse tehty juliste Eulerin lauseen todistuksesta verkkoteorian avulla, joka on tarkoitettu enemmän aikuisille. 6. Esimerkkimonitahokkaat tikuista ja herneistä rakennettuna, jos onnistuu. 7. Tarinointi siitä miten antiikin Kreikassa Pythagoralaiset yhdistivät monitahokkaat elementteihin; tetraedri ja tuli, ikosaedri ja vesi, kuutio ja maa, oktaedri ja ilma, dodekaedri ja maailmankaikkeus. Tuttua asiaa matematiikan historian kurssilta. 8. Valmiiksi rakennettu malli isommasta monitahokkaasta joko ikosaedri tai dodekaedri, jonka sisään viritetään naru kärkien välille ja havainnollistetaan sisään muodostuva monitahokas, duaalinen kappale. Toisena liitteenä ovat pajassa käytetyt tulostetut ja laminoidut ohje- ja nimilaput. 8
Tetraedri Heksaedri eli kuutio Oktaedri Dodekaedri Ikosaedri
Rakenna jokin seuraavista Platonin kappaleista: - Tetraedri - Kuutio - Oktaedri - Dodekaedri - Ikosaedri - Mikä on tahko? Entä särmä ja kärki? - Mikä erottaa säännöllisen ja epäsäännöllisen monitahokkaan?
- Tahko on monikulmio joista monitahokas muodostuu. Särmät rajaavat monikulmiota, ja särmien päät ovat monitahokkaan kärkiä. - Säännöllisessä monitahokkaassa kaikki tahkot ovat keskenään samanmuotoisia ja kokoisia, eli säännöllisiä monikulmioita. Jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta särmää.