Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 1 of 30
Kurssin suoritus Luennot Luennot 2.3.2016-14.4.2016 (2 14h = 28h) Ke klo 12-14 salissa Cal4 ja to klo 12-14 salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30
Kurssin suoritus Luennot Luennot 2.3.2016-14.4.2016 (2 14h = 28h) Ke klo 12-14 salissa Cal4 ja to klo 12-14 salissa QA Luentokalvot kotisivuille luennon jälkeen Demonstraatiot Demonstraatiot 6-7 kertaa (12-14h) Demot 8.3.2016-12.4.2016 (tai 19.4.2016) Ti klo 10-12 ja 12-14; alustava Anna ilmoittautumislomakkeessa demotoiveesi paremmuusjärjestyksessä Tehtävät jaetaan demotilaisuuksissa ja kotisivuilla Ratkaisut vain demotilaisuuksissa (ei nettiin) Ei mentorointia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 2 of 30
Kurssin suoritus Tentti Tenttioikeuden saavuttaa ratkaisemalla 25% laskuharjoitusten tehtävistä (kaikki tehtävät yhtä arvokkaita) Ratkaisemalla 45% tehtävistä saa B-luokan (1p hyvitys tentissä) ja 70% antaa A-luokan (2p hyvitys tentissä) Tentissä 4 tehtävää, joista jokainen 8 pisteen arvoinen; siis tentin maksimipistemäärä on 32 pistettä. Tutustu kurssin kotisivuihin! M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 3 of 30
Kurssin sisältö Lineaarialgebra: lineaariset yhtälöryhmät, matriisit, determinantit sekä matriisin ominaisarvot ja -vektorit Vektoriavaruudet: R n, C n, etäisyys, normi, sisätulo Kolmiulotteinen avaruus: suorat, tasot, ristitulo Differentiaaliyhtälöt: sekalaisia menetelmiä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 4 of 30
Kertausta M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2..... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
Kertausta Määritelmä Muuttujien x 1, x 2,... x n yhtälöryhmä on lineaarinen, jos muuttujat esiintyvät siinä vain ensimmäisessä asteessa: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2..... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m Lineaarista yhtälöryhmää sanotaan homogeeniseksi, jos b 1 =... = b m = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 5 of 30
Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
Kertausta Lineaaristen yhtälöryhmien alkeisoperaatiot Kahden yhtälön järjestyksen vaihtaminen Yhtälön kertominen nollasta eroavalla vakiolla Yhtälön lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Lause Yhtälöryhmillä, jotka saadaan toisistaan alkeisperaatioilla on samat ratkaisut. Määritelmä Jos yhtälöryhmä S 2 saadaan yhtälöryhmästä S 1 alkeisoperaatioilla, sanotaan että S 1 on riviekvivalentti S 2 :n kanssa ja merkitään S 1 S 2. Huom.: on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 6 of 30
Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
Kertausta Esimerkki { 2x1 x 2 +x 3 = 7 ( 2) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 7x 2 7x 3 = 7 ( 1 7 ) x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { x1 +3x 2 +4x 3 = 0 ( 3) x 2 +x 3 = 1 { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 Ratkaisut: (x 1,x 2,x 3 ) = ( x 3 +3, x 3 1,x 3 ) = x 3 ( 1, 1,1)+(3, 1,0), missä x 3 R. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 7 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Huomautus Alkeisoperaatiot suoritetaan yhtälöryhmän kertoimilla, eikä muuttujien merkitseminen ole välttämätöntä: { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 { 2 x1 1 x 2 +1 x 3 = 7 1 x 1 +3 x 2 +4 x 3 = 0 ( ) 2 1 1 7 1 3 4 0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 8 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2..... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m kerroinmatriisi on a 11 a 21. a 12... a 1n a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 9 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarisen yhtälöryhmän a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2..... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m augmentoitu (eli laajennettu) matriisi on a 11 a 12... a 1n b 1 a 21 a 22... a 2n b 2....... a m1 a m2... a mn b m. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 10 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Matriisien alkeisoperaatiot Kahden rivin järjestyksen vaihtaminen Rivin kertominen nollasta eroavalla vakiolla Rivin lisääminen toiseen vakiolla kerrottuna Määritelmä Jos matriisi B saadaan matriisista A alkeisoperaatioilla, sanotaan että matriisi A on riviekvivalentti B:n kanssa ja merkitään A B. Huom.: A B on ekvivalenssirelaatio. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 11 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( 2 1 1 1 3 4 ), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki Yhtälöryhmän { 2x1 x 2 +x 3 = 7 x 1 +3x 2 +4x 3 = 0 kerroinmatriisi on ( 2 1 1 1 3 4 augmentoitu matriisi on ( 2 1 1 7 1 3 4 0 ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 12 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( 2 1 1 7 1 3 4 0 ) ( 2) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) 2 1 1 7 1 3 4 0 ( 0 7 7 7 1 3 4 0 ( 2) ) ( 1 7 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) 2 1 1 7 1 3 4 0 ( 0 7 7 7 1 3 4 0 ( ) 1 3 4 0 0 1 1 1 ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) 2 1 1 7 1 3 4 0 ( 0 7 7 7 1 3 4 0 ( ) 1 3 4 0 0 1 1 1 ( ) 1 0 1 3 0 1 1 1 ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki ( ) 2 1 1 7 1 3 4 0 ( 0 7 7 7 1 3 4 0 ( ) 1 3 4 0 0 1 1 1 ( ) 1 0 1 3 0 1 1 1 ( 2) ) ( 1 7 ) ( 3) Ja vastaava yhtälöryhmä on siis { x1 +x 3 = 3 x 2 +x 3 = 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 13 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Ratkaisustrategia Augmentoituun matriisiin mahdollisimman paljon nollia alkeisoperaatioilla Ratkaisut helppo lukea jos paljon nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 14 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 5x +y 2z = 3 on 2 1 3 4 3 2 1 6 5 1 2 3 augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on 2 1 3 4 1 0 0 5 4 3 2 1 6 13 0 1 0 4. 13 5 1 2 3 0 0 1 4 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki 2x y +3z = 4 Yhtälöryhmän 3x +2y +z = 6 augmentoitu matriisi 5x +y 2z = 3 on 2 1 3 4 1 0 0 5 4 3 2 1 6 13 0 1 0 4. 13 5 1 2 3 0 0 1 4 Viimeisintä matriisia vastaa yhtälöryhmä x = 5 4 y = 13 4 z = 13 4 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 15 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 x +2y +3z = 4 on 1 3 2 7 2 1 1 5 1 2 3 4 augmentoitu matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on 1 3 2 7 1 3 2 7 2 1 1 5 9 0 1 1 5. 1 2 3 4 0 0 0 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Esimerkki x +3y +2z = 7 Yhtälöryhmää 2x +y z = 5 augmentoitu matriisi x +2y +3z = 4 on 1 3 2 7 1 3 2 7 2 1 1 5 9 0 1 1 5. 1 2 3 4 0 0 0 2 Saatua matriisia vastaavan yhtälöryhmän kolmas yhtälö on muotoa 0 x +0 y +0 z = 2 eli 0 = 2. Täten kyseisellä yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 16 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Määritelmä Matriisi A on porrasmuodossa, jos sen jokainen rivi alkaa nollilla, joita on enemmän kuin millään ylemmällä rivillä. Ensimmäisen rivin ei tarvitse alkaa nollalla ja jostain rivistä alkaen rivit voivat koostua kokonaan nollista. Esimerkki Pisteet merkitsevät nollia. 2 4 0 3 2 1 5 2 2 0 0 1 2 3 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 17 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Matriisi A on redusoidussa porrasmuodossa, jos A on porrasmuodossa A:n jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on 1. A:n jokaisen rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion yläpuolella on vain nollia. Esimerkki 1 1 1 1 1 1 Pisteet merkitsevät nollia ja asteriskit mitä tahansa lukuja. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 18 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Gaussin-Jordanin menetelmä Luentomateriaalin s. 7 Määritelmä Matriisiin A aste (rank) r(a) on sen (redusoidun) porrasmatriisin porrasluku (nollarivistä eroavien rivien määrä), joka saadaan A:sta alkeismuunnoksilla. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 19 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä 1 0 2 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 1. x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen Esimerkki Matriisia vastaa yhtälöryhmä 1 0 2 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 1. x 1 +2x 3 = 4 x 2 x 3 = 3 x 4 = 1, josta (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = ( 2x 3 +4,x 3 3,x 3, 1) = ( 2x 3,x 3,x 3,0)+(4, 3,0, 1) = x 3 ( 2,1,1,0) +(4, 3,0, 1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 20 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen portaan aloittavat muuttujat esitetään muiden avulla, muut jäävät esitykseen. Esimerkki Ratkaisut: x 1 4x 4 6x 5 = 2 x 2 +3x 4 = 3 x 3 +x 4 +2x 5 = 7 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5 2, 3x 4 +3, x 4 2x 5 +7,x 4,x 5 ) = (4x 4 +6x 5, 3x 4, x 4 2x 5,x 4,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = (4x 4, 3x 4, x 4,x 4,0)+(6x 5,0, 2x 5,0,x 5 )+( 2,3,7,0,0) = x 4 (4, 3, 1,1,0) +x 5 (6,0, 2,0,1) +( 2,3,7,0,0), M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 21 of 30
Ratkaisujoukon esittäminen Lause Jos A on lineaarisen yhtälöryhmän m n-kerroinmatriisi (ei augmentoitu), jonka aste r(a) = r, voidaan jokainen portaan aloittava muuttuja (r kpl) esittää muiden muuttujien avulla (n r kpl). Ryhmä ratkaisut voidaan esittää siis muodossa x = a 1 c 1 +...+a n r c n r +c, missä c i,c R n ovat vakiovektoreita ja a i R. Vektoria c kutsutaan yksittäis- tai yksityisratkaisuksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 22 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Karteesinen potenssi: A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A}. Joukon A n alkioita kutsutaan vektoreiksi. Merkintä: a = (a 1,...,a n ). (Taululla a) Vaihtoehtoiset merkinnät: a, â, a, a Tässä kurssissa Yleensä A = R (reaalinen vektoriavaruus) tai A = C (kompleksinen vektoriavaruus). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 23 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä Olkoot a = (a 1,...,a n ) ja b = (b 1,...,b n ). Vektoreiden yhteenlasku määritellään a+b = (a 1 +b 1,...,a n +b n ). Skalaarikertolasku määritellään ca = (ca 1,...,ca n ). Nollavektori on 0 = (0,0,...,0) Vektorin a = (a 1,...,a n ) vastavektori määritellään a = ( a 1,..., a n ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 24 of 30
Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30
Vektoriavaruudet Lause Seuraavat ehdot toteutuvat R n :ssä ja C n :ssä: a+(b+c) = (a+b)+c a+b = b+a a+0 = a a+( a) = 0 c(a+b) = ca+cb (c +d)a = ca+da c(da) = (cd)a 1a = a (Vektoriavaruuksien aksioomat) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 25 of 30
Vektoriavaruudet Määritelmä V on vektoriavaruus summan + ja skalaarilla kertomisen suhteen, jos seuraavat aksioomat toteutuvat kaikilla X,Y,Z V ja a,b K: V1 X +(Y +Z) = (X +Y)+Z V2 X +Y = Y +X V3 X +0 = X, missä 0 on nolla-alkio V4 X +( X) = 0, missä X on vasta-alkio V5 a(x +Y) = ax +ay V6 (a+b)x = ax +bx V7 a(bx) = (ab)x V8 1X = X M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 26 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki C 0 [a,b] on välillä [a,b] määriteltyjen, jatkuvien reaalifunktioiden joukko. Huomaa, että (f,g C 0 [a,b]) f = g f(x) = g(x) x [a,b]. Määritellään yhteen- ja skalaarikertolasku: (f +g)(x) = f(x)+g(x) (af)(x) = a f(x) Nolla-alkiona f 0 (x) = 0 ja vasta-alkiona f(x). Aksioomat V1 V8 toteutuvat. Siis C 0 [a,b] on eo. operaatioiden suhteen vektoriavaruus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 27 of 30
Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
Vektoriavaruudet Huomautus f = (f 1,...,f n ) R n voidaan katsoa funktioksi f : {1,...,n} R, jolle f(i) = f i. Tällöin f(t), missä t [a,b] on tämän välitön yleistys. Huomautus Avaruuksilla R 1, R 2 ja R 3 on ilmeinen visuaalinen tulkinta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 28 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v 1 +...+c k v k c 1,...,c k K}. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki 9 Merkitään jolloin i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), (x,y,z) = (x,0,0)+(0,y,0) +(0,0,z) = xi+yj+zk. Lineaarikombinaatiot (K on joko R tai C): L(v 1,...,v k ) = {c 1 v 1 +...+c k v k c 1,...,c k K}. Vaihtoehtoinen merkintä: L(v 1,...,v k ) = v 1,...,v k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 29 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e 2 +...+x n e n. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e 2 +...+x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30
Vektoriavaruudet Esimerkki Edellisen perusteella R 3 = L(i,j,k). Esimerkki Merkitään e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,...,0),..., e n = (0,0,...,1). Tällöin (x 1,...,x n ) = x 1 e 1 +x 2 e 2 +...+x n e n. Näin ollen R n = L(e 1,...,e n ). Määritelmä Vektorit v 1,..., v k generoivat joukon U = L(v 1,...,v k ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 1 30 of 30