Algebran ja Geometrian laskukokoelma A. Potenssien laskusäännöt Sievennä 1. (r 3 ) 4 2. (2a 3 ) 3 3. x 3 x 5 4. k11 k 5 5. 2a2 a 7 5a 3 6. (-3x 2 y 3 ) 3 7. ( 1 4 ) 3 8. (2 a2 Lisätehtäviä b 3)3 9. (a 2 ) 4 10. x 2 y 5 x y 3 11. x 2 x 3 12. 3 u z3 (2u z) 2 13. 3b2 b 7 14. (-3a 2 b) 2 B. Murtoluvut 15. Supista murtoluvut a) 39 45 b) 105 12 16. Suorita seuraavat laskut murtoluvuilla 1 2 5 a) 1 b) : 6 3 5 3 17. Sievennä a) 2 5 b) 11 5 7 3 6 18. Sievennä 42 a) 51 b) 2 3 1 c) 3 4 2 3 5 12 C. Murtolausekkeet 19. Esitä tulomuodossa a) 4z 2 + 3z b) y 2-1 c) b 2-4 20. Supista a) ax+5x x b) a b b a c) a 1 a 2 1
21. Sievennä yhdistämällä yhdeksi murtolausekkeeksi a) 1 1 b) 1 2 + 1 a a+1 a b 22. Esitä yhtenä murtolausekkeena 2a x : 3x 5 Lisätehtäviä: 23. Sievennä a) x2 +2x 5x 24. Sievennä a) 1 1 x 1 x+1 b) x3 4x x+2 b) 2a b 3x 5a D. Juurten laskusääntöjä 25. Sievennä viemällä juurimerkin sisällä olevia neliötekijöitä juuren ulkopuolelle. a) 18 b) 28 26. Sievennä käyttäen sääntöjä x y = xy ja x a) 2 6 b) 3 12 c) 10 Lisätehtäviä 27. Sievennä a) 20 b) 27 c) 10 2 E. Polynomien peruslaskutoimitukset 28. Sievennä poistamalla sulut a) (3x - 5) (x-1) b) -5 (-3x + 2) 29. Sievennä suorittamalla kertolaskut a) (2x + 1) (3x 5) b) (2x + 1)(2x 2 x + 3) 5 y = x y 30. Sievennä poistamalla sulut a) (x 2-5x + 2) - (2x 2 + x 3) b) 3(2x + 5) ( 1 2x) 31. Määritä seuraavan polynomijakolaskun osamäärä ja jakojäännös: (x 3 2x 2 + 5x 7) : (x + 2)
E. 1. asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon x seuraavista yhtälöistä 32. a) -2x + 1 = 5 x + 2 b) 2(x + 3) = - 3x + 7 33. b) a x + 5 = b b) a x 2 = x 34. x 3 1 = 2x+1 2 Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä 35. p V = n R T T =?` 36. x = v0 t + ½ a t 2 a =? Lisätehtäviä 37. Ratkaise x a) 2 5 x = 1 + 2 x b) 3(x -2) = 5 ( x + 1) c) x+3 F. Toisen asteen yhtälöt ja epäyhtälöt Ratkaise tuntematon muuttuja seuraavista yhtälöistä 38. a) x 2 + 2x = 0 b) x 2 5 = 0 39. b) 2 x 2 + 1 = 0 b) 2x 2 + 3x 5 = 0 40. a) x 2 = 8 x b) 2x 2-5 = 0 41. a) 2x 2 3x + 1 = 0 b) -1.8 + 19.7 t 4.9 t 2 = 0 2 + 1 = 2x 3 + 1 2 G. Suoran yhtälö 42. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on 2 ja se leikkaa y-akselia kohdassa y = 3 43. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kulmakerroin on 2 ja suora kulkee pisteen (1,-2) kautta. 44. Muodosta sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden (-2,1) ja (3,2) kautta.
H. Lineaarinen malli y = a x + b 45. Mobiilipuhelun hinta muodostuu 14.00 Euron kuukausittaisesta perusmaksusta, sekä minuuttimaksusta, joka on 0.025 Euroa/min. Olkoon x kuukaudessa puhuttu minuuttimäärä. Määritä kuukausilaskun loppusumman y lauseke x:n avulla. 46. Erään omakotitaloasiakkaan kaukolämpölasku koostuu kuukausittaisesta perusmaksusta P, sekä energian kulutukseen perustuvasta maksusta, joka on 45 Euroa/MWh. Kyseinen asiakas kulutti eräässä kuussa 1.6 MWh energiaa, jolloin kuukausilaskun loppusumma oli 132 Euroa. Mikä oli perusmaksun P suuruus? 47. Electrolux pesukone maksaa 340 Euroa ja kuluttaa keskimäärin 60 ltr (0.060 m 3 ) vettä pesukertaa kohti. LG pesukone maksaa 410 Euroa ja kuluttaa 42 ltr pesukertaa kohti. Vesikuution kokonaishinta (sis. jätevesimaksun) on 5.50 Euroa/m 3. Kuinka monta kertaa pyykkiä pitäisi pestä, jotta LG tulisi kokonaiskustannuksiltaan edullisemmaksi vaihtoehdoksi? 48. Omakotitalon vesilaskun loppusumma koostuu perusmaksusta ja kulutukseen perustuvasta maksusta. Erään talon vesilasku laskutusjaksolta oli 185.50 Euroa, ja kulutus 28.2 kuutiometriä Naapurin lasku oli 204.30 Euroa ja kulutus vastaavasti 31.7 kuutiometriä. Määritä perusmaksu ja vesikuution hinta. I. Toisen asteen polynomimalli 49. Suorakaiteen muotoinen rantatontti (sivut x ja y) rajataan 500 m pituisella aidalla. Määritä tontin sivujen pituudet, kun tontin pinta-ala on suurin mahdollinen. 50. Piirrä paraabeli y = x 2 + 2x 3 määrittämällä kolme tärkeintä pistettä: nollakohdat ja paraabelin huippu. 51. Määritä paraabelin y = x 2 + 3x - 4 juuret ja huipun koordinaatit. Piirrä kuva paraabelista. 52. Saappaanheitossa saappaan korkeus maan pinnasta y riippuu ajasta seuraavasti: y = 2.1 + 15.5 t - 4.9 t 2 Laske a) saappaan lentoaika b) radan korkein kohta (=y:n maksimiarvo)
J. Verrannot ja verrannollisuus 53. Eräästä hallitsijasta tehtiin 2.5 m korkea näköispatsas. Hänen pituutensa oli luonnosssa 1.80 m, massa 85 kg ja tilavuus 85 litraa. Mikä oli patsaan tilavuus ja massa m, kun patsas oli veistetty graniitista jonka tiheys on 5 - kertainen ihmisen tiheyteen verrattuna? 54. Autokoulussa opetetaan, että auton jarrutusmatka on verrannollinen auton nopeuden neliöön. Oletetaan, että erään auton jarrutusmatka kuivalla kelillä nopeudesta 60 km/h on 35 m. Mikä on auton jarrutusmatka samoissa olosuhteissa a) nopeudesta 120 km/h? b) nopeudesta 90 km/h? 55. Erään rakennuksen pohjan pinta-ala on luonnossa 600 m 2. Rakennuksesta on tehty pienoismalli mittakaavassa 1:200. Mikä on pienoismallin pohjan pinta-ala? K. MUITA YHTÄLÖTYYPPEJÄ Juuriyhtälö ja murtoyhtälö 56. Ratkaise x yhtälöistä a) x 1 2 b) x 2 + 3 = x + 1 57. Ratkaise x yhtälöistä 1 a) 3 x 3x b) 2 2x 1 Potenssiyhtälö 58. Ratkaise x yhtälöistä a) 2x 4 = 11 b) x 5 + 32 = 0 c) x 10 + 2 = 0 Suureyhtälöiden ratkaiseminen Ratkaise kysytty suure seuraavista yhtälöistä 59. a) A = π r 2, r =? oletetaan, että r > 0 b) v = v0 + a t, v0 =?
60. a) pv = nrt, n =? b) s = v0 t+ ½ a t 2, v0 =? 61. a) T = 2π s g, g =? b. c 2 = a 2 + b 2, b =? 62. 2 2 a) b a f, f =? b) V = 1 π 6 d3, d =?
KOLMIOGEOMETRIAA L. Suorakulmainen kolmio 63. 64.
65. 66. 67.
68. 69. M. Yleinen kolmion ratkaiseminen 70.
71. 72. 73. 74.
75. 76. 77.
Tehtävien vastauksia 1. r 12 2. 8 a 9 3. x 8 4. k 6 5. 2 5 a6 6. -27x 6 y 9 7. 64 8. 8a 3 b 9 9. a 8 10. x y 2 11. x 5 12. 3z 13. 3 b 5 14. 9a 4 b 2 15.a) 13 35 18 a) 14 17 15b) 15 4 18 b) 5 12 20a) a+5 20b) -1 20c) 23a) x+2 5 23b) x(x-2) 24a) 16.a) 16 15 18c) 8 5 1 a+1 2 x 2 1 16b) 5 17.a) - 10 18 11 19a) z(4z+3) 19b) (y- 1)(y+1) 21a) 1 a(a+1) 24b) 6x 5b 21b) b 2a+ab ab 4u 17 b) 10 7 19c) (b-2)(b+2) 22) 10a 3x 2 25a) 3 2 25b) 2 7 26a) 2 3 26b) 6 26c) 5 27a) 2 5 27b) 3 3 27c) 2 28a) 2x 4 28b) 15x - 10 29a) 6x 2-7x-5 29b) 4x 3 +5x+3 30a) x 2-6x+5 30b) 8x +14 31) osamäärä x 2 4x + 13, jakojäännös 33 32a) - 1/7 32b) 1/5 33a) (b-5)/a 33b) 2/(a-1) 34) -9/4 p V 35) T = n R 36) 2(x v 0t) 37a) 1/7 37b) -11/2 37c) 12 38a) 0 tai -2 38b) 5 tai - 5 t 2 39a) ei ratk. 39b) 1 tai -5/2 40a) 0 tai 8 40b) - 5 tai 41a) ½ tai 1 41b) 0.094 tai 2 5 2 42) y = -2x+3 43) y = 2x-4 44) y = x 5 + 7 5 48) perus 34 kuutio 5.37 54) 140 m ja 79 m 58a) 4 11 4 tai 11 2 2 60b)v 0 = s 1 2 at2 t 64a)a=15.6 kulmat 60 o, 30 o 68c) 84608 m 2 d) 2.53 milj.m 3 49) mitat 125mx250m 50) -3 ja 1 huippu (-1,- 4) 45) y =14+ 0.025x 51) -4 ja 1 huippu (-3/2,- 25/4) 3.927 46) 60 Euroa 47) 707 kertaa 52) 3.29 s ymax=14.4 m 53) V = 227.7 ltr m = 1139 kg 55) 150 cm 2 56a) 3 56b) 1 57a) 1/3 57b) -2 58b) -2 58c) ei ratkaisua 59a) r = A π 61a) g= 4π2 s T 2 61b) b = c 2 a 2 62a) f = a 2 b 2 64b)b=2.89 c=5.77, β=60 o 69a)AB=3.055m BC = 4.00 m b) 37.0 m 2 74) 373 m 75) h = 43.0 m vaijerit: 52.3 m 47.3 m 65) 180 cm ja 163.92 cm 70) x = 12.9 α=26.6 o β=48.4 o 76) a=235.8 b=110.2 59b) v 0 = v - at 66) 1.73 m 67a) 28.6 b) 5.24 71) γ = 117.3 o α = 36.3 o, β = 26.4 o Ala 21.3 77) n.5200 m 2 p V 60a) n = R T 3 62b) d = 6V 63) 7.0 m π 72) β = 40.0 o x = 10.95 y = 7.06 68a) 143.5 m b) 216.9 m 73) 514 m
Opiskelijan nimi: Op.nro Merkitse rastilla laskemasi tehtävät: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15a) 15b) 16a) 16b) 17a) 17b) 18a) 18 b) 18c) 19a) 19b) 19c) 20a) 20b) 20c) 21a) 21b) 22) 23a) 23b) 24a) 24b) 25a) 25b) 26a) 26b) 26c) 27a) 27b) 27c) 28a) 28b) 29a) 29b) 30a) 30b) 31) 32a) 32b) 33a) 33b) 34) 35) 36) 37a) 37b) 37c) 38a) 38b) 39a) 39b) 40a) 40b) 41a) 41b) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56a) 56b) 57a) 57b) 58a) 58b) 58c) 59a) 59b) 60a) 60b 61a) 61b 62a) 62b) 63) 64a) 64b) 65) 66) 67a) b) 68a) b) 68c) 69a) 70) 71) 72) 73) d) b) 74) 75) 76) 77)