Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli ( )

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli ( )"

Transkriptio

1 Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli ( ) Johdanto Tarkastelemme sävelkorkeuksia (värähdystaajuuksia) yhden oktaavin alueella (esim. C1... C2). Jos alarajan (esim. perussävelen C1) korkeus on f, niin oktaavin määritelmän mukaan ylärajan (C2) korkeus on 2f. Tässä merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajaa luvuilla 1 ja 2. Kyseiselle oktaavialalle sijoittuvat sävelkorkeudet merkitsemme vastaavasti luvulla xf, missä 1 x 2. Musisointia varten oktaavialalle on asetettava sopivin välein joitakin jakopisteitä (eli nuotteja), joista muodostuu sävelasteikko. Tässä tarkastelemme aluksi kahta historiallisesti vakiintunutta kromaattista sävelasteikkoa: tasavireistä ja pythagoralaista. Lopuksi tutkimme tavallista diatonista asteikkoa. Tasavireinen asteikko Tasavireinen asteikko saadaan muodostamalla matemaattisesti kolmentoista luvun 1 = p!, p!, p!, p!, p!, p!, 6, p!, p!, p!, p!", p!!, p!" = 2 geometrinen jono, joka alkaa oktaavin alarajasta 1 ja päättyy ylärajaan 2. Asteikon seuraava jakopiste (sävelkorkeus) saadaan aina edellisestä kertoimella p, jota historiallisista syistä kutsutaan puolisävelaskeleeksi. Kertoimen p lukuarvo voidaan ratkaista yhtälöstä p!"!" = 2, josta p = 2 2!!" 1, Kun piano viritetään tasavireisesti (kuten tapana on), niin esim. oktaavialalla C1 = 262 Hz... C2 = 523 Hz olevien koskettimien säveltaajuudet ovat taulukon 1 mukaiset. = k p! p! 262 Tunnus k p! p! 262 Tunnus C1 7 1, G 1 1, Db 8 1, Ab 2 1, D 9 1, A 3 1, Eb 10 1, B 4 1, E 11 1, H 5 1, F C2 6 1, F# Taulukko 1. Tasavireisen asteikon jakopisteet (nuotit) oktaavialalla C1... C2 puolisävelaskeleen välein. Merkki tarkoittaa, että säveltä vastaa pianon musta kosketin. Pythagoralainen asteikko Tasavireinen asteikko on musiikin historiassa uusi tulokas. Paljon sitä vanhempia ovat kuuloaistimuksella havaittuun harmoniaan perustuvat asteikot, joista tunnetuimman arvellaan olevan itsensä Pythagoraan ( eaa) kehittelemä. Hän havaitsi, että sävelet, joiden korkeuksien suhde eli intervalli voidaan ilmaista pienillä kokonaisluvuilla, soivat harmonisesti 1

2 yhteen. Niinpä hän perustikin asteikkonsa priimin (1:1) ja oktaavin (2:1) jälkeen1 harmonisimpaan intervalliin, ns. puhtaaseen kvinttiin (3:2). Jos merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajan sävelkorkeuksia jälleen luvuilla 1 ja 2, niin pythagoralaisen puhtaan asteikon ensimmäinen jakopiste saadaan siirtymällä alarajalta 1 kvintin verran ylöspäin kertolaskulla = 3 2 = 1,5. Taulukosta 1 näemme, että tämä piste on hyvin lähellä tasavireisen asteikon G-pistettä 1, Pythagoralaisella asteikolla nimeämme siis pisteen 3/2 (puhtaaksi) säveleksi G. Toinen jakopiste saadaan siirtymällä edellisestä taas kvintin verran ylöspäin kertolaskulla G 3 2 = = 9 4 = 2,25. Mutta tämä piste menee oktaavialamme yli, joten palautamme sen oktaavia alemmaksi ( =) jakolaskulla 9 4 = = 9 8 = 1,125. Vertaamalla taulukkoon 1 nimeämme tämän pythagoralaisen puhtaan asteikon säveleksi D. Jatkamalla kvinttihyppyjä ylöspäin ja suorittamalla tarvittaessa palauttamisen alaspäin ( =) perusoktaavialallemme saamme puhtaat arvot sävelille A, E, H ja F#. 3. yläkvintti: D 3 2 = = = 1,6875 (A), 4. yläkvintti: A 3 2 = = = = 1,26563 (E), 5. yläkvintti: E 3 2 = = = 1,89844 (H), 6. yläkvintti: H 3 2 = = = = 1,42383 F#. Jatkaminen pidemmälle ylöspäin tuottaisi niin suuria lukuja, ettei harmonia enää voisi havaita. Siksi etsimmekin muiden taulukossa 1 esiintyvien sävelten vastineet tekemällä kvinttihyppyjä perussävelestä 1 alaspäin käyttämällä käänteistä kerrointa 2/3. Tarvittaessa siirrämme saadun pisteen ylöspäin = perusoktaavialallemme kertoimella alakvintti: C 2 3 = = 2 3 = 4 3 1,33333 (F), 2. alakvintti: F 2 3 = = 8 9 = ,77778 (B), 3. alakvintti: B 2 3 = = ,18519 (Eb), 4. alakvintti: Eb 2 3 = = = ,58025 (Ab), 5. alakvintti: Ab 2 3 = = ,0535 (Db), Näin olemme löytäneet puhtaisiin kvintti-intervalleihin perustuvat vastineet kaikille taulukossa 1 esitetyille tasavireisen asteikon jakopisteille. Huomaa, että mustalle koskettimelle osuvan sävelpisteen nimeksi on ylöspäin kiivettäessä valittu ylennysmerkillinen (F#) ja alaspäin kavutessa alennusmerkillinen (B=Hb, Eb, Ab, Db) vaihtoehto noudattaen ns. kvinttiympyrän vakiintunutta merkintätapaa. 1 Priimi- ja oktaavi- intervallit eivät tuota oktaavialalle muita jakopisteitä kuin ala- ja ylärajan. 2

3 Taulukossa 2 on vielä vertailu puhtaan pythagoralaisen ja tasavireisen asteikon vastaavista jakopisteistä. Taulukon näkökulman mukaan pythagoralaiset murtolukuarvot ovat oikeita ja tasavireiset niiden approksimaatioita, joiden prosentuaalinen virhe on viimeisessä sarakkeessa. Tunnus Puhdas Tasavireinen Ero % C Db 256/243 1, ,57 D 9/8 1, ,23 Eb 32/27 1, ,34 E 81/64 1, ,45 F 4/3 1, ,11 F# 729/512 1, ,68 G 3/2 1, ,11 Ab 128/81 1, ,45 A 27/16 1, ,34 B 16/9 1, ,23 H 243/128 1, ,56 C Taulukko 2. Puhtaan pythagoralaisen asteikon (jakopisteet murtolukuarvoja) ja tasavireisen asteikon (jakopisteet ala- ja ylärajaa lukuunottamatta irrationaalilukuja) vertailu. Tasavireiseen asteikkoon verrattuna pythagoralaisen asteikon etuna on kokonaislukusuhteisiin perustuvien intervallien puhtaampi harmonia. Haittana on, etteivät pythagoralaisen asteikon peräkkäisten nuottien väliset suhdeluvut (pythagoralaiset puoliaskeleet) ole keskenään samansuuruisia, sillä asteikolla esiintyy kahta erisuuruista puoliaskelta p! ja p!. Taulukon 2 mukaan ensimmäistä Pythagoraan puoliaskelta C Db vastaa suhdeluku p! = Db C = = ,0535. Vastaavasti toista Pythagoraan puoliaskelta Db D vastaa suhdeluku p! = D Db = = , Huomaamme, että p! p!. 3

4 Alla olevaan taulukkoon 3 on merkitty pythagoralaisen asteikon puoliaskeleet (niitä vastaavat suhdeluvut, ylemmän suhde alempaan). C1 Db D Eb E F F# G Ab A B H C2 p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! Taulukko 3. Ylärivillä oktaavivälillä C1-C2 olevat peräkkäiset nuotit ja alarivillä niiden väliset väliset puoliaskeleet p! ja p! pythagoralaisella asteikolla. Tasavireisellä asteikollahan kaikki peräkkäisten jakopisteiden väliset puoliaskeleet ovat!" samansuuruisia. Jokaisen puoliaskeleen suhdeluku p = 2 1, Musiikissa transponointi eli sävellajin muuttaminen tarkoittaa sitä, että melodia soitetaan alkuperäistä nuotinnusta korkeammalta tai matalammalta. Tasavireisellä asteikolla transponointi käy helposti: alkuperäiset nuotit (niiden sävelkorkeudet) vain kerrotaan transponointitekijällä eli luvulla p!, missä k on haluttua sävelkorkeuden muutoksen puoliaskelmäärää osoittava kokonaisluku. Jos sävelkorkeutta nostetaan, niin k > 0; jos lasketaan, niin k < 0. Jos esimerkiksi C-duuriin kirjoitettu sävelmä transponoidaan kaksi puoliaskelta korkeammalle eli D-duuriin, niin transponointitekijä on p! 1, Tällä tekijällä kertominen nostaa sävelen C säveleksi D (eli C D) ja kaikki muutkin nuotit siirtyvät kaksi puoliaskelta ylemmille pianon koskettimille (esim. F G ja F# Ab) ilman, että pianoa tarvitsee virittää uudelleen. Pythagoralaisella asteikolla vastaava transponointitekijä C:stä D:hen on taulukon 3 mukaan p! p! = = 9 8, jolloin nuotti F = 4/3 transponoituu nuotiksi F 9 8 F = = 3 2 = G aivan kuten tasavireiselläkin asteikolla. Sensijaan nuotti F# = 729/512 transponoituu nuotiksi F# 9 8 F# = = ,60181, joka ei nyt osukaan täsmälleen nuotin Ab = 128/81 1,58025 kohdalle. Jos siis pianon koskettimet olisi viritetty pythagoralaisen asteikon mukaisesti, niin sävellajin muutos 4

5 C D vaatisi pianon virittämistä uudelleen, mikäli intervallit halutaan säilyttää puhtaina. Diatoninen asteikko Diatoninen asteikko saadaan jättämällä kromaattisesta 12 askeleen asteikosta pois pianon mustia koskettimia vastaavat sävelet Db, Eb, F#, Ab, B. Asteikko koostuu siis pianon valkoisia koskettimia vastaavista sävelistä C, D, E, F, G, A, H, joille on annettu myös tavunimet do, re, mi, fa, sol, la, ti. Taulukossa 4 ovat diatonisen asteikon C1 - C2 sävelkorkeudet pythagoralaisella puhtaalla asteikolla ja tasavireisellä asteikolla Tunnus Puhdas as Tasavireinen asteikko Ero % C 1 p! = 1 0 D 9/8 1,12500 p! = 1, ,23 E 81/64 1,26563 p! = 1, ,45 F 4/3 1,33333 p! = 1, ,11 G 3/2 = 1,5 p! = 1, ,11 A 27/16 = 1,68750 p! = 1, ,34 H 243/128 = 1,89844 p!! = 1, ,56 C 2 p!" = 2 0 Taulukko 4. Pianon valkoisia koskettimia vastaava diatoninen sävelasteikko. Luvut ilmaisevat sävelen korkeuden suhteessa perussäveleen (tässä C). Diatonisessa asteikossa peräkkäisten sävelten väliset askeleet eroavat merkittävästi. Seitsemästä askeleesta viisi on kokoaskeleita (C D, D E, F G, G A ja A H) ja kaksi puoliaskeleita (E F ja H C).!" Tasavireisellä asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin p = 2 p!! = 2 1, ,05946 ja kokoaskelta kerroin Pythagoralaisella puhtaalla asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin 256/243 1,0535 ja kokoaskelta kerroin 9/8 1,125. * * * * * * * 5

Alkusanat. c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c

Alkusanat. c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c d e f g a h c Alkusanat Musiikin Perusteita Pianoa Soittaen Tämä kirja on tarkoitettu johdannoksi musiikin opiskeluun ja soveltuu Musiikkia Laulaen ja Kirjoittaen kirjasarjan rinnakkaismateriaaliksi opiskeltaessa musiikin

Lisätiedot

Huuliharppu. Jotta saat oikean huuliharpun etkä lelua, hanki se musiikkikaupasta, joko paikallisesta tai verkkokaupasta.

Huuliharppu. Jotta saat oikean huuliharpun etkä lelua, hanki se musiikkikaupasta, joko paikallisesta tai verkkokaupasta. Huuliharppu Tämän oppaan tarkoitus on antaa sinulle jonkinlainen käsitys diatonisen huuliharpunsoiton alkeista. Huuliharppu on halpa soitin, mutta ei kuitenkaan mikään lelu niin kuin usein luullaan. Sillä

Lisätiedot

Aija Lehtonen: Itä-Helsingin musiikkiopiston mupe-opettajien ensimmäiset kokemukset tietokoneavusteisesta musiikinperusteiden opettamisesta

Aija Lehtonen: Itä-Helsingin musiikkiopiston mupe-opettajien ensimmäiset kokemukset tietokoneavusteisesta musiikinperusteiden opettamisesta Tekniikka musiikkioppilaitoksen opetuksen apuvälineenä -seminaari Espoon kulttuurikeskuksessa Tapiolassa pe-la 12.-13.2.2010 Aija Lehtonen: Itä-Helsingin musiikkiopiston mupe-opettajien ensimmäiset kokemukset

Lisätiedot

4 LUKUJONOT JA SUMMAT

4 LUKUJONOT JA SUMMAT Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla

Lisätiedot

Matematiikka musiikin oppimisen ja ymmärtämisen välineenä

Matematiikka musiikin oppimisen ja ymmärtämisen välineenä Meri Kiema Matematiikka musiikin oppimisen ja ymmärtämisen välineenä Metropolia Ammattikorkeakoulu Musiikkipedagogi Musiikki Opinnäytetyö 13.5.2016 Tiivistelmä Tekijä Otsikko Sivumäärä Aika Meri Kiema

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Musiikin teorian perusteita Otto Romanowski 2002

Musiikin teorian perusteita Otto Romanowski 2002 Musiikin teorian perusteita Otto Romanowski 2002 Musiikinteoriaa, v. 22.2.2007 I. Musiikki = erikorkuisia ja -sointisia ääniä ryhmittäin A. Äänen korkeus -> säveltaso (juurisävelet: c, d, e, f, g, a, h)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x).

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Esipuhe. Huulari. Oikeudet

Esipuhe. Huulari. Oikeudet 1 Esipuhe Tämä nuottivihko liittyy tekemääni 4- ja 10 -reikäisien diatonisten huuliharppujen alkeisoppaaseen. Voit ladata oppaan osoitteesta: http://yellingrosa.com/huuliharppu.htm. Oppaassa on nopea katsaus

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MUPELI OPS. Suoritukset:

MUPELI OPS. Suoritukset: MUPELI OPS MUPELI ALKEET Esittäminen ja ilmaisu: Yhdessä ja yksin laulaminen, rytmisoittimilla soittaminen, liikkuminen ja kehorytmeihin tutustuminen. Toisten ja oman itsen kuunteleminen. Musiikin kuunteleminen

Lisätiedot

Reaktiosarjat

Reaktiosarjat Reaktiosarjat Usein haluttua tuotetta ei saada syntymään yhden kemiallisen reaktion lopputuotteena, vaan monen peräkkäisten reaktioiden kautta Tällöin edellisen reaktion lopputuote on seuraavan lähtöaine

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

ian musiikinteoria 1:n kurssimateriaalia ja sen sisällön on laatinut musiikinteorian lehtori Aarre

ian musiikinteoria 1:n kurssimateriaalia ja sen sisällön on laatinut musiikinteorian lehtori Aarre Tervetuloa opiskelemaan musiikkiakustiikkaa! Tämä sivusto sisältää tietoa musiikkiakustiikasta ja apuvälineitä erilaisten musiikkiakustisten perusilmiöiden havainnollistamiseen. Sivusto on alunperin tarkoitettu

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Amatöörikuoromusiikin puhtauden mittaaminen

Amatöörikuoromusiikin puhtauden mittaaminen Amatöörikuoromusiikin puhtauden mittaaminen Erkki Nurmi Tutkielma Syksy 2006 Musiikkikasvatuksen osasto Sibelius-Akatemia SIBELIUS-AKATEMIA Tutkielma Työn nimi Sivumäärä Amatöörikuoromusiikin puhtauden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

Vakka-Suomen musiikkiopisto

Vakka-Suomen musiikkiopisto Vakka-Suomen musiikkiopisto MUSIIKIN PERUSTEIDEN AINEOPETUSSUUNNITELMA Hyväksytty Vakka-Suomen musiikkiopiston johtokunnassa 15.9.2015. Voimassa 1.10.2015 alkaen. 1 INTRO Tämä aineopetussuunnitelma koskee

Lisätiedot

PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto

PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto AINEOPETUSSUUNNITELMA PIANON VAPAA SÄESTYS (pop/jazz-piano) PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto Tämä aineopetussuunnitelma koskee Pirkan opistossa annettavan musiikin taiteen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

UUDEN NUOTTIKUVAN PURKAMINEN

UUDEN NUOTTIKUVAN PURKAMINEN UUDEN NUOTTIKUVAN PURKAMINEN Muistilista 1) Yleiset havainnot - kokonaisuuden hahmottaminen, harjoitettava alue osana kokonaisuutta - kokoonpano, oma stemma - läpi silmäily: kertausmerkit, pomppamerkit,

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?

1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =? Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

- la - pe - li pa. kannattaa panostaa. Jokaisella ihmisellä on rytmitaju. Muuten. - la - pe - li. siksi pelkästään paperilla tai päässä harjoittelu

- la - pe - li pa. kannattaa panostaa. Jokaisella ihmisellä on rytmitaju. Muuten. - la - pe - li. siksi pelkästään paperilla tai päässä harjoittelu . Sauli Heikkilä, Roope Aarnio Veikkaan, että aika monella musiikin harrastajalla on tullut joskus mieleen, että minäpä otan nuoteista selvää. Ryhdyn opiskelemaan musiikin teoriaa! Eipä aikaakaan, kun

Lisätiedot

Kahdentoista sävelen kompromissi 28. Päivi Vesalainen Kevät 2012

Kahdentoista sävelen kompromissi 28. Päivi Vesalainen Kevät 2012 SIBELIUS-AKATEMIA Tiivistelmä Kirjallinen työ Työn nimi Sivumäärä Kahdentoista sävelen kompromissi 28 Tekijät) Lukukausi Päivi Vesalainen Kevät 2012 Koulutusohjelma Vanha musiikki Osasto Klassisen musiikin

Lisätiedot

ROCKWAY MUSIIKIN ALKEISOPAS MUSIIKIN ALKEISOPAS

ROCKWAY MUSIIKIN ALKEISOPAS MUSIIKIN ALKEISOPAS ROCKWAY MUSIIKIN ALKEISOPAS Musiikissa käytettävien äänten nimet: Musiikissa käytetään aakkosista tuttuja sävelien nimiä. A, B, C, D, E, F, G HUOM! Saatat monissa yhteyksissä törmätä ääneen nimeltä H.

Lisätiedot

LUKUTEORIA johdantoa

LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

II Technical patterns Tekniikan peruskuvioita

II Technical patterns Tekniikan peruskuvioita II Technical patterns Tekniikan peruskuvioita PATTERN 1, diatonic "step" method PERUSKUVIO 1, diatoninen etenemisjärjestys PATTERN 1, chromatic step method PERUSKUVIO 1, kromaattinen etenemisjärjestys

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa

Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa Liite 1. Laajennettu Eukleideen algoritmi suoraviivainen tapa - johdanto - matemaattinen induktiotodistus - matriisien kertolaskun käyttömahdollisuus - käsinlaskuesimerkkejä - kaikki välivaiheet esittävä

Lisätiedot

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1

= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Huilu 1. Harjoittelu. säännöllinen kotiharjoittelu rauhallisessa ympäristössä vanhempien kannustus ja tuki harjoittelupäiväkirjan täyttäminen

Huilu 1. Harjoittelu. säännöllinen kotiharjoittelu rauhallisessa ympäristössä vanhempien kannustus ja tuki harjoittelupäiväkirjan täyttäminen Huilu 1. Soittimeen tutustuminen huilun rakenne ja osien nimet osien kasaaminen ja purkaminen sekä puhdistaminen miten ääni syntyy luonteva ja ergonominen soittoasento äänen muodostaminen (ansatsi, tasainen

Lisätiedot

2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista

2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista 2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista Esimerkki Tutki kuinka muunnosten avulla voi selvittää haastavan yhtälön ratkaisun. Vaakamalli Matemaattinen esitys Muunnos x x 7x 8 x + 7x + 8 = x Lx 8 7x 2 V8 8 8

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

MATTI MURTO SOIVAT SOINNUT I ========== Johdatus harmoniaoppiin ja sointujen soittoon MODUS MUSIIKKI OY M091 4

MATTI MURTO SOIVAT SOINNUT I ========== Johdatus harmoniaoppiin ja sointujen soittoon MODUS MUSIIKKI OY M091 4 MTT MURTO SOT SONNUT Johdatus harmoniaoppiin ja sointujen soittoon MOUS MUSKK OY M09 ========== Tämän teoksen tekstin tai nuottigrafiikan jäljentäminen kopioimalla skannaamalla tai muilla tavoin on tekijänoikeuslain

Lisätiedot

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.

1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Improvisointi - ALOITA ALUSTA JOKAINEN MEISTÄ VOI TUNTEA OLONSA EPÄMUKAVAKSI ALOITTAESSAAN IMPROVISOIMISEN, JOSKUS PIDEMMÄN AIKAA.

Improvisointi - ALOITA ALUSTA JOKAINEN MEISTÄ VOI TUNTEA OLONSA EPÄMUKAVAKSI ALOITTAESSAAN IMPROVISOIMISEN, JOSKUS PIDEMMÄN AIKAA. Improvisointi - ALOITA ALUSTA JOKAINEN MEISTÄ VOI TUNTEA OLONSA EPÄMUKAVAKSI ALOITTAESSAAN IMPROVISOIMISEN, JOSKUS PIDEMMÄN AIKAA. Improvisointi - ALOITA ALUSTA IMPROVISOIMME AINA KUN PUHUMME. KUN IMPROVISOIMME

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5

Differentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5 Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)

Lisätiedot

2. Eukleideen algoritmi

2. Eukleideen algoritmi 2. Eukleideen algoritmi 2.1 Suurimman yhteisen tekijän tehokas laskutapa Tässä luvussa tarkastellaan annettujen lukujen suurimman yhteisen tekijän etsimistä tehokkaalla tavalla. Erinomaisen käyttökelpoinen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

musiikista. Pidä mielessä, että musiikin teoriasta syntyy musiikki, ei toisinpäin. Voit vapaasti kokeilla!

musiikista. Pidä mielessä, että musiikin teoriasta syntyy musiikki, ei toisinpäin. Voit vapaasti kokeilla! Bassokitara koulu Tässä aluksi kerron aloitteleville basisteille muutamia hyviä vinkkejä jotka auttavat oppimaan bassokitaran soittoa tai he voivat parantaa tapaa soittaa bassoa. Useimmat eivät ymmärrä,

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Opittavia asioita. Mikä on rumpalin ammattitauti? Rytmihäiriö.

Opittavia asioita. Mikä on rumpalin ammattitauti? Rytmihäiriö. 1. Rytinää! Opittavia asioita Tiedän, millainen on hyvä lauluasento Opin säätelemään ääneni voimakkuutta. Tiedän, mitä tarkoittavat π, P, F a ƒ. Opettelen beat-komppea kehorytmeinä. Tutustun lyömäsoittimiin

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Etusivu 1. Näkymä ja aktivointi 2. Tee partituuripohja 3. Tee nuotteja 4. Sanat, sointumerkit Pikkukappale. Pikkukappale

Etusivu 1. Näkymä ja aktivointi 2. Tee partituuripohja 3. Tee nuotteja 4. Sanat, sointumerkit Pikkukappale. Pikkukappale Etusivu 1. Näkymä ja aktivointi 2. Tee partituuripohja 3. Tee nuotteja 4. Sanat, sointumerkit... 5. Pikkukappale Pikkukappale Viimeinen oppitunti kertaa aiemmin opittuja asioita. Lisäksi harjoitellaan

Lisätiedot

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9)

(d) 29 4 (mod 7) (e) ( ) 49 (mod 10) (f) (mod 9) 1. Pätevätkö seuraavat kongruenssiyhtälöt? (a) 40 13 (mod 9) (b) 211 12 (mod 2) (c) 126 46 (mod 3) Ratkaisu. (a) Kyllä, sillä 40 = 4 9+4 ja 13 = 9+4. (b) Ei, sillä 211 on pariton ja 12 parillinen. (c)

Lisätiedot

Oppilas harjoittelee toimimaan musiikillisen ryhmän jäsenenä ja saa onnistumisen kokemuksia.

Oppilas harjoittelee toimimaan musiikillisen ryhmän jäsenenä ja saa onnistumisen kokemuksia. Kankaantaan koulun musiikkiluokkien 3.- 6. opetussuunnitelma 2016 Toiminta-ajatus Nokian musiikkiluokkien opetussuunnitelma pohjautuu opetussuunnitelman perusteiden tavoitteisiin ja sisältöihin sekä Tampereen

Lisätiedot

2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista

2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista 2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista Tunnin rakenne: - Esimerkki (min) - Tehtävä -, jokerit tarvittaessa (2 min) - Loppukoonti ja ryhmäarviointi ( min) Tunnin tavoitteet: - Analysoidaan ja pohditaan valmiiksi

Lisätiedot

1. Jakso/Perusteet/E -kieli

1. Jakso/Perusteet/E -kieli okitara Louhimo projekti Jakso 1/Perusteet/E -kieli 1 okitaran vapaat kielet 11 okitaran vapaat kielet; siirtyminen kieleltä toiselle 12 E -kielen: vapaa kieli ja neljä ensimmäistä nauhaa ääninä 13 E -kielen

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

AINEOPETUSSUUNNITELMA. PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto

AINEOPETUSSUUNNITELMA. PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto AINEOPETUSSUUNNITELMA MUSIIKIN PERUSTEET PIRKAN OPISTO Musiikin taiteen perusopetus / Pirkan musiikkiopisto Tämä aineopetussuunnitelma koskee Pirkan opistossa annettavan musiikin taiteen perusopetuksen

Lisätiedot