Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat
|
|
|
- Heli Oksanen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos
2 Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan automatisoida, ja 2. miten tämä tehdään tehokkaasti
3 Kuten tieteessä yleensä, tietojenkäsittelytieteessä eräänä keskeisenä tavoitteena on luokitella tarkasteltavaa aineistoa Aineisto: Laskennalliset ongelmat
4 Lajittelu Syöte: Taulukko a[1],a[2],...,a[n] kokonaislukuja Tehtävä: Lajittele taulukko kasvavaan järjestykseen Toistuvat alkiot (päätös) Syöte: Taulukko a[1],a[2],...,a[n] kokonaislukuja Tehtävä: Onko taulukossa toistuvia alkioita? (kyllä/ei)
5 Mediaani Syöte: Taulukko a[1],a[2],...,a[n] kokonaislukuja Tehtävä: Laske taulukon mediaani Maksimi Syöte: Taulukko a[1],a[2],...,a[n] kokonaislukuja Tehtävä: Määritä taulukon suurin arvo
6 Kuinka tehokkaasti osaamme ratkaista ongelman? - Esimerkiksi: algoritmin ajoaika syötteen koon (=n) funktiona Mitkä ovat ongelmien väliset suhteet? - Esimerkiksi: auttaako toisen ratkaisu toisessa?
7 Luennon sisältö Esimerkkejä laskennallisista ongelmista Laskennan vaativuus --- tehokas laskenta Ongelmaluokat P ja NP P=NP? Luokan NP rakenteesta: NP-täydelliset ongelmat
8 1. Esimerkkejä laskennallisista ongelmista
9 Verkko-ongelmat - pienin virittävä puu - kauppamatkustajan ongelma Boolen logiikka - piirin arvo - piirin toteutuvuus Kokonaisluvut - kertolasku - tekijöinti Matriisien yhtäsuuruus - rivijärjestystä vaille - rivi- ja sarakejärjestystä vaille
10 Verkko-ongelmat
11 Pienin virittävä puu Syöte: Kaaripainotettu täydellinen verkko Tehtävä: Määritä verkolle virittävä puu, joka on kokonaispainoltaan pienin
12 Esimerkki: Sähköverkon suunnittelu solmut = sähköistettävät kohteet kaaripaino = sähkölinjan rakennuskustannus
13 Kauppamatkustajan ongelma Syöte: Kaaripainotettu täydellinen verkko Tehtävä: Määritä verkolle virittävä kehä, joka on kokonaispainoltaan pienin
14 10639 populated locations in Finland
15 Boolen logiikka
16 Logiikkaportit: sisääntulo(t) ja ulostulo 0 0 AND OR 0 0 NOT AND OR 1 1 NOT AND OR AND OR 1 0 ~ epätosi 1 ~ tosi
17 Piirin arvo Syöte: Piiri ja arvot piirin sisääntuloille Tehtävä: Määritä arvot ulostuloissa 1 OR 1 AND? NOT AND?
18 Esimerkki: AES salausalgoritmi
19 Esimerkki: AES salausalgoritmi selväkielinen lohko (128 bittiä) AES salattu lohko (128 bittiä) avain (128, 192, tai 256 bittiä)
20 Piirin toteutuvuus (päätös) Syöte: Piiri ja arvot piirin ulostuloille (sekä mahdollisesti osalle sisääntuloista) Tehtävä: Voidaanko tuntemattomille sisääntuloille asettaa arvot siten, että piiri saa halutut arvot? (kyllä/ei)?? OR AND 1 NOT AND 1
21 Esimerkki: AES salausavaimen päättely AES selväkielinen sanoma AES salattu sanoma (tunnettu) AES (tunnettu) AES avain (tuntematon)
22 Arvataan avain bitti kerrallaan arvaus oikein jos piiri toteutuva AES selväkielinen sanoma AES salattu sanoma (tunnettu) AES (tunnettu) AES avaimen alkuosa & arvausbitti avaimen loppuosa (tuntematon) (tunnettu)
23 Kokonaisluvut
24 1234 Kokonaislukujen tulo Syöte: kokonaisluvut x ja y Tehtävä: määritä tulo xy Kokonaisluvun tekijöinti Syöte: kokonaisluku x Tehtävä: määritä luvun x alkulukutekijät =
25 D. Bonenberger & M. Krone ( ) RSA-170 = =
26 Vierailijan (ssh) RSA-modulus desimaalia (2048 bittiä)
27 solo1.nordea.fi RSA-modulus desimaalia (2048 bittiä)
28 Matriisien yhtäsuuruus
29 Sama matriisi? (rivijärjestystä vaille)
30 Sama matriisi? (rivi- ja sarakejärj. vaille)
31 Esimerkki: Onko kyseessä sama verkko?
32 Verkko-ongelmat - pienin virittävä puu - kauppamatkustajan ongelma Boolen logiikka - piirin arvo - piirin toteutuvuus Kokonaisluvut - kertolasku - tekijöinti Matriisien yhtäsuuruus - rivijärjestystä vaille - rivi- ja sarakejärjestystä vaille
33 A B C
34
35
36 Luennon sisältö Esimerkkejä laskennallisista ongelmista Laskennan vaativuus --- tehokas laskenta Ongelmaluokat P ja NP P=NP? Luokan NP rakenteesta: NP-täydelliset ongelmat
37 2. Tehokas laskenta Kuinka tehokkaasti osaamme ratkaista ongelman? Tehokkuusmitta: Algoritmin pahimman tapauksen ajoaika syötteen koon (=n) funktiona
38 Esimerkkejä kokomitoista syötteelle: Verkko-ongelmat - pienin virittävä puu solmujen lkm - kauppamatkustajan ongelma Boolen logiikka - piirin arvo porttien lkm - piirin toteutuvuus Kokonaisluvut - kertolasku - tekijöinti Matriisien yhtäsuuruus - rivijärjestystä vaille - rivi- ja sarakejärjestystä vaille lukujen pituus bitteinä rivien ja sarakkeiden lkm
39 Tehokas ratkeavuus Laskennallinen ongelma on tehokkaasti ratkeava jos sille löytyy algoritmi, jonka pahimman tapauksen ajoaika kasvaa enintään polynomisesti syötteen koon n suhteen
40 Polynominen kasvu Syötteen koko kaksinkertaistuu => ajoaika kasvaa vakiokertoimella n n 2 n
41 Ylipolynominen kasvu n n log 2 n 2 n n!
42 Havainto (1/3) Tehokas ratkeavuus on teoreettinen yläraja sille mitä voidaan käytännössä ratkaista syötteen koon kasvaessa
43 Havainto (2/3) Ongelman tehokas ratkeavuus pysyy ennallaan vaikka syötteen koon määritelmää (polynomisesti) muutettaisiin Esimerkkejä: 1. matriisin rivien ja sarakkeiden määrä vs. matriisin alkioiden määrä 2. verkon solmujen määrä vs. verkon solmujen ja kaarien määrä 3. kokonaisluvun pituus 10-järjestelmässä vs. binäärijärjestelmässä
44 Havainto (3/3) Tehokas ratkeavuus pysyy ennallaan vaikka laskennan mallia (jonka suhteen algoritmin ajoaikaa teoreettisesti mitataan) hieman muutettaisiin Esimerkki: Java-virtuaalikonetta voidaan simuloida Turingin koneella ja päinvastoin Yhden laskenta-askeleen simulointi vaatii simuloijalta syötteen kokoon nähden polynomisen määrän askelia
45 3. Ongelmien luokittelusta Pienin virittävä puu Piirin arvo Kertolasku Matriisien yhtäsuuruus (rivijärj. vaille) Matriisien yhtäsuuruus (rivi- ja sarakejärj. vaille) Kauppamatkustajan ongelma Piirin toteutuvuus Tekijöinti
46 Ongelmien luokittelusta Laskennallisia ongelmia voidaan luokitella monin eri kriteerein Ehkäpä keskeisin kriteeri on tehokas ratkeavuus Tavoitteenamme on jakaa laskennalliset ongelmat kolmeen luokkaan 1. tehokkaasti ratkeaviin, 2. ei-tehokkaasti ratkeaviin, ja (3. ratkeamattomiin)
47 Verkko-ongelmat - pienin virittävä puu Tehokas ratkaisualgoritmi tunnetaan - kauppamatkustajan ongelma Boolen logiikka - piirin arvo - piirin toteutuvuus Kokonaisluvut - kertolasku - tekijöinti Matriisien yhtäsuuruus - rivijärjestystä vaille - rivi- ja sarakejärjestystä vaille Tehokasta algoritmia ei tunneta, eikä sellaisen olemassaoloa ole pystytty poissulkemaan
48 Ongelmaluokat P ja NP
49 Tarkastelemme jatkossa vain päätösongelmia (tehtävän ratkaisu: kyllä / ei) Esimerkki: Kauppamatkustajan ongelma (päätös) Syöte: a) Kaaripainotettu täydellinen verkko b) Painoraja Tehtävä: Onko verkolla virittävää kehää, jonka kokonaispaino on enintään annettu painoraja? (kyllä / ei) 4 5 6
50 Luokka P Luokka P koostuu tehokkaasti ratkeavista päätösongelmista Esimerkkejä: - Pienin virittävä puu (päätös) - Piirin arvo on tosi? - Alkuluku? - Matriisien yhtäsuuruus rivijärjestystystä vaille
51 Monille päätösongelmille ei tunneta tehokasta ratkaisualgoritmia, toisaalta sellaisen olemassaoloa ei ole pystytty poissulkemaan Esimerkkejä: - Kauppamatkustajan ongelma (päätös) - Piirin toteutuvuus - Matriisien yhtäsuuruus rivi- ja sarakejärjestystä vaille
52 Onko seuraavilla päätösongelmilla yhteisiä piirteitä? - Kauppamatkustajan ongelma (päätös) - Piirin toteutuvuus - Matriisien yhtäsuuruus rivi- ja sarakejärjestystä vaille = varmenne Eräs yhteinen piirre: Jos meille paljastetaan sopivaa lisätietoa annetusta kyllä -syötteestä, voimme helposti varmistua kyseessä olevan kyllä -syöte
53 Piirin toteutuvuus (päätös) Syöte: Piiri ja arvot piirin ulostuloille (sekä mahdollisesti osalle sisääntuloista) Tehtävä: Voidaanko tuntemattomille sisääntuloille asettaa arvot siten, että piiri saa halutut arvot? (kyllä/ei) Varmenne = arvot tuntemattomille?0? OR 0 AND 10 NOT sisääntuloille s.e. piiri saa AND 0 1 halutut arvot
54 Kauppamatkustajan ongelma (päätös) Syöte: a) Kaaripainotettu täydellinen verkko b) Painoraja Tehtävä: Onko verkolla virittävää kehää, jonka kokonaispaino on enintään annettu painoraja? (kyllä / ei) Varmenne = painorajan toteuttava virittävä kehä 5 5
55 Matriisien yhtäsuuruus rivi- ja sarakejärjestystä vaille (päätös) Varmenne = rivi- ja sarakepermutaatio, joka muuntaa ensimmäisen matriisin toiseksi
56 Päätösongelma on tehokkaasti tarkistettavissa jos on olemassa algoritmi, joka ottaa syötteekseen 1) päätösongelman syötteen; ja 2) ehdokkaan tämän varmenteeksi Algoritmilta vaaditaan, että a) päätösongelman kyllä -syötteen tapauksessa on olemassa ainakin yksi varmenne, joka tuottaa algoritmilta päätöksen kyllä ; b) päätösongelman ei -syötteen tapauksessa kaikki varmenne-ehdokkaat tuottavat algoritmilta päätöksen ei ; c) algoritmin ajoaika on enintään polynominen päätösongelman syötteen koon suhteen
57 Ratkeavuus vs. tarkistettavuus Jokainen tehokkaasti ratkeava päätösongelma on tehokkaasti tarkistettavissa - Perustelu: Tarkistusalgoritmiksi voidaan ottaa päätösongelman ratkaisualgoritmi Ei tiedetä onko jokainen tehokkaasti tarkistettavissa oleva päätösongelma tehokkaasti ratkeava
58 Luokka NP Luokka NP koostuu tehokkaasti tarkistettavissa olevista päätösongelmista Esimerkkejä: - Kauppamatkustajan ongelma (päätös) - Piirin toteutuvuus - Matriisien yhtäsuuruus rivi- ja sarakejärjestystä vaille Luokka P sisältyy luokkaan NP
59 ? P = NP Onko ratkaisun löytäminen aidosti työläämpää kuin sen tarkistaminen?
60
61
62
63 Luennon sisältö Esimerkkejä laskennallisista ongelmista Laskennan vaativuus --- tehokas laskenta Ongelmaluokat P ja NP P=NP? Luokan NP rakenteesta: NP-täydelliset ongelmat
64 Ongelmien suhteellisesta työläydestä Onko päätösongelma A enintään yhtä työläs kuin päätösongelma B? Esimerkki: A = Matriisien yhtäsuuruus (rivi- ja sar. järj. vaille) B = Piirin toteutuvuus Huom: Molemmat luokassa NP Kumpaankaan ei tunneta tehokasta algoritmia
65 Matriisien yhtäsuuruus (rivi- ja sar. järj. vaille) Piirin toteutuvuus?? OR AND 1 NOT AND 1
66 Palautuksen käsite Olkoon P algoritmi, joka ottaa syötteekseen päätösongelman A syötteen x, ja muodostaa tästä päätösongelman B syötteen P(x) Sanomme, että P on palautus päätösongelmasta A päätösongelmaan B jos pätee, että x on kyllä -syöte jos ja vain jos P(x) on kyllä -syöte Palautus P on tehokas jos sen ajoaika on enintään polynominen syötteen koon suhteen
67 Oletetaan että päätösongelmasta A on olemassa tehokas palautus päätösongelmaan B Tällöin jos B on tehokkaasti ratkeava, niin on myös A Perustelu: Muunnetaan annettu A:n syöte x B:n syötteeksi P(x) tehokkaalla palautuksella, ja ratkaistaan P(x) käyttäen B:n tehokasta ratkaisualgoritmia Tehokas palautus A ==> B ~ A on enintään niin työläs kuin B
68 Tehokas palautus Matriisien yhtäsuuruus ==> Piirin toteutuvuus Tehokas algoritmi P, x: joka muuttaa kaksi annettua matriisia piiriksi ja arvoiksi...?? OR AND 1 P(x): NOT AND 1
69 1) Piiri, joka tarkistaa yhtäsuuruuden a b AND NOT OR a=b? AND NOT
70 2) Piiri, joka ohjatusti vaihtaa kaksi syötettä keskenään AND a NOT AND OR a / b b AND OR b / a NOT AND s
71 3) Piiri, joka on toteutuva jos ja vain jos matriisit ovat yhtäsuuria rivien ja sarakkeiden järjestystä vaille Rivien ohj. vaihto Sarakk. ohj. vaihto Yhtäsuuruus pareittain pareittain??????????????
72 Tehokas x: palautus P(x): Rivien ohj. vaihto pareittain Sarakk. ohj. vaihto pareittain Yhtäsuuruus ??????????????
73 NP-täydelliset ongelmat Päätösongelma B on NP-täydellinen jos 1) ongelma B on itse luokassa NP; ja 2) jokaisesta luokan NP päätösongelmasta A on olemassa tehokas palautus ongelmaan B
74 NP-täydelliset ongelmat ovat luokan NP työläimpiä ongelmia Erityisesti, jos jokin NP-täydellinen ongelma on tehokkaasti ratkeava, kaikki luokan NP ongelmat ovat tehokkaasti ratkeavia Perustelu: - Olkoon B NP-täydellinen ongelma, jolle on olemassa tehokas ratkaisualgoritmi - Olkoon A jokin päätösongelma luokassa NP - Koska B on NP-täydellinen, on olemassa tehokas palautus A ==> B - Voimme tehokkaasti ratkaista A:n palauttamalla ongelmaan B, ja käyttämällä B:n ratkaisualgoritmia
75 NP-täydelliset ongelmat NP-täydellisiä ongelmia on olemassa! Lause (Cook 1971, Levin 1973) Piirin toteutuvuus on NP-täydellinen Luokan NP päätösongelma A voidaan edellisen perusteella osoittaa NP-täydelliseksi esittämällä vain tehokas palautus B ==> A, missä B on NP-täydellinen
76 Kauppamatkustajan ongelma (päätös) Syöte: a) Kaaripainotettu täydellinen verkko b) Painoraja Tehtävä: Onko verkolla virittävää kehää, jonka kokonaispaino on enintään annettu painoraja? (kyllä / ei) NP-täydellinen
77 Riippumaton joukko (päätös) Syöte: a) Verkko b) Kokonaisluku k Tehtävä: Löytyykö verkosta k solmun joukko, joiden välillä ei ole kaaria? (kyllä / ei) NP-täydellinen
78 Solmupeite (päätös) Syöte: a) Verkko b) Kokonaisluku k Tehtävä: Löytyykö verkosta k solmun joukko siten, että jokaisen kaaren ainakin toinen päätepiste on joukossa? NP-täydellinen
79 Verkon solmuväritys (päätös) Syöte: a) Verkko b) Kokonaisluku k Tehtävä: Voidaanko verkon solmut värittää k värillä siten, että jokaisen kaaren päätepisteillä on eri väri? NP-täydellinen
80 Verkon kaariväritys (päätös) Syöte: a) Verkko b) Kokonaisluku k Tehtävä: Voidaanko verkon kaaret värittää k värillä siten, että jokaiseen solmuun liittyvillä kaarilla on eri värit? NP-täydellinen
81 Ja niin edelleen NP-täydellisiä ongelmia tunnetaan varovaisesti arvioiden ainakin joitakin tuhansia... Valitettavan moni käytännön kannalta hyvinkin keskeinen laskennallinen ongelma on NPtäydellinen Mikä harmillisinta, emme osaa sanoa ovatko nämä ongelmat tehokkaasti ratkeavia vai eivät! Toisaalta, jos jokin NP-täydellinen ongelma olisi tehokkaasti ratkeava, kaikki luokan NP ongelmat olisivat tehokkaasti ratkeavia...
82 Luokan NP rakenteesta Verkkoisomorfia (~matriisien yhtäsuuruus rivien ja sarakkeiden järj. vaille) on eräitä harvoja luonnollisia esimerkkejä luokan NP ongelmasta a) jolle ei tunneta tehokasta algoritmia; ja b) jota ei ole osoitettu NP-täydelliseksi Jos P NP, voidaan osoittaa, että luokassa NP on (ainakin keinotekoisia) ongelmia, jotka eivät ole NP-täydellisiä eivätkä luokassa P
83 Verkko-ongelmat - pienin virittävä puu Tehokas ratkaisualgoritmi tunnetaan - kauppamatkustajan ongelma Boolen logiikka - piirin arvo - piirin toteutuvuus Kokonaisluvut - kertolasku - tekijöinti Matriisien yhtäsuuruus - rivijärjestystä vaille - rivi- ja sarakejärjestystä vaille NP-täydellisiä (päätösongelmina) Tehokasta algoritmia ei tunneta, eikä sellaisen olemassaoloa ole pystytty poissulkemaan
84 Lisää aiheesta T Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Computational Complexity Theory M.R. Garey, D.S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Co., 1979 C.H. Papadimitriou, Computational Complexity. Addison-Wesley, 1994 S. Arora, B. Barak, Computational Complexity: A Modern Approach. Cambridge University Press, 2009
Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys
Muita vaativuusluokkia
Muita vaativuusluokkia Käydään lyhyesti läpi tärkeimpiä vaativuusluokkiin liittyviä tuloksia. Monet tunnetuista tuloksista ovat vaikeita todistaa, ja monet kysymykset ovat vielä auki. Lause (Ladner 1975):
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia
Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017
= k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko
238 7.2 Luokka NP Luokka NP on: NP = { NTIME(t) t on polynomi } = k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko P NP Luokan NP ongelmista
C C. x 2. x 3 x 3. Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C 2 C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat. φ toteutuva:
Lause 3SAT p m VC Todistus. Olk. φ = C 1 C C m 3-cnf-kaava, jossa esiintyvät muuttujat x 1,..., x n. Vastaava solmupeiteongelman tapaus G, k muodostetaan seuraavasti. G:ssä on solmu kutakin literaalia
Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
Algoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna
Epädeterministisen Turingin koneen N laskentaa syötteellä x on usein hyödyllistä ajatella laskentapuuna. q 0 x solmuina laskennan mahdolliset tilanteet juurena alkutilanne lehtinä tilanteet joista ei siirtymää,
Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 13 Ti 8.5.2018 Timo Männikkö Luento 13 Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät
6. Approksimointialgoritmit
6. Approksimointialgoritmit Tässä luvussa käsitellään lyhyesti approksimointiin liittyvät peruskäsitteet ja joitain keskeisiä approksimoituvuustuloksia. Tavoitteena on, että opiskelija näkee approksimointialgoritmien
Algoritmit 2. Luento 14 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 14 To 2.5.2019 Timo Männikkö Luento 14 Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydelliset ongelmat Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit
3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]
![3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]](/thumbs/63/49356390.jpg "3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU ]")
3SAT-ongelman NP-täydellisyys [HMU 10.3.4] erotukseksi yleisestä CNF-esityksestä, kaikilla kaavoilla ei ole 3-CNF-esitystä; esim. x 1 x 2 x 3 x 4 esitämme muunnoksen, jolla polynomisessa ajassa mielivaltaisesta
P? = NP Kysymys ratkaisun keksimisestä ja sen tarkistamisesta
P? = NP Kysymys ratkaisun keksimisestä ja sen tarkistamisesta Juha Nurmonen Matematiikan laitos Helsingin yliopisto Ajatellaanpa esimerkiksi kauppamatkustajan jokapäiväistä ongelmaa: Kauppamatkustajan
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin. Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto
Parinmuodostuksesta tietojenkäsittelytieteen silmin Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Aalto-yliopisto Suomalainen Tiedeakatemia Nuorten Akatemiaklubi 18.10.2010 Sisältö Mitä tietojenkäsittelytieteessä
kaikki kielet tunnistettavat A TM HALT TM { a n } { a n b n } { a n b n c n } TOTAL TM EQ TM
Kurssi tähän asti: säännölliset yhteydettömät ratkeavat { a n } { a n b n } { a n b n c n } tunnistettavat A TM HALT TM kaikki kielet A TM HALT TM TOTAL TM TOTAL TM EQ TM EQ TM 277 5. Laskennan vaativuus
Algoritmit 2. Luento 14 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 14 Ke 3.5.2017 Timo Männikkö Luento 14 Ositus ja rekursio Rekursion toteutus Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 14 Ke 3.5.2017 2/30 Ositus Tehtävän esiintymä ositetaan
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Datatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Kielenä ilmaisten Hilbertin kymmenes ongelma on D = { p p on polynomi, jolla on kokonaislukujuuri }
135 4.3 Algoritmeista Churchin ja Turingin formuloinnit laskennalle syntyivät Hilbertin vuonna 1900 esittämän kymmenennen ongelman seurauksena Oleellisesti Hilbert pyysi algoritmia polynomin kokonaislukujuuren
Laskennan teoria
581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2003 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa esitiedot käytännössä
Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.
Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,
Kombinatorinen optimointi
Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen.
261 Lause (Cook-Levin) Kieli SAT = { on toteutuva lausekalkyylin kaava } on NP-täydellinen. Pitää osoittaa siis, että A mp SAT mielivaltaisella A NP Ainoa, mitä A:sta tiedetään on, että sillä on polynomisessa
Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
7. Aikavaativuus. Ohjelmistotekniikan laitos OHJ-2300 Johdatus tietojenkäsittelyteoriaan, syksy
212 7. Aikavaativuus Edellä tarkasteltiin ongelmien ratkeavuutta kiinnittämättä huomiota ongelman ratkaisun vaatimaan aikaan Nyt siirrytään tarkastelemaan ratkeavien ongelmien aikavaativuutta Periaatteessa
Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista
Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan koulutusohjelma. Kaariväritysongelma. Kandidaatintyö. 29. huhtikuuta 2012. Sami J.
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan koulutusohjelma Kaariväritysongelma Kandidaatintyö 29. huhtikuuta 2012 Sami J. Lehtinen Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan
Laskennan teoria
581336-0 Laskennan teoria luennot syyslukukaudella 2004 Jyrki Kivinen tietojenkäsittelytieteen laudatur-kurssi, 3 ov pakollinen tietojenkäsittelytieteen suuntautumisvaihtoehdossa, opettajan suuntautumisvaihtoehdossa
Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet
186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen
NP-täydellisyys. Joonas Järvenpää ja Topi Talvitie. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
NP-täydellisyys Joonas Järvenpää ja Topi Talvitie Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Ongelman määrittely
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 10. joulukuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. joulukuuta 2015 Sisällys TM vs yleiset kieliopit Lause Jokaiselle kielelle A seuraavat ovat yhtäpitävät: 1.
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Algoritmit 1. Luento 12 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 12 Ti 19.2.2019 Timo Männikkö Luento 12 Osittamisen tasapainoisuus Pikalajittelun vaativuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu Algoritmit
Algoritmit 2. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 1 Ti 14.3.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin valinta Algoritmin analysointi Algoritmin suoritusaika Peruskertaluokkia Kertaluokkamerkinnät Kertaluokkien ominaisuuksia
2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut
TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut Pisteytys on ilmoitettu välikoevaihtoehdon mukaan (joko tehtävät 1, 2 ja 3 välikokeen 1 uusintana tai tehtävät 4, 5 ja 6 välikokeen 2 uusintana).
Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]
![Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]](/thumbs/65/52957060.jpg "Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]")
Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. tammikuuta 2012 Sisällys Luennon pähkinä Millä tavalla voidaan rakentaa tietokoneohjelma (tai kirjasto), joka
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
4.3. Matemaattinen induktio
4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Tehtävä 10 : 1. Tehtävä 10 : 2
Tehtävä 0 : Kuvassa Etelä-Amerikan valtioita vastaavat solmut on sijoitettu toisiinsa nähden niiden pääkaupunkien keskinäistä sijaintia vastaavalla tavalla. Kuvioon on joukon {0,, 2, 3 alkioilla merkitty
Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
3. Laskennan vaativuusteoriaa
3. Laskennan vaativuusteoriaa tähän asti puhuttu siitä, mitä on mahdollista laskea äärellisessä ajassa siirrytään tarkastelemaan laskemista kohtuullisessa ajassa vaihtoehtoisesti voidaan laskenta-ajan
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
![Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]](/thumbs/59/42645644.jpg "Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]")
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
s = 11 7 t = = 2 7 Sijoittamalla keskimmäiseen yhtälöön saadaan: k ( 2) = 0 2k = 8 k = 4
BM0A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 05. (a) i. Jotta vektori c sijaitsisi a:n ja b:n virittämällä tasolla, c on voitava esittää a:n ja b:n lineaarikombinaationa. c ta + sb
j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja
582206 Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe 11.12., ratkaisuja Tehtävän 1 tarkasti Harri Forsgren, tehtävän 2 Joel Kaasinen ja tehtävän 3 Jyrki Kivinen. Palautetilaisuuden 19.12. jälkeen arvosteluun
5.3 Ratkeavia ongelmia
153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
Laskennan rajoja. Sisällys. Meta. Palataan torstaihin. Ratkeavuus. Meta. Universaalikoneet. Palataan torstaihin. Ratkeavuus.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 17. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 17.10.2016 klo 15:07 passed waiting redo submitters
Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 6. maaliskuuta 2012 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. maaliskuuta 2012 Sisällys Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on
Laskennan rajoja. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 20. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS.
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 20. kesäkuuta 2013 Sisällys Päätösongelmat Ongelma on päätösongelma (engl. decision problem), jos se on muotoa Onko
Algoritmit 1. Demot Timo Männikkö
Algoritmit 1 Demot 1 25.-26.1.2017 Timo Männikkö Tehtävä 1 (a) Algoritmi, joka laskee kahden kokonaisluvun välisen jakojäännöksen käyttämättä lainkaan jakolaskuja Jaettava m, jakaja n Vähennetään luku
Syötteen ainoalla rivillä on yksi positiivinen kokonaisluku, joka on alle 1000000000000 = 10 12. Luvussa ei esiinny missään kohtaa numeroa 0.
A Alkulukuosat Tehtävänä on laskea annetusta kokonaisluvusta niiden osajonojen määrä, joita vastaavat luvut ovat alkulukuja. Esimerkiksi luvun 123 kaikki osajonot ovat 1, 2, 3, 12, 23 ja 123. Näistä alkulukuja
Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin:
A Numeropeli Numeropelissä 3x3-ruudukko sisältää luvut 1, 2,, 9. Tehtäväsi on järjestää ruudukko näin: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Voit jokaisella siirrolla vaihtaa keskenään kaksi vierekkäistä lukua vaaka- tai
f(n) = Ω(g(n)) jos ja vain jos g(n) = O(f(n))
Määritelmä: on O(g(n)), jos on olemassa vakioarvot n 0 > 0 ja c > 0 siten, että c g(n) kun n > n 0 O eli iso-o tai ordo ilmaisee asymptoottisen ylärajan resurssivaatimusten kasvun suuruusluokalle Samankaltaisia
Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)
Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
Algoritmit 1. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 11 Ti 14.2.2017 Timo Männikkö Luento 11 Algoritminen ongelmanratkaisu Osittaminen Lomituslajittelu Lomituslajittelun vaativuus Rekursioyhtälöt Pikalajittelu Algoritmit 1 Kevät 2017
Lukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Onko algoritmiselle ongelmalle löydetty ratkaisualgoritmi riittävän hyvä?
Ongelman vaativuuden rajat Onko algoritmiselle ongelmalle löydetty ratkaisualgoritmi riittävän hyvä? Olisiko mahdollista löytää asymptoottisesti tehokkaampi ratkaisu, vai onko algoritmi optimaalinen? Kysymyksiin
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005
Graafin 3-värittyvyyden tutkinta T-79.165 Graafiteoria, projektityö (eksakti algoritmi), kevät 2005 Mikko Malinen, 36474R 29. maaliskuuta, 2005 Tiivistelmä Artikkelissa käydään läpi teoriaa, jonka avulla
A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
Käänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä
Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen