1 0/.-,+ 1 Johdanto Problem-solving Realization Conceptualisation Solution Problem Analysis Design Implement. Validation Deployment Req. Development C
|
|
|
- Tuula Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 & % $! ) ( % & % & & * 1 Johdanto $ ' Isojen sovellusten osalta poikkeuksetta ryhmätyötä, joka edellyttää ja ( # " " # ( " Koska hypermedian tekeminen vaatii usean erityyppisen asian osaamista, hypermediatiimissä tarvitaan - sisältöjä (näiden osaajia) - teknologiaa (välineitä ja osaajia) - ulkoasun suunnittelua (tekijöitä) ja raakaa toteutus- ja koodaustyötä - välityskanava tuotosten levittämiseen ) - markkinoita ja kysyntää ( - ylläpitoa ja asiakaspalvelua Isot työt ovat käytännössä (ohjelmisto)projekteja, pienet sisältö- tai teknologialähtöisiä "toteutuksia". Totuus löytyy näiden kahden väliltä
2 1 0/.-,+ 1 Johdanto Problem-solving Realization Conceptualisation Solution Problem Analysis Design Implement. Validation Deployment Req. Development Components Management Support Support Components Iteration Cycle Product Release, O'Reilly, s. 25) (lähde: Sinan Si Alhir:
3 K F ;: 1 Johdanto Tyypillinen työtapa on ongelmien jako osaongelmiin vaatimusanalyysissä ja taas kokoamista määrittelyssä. Homman monimutkaisuudesta johtuen tarvitaan erityisesti - juridista tietoa esim. tekijänoikeuksista - kartoitustyötä, tutkimuksia, testausta ja kokeiden tekemistä - työn dokumentointia < A B = = = >C?BL J = > E I = =? = BGF E?DE BC = = <=> Tekemisen rajoitteita ovat - kehitystyöhön käytettävät lähdemateriaali-, laite- ja ohjelmistoresurssit - oma henkilöstö (mitä osataan tehdä? onnistuuko projektityö?) - aika (ehditäänkö tekemään homma X uusiksi vai kopioidaanko vanha) - loppukäyttäjät (osaavatko ne käyttää systeemiä Y?) - välityskanava (mahtuuko? riittääkö nopeus?) - sisältö (rakenteet, sisällön vaikeus, ) - teoria (olisiko mahdollista edes periaatteessa?) - asenteet ja käytännöt ("aina ennenkin se on tehty näin")
4 ZX NM 1 Johdanto Tiimityöskentelyä ja kykyä keskustella asioista kärsivällisesti ihmisten kanssa, joilla on asioista ja asioiden tärkeysjärjestyksestä radikaalisti erilainen näkemys kuin sinulla itselläsi V RV X WV T\ Kykyä nähdä metsä puilta, ennen kaikkea kaiken maailman DHTML , Java TM -, Plugin-In++ & ScriptMenu - kikkareiden seasta. Kysyä miettiä oikeita kysymyksiä oikeaan aikaan [ W W R XURY PQ UW V U R O SST RQ PO ] W V S W - mikä tässä on oleellista? - mikä on käytetystä menetelmästä (tekniikka TAI teoria) saavutettava hyöty? Tuntea hypermedian perusmenetelmät ja käsitteet Tietää esimerkkejä & aikaisemmin tehtyjä sovelluksia Osata välineiden mahdollisuudet ja rajoitteet omata summittainen kartta "siitä, mitä on olemassa" jotta voisi tarvittaessa opiskella lisää sitten kun tarvis vaatii
5 ml h b f b g a` qp w _^ 1 Johdanto Hypertekstin ja hypermedian tekeminen on uutta muttei esim. tekstinkäsittelyyn tottumattomalle välttämättä ennenkuulumattoman uutta Hypertekstin tekeminen muistuttaa tai sisältää samoja piirteitä kuin - kirjan käsikirjoituksen suunnittelu - käsitekarttojen suunnittelu ja niiden parissa työskentely - "tavallisen tekstin" kirjoittaminen ja sen sisällön kuvaileminen tai indeksointi suunnittelu ja laatiminen k e h nio hk b geh k gih eij g gih a fe d` b cb - Hypertekstin tuottamisen prosessia ei välttämättä ole tarpeen erottaa esim. kirjan kirjoittamisesta kyse on vain käytetystä menetelmästä (tietokone ja lukemisen apuvälineet) ja painotuksesta (vrt. novelli vs. hakuteos) Merkittävin "uutuus" on lienee : vaikeaselkoisen tekstin tunnistaa "heti", mutta huonosti jäsennetyn käyttöliittymän analysointi vaatii miettimistä (muutokset/tottumus) w tw s y { v }~ pi} w t zi{ piy xp q w vr r u sqs sit r z y v v sst w y y v
6 ž 1 Johdanto Hypermediaa tehdään ja käytetään tietokoneilla. Hypermedian tekemisessä voidaan tunnistaa kaksi eri tasoa (ilmenevät eri asioiden suhteen limittäin): (hypertekstin "sisäistäminen" ja WWW-seitin koodaaminen käsin MS Frontpage -ohjelmalla) Œ ƒ Ž Ž ˆ Œ ƒ ƒ Š ˆ ƒ ƒ 1. (sovelluksen asiasisällön mallintaminen ja ohjelmallinen kuvaaminen WWW-seitiksi) œ ž Ÿ ž ž š iœ 2. Ensimmäisessä "soveltajan kehitysasteessa" saavutetaan hyvät perustiedot ja käsityötaidot, toisessa "jaetaan työtehtävät tietokoneiden ja ihmisten kesken" (ihmiset: suunnittelu, tietokoneet: etsi/korvaa & liikkaa/leimaa) Kyse ei ole "työn arvottamisesta sinänsä", vaan "työn arvottamisesta näkökulmasta" (kannattaa miettiä mihin aikansa käyttää) Mekaanisten työtehtävien tunnistaminen edellyttää "ohjelmoinnin tajua"; kykyä suunnitella ja muotoilla tehtäviä siten, että ne on mahdollista sopivin osin automatisoida (vrt. tyylien käyttö MS Wordissä vs. suora inline-formatointi) Tällä kurssilla tavoitteena on 1:n perusteet myös 2:sta kannattaa miettiä!
7 ² µ ± ³ ² µ ³ µ ² ³ µ ² ² µ ±± ³ µ ² ± ³ ² ³ µ ¼º º µ º ÀÂ ÇÆÅ Ú Ù Õ Ô ò ñ ñ Þá Û Þ à ðïî ÜÛ ú ú 2 Hypertekstin perusteet ««² µ ³ ³²²± ««ª«¹ ±±«² ± ¾ µ ¼ ¾ ² ½ «² «²» ² Hypermediasta ja hypertekstistä puhuttaessa on hyvä huomata, että samoja käytetään eritasoisista asioista puhuttaessa ÃÄ ÀÁ - teksti, hyperteksti, hypermedia, hypermediaohjelma, hypermediasovellus, tiedon esittäminen Ï ÍÎ Æ Ì É É ËÊ ÈÉ È Hypertekstin ja -median perusidea on tietokoneella - perusrakenne: ja (pisteet ja viivat [nuolet]) - huomaa, että linkit voivat olla aidosti yhden-, kahden- tai monensuuntaisia! Ö Ø ÒÓ ÑÐ ) õiö ï ö ô òió ìí äç ãiäë ê êéè çæ åãiä âãiä ( Þß Ý - lukutapa:, ts. yhdistelevät asioita ú ø úûúü øù ø ø ýþ ÿ ýþ Yksinkertaisen hypertekstin linkit ovat (kirjoittajan) mielleyhtymien kautta - iþ ÿ Käsitteellisesti hypertekstin vastaa itse asiassa suunnattua verkkoa
8 32? IE B = U TN S _ l n mu ] \ _ d^ e 2 Hypertekstin perusteet on pisteiden ja niitä yhdistävien viivojen muodostama kokonaisuus (viivoille määritellään suunta & tiedon %) ( (' $%& Graafin piirtäminen, eli nuolet), Graafin peruskäsitteet, Graafin mallintaminen, Graafit & #"!.1* /0, +* 7 ;< : Graafia voidaan pitää kartan ("topologisena") abstraktiona: jos pisteet ja viivat tulkitaan kaupunkien ja teiden abstraktioiksi, digraafi kertoo mistä kaupungista B E JE > FB E HB EE GGEH > F F >EF B??@ AEF B C DC A? >?? B A? >>??@ >>? = pääsee mihinkin B EE A C H C K Hypertekstin ja verkkoteorian välillä on selvä yhteys; käytännössä painopiste on yleensä kuitenkin "vain" termien, käsitteistön ( ) ja perustulosten käytöllä eikä abstraktin graafiteorian kehittämisellä V WV R P NOQP b c ]][ ` a ab b ]`Qa ^Q_ ] [ \ [Z Merkattujen graafien keskeiset sovellukset: 1) & 2) (tehdään poikkeuksetta abstrahoimalla hyperteksti graafiksi) XQY vl n v si xqp wn wn lvm t j rqs k mq oqp n lqm k j ji cce b h g [ a ]Qf ^Qe ] [ `
9 ~ œ ½ ¼ ¼¹»º è ç êò îñíó êô ññ ð ðë zy 2 Hypertekstin perusteet, E = { (a,b), (b,a), graafi G: ˆ Œ ˆ Ž Œ Š ˆ tai ƒ G = (V,E), V={a,b,c,d,e} (c,d), (c,e) } tai } { } ª Q esim. M Ÿž š G:n ovat sen (pisteiden) osajoukkojen muodostamat graafit (kaikilla E:n viivoilla) G:llä kaksi : G1 ja G2 on jokin pisteiden ja viivojen jono pisteestä toiseen on jokin pisteiden ja viivojen jono pisteestä toiseen (pisteet eivät toistu, paitsi päätepisteet ) µq ±²Q³ ¾¾ QÀ Q¹  Äà Á d a b c ÇÈÉ ÅQÆ e Î ËQÍ Í ËËQÌ Ê «, E = { (a,b), esim. è æ åæ ä â ãß áâ ßà Þ ) D=(V,E), V={a,b,c,d,e} ÙÝ Ü ÜÛ ØÙÚ Ö Ò ÒÕÔ ( ÓÓÐ ÒÑ Ñ ÏÐ Ð òmö õ õ ë óñï ò êë ñ í ì ë îï ò îï ííê ìë ë ê êé (b,a), (c,d), (c,e) } d a b c e
10 þ ÿÿ þ * )( / F E C : 9 L I O M I N M M MLK JI WX a ` _ bc 2 Hypertekstin perusteet on piiritön graafi. jokin piste on valittu (tai juurisolmuksi) (joskus juurelliset puut esitetään suunnattuina). Esim. ü ü ûü ýü ùú ú a on T:n. T:n ovat d, e, i, j, h T.n ovat b,c,f,g f,g,h ovat c:n, c on näiden f,g,h,i,j ovat c:n, j:n ovat g,c,a f, g, h ovat, f on g:n ja h on g:n T:llä on viisi, polut a-d, a-e, a-i, a-j ja a-h T:n on 4 ja sen on 5 a & ' % $# "! b c , 0 1 -,.- +, ABC H GE : ; 9 > =< ;9 f g h d e Q Q PQ RQ i j Z Y VW S T TU ST a b on fg af d \a e dc \b` \^ \ ] [ Puun d e c erityisen kätevä tietokoneiden yhteydessä (luetaan ylhäältä alas ja vasemmalta oikealle): f ø
11 xt w z y ih 2 Hypertekstin perusteet Merkittyjen graafien keskeinen sovellus hypermediassa (suunnittelu) ovat erilaiset käsitekartat tarkoitetaan graafista tiedon esittämisen tekniikkaa, jonka avulla objektista, ilmiöstä tai prosessista poimitaan tarkasteltavaksi osia ja suhteita ssq n q p qr mn ol jk, ƒ ~ }} { z, u v t Muita vastaavantyyppisiä termejä: Käsitekarttojen piirtämistapoja ja on lukuisia erilaisia ( ). Tyypillisiä piirteitä: - pisteet kuvaavat objekteja tai ominaisuuksia, viivat näiden välisiä suhteita - pyrkimyksenä on täsmällisyyden sijaan esityksen havainnollisuus - kartta on aina vain eräs tiedon jäsennys (voidaan tehdä perustellusti eri tavalla useista lähtökohdista käsin) Erilaisia käsitekarttoja käytetään muistin ja oppimisen tukena, suunnittelu- ja ideointimenetelmänä, päätöksenteon tukena ja identifioinnissa Semanttisen verkon tai käsitekartan idea voidaan systematisoida osaksi kokonaista suunnittelumenetelmää (esim. OMT, UML)
12 Ž Ÿž ˆ 2 Hypertekstin perusteet käsikartan käyttö esim. tietämyksen " havainnollistamisessa Œ Š " tarkkaan sovitun notaation käyttö erikoissovelluksessa, esim. - diagrammit (relaatiotietokant. suunn.) œ š š ominaisuus kukka selkänoja osa tuoksu sisällä jalka osoite maljakko osa päällä nimi näyttelijät pöytä tuoli nimi tähtenä päällä päällä matto päällä ohjaaja elokuvat omistaa vuosi nimi studiot lattia tyyppi osoite
13 2 Hypertekstin perusteet Hypertekstiin liittyy oletuksena kartta- tai paikkametafora; lukijan voidaan ajatella "sijaitsevan" lukemassaan solmussa; navigoinnissa käyttäjä siirtyy solmusta toiseen linkkejä seuraamalla Hypertekstin perusominaisuuksia: - yksinkertainen assosiatiivinen rakenne voidaan suoraan samaistaa suunnatun verkon kanssa - hypertekstin solmujen lukujärjestys ei (kenties alkusolmua lukuun ottamatta) ole ennalta määrätty (jos vastaava verkko ei ole lineaarinen) - hypertekstiä luetaan "erilaisella" tekniikalla kuin esim. kirjaa (lukutapaa voisi kärjistetysti verrata esim. ensyklopedian, käsikirjan yms. hakuteoksen lukemiseen) - lukemisen sopivan "loppukohdan" löytäminen saattaa olla hankalaa - lukeminen vaatii suurempaa keskittymistä kuin perinteisen tekstin - dokumenttien rajat saattavat olla epämääräisiä (erityisesti tietoverkoissa)
14 2 Hypertekstin perusteet - lukijalla olemassa selkeä "eksymisen" mahdollisuus - navigoinnin tueksi tarvitaan apuvälineitä (esim. karttoja ja kirjanmerkkejä) - hypermediaan on liitetty "perinteisesti" myös vahva "toisten käyttäjien" rooli, ts. myös toiset lukevat hyperdokumenttia - ja saattavat tehdä siihen omia (julkisia) merkintöjään "Modernin" hypertekstin tyypillinen lukustrategia on yleensä yhdistelmä (tietokantatyyppisiä asiasana)hakuja ja navigointia: - 1) navigoinnin alkukohdan etsiminen hakukoneen avulla (esim. Google) 2) navigointi linkkejä seuraamalla ("mitäköhän tuolta löytyy") ja 3) paluu kirjanmerkin avulla takaisin hakukoneeseen ("uusi yritys")? "net - www" hakukone haun tulos "uuden navigoinnin" alkuna
15 2 Hypertekstin perusteet Yksinkertaisimmassa muodossaan hyperteksti on siis assosiatiivinen verkko, jossa linkit yhdistävät verkon solmut toisiinsa (huomaa, että linkkien suunnat ovat merkitseviä) Hypertekstirakenteita voidaan kuitenkin luokitella, esim. seuraavien ääripäiden avulla ( ): - puurakenne - peräkkäisrakenne (lineaarinen rakenne) - peräkkäisrakenne vaihtoehdoilla - peräkkäisrakenne sivupoluilla - hila - yhdistetty rakenne - verkko (kaikki edelliset ovat siis tämän erikoistapauksia) Ilmeisestikin "sama sisältö" voidaan jäsentää eri tavoin, näkökulmasta riippuen
16 2 Hypertekstin perusteet puurakenne peräkkäisrakenne peräkkäisrakenne vaihtoehdoilla (eräs rakenne) hila peräkkäisrakenne sivupoluilla yhdistetty rakenne (esim. puu vaihtoehdolla) verkko ("yleinen rakenne")
17 2 Hypertekstin perusteet On syytä huomata, että käytännössä hyperteksti muodostaa em. ääripäitä huomattavasti monimutkaisemman rakenteen Monimutkainen linkitys johtaa helposti varsin sotkuisen näköiseen graafiin Hypertekstin rakennetta suunniteltaessa (ja esitettäessä) on kuitenkin hyvä pyrkiä esityksen havainnollisuuteen Havainnollisen esityksen perusidea on sieventää käytettyjä merkintöjä esityksen asiasisällön pysyessä samana Kaksi suoraviivaista lähestymistapaa joilla esitykseen piirrettävien linkkien määrää voidaan supistaa ovat - linkin perintä ja - linkkien yhdistäminen
18 ¹ µ ¹ ½ µ ¼»º Ë É Å É Æ Ò ª 2 Hypertekstin perusteet Tällöin hypertekstin tiivistetty esitystapa on seuraava: ne solmut {A1,A2,,AN}, joista pääsee (mahd. ) linkkejä seuraamalla tiettyyn solmuun B, ympäröidään ² ²³ ³ ± ««- ÀÀ ¾ µ suorakaiteella (solmuryhmä), eikä linkkejä (Ak,B), k=1,..,n merkitä kuvioon näkyviin. Sen sijaan ko. suorakaide yhdistetään nuolella solmuun B johtaa linkki Ñ ÑÐÏ ÎÍ ne solmut {A1,A2,,AN}, joista  ÉÌ ÊË Â É ÈÇ ÄÂ Å Ã Ä Á à - tiettyyn solmuun B, ympäröidään ovaalilla (solmuryhmä), eikä linkkejä (Ak,B), k=1,..,n merkitä kuvioon näkyviin. Sen sijaan ko. ovaali yhdistetään nuolella solmuun B ~ ~ ja vastaavasti toisinpäin: Edellä viittaus voidaan siis yksittäisen solmun B sijasta tehdä myös toiseen solmuryhmään ja päinvastoin Sekä linkin perinnässä että ylitilojen merkitsemisessä hypertekstirakenteen esityksen luettavuus paranee kun solmuja ryhmitellään ja "tarpeettomat" nuolet jätetään piirtämättä ( )
19 Õ ÖÖ Õ äý é è ë 2 Hypertekstin perusteet On tietenkin myös mahdollista, että hypertekstin rakenteen tiedetään noudattavan jotain yleisiä sääntöjä, mikä tarjoaa mahdollisuuden tapauskohtaisten sievennystapojen käyttöön Jos linkkien tiedetään esim. noudattavan järjestysrelaatiota, voidaan hyperteksti esittää kompaktissa muodossa ns. avulla (Hassediagrammi) ( ) Ö Ü Û Û ÚÙ ØÖ Tyypillisessä hypertekstissä erilaiset hypertekstirakenteet esiintyvät päällekkäin, esim. - määritelmien assosiatiivinen verkko - johdanto-osan selkeä peräkkäisrakenne - yksityiskohtien ja huomautusten lineaariset sivupolut - jne. Näiden erityyppisten rakenteiden erottaminen toisistaan helpottaa lukijan työtä suuresti î äý ææß ä ê íè ë ì Suoraviivaisin apu lukijalle on joka hyödyntää jotain helposti hahmotettavaa perusrakennetta äý ßë ë æßä é ê æ ç å ã äý à ß ã â â ßà á á ÞÝ ãè ï ê å å Ô Ó
5 Hypertekstin rakenne ja navigointi
5 Hypertekstin rakenne ja navigointi Laajennetaan näkökulmaa WWW:stä yleisen hypertekstin suuntaan. Hypermediasta ja hypertekstistä puhuttaessa on hyvä huomata, että samoja termejä käytetään eritasoisista
2 Hypertekstin perusteet
2 Hypertekstin perusteet Lähdetään liikkeelle asian asteittaisen tarkentamisen kautta: esitetään aluksi perusperiaatteet ja pohditaan näitä sitten tarkemmin kun yleiskuva on selvillä Hypermediasta ja hypertekstistä
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ غ ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
JULKISEN HALLINNON DIGITAALISEN TURVALLISUUDEN JOHTORYHMÄN SIHTEERISTÖN (VAHTI-sihteeristö) JA ASIANTUNTIJAJAOSTON ASETTAMINEN
Asettamispäätös ÊÓñîïëëñððòðïòððòðïñîðïê Ö«µ ÝÌó± ± ïòíòîðïé Ö«µ ²»² JULKISEN HALLINNON DIGITAALISEN TURVALLISUUDEN JOHTORYHMÄN SIHTEERISTÖN (VAHTI-sihteeristö) JA ASIANTUNTIJAJAOSTON ASETTAMINEN Ê ±ª
Visuaalinen ilme (luonnos)
Työterveys Helsinki Visuaalinen ilme (luonnos) 24.11.2015 1 Työterveys Helsingin ilmeessä sovelletaan Helsingin kaupungille luotuja visuaalisen ilmeen elementtejä uudella kuosilla, tunnuksella ja väripaletilla
Samassa yhteydessä Rauno Haapala kertoi omista kauranviljelykokemuksista. Rauno Haapalan tila
Kauraretki ja vierailu Kinnusen Myllyllä Keskiviikko 15.8.2018. Osallistujat: Mika Jouppila Jari Tikkanen Keskiviikkona 15.8.2018 toteutettiin kauranviljelyn opintomatka Ruukkiin ja Utajärvelle. Opintomatkalla
Johdatus rakenteisiin dokumentteihin
-RKGDWXVUDNHQWHLVLLQGRNXPHQWWHLKLQ 5DNHQWHLQHQGRNXPHQWWL= rakenteellinen dokumentti dokumentti, jossa erotetaan toisistaan dokumentin 1)VLVlOW, 2) UDNHQQHja 3) XONRDVX(tai esitystapa) jotakin systemaattista
Luento 12: XML ja metatieto
Luento 12: XML ja metatieto AS-0.110 XML-kuvauskielten perusteet Janne Kalliola XML ja metatieto Metatieto rakenne sanasto Resource Description Framework graafikuvaus XML Semanttinen Web agentit 2 1 Metatieto
Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI
67 7.4 PERUSPISTEIDEN SIJAINTI Optisen systeemin peruspisteet saadaan systeemimatriisista. Käytetään seuraavan kuvan merkintöjä: Kuvassa sisäänmenotaso on ensimmäisen linssin ensimmäisessä pinnassa eli
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 20.3.18 Netspace Kurssin sijainti muussa suunnitellussa kokonaisuudessa Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.
Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒØ¹ØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ARKISTOLUETTELO. Kopio SIVISTYSTOIMI KESKITETYT PALVELUT ORGANISAATIO JA TOIMINTA PÄÄTÖKSENTEKOMENETTELY LAKKAUTETUT TOIMIELIMET URHEILULAUTAKUNTA
Sivu 1(23) Aa Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1960-1971 2 Saapuneiden kirjeiden diaarit 1972-1976 Sivu 2(23) Ab Lähetettyjen kirjeiden diaarit 1960 1976 1 Lähetettyjen
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
6 Hypertekstin rakenne ja navigointi
6 Hyprtkstin raknn ja navigointi Hyprtkstin prusraknn on vrkko li graafi Laajnntaan näkökulmaa WWW:stä ylisn hyprtkstin suuntaan. Hyprmiasta ja hyprtkstistä puhuttassa on hyvä huomata, ttä samoja trmjä
9 Hypermediajärjestelmistä
9 Hypermediajärjestelmistä Lyhyt vilkaisu järjestelmätason hypermediaan. Hypermediasovellukseen liittyy aina kaksi näkökulmaa: lukijan ja laatijan näkökulma Hypertekstijärjestelmä (hypermediajärjestelmä)
Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
"h 'ffi: ,t^-? ùf 'J. x*r:l-1. ri ri L2-14. a)5-x:8-7x b) 3(2x+ l) :6x+ 1 c) +* +5 * I : 0. Talousmatematiikan perusteet, onus to o.
1 Vaasan yopso, kev a 0 7 Taousmaemakan perusee, onus o o R1 R R3 R ma 1-1 ma 1-1 r 08-10 r -1 vkko 3 F9 F53 F5 F53 1.-0..01 R5 R o R7 pe R8 pe - r-1 08-10 10-1 F53 F10 F5 F9 1. Sevennä seuraava ausekkee.
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
Ohjelmistojen suunnittelu
Ohjelmistojen suunnittelu 581259 Ohjelmistotuotanto 154 Ohjelmistojen suunnittelu Software design is a creative activity in which you identify software components and their relationships, based on a customer
Diskreetit rakenteet
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja
Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
x = [ x 1 x 2 x n (x i K) x = K (n) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i K} e 1 = (1, 0,..., 0) Ø, e 2 = (0, 1,..., 0) Ø,..., e n = (0, 0,...
¼¼ Ë Å ØÖ Ø ÓÖ Ì ÖÓ Î Ò ÙÓ Ù ¾º ØÓÙ Ó ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ä Ò Ö Ð Ö ½º½ Å Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
6.4. Järjestyssuhteet
6.4. Järjestyssuhteet Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä). Suhde R joukossa
(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
A4.1 Projektityö, 5 ov.
A4.1 Projektityö, 5 ov. Kurssin esitietovaatimuksia Kurssin tavoitteista Kurssin sisällöstä Luentojen tavoitteista Luentojen sisällöstä Suoritustavoista ja -vaatimuksista Arvostelukriteereistä Motivointia
NAANTALIN KAUPUNKI Myytävä lomarakennuspaikka Pakinaisten saaressa
Pakinaisen luovutettava lomarakennuspaikka . Kiinteistö 529-528-1-102 Piippumäki, Pakinainen NAANTALIN KAUPUNKI Myytävä lomarakennuspaikka Pakinaisten saaressa NAANTALIN KAUPUNKI Myytävä lomarakennuspaikka
Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
TEKSTINKÄSITTELYTEHTÄVIÄ, OSA 1
TEKSTINKÄSITTELYTEHTÄVIÄ, OSA 1 1 Perustekstejä Tehtävän tarkoituksena on varmistaa tietty perusosaaminen tekstinkäsittelystä sekä lisäksi tässä tulee mukaan myös hiukkasen suomen kielen oikeinkirjoitustakin.
7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b
7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,
Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?
Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu
Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko
Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa
{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
Näin järjestän ohjelmointikurssin, vaikka en ole koskaan ohjelmoinut www.helsinki.fi
Näin järjestän ohjelmointikurssin, vaikka en ole koskaan ohjelmoinut Ohjelmointikurssin järjestäminen Helsingin yliopiston Ohjelmoinnin MOOC-kurssimateriaalin avulla 15.4.2016 1 Linkki Tietojenkäsittelytieteen
Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:
4.12.2005. SEPA REFAKTOROINTI Antti Ahvenlampi, 57408L Erik Hakala, 57509T
SEPA REFAKTOROINTI Antti Ahvenlampi, 57408L Erik Hakala, 57509T SEPA: REFAKTOROINTI 2 (9) SEPA: REFAKTOROINTI 3 (9) VERSIOHISTORIA Version Date Author Description 0.1 2.12.2005 Erik Hakala Ensimmäinen
KJR-C2001 KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET, KEVÄT 2018
Vastaukset palautetaan htenä PDF-tiedostona Courses:iin 1.3. klo 1 mennessä. ahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen [email protected]. askuharjoitus 1. Selitä seuraavat käsitteet:
Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
TIQ FINNISH / SUOMI
TIQ-11013 FINNISH / SUOMI Ì< µ» < «ª « ± ØËÑÓßËÌËÍæ Ô «ª «¼± «±»» ô»²²»² µ«² µ< < < < ¾»» ±µ±²» ò ïò Ô»»» ÛÒëëðîð» ¼
Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
Uusien kanavien haasteet ja mahdollisuudet mediaviestinnässä. Kasper Stenbäck Johtaja, verkko ja teknologiat Cocomms Oy 30.5.2012
Uusien kanavien haasteet ja mahdollisuudet mediaviestinnässä Kasper Stenbäck Johtaja, verkko ja teknologiat Cocomms Oy 30.5.2012 Cocomms lyhyesti Vahvuuksiamme ovat yritys-, talous-, terveys- ja lääke-
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
