1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO"

Transkriptio

1 Mat Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi, Jäännösvarianssin estimointi, Kokonaisneliösumma, Lineaarinen regressiomalli, Mallineliösumma, Merkitsevyystaso, p-arvo, Pienimmän neliösumman menetelmä, Regressiokerroin, Regressiokertoimen hajonta, Regressiokertoimen t-arvo, Regressiokertoimien estimointi, Residuaali, Satunnainen osa, Selitettävä muuttuja, Selittäjä, Selittävä muuttuja, Selitysaste, Sovite, Testi regressiokertoimelle, Testi selitysasteelle, Vakioselittäjä, Varianssianalyysihajotelma 1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO Päämääränä on estimoida bensiinin kulutukselle regressiomalli, jossa kulutusta yritetään selittää bensiinin hinnalla ja käytettävissä olevilla tuloilla. Muuttujat ovat USA:ta koskevia vuosiaikasarjoja vuosilta STATISTIX-tiedostoon DEMAND on talletettu seuraavat muuttujat: (a) (b) (c) YEAR = Vuosi GASCONS = Bensiinin kulutus GASPRICE = Bensiinin hintaindeksi INCOME = Käytettävissä olevat tulot per capita Piirrä muuttujat GASCONS, GASPRICE ja INCOME aikasarjoina sekä myös pistediagrammit (GASPRICE, GASCONS) (INCOME, GASCONS) (GASPRICE, INCOME) Yritä ensin arvioida kuvioiden perusteella muuttujien välisten korrelaatioiden merkit ja suuruudet. Määrää sitten korrelaatiot laskemalla ja vertaa tulosta tekemiisi arvioihin. Estimoi PNS-menetelmällä yhden selittäjän regressiomallit (1) GASCONS = α 0 + α 1 GASPRICE + ε (2) GASCONS = β 0 + β 1 INCOME + δ Ovatko kertoimien α 1 ja β 1 merkit järkeviä? Estimoi PNS-menetelmällä kahden selittäjän regressiomalli (3) GASCONS = β 0 + β 1 GASPRICE + β 2 INCOME + ε Ovatko kertoimien β 1 ja β 2 merkit järkeviä? TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 1/33

2 (d) Miksi hintamuuttujan GASPRICE regressiokerroin estimoituu kohdissa (b) ja (c) erimerkkiseksi? Tutki asiaa määräämällä muuttujien GASCONS ja GASPRICE osittaiskorrelaatiokerroin, kun muuttuja INCOME on asetettu vakioksi. Tee tämä ensin suoraan STATISTIX-ohjelmalla ja sitten laskemalla mallien (4) GASCONS = α 0 + α 1 INCOME + ε (5) GASPRICE = β 0 + β 1 INCOME + δ residuaalien otoskorrelaatiokerroin. Vertaa saadun osittaiskorrelaatiokertoimen merkkiä muuttujan GASPRICE regressiokertoimen PNS-estimaatin merkkiin mallissa (3). Huomautuksia: (i) (ii) RATKAISU: (a) Yhden selittäjän regressiomallin ainoan selittäjän regressiokertoimen estimaatilla ja selitettävän muuttujan ja selittäjän korrelaatiokertoimen estimaatilla on aina sama merkki. Usean selittäjän regressiomallissa selitettävän muuttujan ja selittäjän korrelaatiokertoimen merkistä ei voi päätellä vastaavan regressiokertoimen merkkiä. Tämä johtuu siitä, että usean selittäjän regressiomallissa regressiokertoimien estimaattorit riippuvat kaikkien mallissa mukana olevien muuttujien korrelaatioista (paitsi tapauksessa, jossa selittäjät ovat ortogonaalisia). (iii) Osittaiskorrelaatiokertoimella ja vastaavan regressiokertoimen estimaatilla on aina sama merkki. AIKASARJADIAGRAMMIT JA PISTEDIAGRAMMIT Aikasarjadiagrammit Piirretään muuttujista GASCONS, GASPRICE ja INCOME. aikasarjadiagrammit. Aikasarjadiagrammissa piirretään aikasarjan arvot aikaa vastaan. Tämä tarkoittaa pistediagrammin (AIKA, MUUTTUJA) piirtämistä, mutta niin, että peräkkäiset havainnot yhdistetään kuviossa janoilla. Aikasarjadiagrammista pyritään tunnistamaan seuraavat aikasarjojen analysointiin vaikuttavien piirteiden esiintyminen: trendit eli nousevat ja laskevat suuren luokan kehityslinjat kausivaihtelu tai muut sykliset vaihtelut poikkeavat havainnot tason siirtymät ja muut aikasarjan rakenteessa tapahtuvat muutokset Statistics > Time Series > Time Series Plot Time Series Variables = GASCONS / GASPRICE / INCOME X Axis Label Var (Opt) = Year Connect Points TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 2/33

3 Kommentteja: (i) (ii) Kaikissa aikasarjoissa on ainakin havaintoperiodien alkupuolella voimakkaat nousevat trendit. Kaikissa aikasarjoissa on etenkin havaintoperiodin loppupuolella myös ajanjaksoja, jolloin trendi on taittunut tai jopa kääntynyt laskuun. (iii) Aikasarjoissa GASCONS ja GASPRICE näkyy vuoden 1973 öljykriisi: Samanaikainen bensiinin hinnan nousu ja bensiinin kulutuksen lasku. (iv) Öljykriisin aiheuttama lama näkyy käytettävissä olevien tulojen laskuna. 270 Time Series Plot of GASCONS 220 GASCONS YEAR 4.3 Time Series Plot of GASPRICE 3.6 GASPRICE YEAR TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 3/33

4 Time Series Plot of INCOME INCOME YEAR Pistediagrammit Piirretään pistediagrammit regressiosuorineen muuttujapareista (GASPRICE, GASCONS) (INCOME, GASCONS) (GASPRICE, INCOME) Pistediagrammin avulla voidaan havainnollistaa kahden muuttujan välistä riippuvuutta. Statistics > Summary Statistics > Scatter Plot X Axis Variables = GASPRICE / INCOME / GASPRICE Y Axis Variables = GASCONS / GASCONS / INCOME Display Regression Line TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 4/33

5 Scatter Plot of GASCONS vs GASPRICE GASCONS GASPRICE Scatter Plot of GASCONS vs INCOME GASCONS INCOME TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 5/33

6 Scatter Plot of INCOME vs GASPRICE INCOME GASPRICE Kommentteja: (i) (ii) Pistediagrammien mukaan kaikilla muuttujapareilla on positiivinen korrelaatio. Muuttujapareissa (GASPRICE, GASCONS) (GASPRICE, INCOME) muuttujien riippuvuudet eivät näytä lineaarisilta. (iii) Muuttujaparissa (INCOME, GASCONS) muuttujien riippuvuus näyttää lineaariselta. (iv) Bensiinin hinnan ja kulutuksen positiivinen korrelaatio voi tuntua yllättävältä. Täytyy kuitenkin muistaa, että myös käytettävissä olevat tulot vaikuttavat bensiinin kulutukseen: Tulojen nousu saa ihmiset ostamaan isompia autoja ja lisäämään ajosuoritteitaan bensiinin hinnan noususta huolimatta. Korrelaatiot Statistics > Linear Models > Correlations (Pearson) Correlation Variables = GASCONS, GASPRICE, INCOME TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 6/33

7 CORRELATIONS (PEARSON) GASCONS GASPRICE GASPRICE INCOME CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Muuttujien pareittaiset korrelaatiot ovat kaikki positiivisia ja vastaavat siten kuvioista saatua informaatiota. (a) YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISET REGRESSIOMALLIT Olkoon mallina (1) GASCONS = α 0 + α 1 GASPRICE + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = GASCONS Independent Variables = GASPRICE UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF GASCONS PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT GASPRICE R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Bensiinin hintaa kuvaavan muuttujan GASPRICE regressiokerroin on tilastollisesti merkitsevä ja positiivinen: Korkea (matala) bensiinin kulutus liittyy siis mallin mukaan korkeaan (matalaan) bensiinin hintaan. Johtopäätös: Tulos on intuition vastainen. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 7/33

8 Olkoon mallina (2) GASCONS = β 0 + β 1 INCOME + δ Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = GASCONS Independent Variables = INCOME UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF GASCONS PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT INCOME R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Tuloja kuvaavan muuttujan INCOME regressiokerroin on tilastollisesti merkitsevä ja positiivinen: Korkea (matala) bensiinin kulutus liittyy siis mallin mukaan korkeisiin (mataliin) tuloihin. Johtopäätös: Tulos on intuition mukainen. (c) KAHDEN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI Olkoon mallina (3) GASCONS = β 0 + β 1 GASPRICE + β 2 INCOME + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = GASCONS Independent Variables = GASPRICE, INCOME TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 8/33

9 UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF GASCONS PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT GASPRICE INCOME R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Bensiinin hintaa kuvaavan muuttujan GASPRICE regressiokerroin on tilastollisesti merkitsevä ja negatiivinen, tuloja kuvaavan muuttujan INCOME regressiokerroin on tilastollisesti merkitsevä ja positiivinen: Korkea (matala) bensiinin kulutus liittyy siis mallin mukaan matalaan (korkeaan) bensiinin hintaan ja korkeisiin (mataliin) tuloihin. Huomaa myös, että mallin (3) selitysaste on korkeampi kuin kummankaan yhden selittäjän regressiomallin selitysaste. Johtopäätös: Tulos on intuition mukainen. (d) OSITTAISKORRELAATIOIDEN KÄYTTÖ REGRESSIOANALYYSISSA Miksi hintamuuttujan GASPRICE regressiokerroin on mallissa (3) järkevä, kun taas mallissa (1) se on intuition vastaisesti positiivinen? Tämä johtuu siitä, että tulomuuttuja INCOME vaikuttaa sekoittavasti muuttujien GASCONS ja GASPRICE väliseen riippuvuuteen: Sekä muuttuja GASCONS että muuttuja GASPRICE korreloivat voimakkaasti muuttujan INCOME kanssa. Laskemalla muuttujien GASCONS ja GASPRICE osittaiskorrelaatio asettamalla muuttuja INCOME vakioksi voidaan muuttujien GASCONS ja GASPRICE korrelaatiota tutkia eristettynä muuttujan INCOME vaikutuksesta. Osittaiskorrelaatio on muuttujien GASCONS ja GASPRICE korrelaatio ehdollisessa jakaumassa, jossa muuttuja INCOME on ehtomuuttujana. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 9/33

10 Statistics > Linear Models > Partial Correlations Dependent Variable = GASCONS Adjust for Variables = INCOME Correlation Variables = GASPRICE PARTIAL CORRELATIONS WITH GASCONS CONTROLLED FOR INCOME GASPRICE CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Muuttujien GASCONS ja GASPRICE osittaiskorrelaatio, kun muuttuja INCOME on asetettu vakioksi, voidaan laskea myös seuraavien operaatioiden avulla: Poistetaan muuttujasta GASCONS sen lineaarinen riippuvuus muuttujasta INCOME laskemalla residuaalit (muuttuja RES1) mallista (4) GASCONS = α 0 + α 1 INCOME + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = GASCONS Independent Variables = INCOME UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF GASCONS PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT INCOME R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Linear Regression Coefficient Table Results > Save Residuals Residual = RES1 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 10/33

11 Poistetaan muuttujasta GASPRICE sen lineaarinen riippuvuus muuttujasta INCOME laskemalla residuaalit (muuttuja RES2) mallista (5) GASPRICE = β 0 + β 1 INCOME + δ Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = GASPRICE Independent Variables = INCOME UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF GASPRICE PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT INCOME 6.516E E R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 Linear Regression Coefficient Table Results > Save Residuals Residual = RES2 Lasketaan muuttujien RES1 ja RES2 korrelaatio: Statistics > Linear Models > Correlations (Pearson) Correlation Variables = RES1, RES2 CORRELATIONS (PEARSON) RES1 RES CASES INCLUDED 27 MISSING CASES 0 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 11/33

12 Tulos on sama kuin aikaisemmin suoraan laskettu muuttujien GASCONS ja GASPRICE osittaiskorrelaatio, kun muuttuja INCOME on asetettu vakioksi. Selitys: Mallin (4) residuaali RES1 ei sisällä muuttujasta INCOME lineaarisesti riippuvaa vaihtelua. Mallin (5) residuaali RES2 ei sisällä muuttujasta INCOME lineaarisesti riippuvaa vaihtelua. Mikään ei kuitenkaan estä sitä, että mallin (4) residuaali riippuu lineaarisesti muuttujasta GASPRICE ja mallin (5) residuaali riippuu lineaarisesti muuttujasta GASCONS. Residuaalien RES1 ja RES2 korrelaatio mittaa tätä lineaarista riippuvuutta. Residuaalien RES1 ja RES2 korrelaatio on sama kuin muuttujien GASCONS ja GASPRICE osittaiskorrelaatio, kun muuttuja INCOME on asetettu vakioksi. Osittaiskorrelaatio on muuttujien GASCONS ja GASPRICE korrelaatio ehdollisessa jakaumassa, jossa ehtomuuttujana on muuttuja INCOME. Osittaiskorrelaatiokertoimen merkki on aina sama kuin vastaavan regressiokertoimen merkki. Lisäksi osittaiskorrelaatiokerroin poikkeaa tilastollisesti merkitsevästi nollasta täsmälleen silloin, kun vastaava regressiokerroin poikkeaa tilastollisesti nollasta. OPETUKSET (1) Muuttujien korrelaatiot ja yhden selittäjän regressiomallit saattavat antaa harhaanjohtavan kuvan usean selittäjän lineaarisen regressiomallin kertoimista. (2) Regressiomallin selittäjiksi on pyrittävä saamaan kaikki selitettävän muuttujan käyttäytymiseen vaikuttavat tekijät. Muuten vaarana on se, että kertoimet estimoituvat väärin. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 12/33

13 2. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI AIKASARJOILLE Päämääränä on estimoida sähkön kulutukselle regressiomalli, jossa kulutusta selitetään asiakkaiden lukumäärällä, sähkön hinnalla, lämmitystarvetta mittaavalla ns. astepäivä-luvulla ja käytettävissä olevilla tuloilla. Muuttujat ovat USA:ta koskevia neljännesvuosisarjoja (69 neljännestä). STATISTIX-tiedostoon POWERD on talletettu seuraavat muuttujat: (a) (b) (c) PERIOD = Vuosineljännes SALESMWH = Sähkön kulutus NUMCUST PRICELEC = Asiakkaiden lukumäärä = Sähkön hinta DEGREDAY = Astepäiväluku YD87 Estimoi seuraava malli: = Käytettävissä olevat tulot (1) Selitettävä muuttuja = SALESMWH Selittäjät = NUMCUST, PRICELEC, DEGREDAY, YD87 Kysymyksiä: (i) (ii) Onko malli kokonaisuutena tilastollisesti merkitsevä? Ovatko kaikki kertoimet tilastollisesti merkitseviä? Käytä testeissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Estimoi seuraavat mallit: (2) Selitettävä muuttuja = SALESMWH Selittäjät = PRICELEC, NUMCUST (3) Selitettävä muuttuja = SALESMWH Selittäjät = PRICELEC, DEGREDAY (4) Selitettävä muuttuja = SALESMWH Selittäjät = PRICELEC, YD87 (5) Selitettävä muuttuja = SALESMWH Selittäjät = PRICELEC Tutki ja vertaile estimoitujen mallien selitysasteita sekä kertoimien tilastollista merkitsevyyttä ja merkkejä. Piirrä mallista (5) seuraavat kuviot: (SOVITE, RESIDUAALI) (AIKA, RESIDUAALI) Rankit plot -kuvio Arvioi estimoidun mallin hyvyyttä kuvioiden perusteella. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 13/33

14 (d) Talleta mallista (5) sovitteet ja laske korrelaatiokertoimen Cor(SELITETTÄVÄ, SOVITE) neliö ja vertaa saatua tulosta estimoidun mallin selitysasteeseen. RATKAISU: (a) REGRESSIOMALLIN ESTIMOINTI Aikasarjadiagrammi selitettävästä muuttujasta Piirretään selitettävä muuttuja SALESMWH aikasarjana. Kuvio havainnollistaa sen muuttujan käyttäytymistä aikasarjana, jota regressiomallilla on tarkoitus selittää. Aikasarjadiagrammissa piirretään aikasarjan arvot aikaa vastaan. Tämä tarkoittaa pistediagrammin (AIKA, MUUTTUJA) piirtämistä niin, että peräkkäiset havainnot yhdistetään kuviossa janoilla. Aikasarjadiagrammista pyritään tunnistamaan seuraavat aikasarjojen analysointiin vaikuttavien piirteiden esiintyminen: trendit eli nousevat ja laskevat suuren luokan kehityslinjat kausivaihtelu tai muut sykliset vaihtelut poikkeavat havainnot tason siirtymät ja muut aikasarjan rakenteessa tapahtuvat muutokset Statistics > Time Series > Time Series Plot Time Series Variables = SALESMWH Connect Points 1.8 Time Series Plot of SALESMWH SALESMWH X 10E Case Number TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 14/33

15 Kommentteja: (i) Aikasarjassa näkyy selvä nouseva trendi. (ii) Aikasarja vaihtelee melko voimakkaasti trendin ympärillä. Regressiomallin estimointi Olkoon mallina (1) SALESMWH = β 0 + β 1 NUMCUST + β 2 PRICELEC + β 3 DEGREDAY + β 4 YD87 + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = SALESMSH Independent Variables = NUMCUST, PRICELEC, DEGREDAY, YD87 UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF SALESMWH PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT NUMCUST PRICELEC DEGREDAY YD R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) 4.044E+09 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+09 TOTAL E+12 CASES INCLUDED 69 MISSING CASES 0 Testi selitysasteelle Nollahypoteesin H : β = β = β = β = testaaminen voidaan tehdä F-testillä. Testisuureen arvo on F = ja sitä vastaava p-arvo = (neljällä desimaalilla). TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 15/33

16 Siten nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla, joten ainakin yksi regressiokertoimista β 1, β 2, β 3, β 4 poikkeaa merkitsevästi nollasta. Testit yksittäisille regressiokertoimille Nollahypoteesien H : β = 0, = 1,2,3,4 0i i i testaaminen voidaan tehdä t-testeillä. Testisuureiden arvot löytyvät alla olevasta taulukosta (ote yo. taulukosta) sarakkeesta STUDENT S T ja niitä vastaavat p-arvot sarakkeesta P. PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT NUMCUST PRICELEC DEGREDAY YD Jos käytämme 5 %:n merkitsevyystasoa, kaikki nollahypoteesit H 0i voidaan jättää voimaan. Yksikään regressiokertoimista β 1, β 2, β 3, β 4 ei poikkea merkitsevästi nollasta, vaikka malli on kokonaisuutena tilastollisesti merkitsevä. Kysymys: Onko hypoteesille H : β = β = β = β = tehdyn testin tulos ristiriidassa hypoteeseille H : β = 0, = 1,2,3,4 0i i i tehtyjen testien tulosten kanssa? Vastaus: Eivät, koska mallin (1) selittäjät NUMCUST, PRICELEC, DEGREDAY, YD87 korreloivat voimakkaasti keskenään ja ollessaan samanaikaisesti mallissa selittäjinä syövät toistensa vaikutuksen selitettävään muuttujaan SALESMWH. Tarkastellaan asiaa lähemmin (b)-kohdassa estimoimalla erilaisia regressiomalleja, joissa kaikissa on tärkeänä pidetty hintamuuttuja PRICELEC selittäjänä. Voit halutessasi saada asiaan lisävalaistusta tutkimalla selitettävän muuttujan osittaiskorrelaatioita selittäjien kanssa, kun muut selittäjäkandidaatit on asetettu vakioiksi. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 16/33

17 (b) MALLIKOKEILUJA Alla on estimointitulokset mallista (2) SALESMWH = β 0 + β 1 PRICELEC + β 2 NUMCUST + ε PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT PRICELEC NUMCUST R-SQUARED SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+09 TOTAL E+12 Estimoidun mallin selitysaste on lähes sama kuin (a)-kohdan mallin selitysaste Selittäjän PRICELEC kerroin ei ole tilastollisesti merkitsevä. Selittäjän NUMCUST kerroin on tilastollisesti merkitsevä ja sen merkki on järkevä (positiivinen). Alla on esrimointitulokset mallista (3) SALESMWH = β 0 + β 1 PRICELEC + β 2 DEGREDAY + ε PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT PRICELEC DEGREDAY R-SQUARED SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+10 TOTAL E+12 Estimoidun mallin selitysaste on pienempi kuin (a)-kohdan mallin selitysaste Selittäjän PRICELEC kerroin on tilastollisesti merkitsevä ja sen merkki on järkevä (negatiivinen). Selittäjän DEGREDAY kerroin ei ole tilastollisesti merkitsevä. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 17/33

18 Alla on estimointitulokset mallista (4) SALESMWH = β 0 + β 1 PRICELEC + β 2 YD87 + ε PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT PRICELEC YD R-SQUARED SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+09 TOTAL E+12 Estimoidun mallin selitysaste on lähes sama kuin (a)-kohdan mallin selitysaste Selittäjän PRICELEC kerroin ei ole tilastollisesti merkitsevä. Selittäjän YD87 kerroin on tilastollisesti merkitsevä ja sen merkki on järkevä (positiivinen). Alla on estimointitulokset mallista (5) SALESMWH = β 0 + β 1 PRICELEC + ε PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT PRICELEC R-SQUARED SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+10 TOTAL E+12 Estimoidun mallin selitysaste on pienempi kuin (a)-kohdan mallin selitysaste Selittäjän PRICELEC kerroin on tilastollisesti merkitsevä ja sen merkki on järkevä (negatiivinen). TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 18/33

19 Yhteenveto: (i) (ii) Vaikka hintamuuttuja PRICELEC selittää muuttujan SALEMWH vaihtelusta yksinään 46 %, se ei ole selittäjänä merkitsevä, jos malliin lisätään selittäjäksi muuttuja NUMCUST tai YD87. Sekä muuttuja NUMCUST tai YD87 ovat selitysasteella mitattuna selittäjinä parempia kuin hintamuuttuja PRICELEC. (iii) Muuttuja DEGREDAY ei näytä olevan merkitsevä yhdessä muuttujan PRICELEC kanssa. (iv) Tilanne on problemaattinen, jos päämääränä on tutkia erityisesti sähkön hinnan vaikutusta sähkön kulutukseen, koska muista muuttujista ei ole tällöin tukea. (v) Hintamuuttujan toimimattomuus selittäjänä silloin, kun sen lisäksi mallissa on muita selittäjiin saattaa johtua siitä, että sähkön kulutus ei itse asiassa kovin voimakkaasti riipu sen hinnasta, vaan muut tekijät kuten energian tarve ovat määräävämpiä. (vi) Kohdassa (c) tarkastellaan mallin (5) heikkouksista huolimatta sen estimoinnin onnistumista erilaisten graafisten esitysten valossa. (c) GRAAFISET ESITYKSET MALLIN HYVYYDESTÄ Olkoon mallina (5) SALESMWH = β 0 + β 1 PRICELEC + ε Valinta ei tarkoita, että mallia pidettäisiin parhaana. Tarkoituksena on vain havainnollistaa kuvioiden käyttöä regressioanalyysin onnistumista tutkittaessa. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 19/33

20 Selitettävä muuttuja ja sovite aikasarjoina Aikasarjojen regressiomallien estimointituloksia analysoitaessa on aina syytä piirtää selitettävä muuttuja ja estimoidun mallin sovite aikasarjoina samaan kuvioon. Kuvio näyttää miten hyvin malli pystyy kuvaamaan selitettävän muuttujan käyttäytymistä. Talletetaan ensin estimoidun mallin (5) sovite tiedostoon. Linear Regression Coefficient Table Results > Save Residuals Fitted Values = FIT Piirretään tämän jälkeen aikasarjakuvio. Statistics > Time Series > Time Series Plot Time Series Variables = SALESMWH, FIT Connect Points 1.8 Time Series Plot 1.6 Axis scaled by 10E6 1.4 SALESMWH FIT Case Number Kommentteja: (i) (ii) Selitettävässä muuttujassa ja sovitteessa on melko suuria systemaattisia eroja (ks. esim. periodeja 1-20 ja 60-69). Selitettävässä muuttujassa ja sovitteessa on yksittäisten havaintojen kohdalla suuria eroja (ks. esim. havainto 43). TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 20/33

21 Pistediagrammi (Selittäjä, Selitettävä) Yhden selittäjän regressiomallien estimointituloksia analysoitaessa, on aina syytä piirtää pistediagrammi (SELITTÄJÄ, SELITETTÄVÄ). Kuvio näyttää selitettävän muuttujan ja selittäjän riippuvuuden luonteen. Lisätään kuvioon myös luottamusvyöt selitettävän muuttujan arvoille ja odotettavissa oleville arvoille. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Simple Regression Plot 1.8 Simple Regression Plot 1.6 SALESMWH X 10E PRICELEC SALESMWH = 2.36E * PRICELEC 95% conf and pred intervals Kommentteja: (i) Sähkön kulutuksen ja hinnan riippuvuus on melko lineaarista. (ii) Sähkön kulutuksen ja hinnan korrelaatio on selvästi negatiivista. (iii) Sähkön kulutuksen ja hinnan korrelaatio ei ole kovin voimakas. Laske korrelaatio! TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 21/33

22 Pistediagrammi (Sovite, Residuaali) Kaikkien regressiomallien tuloksia analysoitaessa on aina syytä piirtää pistediagrammi (SOVITE, RESIDUAALI). Kuvio näyttää miten hyvin malli kuvaa selitettävän muuttujan käyttäytymistä. Kuvio saattaa paljastaa mallin rakenneosan väärän muodon, residuaalien heteroskedastisuuden ja poikkeavat havainnot. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Std Resids by Fited Values 4 Regression Residual Plot Standardized Residuals Fitted values X 10E6 Kommentteja: (i) Pieniin sovitteiden arvoihin liittyvät residuaalit näyttävät olevan systemaattisesti jonkin verran suurempia kuin suuriin sovitteiden arvoihin liittyvät residuaalit. Tämä saattaa viitata jäännöstermien (lievään) heteroskedastisuuteen. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 22/33

23 Residuaali aikasarjana Aikasarjojen regressiomallien estimointituloksia analysoitaessa on aina syytä piirtää residuaali aikasarjana. Kuvio näyttää miten hyvin malli kuvaa selitettävän muuttujan käyttäytymistä. Kuvio saattaa paljastaa residuaalien heteroskedastisuuden ja/tai (auto-) korreloituneisuuden. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Std Resids Time Series 4 Time Series Plot of Regression Residuals Standardized Residuals Case Number Kommentteja: (i) Residuaaleissa näyttää olevan lievä nouseva trendi. Tämä viittaa lievään systemaattiseen virheeseen mallissa. (ii) Kuviossa näkyy joitakin poikkeuksellisia residuaaleja (ks. esim. havainto 43). (iii) Vrt. residuaalikuviota kuvioon, jossa selitettävä muuttuja ja sovite on piirretty aikasarjoina samaan kuvaan. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 23/33

24 Rankit plot -kuvio Kaikkien regressiomallien tuloksia analysoitaessa on aina syytä tutkia residuaalien normaalisuutta piirtämällä rankit plot -kuvio (tai jokin vastaava kuvio). Kuvio näyttää miten hyvin mallin virhetermistä tehty normaalisuusoletus pätee. Kuvio saattaa paljastaa myös poikkeavat havainnot. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Wilk-Shapiro / Rankit Plot 4 Wilk-Shapiro / Rankit Plot Standardized Residuals Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Kommentteja: (i) Residuaalit näyttävät melko hyvin normaalisilta. (ii) Kuviossa näkyy yksi poikkeuksellinen residuaali. Yhteenveto: (i) Kuvioiden perusteella mallissa (5) on (lieviä) puutteita. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 24/33

25 (d) ESTIMOIDUN MALLIN SELITYSASTE JA YHTEISKORRELAATIOKERROIN Estimoidun mallin selitysaste voidaan laskea kahdella tavalla: (i) (ii) Käyttämällä hyväksi varianssianalyysihajotelmaa. Laskemalla ensin selitettävän muuttujan arvojen ja sovitteiden korrelaatiokerroin eli ns. yhteiskorrelaatiokerroin. Selitysaste on yhteiskorrelaatiokertoimen neliö. Selitysaste ja varianssianalyysihajotelma Mallin (5) estimointituloksista nähdään, että estimoidun mallin selitysaste on Selitysaste on mallineliösumman eli kokonaisneliösumman mallilla selitetyn osuuden SSM (REGRESSION SS) ja kokonaisneliösumman SST (TOTAL SS) suhde: 2 SSM R = SST Tarkista tämä mallin (5) varianssianalyysihajotelmasta: R-SQUARED SOURCE DF SS MS F P REGRESSION E E RESIDUAL E E+10 TOTAL E+12 Yhteiskorrelaatiokerroin Lasketaan yhteiskorrelaatiokerroin R, joka on selitettävän muuttujan arvojen ja sovitteiden korrelaatiokerroin: R = Cor( yy, ˆ) Mallin (5) sovitteet on talletettu kohdassa (c) muuttujaksi FIT. Statistics > Linear Models > Correlations (Pearson) Correlation Variables = SALESMWH, FIT STATISTIX FOR WINDOWS POWERD CORRELATIONS (PEARSON) SALESMWH FIT CASES INCLUDED 69 MISSING CASES 0 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 25/33

26 Selitysaste R 2 saadaan laskemalla yhteiskorrelaatiokertoimen R neliö: R 2 = = OPETUKSET (1) Oletetaan, että regressiomalliin on otettu selittäjiksi kaikki mahdolliset selittäjäkandidaatit. Tuloksena on usein on malli, joka on yliparametroitu eli osa selittäjistä on tilastollisesti merkityksettömiä. Tällaisessa tilanteessa saattaa olla vaikeata päättää pelkin tilastollisin kriteerein, mitkä kandidaateista pitää ottaa malliin selittäjiksi. Erilaiset valinnat selittäjiksi saattavat johtaa selitysvoimaltaan lähes yhtä hyviin malleihin, joissa on kokonaan tai osaksi eri selittäjät. Asialoogisin kriteerein tärkeänä pidettyjä selittäjiä saattaa olla vaikeata liittää mallin selittäjäksi niin, että ne olisivat tilastollisesti merkityksellisiä. (2) Regressiomallin estimointituloksia pitää arvioida testauskriteerien lisäksi graafisin menetelmin. (3) Regressiomallin selitysvoimaa mitataan selitysasteella. Selitysaste mittaa kokonaisvaihtelun estimoidulla mallilla selitettyä osuutta ja se voidaan määrätä varianssianalyysihajotelmasta tai laskemalla yhteiskorrelaatiokertoimen eli selitettävän muuttujan arvojen ja sovitteiden korrelaatiokertoimen neliö. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 26/33

27 3. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI Päämääränä on estimoida autojen polttoainetaloudellisuudelle regressiomalli, jossa selitettävän muuttujana on auton kulkemat mailit per gallona polttoainetta ja selittäjinä on auton moottorin sylintereiden lukumäärä, moottorin sylinteritilavuus, moottorin teho, auton paino ja auton hinta. Havaintoina on tiedot 150 autosta. STATISTIX-tiedostoon POWERD on talletettu seuraavat muuttujat: (a) (b) (c) MILPGAL = Auton kulkemat mailit per gallona polttoainetta CYLINDER = Moottorin sylintereiden lukumäärä DISPLACE = Moottorin sylinteritilavuus HORSPWR = Moottorin teho WEIGHT PRICE Estimoi seuraava malli: = Auton paino = Auton hinta (1) Selitettävä muuttuja = MILPGAL Selittäjät = CYLINDER, DISPLACE, HORSPWR, WEIGHT, PRICE Kysymyksiä: (i) (ii) Onko malli kokonaisuutena tilastollisesti merkitsevä? Ovatko kaikki kertoimet tilastollisesti merkitseviä? Käytä testeissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Estimoi seuraava malli: (2) Selitettävä muuttuja = MILPGAL Selittäjät = DISPLACE, HORSPWR, WEIGHT, PRICE Kysymyksiä: (i) (ii) Onko malli kokonaisuutena tilastollisesti merkitsevä? Ovatko kaikki kertoimet tilastollisesti merkitseviä? Käytä testeissä 5 %:n merkitsevyystasoa. Piirrä mallista (5) seuraavat kuviot: (SOVITE, RESIDUAALI) Rankit plot -kuvio Arvioi estimoidun mallin hyvyyttä kuvioiden perusteella. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 27/33

28 RATKAISU: (a) REGRESSIOMALLIN ESTIMOINTI Regressiomallin estimointi Olkoon mallina (1) MILPGAL = β 0 + β 1 CYLINDER + β 2 DISPLACE + β 3 HORSPWR + β 4 WEIGHT + β 5 PRICE + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = MILPGAL Independent Variables = CYLINDER, DISPLACE, HORSPWR, WEIGHT, PRICE STATISTIX FOR WINDOWS MOTORS UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF MILPGAL PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT CYLINDER DISPLACE HORSPWR WEIGHT PRICE 1.668E E R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 150 MISSING CASES 5 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 28/33

29 Testi selitysasteelle Nollahypoteesin H : β = β = β = β = β = testaaminen voidaan tehdä F-testillä. Testisuureen arvo on F = ja sitä vastaava p-arvo = (neljällä desimaalilla). Siten nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla, joten ainakin yksi regressiokertoimista β 1, β 2, β 3, β 4, β 5 poikkeaa merkitsevästi nollasta. Testit yksittäisille regressiokertoimille Nollahypoteesien H : β = 0, = 1, 2,3, 4,5 0i i i testaaminen voidaan tehdä t-testeillä. Testisuureiden arvot löytyvät alla olevasta taulukosta (ote yo. taulukosta) sarakkeesta STUDENT S T ja niitä vastaavat p-arvot sarakkeesta P. PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT CYLINDER DISPLACE HORSPWR WEIGHT PRICE 1.668E E Jos käytämme 5 %:n merkitsevyystasoa, nollahypoteesit H 01 ja H 02 voidaan jättää voimaan. Sylintereiden lukumäärä (CYLINDER) ja sylinteritilavuus (DISPLACE) eivät ole selittäjinä tilastollisesti merkityksellisiä. Sen sijaan hevosvoimat (HORSPWR), paino (WEIGHT) ja hinta (PRICE) ovat tilastollisesti merkityksellisiä. Lisäksi niiden kertoimien merkit ovat järkeviä. Huomaa esimerkiksi se, että kalliit autot ovat estimointitulosten mukaan polttoainetaloudellisempia kuin halvat. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 29/33

30 (b) MALLIKOKEILU Jätetään mallista (1) pois selittäjä CYLINDER, joka on t-arvonsa perusteella selittäjistä heikoin. Regressiomallin estimointi Olkoon mallina (2) MILPGAL = β 0 + β 2 DISPLACE + β 3 HORSPWR + β 4 WEIGHT + β 5 PRICE + ε Statistics > Linear Models > Linear Regression Dependent Variable = MILPGAL Independent Variables = DISPLACE, HORSPWR, WEIGHT, PRICE STATISTIX FOR WINDOWS MOTORS UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF MILPGAL PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT DISPLACE HORSPWR WEIGHT PRICE 1.655E E R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 150 MISSING CASES 5 TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 30/33

31 Testi selitysasteelle Nollahypoteesin H : β = β = β = β = testaaminen voidaan tehdä F-testillä. Testisuureen arvo on F = ja sitä vastaava p-arvo = (neljällä desimaalilla). Siten nollahypoteesi H 0 voidaan hylätä kaikilla tavanomaisilla merkitsevyystasoilla, joten ainakin yksi regressiokertoimista β 1, β 2, β 3, β 4, β 5 poikkeaa merkitsevästi nollasta. Testit yksittäisille regressiokertoimille Nollahypoteesien H : β = 0, = 2,3, 4,5 0i i i testaaminen voidaan tehdä t-testeillä. Testisuureiden arvot löytyvät alla olevasta taulukosta (ote yo. taulukosta) sarakkeesta STUDENT S T ja niitä vastaavat p-arvot sarakkeesta P. PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P VIF CONSTANT DISPLACE HORSPWR WEIGHT PRICE 1.655E E Jos käytämme 5 %:n merkitsevyystasoa, kaikki nollahypoteesit H 0i, i = 2, 3, 4, 5 voidaan hylätä. Kaikki selittäjät ovat tilastollisesti merkityksellisiä. Lisäksi niiden kertoimien merkit lienevät ovat järkeviä. Sylinteritilavuuden kasvattaminen parantaa polttoainetaloudellisuutta, kun taas hevosvoimien lisääminen sitä huonontaa. Painavat autot ovat epätaloudellisia, kun taas kalliit autot ovat estimointitulosten mukaan polttoainetaloudellisia. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 31/33

32 (C) GRAAFISET ESITYKSET MALLIN HYVYYDEN TUTKIMISESSA Olkoon mallina (2) MILPGAL = β 0 + β 2 DISPLACE + β 3 HORSPWR + β 4 WEIGHT + β 5 PRICE + ε Pistediagrammi (Sovite, Residuaali) Kaikkien regressiomallien tuloksia analysoitaessa on aina syytä piirtää pistediagrammi (SOVITE, RESIDUAALI). Kuvio näyttää miten hyvin malli kuvaa selitettävän muuttujan käyttäytymistä. Kuvio saattaa paljastaa mallin rakenneosan väärän muodon, residuaalien heteroskedastisuuden ja poikkeavat havainnot. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Std Resids by Fited Values 4 Regression Residual Plot Standardized Residuals Kommentteja: (i) (ii) Fitted values Pieniin sovitteiden arvoihin liittyvät residuaalit näyttävät olevan systemaattisesti jonkin verran pienempiä kuin suuriin sovitteiden arvoihin liittyvät residuaalit. Tämä saattaa viitata jäännöstermien heteroskedastisuuteen. Residuaalit näyttävät ryhmittyvän U-muotoiselle käyrälle. Tämä saattaa viitata mallin systemaattisen osan virheellisyyteen. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 32/33

33 Rankit plot -kuvio Kaikkien regressiomallien tuloksia analysoitaessa on aina syytä tutkia residuaalien normaalisuutta piirtämällä rankit plot -kuvio (tai jokin vastaava kuvio). Kuvio näyttää miten hyvin mallin virhetermistä tehty normaalisuusoletus pätee. Kuvio saattaa paljastaa myös poikkeavat havainnot. Linear Regression Coefficient Table Results > Plots > Wilk-Shapiro / Rankit Plot 4 Wilk-Shapiro / Rankit Plot Standardized Residuals Rankits Approximate Wilk-Shapiro cases Kommentteja (i) Residuaalit näyttävät melko hyvin normaalisilta. (ii) Kuvion mukaan aineistossa ei ole selviä poikkeavia havaintoja. Yhteenveto: (i) Kuvioiden perusteella mallissa (2) on (lieviä) puutteita. TKK/SAL Ilkka Mellin (2005) 33/33

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Regressiodiagnostiikka Cooken etäisyys, Funktionaalinen muoto, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset testit, Heteroskedastisuus,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat: Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Mallin valinta Painotettu PNS-menetelmä Alaspäin askellus, Askellus, Askeltava valikointi, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

2. Tietokoneharjoitukset

2. Tietokoneharjoitukset 2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1 Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Menestyminen valintakokeissa ja todennäköisyyslaskussa

Menestyminen valintakokeissa ja todennäköisyyslaskussa 21.5.21 Menestyminen valintakokeissa ja todennäköisyyslaskussa Esa Pursiheimo 45761L 1 JOHDANTO...2 2 LÄHTÖTIEDOT JA OTOS...3 3 PÄÄSYKOETULOKSIEN YHTEISJAKAUMA...4 4 REGRESSIOANALYYSI...9 4.1 MALLI JA

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,

Lisätiedot

Data-analyysi II. Sisällysluettelo. Simo Kolppo [Type the document subtitle]

Data-analyysi II. Sisällysluettelo. Simo Kolppo [Type the document subtitle] Data-analyysi II [Type the document subtitle] Simo Kolppo 26.3.2014 Sisällysluettelo Johdanto... 1 Tutkimuskysymykset... 1 Aineistojen esikäsittely... 1 Economic Freedom... 1 Nuorisobarometri... 2 Aineistojen

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin

Lisätiedot

MS-C2{04 Tilastollisen analyysin perusteet

MS-C2{04 Tilastollisen analyysin perusteet MS-C2{04 Tilastollisen analyysin perusteet Tentti 7.4.20 4A/irtanen Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin alla mainitussa järjestyksessä: OHlprrn (i) (ii) MS-C204 TAP 7.4.204 opiskelijanumero + kirjain

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4

MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4 MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4 Tehtävä 2.1. Jatkoa tietokonetehtävälle 1.2: (a) Piirrä aineistosta pisteparvikuvaaja (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen

Lisätiedot

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA

1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina. [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/ HARJOITUS 3 Joitain ratkaisuja 1. x =(8+9+6+7+10)/5 = 8, s 2 = ((8 8) 2 + (9 8) 2 +(6 8) 2 + (7 8) 2 ) +

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501 Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662

Lisätiedot

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.

Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina. [MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet

Mat Tilastollisen analyysin perusteet / Mat-2.21 04 Tilastollisen analyysin perusteet Tentti 24.5.2013/Virtanen Kirjoita selvasti jokaiseen koepaperiin alia mainitussa jarjestyksessa: Mat-2.2104 Tap 24.5.2013 opiskelijanumero kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiodiagnostiikka Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka Regressiografiikka Poikkeavat havainnot Regressiokertoimien

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Frequencies. Frequency Table

Frequencies. Frequency Table GET FILE='C:\Documents and Settings\haukkala\My Documents\kvanti\kvanti_harjo'+ '_label.sav'. DATASET NAME DataSet WINDOW=FRONT. FREQUENCIES VARIABLES=koulv paino /ORDER= ANALYSIS. Frequencies [DataSet]

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )

Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Lohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka

Lisätiedot

MTTTP1, luento KERTAUSTA

MTTTP1, luento KERTAUSTA 26.9.2017/1 MTTTP1, luento 26.9.2017 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2017/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen

Lisätiedot

MTTTP1, luento KERTAUSTA

MTTTP1, luento KERTAUSTA 25.9.2018/1 MTTTP1, luento 25.9.2018 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 1. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aiheet: Aluksi Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Tällä kurssilla käytetään

Lisätiedot

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa: Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Itse arvioidun terveydentilan ja sukupuolen välinen riippuvuustarkastelu. Jyväskyläläiset 75-vuotiaat miehet ja naiset vuonna 1989.

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti. 2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja

Lisätiedot

Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus )

Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus 24.1.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus

Lisätiedot

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)=

vkp 4*(1+0)/(32-3)-1= vkp 2*(1+0)/(32-3)= JÄRJESTYSKORRELAATIO 1. Hannu ja Kerttu pitävät karamelleista, mutta heidän mieltymyksensä poikkeavat hieman. Hannun mielestä punaiset karkit ovat parhaita ja keltaiset miellyttävät häntä vähiten. Kerttu

Lisätiedot

Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus )

Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 3 : Monimuuttujaregressio 2 (Palautus 7.2.2017) Tämän harjoituskerran tehtävät

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

A B DIFFERENCE

A B DIFFERENCE I Mat-2.21 04 Tilastollisen analyysin perusteet Tentti 10.5.2013Nirtanen Ki~oita selvasti jokaiseen koepaperiin alia mainitussa ja~estyksessa: 0HJEITA Mat-2.2104 Tap 10.5.2013 opiskelijanumero ki~ain TEKSTATEN

Lisätiedot

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

MTTTP1, luento KERTAUSTA

MTTTP1, luento KERTAUSTA 19.3.2019/1 MTTTP1, luento 19.3.2019 KERTAUSTA Varianssi, kaava (2) http://www.sis.uta.fi/tilasto/mtttp1/syksy2018/kaavat.pdf n i i n i i x x n x n x x n s 1 2 2 1 2 2 1 1 ) ( 1 1 Mittaa muuttujan arvojen

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:

2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli: 2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. Son height (cm) 21 2 19 18 17 16 15 15

Lisätiedot

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... Sisällysluettelo ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE... 7 1. MONIMUUTTUJAMENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ... 9 1.1 MONIMUUTTUJA-AINEISTON ERITYISPIIRTEITÄ...

Lisätiedot

Lumipallo regressioanalyysista. Logistinen regressioanalyysi. Soveltuvan menetelmän valinta. Regressioanalyysi. Logistinen regressioanalyysi I

Lumipallo regressioanalyysista. Logistinen regressioanalyysi. Soveltuvan menetelmän valinta. Regressioanalyysi. Logistinen regressioanalyysi I Lumipallo regressioanalyysista jokainen kirjoittaa lapulle yhden lauseen regressioanalyysista ja antaa sen seuraavalle Logistinen regressioanalyysi Y250. Kvantitatiiviset menetelmät (6 op) Hanna Wass tutkijatohtori

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot