Tassu Takala ! Verkostot / Tassu Takala! 1!
|
|
|
- Johanna Niemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tassu Takala ! Verkostot / Tassu Takala! 1!
2 August 2011 Web Server Survey! Millainen verkko on! Internet?! WWW?! Kuinka verkko rakentuu?! Mitä verkossa tapahtuu?! link ! to Feb 2016: Verkostot / Tassu Takala! 2!!
3 Internet back bone in Europe! ! Verkostot / Tassu Takala! 3!
4 en.wikipedia.org/wiki/file:internet_map_1024.jpg Internetin rakenne! ! Verkostot / Tassu Takala! 4!
5 Sosiaalinen media! sosiaalisten verkostojen kehittämistä ja ylläpitämistä WWW-alustalla henkilökohtainen näkyvyys, työnhaku, palvelujen välittäminen, keskustelu, jne. millaisia sosiaaliset viestintäverkostot ovat rakenteeltaan? ! Verkostot / Tassu Takala! 5!
6 Käsitekaaviot! Mindmap vapaiden assosiaatioiden kuvausta Entity-Relationship Diagram (ERD) formaali jäsennys semanttisille suhteille esim. tietokantojen suunnittelua varten "semanttinen verkko" Unified Modeling Language (UML) erityisesti olioohjelmoinnin työkaluna ! Verkostot / Tassu Takala! 6!
7 Putting semantic meaning into web pages, not just words. Semanttinen Web! Content Providers Semantic Metadata kulttuurisampo! National Ontology Infrastructure ! Verkostot / Tassu Takala! 7!
8 Mahdollisuuksien verkot" ja päätöksenteko! aineksina tapahtumien kausaalisuussuhteet ja ehdolliset todennäköisyydet! systeemianalyysi: eri mahdollisuuksien kartoitus ja vaikutusten arviointi päätöksenteon tueksi! peliteoria, tekoälyalgoritmit! keskimääräisten vaikutusten laskeminen" esim. vakuutusten hinnoittelussa! poliittiset päätökset, " esim. ilmastonsuojelu! Bayes-verkot: havaintoja" selittävien tekijöiden estimointia! ! Verkostot / Tassu Takala! 8!
9 topologia = oppi naapuruuksista! Maantieteelliset verkostot" (ei vakiintunutta nimitystä)! naapuruussuhteet perustuvat fyysiseen läheisyyteen, ei pelkkään informaatioon! esim. logistiikka! verkkoteorian alkujuuria: Königsbergin sillat (L.Euler)! voiko kävelylenkillään mennä tasan kerran jokaisen sillan yli?! ! Verkostot / Tassu Takala! 9!
10 Liikenne! maantiet vs. lentoreitit entä joet?! ! Verkostot / Tassu Takala! 10!
11 Geometriset 3D-mallit! vertex (solmu): sijantikoordinaatit edge (kaari): monitahokkaan särmä face: särmäketjun rajaama monikulmio usein lisäksi duaaliverkko: tahojen naapuruudet ! Verkostot / Tassu Takala! 11!
12 Eulerin luku! ! Verkostot / Tassu Takala! 12!
13 Eulerin luku! pätee jokaiselle monitahokkaalle, jonka särmät muodostavat tasoverkon ! Verkostot / Tassu Takala! 13!
14 Ilmiöitä verkostoissa! informaation leviäminen! logistiikka: materiaalin (ihmisten / eliöiden / esineiden) siirtyminen! dynaamisia ilmiöitä! epidemiat (tautien leviäminen)! uutiset ja juorut (tiedon leviäminen)! laumailmiöt, kansanliikkeet! perustana ketjureaktio:"!kuinka verkon solmut vaikuttavat naapureihinsa?! emergenssi = odottamaton ilmiö! yksinkertaisista naapuruusvaikutuksista voi syntyä laajana havaittava kokonaisuus! ! Verkostot / Tassu Takala! 14!
15 Fysikaalisten ilmiöiden mallintaminen mallinnetaan jatkuvaa materiaalia " diskreetteinä palasina ja niiden riippuvuussuhteina "!! verkko! riittävän tiheä osiinjako antaa hyvän approksimaation! vrt. määrätty integraali! differentiaaliyhtälö vs. differenssiyhtälö! mallinnettua ilmiötä voidaan simuloida! esim. lämmön johtuminen, aaltoliikkeen leviäminen! äärimmillään jatkuva materiaalikin koostuu atomeista! ! Verkostot / Tassu Takala! 15!
16 Elementtimenetelmä (FEM)! ! Verkostot / Tassu Takala! 16!
17 Kemia / tilastollinen fysiikka! Molekyylien koostumus mitkä kytkennät" ovat mahdollisia atomien välillä?" esim. steroidirunko (ABCD) monien" tärkeiden aineiden perustana:! kolesteroli Monet verkostotieteen menetelmät ja " havaitut ilmiöt muistuttavat " hiukkasfysiikkaa! Atomien / molekyylien " takertuminen toisiinsa," kun aine kiinteytyy tai" nesteytyy.! NB. tästä syystä paljon verkostotieteen tuloksia fysiikan alan julkaisuissa! ! Verkostot / Tassu Takala! 17!
18 Dynaamisesti muuttuvat verkot! kasvava/vähenevä verkko (esim. kaveripiiri)! liikkuvien olioiden naapuruussuhteet! linnut tarkkailevat vain lähinaapureitaan, " joihin sopeuttavat oman lentonsa! emergentti ilmiö: parvikäyttäytyminen! periaatteita ja demo! ! Verkostot / Tassu Takala! 18!
19 ! Verkostot / Tassu Takala! 19!
20 ! Verkostot / Tassu Takala! 20!
21 ! Verkostot / Tassu Takala! 21!
22 ! Verkostot / Tassu Takala! 22!
23 ! Verkostot / Tassu Takala! 23!
24 ! Verkostot / Tassu Takala! 24!
25 ! Verkostot / Tassu Takala! 25!
26 Verkostotyyppejä: tasoverkot Verkko on tasoverkko, jos se voidaan piirtää tasoon niin, etteivät kaaret leikkaa toisiaan Onko neljän solmun täydellinen verkko tasoverkko?!...entä viiden?! Jos aluejakoa esittävän tasoverkon G rajaamat alueet esitetään solmuina ja alueiden naapuruudet kaarina, syntyy duaaliverkko G' kartan väritysongelma: riittääkö neljä väriä? (Wikipedia: Four color theorem)! ! Verkostot / Tassu Takala! 26!
27 Kertausta peruskäsitteitä: solmu (node) ja kaari (edge)! polku (jono perättäisiä kaaria solmusta toiseen)! asteluku (solmuun liittyvien kaarien määrä)! verkkojen ominaisuuksia! täydellinen (kaikkien mahdollisten solmuparien välillä kaari)! yhtenäinen (joka solmusta polku jokaiseen muuhun)! jollei, muodostuu useammasta yhtenäisestä komponentista! puu (ei silmukoita, vaan yksikäsitteinen polku joka solmuparin välillä)! suunnattu (kaarilla on alku- ja loppusolmu)! rakennetyyppejä! ketju, hila, puu (säännöllisenä toistuva rakenne)! satunnainen (kaaria luotu satunnaisesti solmujen välille)! ! Verkostot / Tassu Takala! 27!
28 ks. määritelmistä esim. Wikipedia: 'Graph (mathematics)'! Sanastoa! Verkko, verkosto: network Graafi: graph Solmu: node, vertex Kaari: link, edge Nimike: attribute Kaaren paino: edge weight Aste: degree Astejakauma: degree distribution Naapuri: neighbo(u)r Naapurusto: neighbo(u)rhood Polku: path Lyhin polku: shortest path Halkaisija: diameter Adjasenssimatriisi: adjacency matrix Puu: tree Metsä: forest Säännöllinen verkosto: regular network Satunnaisverkosto: random network ! Verkostot / Tassu Takala! 28!
29 Graafialgoritmeja kuinka verkkoja esitetään tietokoneessa? kuinka niiden ominaisuuksia voidaan laskennallisesti määritellä?! 1. Verkon esitystapa tietorakenteena 2. Kiinnostavien ominaisuuksien laskenta 3. Optimointitehtäviä 4. Verkostojen visualisointi ! Verkostot / Tassu Takala! 29!
30 Verkko tietorakenteena Linkitetty listarakenne luonnostaan suunnattu verkko suuntaamaton esitetään usein kaksisuuntaisena Lineaarinen lista eri listoina solmut ja kaaret <solmuparit> Vierusmatriisi matemaattisesti kätevä, taulukko tehoton implementaationa Aputietorakenteita solmujen ominaisuudet: laji, nimi (label), väri, numero, tms. kaarien ominaisuudet: vahvuus (weight), yms. ylimääräinen linkitys algoritmeja tehostamaan, esim. käänteiskaaret verkon komponenttien juurisolmut tilapäiset ominaisuudet, esim. onko algoritmi jo käynyt solmussa geometriset piirteet: solmun sijainti, kaaren reitti { 1, 2, 3, 4, 5 }! { <1,2> <1,5> <2,5> <2,4> <2,3> <4,3> <4,5> }! x x 2 x x x x 3 x x 4 x x x 5 x x x ! Verkostot / Tassu Takala! 30!
31 Algoritmien tietolähteitä Wikipedia: Graph Algorithms Depth-first search, Breadth-first search, Connected_component_(graph_theory), Minimum spanning tree, Graph drawing LEDA-ohjelmiston tutoriaali Kirjasto ja demo-koodia Scalalla ! Verkostot / Tassu Takala! 31!
32 Verkon läpikäynti (traversal) Perustoiminto monissa algoritmeissa. Yleisperiaate! 1. valitse aloitussolmu! 2. etsi seuraava solmu! 3. jatka, kunnes kaikki on käsitelty! Lineaarinen solmulista: kaaret eivät vaikuta järjestykseen, ei seurata verkon polkuja! Linkkien seuraaminen: vaihtoehtoja käsittelyjärjestykselle! breath-first search (BFS): käsitellään nykyisen solmun jälkeen kaikki sen naapurit, sitten niiden naapurit, jne.! depth-first search (DFS): haetaan ensin nykyisen solmun ensimmäinen naapuri ja kaikki sen seuraajat, sitten seuraava naapuri loppuun asti jne.! eroa siinä käsitelläänkö lähtösolmu ennen sen seuraajia (prefix) vai niiden jälkeen (postfix)! Pidettävä yllä tietoa, mitkä osat verkosta jo käsitelty! puurakenteissa rekursion avulla! muuten merkittävä käsitellyt solmut erikseen! ! Verkostot / Tassu Takala! 32!
33 Perusalgoritmeja Suuntaamattoman verkon täydentäminen kaksisuuntaiseksi kaarilistaan lisätään jokaisen kaaren käänteiskaari (a,b)! (b,a) Asteluvun laskenta kullekin solmulle sen linkkilistan pituus suuntaamaton verkko ensin kaksisuuntaiseksi tilastoinnissa käydään kaikki solmut läpi ja kerätään astelukujakauma histogrammina Muita lokaaleja ominaisuuksia, esim. täydellisyys (jokaisen solmun asteluku = N-1) naapurusto (solmun naapurit = linkkilista) klusteroituminen (naapuruston keskinäisten linkkien määrä) muodosta lista solmun naapureista laske kustakin tämän osaverkon solmusta, kuinka moni linkki osoittaa saman listan solmuihin (NB. brute force, ei kovin tehokas) ! Verkostot / Tassu Takala! 33!
34 Polun löytäminen Haettava (lyhin) polku annetusta lähtösolmusta tavoitesolmuun Breath-first search merkitään käsiteltyyn solmuun aina siihen saakka edenneen polun pituus L lähtösolmussa L = 0 solmun seuraajaan siirryttäessä L kasvaa yhdellä lopetetaan, kun tavoitesolmu saavutettu Tuloksena aina lyhin mahdollinen polku Esimerkki: (Dictionary arrays) "How far is it from LOVE to PAIN?" NB. verkon halkaisijan laskenta vaikeaa tehdä tehokkaasti (brute force: hae lyhin polku kaikkein soluparien välillä ja valitse näistä pisin) ! Verkostot / Tassu Takala! 34!
35 Komponenttien etsintä Verkko on yhtenäinen, jos jokaisesta solmusta on polku kaikkiin muihin. Verkon yhtenäiset osat ovat komponentteja Algoritmi 1. valitse alkusolmu ja komponentin tunnus 2. käy läpi kaikki siitä rekursiivisesti tavoitettavat solmut (BFS tai DFS -periaatteella) 3. merkitse tunnuksella jokainen läpikäyty solmu 4. haun päätyttyä etsi listasta seuraava vielä merkitsemätön solmu, toista haku ja merkintä uudella tunnuksella Sovellus: yhtenäisten alueiden hakeminen digitaalisesta kuvasta naapuruus = (saman väristen) pikseleiden vierekkäisyys (4 tai 8 kpl) Vahvat komponentit (strongly connected component) ovat suunnatun verkon osia, joissa jokaisesta solmusta on suunnattu polku kaikkiin muihin! Tarjan's algorithm ! Verkostot / Tassu Takala! 35!
36 Optimointitehtäviä (LEDA tutorial ) Network flow suunnatut kaaret kuvaavat logistista virtausta solmujen välillä; kullakin kaarella rajoitteena maksimikapasiteetti tavoitteena maksimoida kokonaisvirtaus lähtösolmusta (tuottaja) tavoitesolmuun (kuluttaja), muiden solmujen tuleva ja lähtevä virtaus samat Matching bipartiittisen verkon solmut voidaan jakaa kahteen joukkoon, joiden välillä on kaaria, muttei joukkojen sisällä esimerkkinä deittipalvelun optimointi: kaaret kuvaavat potentiaalisia pareja, tehtävänä on yhdistellå maksimaalinen määrä pariskuntia Minimum spanning tree haettavana painotetussa verkossa virittävä puu, jonka kokonaiskustannus minimoituu sovellus: sähköverkon optimointi Traveling salesman haettava painotetussa verkossa reitti jokaisen solmun kautta (ja paluu lähtösolmuun) siten että kokonaiskustannus minimoituu tunnettu NP-täydellinen ongelma, ts. ei ole olemassa algoritmista ratkaisua joka teoreettisesti olisi parempi kuin kaikkien vaihtoehtojen selaus (käytännössä on) ! hauska sovellus: Verkostot / Tassu Takala! 36!!
37 Verkon visualisointi Abstraktilla verkolla ei ole ulkomuotoa, mutta verkko voidaan upottaa (embed) tasoon (tai avaruuteen) ja piirtää näkyviin Hyvän visualisoinnin ominaisuuksia esitettävät tiedot (solmut, kaaret, nimikkeet ) erottuvat solmut sopivan kaukana toisistaan kaaret eivät leikkaa toisiaan (toteutuu täysin vain tasoverkoille) verkkoon liittyvä semanttinen tieto nähtävissä esim. organisaation hierarkiatasot kompleksisen verkon kiinnostavat osat korostettuina visualisointi voidaan tuottaa automaattisesti myös estetiikalla merkitystä Usein kompromissi eri vaatimuksista Huom. visualisointi ohjaa vahvasti sitä, millaiseksi verkon merkitys tulkitaan! demoja: yed ! Verkostot / Tassu Takala! 37! Aalto People
38 Yleisiä hahmotuslakeja Gestalt rules (eri variaatioita, ks. esim. ) Proximity Similarity Closure Continuity, connectedness Common fate Simplicity ("Good Gestalt") Figure / ground ! Verkostot / Tassu Takala! 38!
39 Layout-algoritmeja Puurakenne sijoitellaan solmut eri tasoille BFS-järjestyksessä vaihtoehtona kehärakenne, puun juuri keskellä Bipartiittinen verkko kaksi riviä/kehää, joiden välillä minimoidaan kaarien risteävyys Suunnattu verkko pyritään luomaan solmuille osittaisjärjestys, jonka mukaisesti sijoitellan tasoille/kehille esim. projektikaaviot (PERT, Gant) Yleinen (yhtenäinen) verkko kehä: sijoitellaan solmut kehälle halkaisijan mukaisessa järjestyksessä, loput kaaret piirretään kehän sisälle jousimalli: sijoitellaan solmut aluksi satunnaisesti tasoon, iteroidaan sitten niin että "rangaistusfunktio" minimoituu: kuhunkin solmuväliin kohdistuu "jousivoima" joka vetää saapuvien kaarien lähdettä kohti ja työntää pois päin lähtevien kaarien kohteista lisäksi (ilman kaarta) liian lähellä olevat solmut hylkivät toisiaan sijoitetaan vahvasti kytkeytyneet komponentit eri alueille Semanttinen sijoitellaan solmuja/kaaria niiden merkitysten mukaisesti totunnaisilla tavoilla yleisesti hyvin vaikea onelma ! Verkostot / Tassu Takala! 39!
40 Luentotehtävä Sijoita itsesi ja lähiystävä- tai sukulaisverkostosi kuvitteelliselle kartalle (samassa taloudessa elävät kuuluvat samaan solmuun). Voit olettaa verkoston olevan yhtenäinen. Merkitse kukin solmu aakkosin (itse olet solmu A). Aiot vierailla jokaisen ystävän/sukulaisen luona. Mikä on vierailujärjestys, jos sovellat verkoston läpikäyntiin (a) DFS-hakua tai (b) BFS-hakua? ! Verkostot / Tassu Takala! 40!
Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
Algoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
Johdatus verkkoteoriaan luento Netspace
Johdatus verkkoteoriaan luento 20.3.18 Netspace Kurssin sijainti muussa suunnitellussa kokonaisuudessa Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot, verkon
TIE Tietorakenteet ja algoritmit 261
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 261 12 Graafit Seuraavaksi tutustutaan tietorakenteeseen, jonka muodostavat pisteet ja niiden välille muodostetut yhteydet graafiin. Keskitymme myös tyypillisimpiin
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta jälkiosasta IV Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden aikakompleksisuus
Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1
Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla
Suunnatut, etumerkilliset ja arvotetut graafit Sosiaalisten verkostojen analysoinnin näkökulmalla Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 12.12.2008 Jaakko Salonen jaakko.salonen@tut.fi TTY / Hypermedialaboratorio
PARITUS KAKSIJAKOISESSA
PARITUS KAKSIJAKOISESSA GRAAFISSA Informaatiotekniikan t iik seminaari i Pekka Rossi 4.3.2008 SISÄLTÖ Johdanto Kaksijakoinen graafi Sovituksen peruskäsitteet Sovitusongelma Lisäyspolku Bipartite matching-algoritmi
2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.
Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen
811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2018-2019 Kertausta jälkiosasta V Hashtaulukot ja binääriset etsintäpuut Hashtaulukot Perusajatus tunnettava Tiedettävä mikä on tiivistefunktio Törmäysongelman hallinta:
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista
Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia
Tietorakenteet ja algoritmit. Verkot. Ari Korhonen
Tietorakenteet ja algoritmit Verkot Ari Korhonen 1 10. VERKOT ( graphs ) 10.1 Yleistä 10.2 Terminologiaa 10.3 Verkon esittäminen 10.4 Verkon läpikäyntialgoritmit (graph traversal) 10.5 Painotetut verkot
keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a
Oikeasta tosi-epätosi -väittämästä saa pisteen, ja hyvästä perustelusta toisen.
Tietorakenteet, kevät 2012 Kurssikoe 2, mallivastaukset 2. (a) Järjestämistä ei voi missään tilanteessa suorittaa nopeammin kuin ajassa Θ(n log n), missä n on järjestettävän taulukon pituus. Epätosi: Yleisessä
811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 V Verkkojen algoritmeja Osa1 : Leveys- ja syvyyshaku Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi 811312A
Johdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 166 Luku 4 Erilaisia graafeja 4.1 Eulerin graafi 4.2 Hamiltonin graafi 4.3 Tasograafi 4.4 Graafin värittäminen
13 Lyhimmät painotetut polut
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 297 13 Lyhimmät painotetut polut BFS löytää lyhimmän polun lähtösolmusta graafin saavutettaviin solmuihin. Se ei kuitenkaan enää suoriudu tehtävästä, jos kaarien
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin.
Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on. Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan.
5. Verkkoalgoritmeja Eräs keskeinen algoritmien suunnittelutekniikka on Palauta ongelma johonkin tunnettuun verkko-ongelmaan. Palauttaminen edellyttää usein ongelman ja algoritmin pientä modifioimista,
0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
T : Max-flow / min-cut -ongelmat
T-61.152: -ongelmat 4.3.2008 Sisältö 1 Määritelmät Esimerkki 2 Max-flow Graafin leikkaus Min-cut Max-flow:n ja min-cut:n yhteys 3 Perusajatus Pseudokoodi Tarkastelu 4 T-61.152: -ongelmat Virtausverkko
Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?
7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
Joonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)
811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo
TKT20001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe , malliratkaisut (Jyrki Kivinen)
TKT0001 Tietorakenteet ja algoritmit Erilliskoe 5.1.01, malliratkaisut (Jyrki Kivinen) 1. [1 pistettä] (a) Esitä algoritmi, joka poistaa kahteen suuntaan linkitetystä järjestämättömästä tunnussolmullisesta
Internet ja muut informaatioverkostot
Internet ja muut informaatioverkostot Pekka Orponen Teknillinen korkeakoulu Tietojenkäsittelyteorian laboratorio Tieteen päivät 2005 1 Tieteen päivät 2005 Pekka Orponen 2 Sisällys Verkostoja Verkostomalleja
Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut
Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten
Diskreetit rakenteet
Diskreetit rakenteet 811120P 5 op 7. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1 Mikä on verkko? verkko (eli graafi) koostuu solmuista ja väleistä, jotka yhdistävät solmuja
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19
8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).
Malliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia
Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä
Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista
8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),
Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä
Keskeiset ladonta-algoritmit verkostoanalyysityössä Verkostoanalyysi 2011 TTY Jarno Marttila Tampereen teknillinen yliopisto Hypermedialaboratorio TUT / HLAB 1 Sisällys Graafien piirtämisestä Ladonnasta
Algoritmit 1. Luento 13 Ma Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ma 26.2.2018 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.40 Lineaarinen ohjelmointi 5..007 Luento 9 Verkkotehtävän erikoistapauksia (kirja 7., 7.5, 7.9, 7.0) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 007 / Luentorunko (/) Verkkotehtävän ominaisuuksia Kuljetustehtävä
Silmukkaoptimoinnista
sta TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
Algoritmit 2. Luento 4 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 To 21.3.2019 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 4
Algoritmit 2. Luento 11 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 11 Ti 24.4.2018 Timo Männikkö Luento 11 Rajoitehaku Kapsäkkiongelma Kauppamatkustajan ongelma Paikallinen etsintä Lyhin virittävä puu Vaihtoalgoritmit Algoritmit 2 Kevät 2018 Luento
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet ja algoritmit Uusinta- ja erilliskoe 12.9.2018 ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. [10 pistettä] Iso-O-merkintä. (a) Pitääkö paikkansa, että n 3 + 5 = O(n 3 )? Ratkaisu: Pitää paikkansa.
Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.
Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.
Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
Algoritmit 1. Luento 14 Ke 25.2.2015. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 14 Ke 25.2.2015 Timo Männikkö Luento 14 Heuristiset menetelmät Heuristiikkoja kapsäkkiongelmalle Kauppamatkustajan ongelma Lähimmän naapurin menetelmä Kertaus ja tenttivinkit Algoritmit
Ratkaisu. Tulkitaan de Bruijnin jonon etsimiseksi aakkostossa S := {0, 1} sanapituudelle n = 4. Neljän pituisia sanoja on N = 2 n = 16 kpl.
iskreetti matematiikka, syksy 00 arjoitus, ratkaisuista. seta 8 nollaa ja 8 ykköstä renkaaksi niin, että jokainen yhdistelmä 0000, 000,..., esiintyy täsmälleen kerran. Vihje: Tulkitse de ruijnin jonon
Harjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 6 Ke 25.1.2017 Timo Männikkö Luento 6 Järjestetty lista Listan toteutus dynaamisesti Linkitetyn listan operaatiot Vaihtoehtoisia listarakenteita Puurakenteet Binääripuu Järjestetty
Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 25.3.2011 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla
A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017
Lyhin kahden solmun välinen polku
Lyhin kahden solmun välinen polku Haluamme etsiä lyhimmän polun alla olevan ruudukon kohdasta a kohtaan b vierekkäisten (toistensa sivuilla, ylä- ja alapuolella olevien) valkoisten ruutujen välinen etäisyys
Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
Liite: Verkot. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 : Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa
Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 5 Ti 26.3.2019 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento 5 Ti 26.3.2019 2/34 B-puu B-puut ovat tasapainoisia
verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
Algoritmit 2. Luento 2 To Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 To 14.3.2019 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2019 Luento
9. Graafit. 9.1. Graafin abstrakti tietotyyppi
9. Graafit Graafeilla eli verkoilla esitetään yhteystietoja. Esimerkkejä niistä ovat kaupunkikartan kadut ja tietoverkon tietokoneet. Tämä luku tarkastelee verkkojen perusasioita. 9.1. Graafin abstrakti
58131 Tietorakenteet Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58131 Tietorakenteet Erilliskoe 11.11.2008, ratkaisuja (Jyrki Kivinen) 1. (a) Koska halutaan DELETEMAX mahdollisimman nopeaksi, käytetään järjestettyä linkitettyä listaa, jossa suurin alkio on listan kärjessä.
Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26
Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon 12 laskareihin
Tietorakenteet, esimerkkivastauksia viikon laskareiin (a) Oletetaan seuraavan kuvan mukainen verkko ja etsitään lyyimpiä polkuja solmusta Ensimmäiseksi käsitellään solmu B, jonka etäisyys on kolme Seuraavaksi
Datatähti 2019 loppu
Datatähti 2019 loppu task type time limit memory limit A Summa standard 1.00 s 512 MB B Bittijono standard 1.00 s 512 MB C Auringonlasku standard 1.00 s 512 MB D Binääripuu standard 1.00 s 512 MB E Funktio
Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)
Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
j(j 1) = n(n2 1) 3 + (k + 1)k = (k + 1)(k2 k + 3k) 3 = (k + 1)(k2 + 2k + 1 1)
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Tentti ja välikokeiden uusinta 10.11.015 Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskimia tai taulukoita ei saa käyttää tässä kokeessa!
Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)?
inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi 8..7 Luento 8 Verkkotehtävät, simlex ja duaalisuus (kirja 7.-7., 7.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Motivointi Käsitteitä Verkkotehtävä Verkkosimlex Duaalitehtävä Yhteenveto
Graphs in Social Network Analysis And Modeling. Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa
Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008 2009 1 Graphs in Social Network Analysis And Modeling Graafit sosiaalisten verkostojen mallintamisessa 28.11.2008 Thumas Miilumäki thumas.miilumaki@tut.fi Sisältö
Kiinnostuspohjainen topologian hallinta järjestämättömissä vertaisverkoissa
Kiinnostuspohjainen topologian hallinta järjestämättömissä vertaisverkoissa Lektio 20.12.2012, Annemari Soranto Tietotekniikan laitos annemari.k.soranto@jyu.fi 1 Agenda Vertaisverkon määritelmä Haku vertaisverkossa
VERKKOTEORIAN ALKEITA. Martti E. Pesonen 28.2.2013
VERKKOTEORIAN ALKEITA Martti E. Pesonen 28.2.2013 1 Sisältö 1 VERKOISTA 1 1.1 Mitä matemaattiset verkot ovat?................ 1 1.1.1 Verkkoteorian synty.................... 1 1.2 Suuntaamaton verkko.......................
Algoritmit 2. Luento 12 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 12 Ke 26.4.2017 Timo Männikkö Luento 12 Rajoitehaku Kauppamatkustajan ongelma Lyhin virittävä puu Paikallinen etsintä Vaihtoalgoritmit Geneettiset algoritmit Simuloitu jäähdytys Algoritmit
3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.
3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla
Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)
Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4
Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu
Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille?
Voidaanko verkkoteoriaa opettaa lukiolaisille? Tuotetun oppimateriaalin analysointia aiheesta painotetut verkot Pro gradu -tutkielma Mika Koponen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 1.
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)
Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut 3 / vko 10
Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkiratkaisut / vko 0 Tuntitehtävät - lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät - loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät - tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa.
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 6: Verkkoteoria Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Verkkojen peruskäsitteitä Motivaatiota (...) networks may
Search space traversal using metaheuristics
Search space traversal using metaheuristics Mika Juuti 11.06.2012 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki
Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento
Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton
Englannin lausekerakenteita ja taulukkojäsentäminen
Englannin lausekerakenteita ja taulukkojäsentäminen Kontekstittomat jäsennysmenetelmät Lili Aunimo lili.aunimo@helsinki.fi Helsingin yliopisto Kieliteknologia Lili Aunimo Englannin lausekerakenteita ja
j n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.
Graafiteoria matematiikkaako?
Koostanut: Elina Viro, Juho Lauri Opettajalle Graafiteoria matematiikkaako? Kohderyhmä: 7.-9.-luokkalaiset Esitiedot: - Taustalla oleva matematiikka: Graafiteoria, looginen ajattelu Ajankäyttö: Varsinainen