6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet
|
|
- Raili Heikkinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet Värien käyttö kuvissa on hyödyllistä kahdesta syystä. Väri on tehokas kuvaaja kohteiden tunnistamiseksi ja erottamiseksi näkymästä. Toiseksi normaalilla värinäöllä varustettu ihminen voi erottaa tuhansia värisävyjä ja intensiteettejä. Värikuvien laskennallinen käsittely jaotellaan kahteen pääalueeseen: täysväri ja pseudoväriprosessointi. Edellisessä kuvaus hoidetaan täysväriantureilla, esim. TV kamera tai väriskanneri. Aiemmin värikuvien käsittely oli pseudoväriprosessointia, jossa väri määrättiin kullekin monokromaattiselle intensiteettiarvolle. Edellä esitetyt menetelmä soveltuvat monesti suoraan värikuville. Muutamia joudutaan kuitenkin modifioimaan. Ihmisen näkemä väri on luonnollisesti psykofysiologinen havainto, jota ei edes täysin tunneta. Värejä voidaan kuitenkin tutkia fysiikan ja optiikan menetelmät lähtökohtina. Vuonna 1666 Isaac Newton keksi valon taittuvan ja hajaantuvan lasiprisman läpi kulkiessaan kaikkiin väreihin violetista punaiseen (kuva 6.1.). Saman ilmiön voi nähdä sateenkaaressa, jossa vesipisarat toimivat pieninä prismoina. Kuvassa 6.2. nähdään näkyvän valon osuuden olevan sangen kapea kaista sähkömagneettisen säteilyn spektristä. Esim. vihreä kohde heijastaa valoa, jonka aallonpituus on nm, mutta absorboi valtaosan muiden aallonpituuksien säteilyenergiasta. Värikuvanprosessointi 309 Värikuvanprosessointi 310 Valon ollessa akromaattista, väritöntä, sen ainoa ominaisuus on intensiteetti. Mustavalkotelevisioiden kuva oli tällainen. Kuten mainittu, harmaasävy vastaa intensiteettiarvoa. Kuva 6.1. Lasiprisman läpi kulkeva valkoinen valo hajaantuu kaikiksi väreiksi. Kuva 6.2. Sähkömagneettisen säteilyn aallonpituudet, joista näkyvä valo on varsin kapea osa. Kromaattista eli värillistä valoa, sähkömagneettisen säteilyn aallonpituuksia nm, luonnehditaan kolmella suureella, radianssi, luminanssi ja kirkkaus, kuten aiemmin kuvattiin. Luminanssi on havaitsijan havaitsema energian määrä, radianssi on valolähteen kokonaisenergia ja kirkkaus on jokseenkin subjektiivinen käsite. Värit sininen, vihreä ja punainen ovat tärkeimmät eli päävärit, sillä ihmissilmä aistii herkästi nämä. Muut värit nähdään päävärien vaihtelevien sekoitusten aallonpituuksina. Näistä tulee lyhenne RGB. Päävärit eivät käsitä vain yhtä, vaan useita aallonpituuksia (kuva 6.3.), joten on mahdollista generoida runsaasti erilaisia värisävyjä. Värikuvanprosessointi 311 Värikuvanprosessointi 312
2 Päävärejä voidaan lisätä toisiinsa (sekoittaa), jolloin saadaan sekundaarivärejä, esim. punaisesta ja sinisestä purppuranpunainen eli magenta sekä vihreästä ja punaisesta keltainen (kuva 6.4.(a)). Sekoittamalla kolmea pääväriä tai sekundaarista vastapääväriinsä sopivilla intensiteeteillä saadaan valkoinen. Kuva 6.3. Ihmissilmän tappisolujen absorboimat valon aallonpituudet. Valon ja väriaineen eli väripigmentin päävärien erottaminen on olennaista. Väriaineilla pääväri määritellään sellaisena, joka absorboi eli vähentää yhtä pääväriä, mutta heijastaa eli säteilee kahta muuta. Täten väriaineiden päävärit ovat purppura, sinivihreä (cyan) ja keltainen (kuva 6.4.(b)). Kolmen väriainepäävärin tai sekundaarisen väriainevärin ja tämän vastapäävärin sopiva yhdistelmä tuottaa mustan. Värikuvanprosessointi 313 Värikuvanprosessointi 314 Vanhojen väritelevisioiden ja kuvaputkien (katodisädeputki, CRT) yleensä toimintaperiaate oli teknisesti varsin erilainen kuin nykyisten LCD (liquid crystal displa tai plasmanäyttöjen. Sen sijaan siinä suhteessa, että ne kaikki käyttävät kolmea alipkseliä (punainen, vihreä ja sininen) yhden väripikselin muodostamiseen, ne noudattavat samaa periaatetta. Aktiivimatriisinäytöt käyttävät TFT:tejä (thin film transistor) pikselien osoittamiseen ja valosuotimia tuottamaan kolmea pääväriä pikselin kolmeen (väri)paikkaan. Kuva 6.4. (a) Valon ja (b) väriaineen eli pigmentin päävärit ja sekundaariset värit. Värit erotetaan toisistaan suureilla kirkkaus (brightness), värisävy (hue) ja kylläisyys (saturation). Kirkkaus ilmentää intensiteetin akromaattista piirrettä. Värisävy viittaa valosekoituksen vallitsevaan aallonpituuteen havaitsijan näkemänä värinä. Kylläisyys viittaa valkoisen valon osuuteen värisävyssä. Täten täysspektrin värit ovat täysin kylläisiä. Esim. vaaleanpunainen (punainen ja valkoinen) on hieman vähemmän kylläinen riippuen käänteisessä suhteessa mukana olevan valkoisen valon määrästä. Värikuvanprosessointi 315 Värikuvanprosessointi 316
3 Värisävy ja kylläisyys muodostavat yhdessä kromaattisuuden. Näin väri voidaan määritellä kromaattisuuden ja kirkkauden avulla. Määrätyn värin muodostamiseksi käytettyä määrää punaista, vihreää ja sinistä valoa merkitään muuttujilla X, Y ja Z. Väri saadaan näin kolmella arvolla X Y Z x =, y = ja z =, X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z Kuva 6.5. Kromaattisuusdiagrammi. joiden summa on yhtä kuin 1. Kokeellisesti muodostetuista taulukoista on saatavissa eri aallonpituuksia vastaavat värit näillä kolmella arvolla. Käytetään myös CIE kromaattisuusdiagrammia (kuva 6.5.), joka antaa väriyhdistelmän punaisen x ja vihreän y funktiona. Esim. vihreällä kuvassa merkitty piste käsittää 62 % vihreää ja 25 % punaista. Sinistä on tällöin loput eli 13 %. Laitteiden käyttämä alue on yleensä suppeampi, kuten kuva 6.6. esittää. Värikuvanprosessointi 317 Värikuvanprosessointi Värimallit Kuva 6.6. RGB värimonitorin tyypillinen värikirjo (kolmio) ja väritulostimen värikirjo (kolmion sisällä oleva epäsäännöllisen muotoinen alue). Värimallien perusteella värien määritys on standardoitu. Kukin väri määritetään värimallin koordinaatiston pisteenä. Laitteistosuuntautunut värimalli on RGB (red, green ja blue), jota käytetään värinäytöissä ja videokameroissa. Sellainen on myös CMY (cyan, magenta ja yellow) ja CMYK (edellisten lisäksi black), joita sovelletaan väritulostimissa. HSI malli (hue, saturation ja intensit vastaa lähinnä tapaa, jolla ihminen kuvaa ja tulkitsee värejä. Vaikka käytännössä tarvitaan näitä kaikkia sovellustarpeesta riippuen, tarkastellaan kuitenkin ainoastaan RGB mallia. Mallien välillä on tehtävissä muunnoksia. Värikuvanprosessointi 319 Värikuvanprosessointi 320
4 RGB malli perustuu karteesiseen tuloon kuvan 6.7. tapaan. Päävärit punainen, vihreä ja sininen ovat kolmessa nurkassa (kärkipisteissä) ja sekundaarivärit kolmessa muussa. Musta on origossa ja valkoinen kärkipisteessä, joka on kauimpana origosta. Harmaasävyt sijaitsevat janalla, joka kulkee origosta valkoisen värin kärkeen. Mallia kutsutaan myös värikuutioksi (kuva 6.8.). Värikuutio kuvassa 6.8. sisältää (2 8 ) 3 = väriä. Värejä voidaan tarkastella viipaloimalla värikuutio tasoiksi, ts. kiinnittämällä yksi komponentti ja muuttamalla kahta muuta. Esimerkkinä on (127,G,B), jossa G,B=0,1,,255. Kuva 6.9.(a) osoittaa, kuinka leikkauskuva nähdään syötettäessä kolme värikomponenttia värinäytölle. Komponenttikuvissa 0 on musta ja 255 valkoinen (huomaa, että nämä ovat harmaasävykuvia). Kuva 6.9.(b) esittää, miten kuution kolme piilotettua (kuva 6.8.) tasoa on generoitu vastaavasti. kuva 6.7. RGB värikuutio, jossa valkoinen on pisteessä (1,1,1) ja musta origossa. Värikuvanprosessointi 321 Värikuvanprosessointi 322 a b Kuva bitin RGB värikuutio. Kuva 6.9.(a) RGB kuvan generointi kolmesta leikkaustasosta (127,G,B) ja (b) kuvan 6.8. kolme piilotettua kuution tasoa. Värikuvanprosessointi 323 Värikuvanprosessointi 324
5 Värikuvanhankinta on pohjimmiltaan käänteinen kuvan 6.9. tilanteelle. Värikuva voidaan saada käyttäen kolmea suodinta, joista kukin on herkkä punaiselle, vihreälle tai siniselle. Jos katsoisimme värikuvaa monokromaattisella näytöllä, joka olisi varustettu vuorotellen yhdellä em. suotimista, tulos olisi monokromaattinen kuva, jonka intensiteetti olisi suhteessa suotimen vasteeseen. Näin saataisiin värikuvan kolme RGB komponenttia. Todellisissa laitteissa värikuva anturit on integroitu. Vaikka hyvätasoiset näytöt ovat 24 bittisiä, monessa järjestelmässä vähempi riittää ja käytetään vain 256 väriä. Esim. pienikokoiset (ei tietokoneen) näytöt tuskin tarvitsisivat enempää. Yksi esimerkki on seuraavana esiteltävät pseudovärit. 256 väristä 40 on prosessoitu vaihtelevasti eri käyttöjärjestelmissä. Loput 216 väriä muodostavat de facto standardin, jotka ovat yleensä samoja eri järjestelmissä, erityisesti Internet sovelluksissa. Jokainen 216 väristä muodostetaan kolmella RGB arvolla niin, että niistä kukin voi olla jokin arvoista 0, 51, 102, 153, 204, 255. Näin on 6 3 =216 eri arvoa (jaollisia 3:lla). Kuva 6.10.(a) esittää nämä. Usein käytetään heksagonaalista lukuesitystä 0,1,2,,9,A,B,C,D,E,F (A=10 ja F=15 desimaalisina). Värikuvanprosessointi 325 Värikuvanprosessointi 326 a 6.3. Pseudovärikuvien prosessointi Termiä pseudovärit käytetään erottamaan tilanne monokromaattisista kuvista, joita käytetään aitojen värikuvien yhteydessä (Luvusta 6.4. alkaen). Pseudovärien tärkein sovelluskohde on visualisointi ja harmaasävykuvien tulkinta. b Kuva 6.10.(a) 216 RGB väriä ja (b) vastaavasti perusvalikoimaan mukaan otetut harmaasävyt. Intensiteetin viipalointi ja värikoodaus ovat yksinkertainen pseudovärikuvien prosessointimenetelmä. Esitettäessä kuva 3Dfunktiona (kuva 2.15.(a), s. 50) menetelmä on kuvattavissa sellaisena, jossa asetetaan koordinaattitason suuntaisia tasoja kuvaan. Kuva esittää esimerkin, jossa f(x,=l i viipaloi kuvan kahteen osaan. Tasoa voidaan käyttää koodaamaan kuva kahteen väriin riippuen siitä, onko pikselin intensiteetti tason ylä vai alapuolella. Värikuvanprosessointi 327 Värikuvanprosessointi 328
6 Tarkastellaan menetelmää yleisemmin. Esittäköön väli [0,L 1] harmaasävyt, jossa taso l 0 edustaa mustaa, f(x,=0, ja taso l L 1 valkoista, f(x,=l 1. Olkoon tasoja P eri intensiteettiarvoille, l 1, l 2,, l p. Kun 0<P<L 1, P tasoa jakavat harmaasävyt P+1 väliin, V 1,,V P+1. Värikoodaus tehdään f ( x, = ck jos f ( x, Vk, Kuva Intensiteetin viipaloinnin geometrinen tulkinta. jossa c k on määritelty k:nteen intensiteettiväliin V k. Kuva esittää tämän relaation, jonka mukaan jokainen intensiteettiarvo kuvautuu yhteen kahdesta väristä riippuen kummalla puolella tasoa intensiteettiarvo on. Värikuvanprosessointi 329 Värikuvanprosessointi 330 Esimerkki intensiteettien viipaloinnista on kuva 6.12., jossa (a) on monokromaattinen kilpirauhasen fantomkuva (testihahmo) ja (b) on tuloskuva kahdeksan värin käytön jälkeen. Tuloskuva esittää selvemmin eri osia, jotka näyttävät visuaalisesti melko tasaisenharmailta kuvassa 6.12.(a). Tässä värit jaettiin vapaasti eri väleihin ilman erityistä ennakkosuunnittelua. Kuva Intensiteetin koodaus väriksi. Värikuvanprosessointi 331 Kuva 6.13.(a) käsittää 8 bittisen monokromaattisen harmaasävykuvan, joka esittää hitsaussauman röntgenkuvan. Sauma näkyy tummahkon harmaana keskellä. Siinä on valkoisia juovia, jotka ovat hitsaussauman säröjä. Sovelletaan jälleen viipalointimenetelmää. Koska säröt ovat luonnollisesti tarkoitus tunnistaa, väritetään kirkkaat säröt eri värillä kuin muu kuva (kuva 6.13.(b)). Värikuvanprosessointi 332
7 a b (a) (b) Kuva 6.12.(a) Monokromaattinen kilpirauhasen fantomkuva ja (b) sama intensiteetin viipaloinnin jälkeen. Kuva 6.13.(a) Hitsaussauman monokromaattinen röntgenkuva ja (b) värikoodauksen tulos. Värikuvanprosessointi 333 Värikuvanprosessointi 334 Viipalointimenetelmää voidaan yleistää, jolloin voidaan vapaammin vaikuttaa värien valintaan. Tätä esittää kaavio kuvassa Suoritetaan kolme erillistä muunnosta kunkin pikselin intensiteetille. Kolme tulosta syötetään erikseen väritelevision punaiseen, vihreään ja siniseen kanavaan. Komposiittikuvan värisisältöä voidaan moduloida muunnosfunktioilla, jotka ovat intensiteettiarvojen funktioita (ei paikan funktioita). f(x, punainen muunnos vihreä muunnos f R (x, f G (x, Kuvan esimerkki esittää turvatarkastuksen röntgenkuvaa. Kuva sisältää muutamia tavaroita. Oikeassa yläkuvassa on lisäksi simuloitu muoviräjähde. Esimerkin tarkoitus on havainnollistaa värimuunnosten käyttöä joidenkin intensiteettien korostamiseksi. Kuva esittää käytetyt muunnosfunktiot. sininen muunnos f B (x, Kuva Pseudovärikuvan käsittelyn kaavio, jossa tulokset syötetään RGB näytölle. Värikuvanprosessointi 335 Värikuvanprosessointi 336
8 a Kuvan sinit käsittävät alueita, jotka ovat suhteellisen lähellä vakiota huippujensa kohdalla, ja alueita, jotka sisältävät nopeita muutoksia, aaltojen alaosissa. Muuttamalla kunkin sinin vaihetta ja taajuutta korostetaan harmaasävyn astetta väreissä. Jos esim. kaikki kolme muunnosta käsittävät saman vaiheen ja taajuuden, tuloskuva on monokromaattinen. Pieni vaiheen muutos eri muunnosten välillä aiheuttaa pienen muutoksen pikseleissä, joiden intensiteetit vastaavat sinien huippuja, varsinkin sinien ollessa leveitä (matalia taajuuksia). Sen sijaan jyrkempien kohtien intensiteettejä käsittävät pikselit saavat voimakkaamman värisisällön, koska vaihesiirrot aiheuttavat laajoja sinien välisiä amplitudieroja. b c Kuva 6.15.(b) oli saatu kuvan 6.1.6(a) muunnoksilla, jotka erottavat räjähteen, vaatepussin ja taustan. Kuva 6.15.(c) oli saatu kuvan 6.16.(b) muunnosfunktioilla. Tässä räjähde ja vaatepussi kuvautuivat samoilla muunnoksilla samanvärisiksi. Kuva 6.15.(a) Pseudoväreillä korostamista muunnoksen harmaasävyistä väreiksi avulla, (b) onnistunut muunnos ja (c) huonosti valittu muunnos. Värikuvanprosessointi 337 Värikuvanprosessointi 338 a Kuva 6.16.(a) Muunnokset, jotka erottelevat vaatepussin ja räjähteen, sekä (b) muunnokset, jotka eivät erottele. Esitetään vielä kuva 6.17., jossa on pseudovärejä käyttäen muunnettu kuva Jupiterin Io kuusta. (NASA) b (a) (b) Kuva 6.17.(a) Pseudovärein muokattu Jupiterin kuu Io ja (b) tarkennettu osakuva. Värikuvanprosessointi 339 Värikuvanprosessointi 340
9 6.4. Täysväriprosessoinin perusteet Täysväriprosessointia tapahtuu kahdella periaatteella. Ensimmäisessä kukin värikomponentti käsitellään erikseen ja sitten muodostetaan niiden yhdistelmä. Toisessa käsitellään väripikseleitä suoraan. Täysvärikomponentteja on kolme RGB mallissa, joten nämä voidaan tulkita vektoreina ikään kuin origosta RGB järjestelmän pisteeseen (kuva 6.7.). Olkoon c jokin RGB väriavaruuden vektori. Vektorin komponentit ovat sen RGB värikomponentit. Nämä ovat koordinaattien (x, funktio. Kuvalle M N on MN vektoria. c c( x, = c c R G B ( x, R( x, ( x, = G( x, ( x, B( x, (1) Värikuvanprosessointi 341 On syytä korostaa edellisen kaavan kuvaavan vektorin, jonka komponentit ovat spatiaaliset muuttujat x ja y. Käsitellään siis kuvia näiden suhteen. Kun pikselit koostuvat värikolmikoista, kutakin komponenttia voidaan käsitellä erikseen, kuten harmaasävykuvien yhteydessä on kuvattu. Näiden erillinen käsittely ei kuitenkaan aina vastaa värivektorin suoraa käsittelyä, jota varten pitää muokata uusia lähestymistapoja. Jotta kaksi lähestymistapaa olisivat ekvivalentteja, kahden ehdon on toteuduttava. Ensiksi prosessin pitää soveltua sekä vektoreille että skalaareille. Toiseksi komponentin operaation tulee olla riippumaton muista komponenteista. Kuva esittää spatiaalista naapurustokäsittelyä harmaasävy ja värikuville. Värikuvanprosessointi 342 Pohditaan esimerkkinä keskiarvoistamista. Kuvassa 6.18.(a) keskiarvoistus suoritetaan laskemalla yhteen naapuruston kaikkien pikselien intensiteetit ja jakamalla summa naapuruston pikselien lukumäärällä. Kuvassa 6.18.(b) lasketaan yhteen naapuruston kaikki vektorit ja jaetaan jokainen summan komponentti vektorien määrällä. Keskiarvovektorin komponentti on sama kuin pikselien intensiteettien summa kyseisen komponentin tapauksessa. Sama saadaan, jos keskiarvoistus suoritetaan komponenteittain ja vasta sitten muodostetaan lopullinen vektori. (a) (b) Kuva (a) Harmaasävy ja (b) RGB värikuvien spatiaalisia maskeja. Värikuvanprosessointi 343 Värikuvanprosessointi 344
10 6.5. Värimuunnokset Värimuunnokset käsittävät monesti muunnoksia värimallien välillä, esim. RGB:stä HSI:hin. Jätettäessä muut kuin tärkein, RGB, käsittelemättä tarkastellaan tässä vain muunnosta nimeltä värinviipalointi. Toisinaan on näet hyödyllistä korostaa jotakin määrättyä osaa kuvan väreistä, jotta kohteita voidaan erottaa ympäristöstään. Perusidea on joko (1) näyttää halutut värit niin, että ne erottuvat taustastaan, tai (2) käyttää värien määräämää aluetta maskina muulle käsittelylle. Suoraviivaista on laajentaa Luvun 3.2. intensiteetinviipalointia. Kun värimuunnokset ovat monimutkaisempia kuin harmaasävyjen kuvassa 3.8., tarvittava muunnos on nyt monimutkaisempi. Värinviipalointimenetelmät vaativat, että jokainen pikselin muunnettu värikomponentti on kaikkien alkuperäisten värikomponenttien funktio. Yksinkertainen tapa viipaloida värikuva on kuvata kiinnostuksen kohteen ulkopuoliset värit huomaamattomalla neutraalilla värillä. Jos kiinnostuksen kohteen värit sisällytetään kuutioon, jonka leveys on W ja origo on prototyyppi eli keskiarvovärissä (a 1, a 2, a 3 ), muunnos on seuraava. W 0.5 jos rj a j > s 2 i = 1 j 3 i = 1,2,3 ri muuten Muunnos korostaa prototyypin lähivärejä pakottamalla kaikki muut referenssivärin keskipisteeseen, joka on sopivasti valittu. Esim. RGBväriavaruudelle sopiva sellainen (skaalattu) on keskiharmaa (0.5,0.5,0.5). Esimerkkinä on erotettu muunnoksella kuvan 6.19.(a) mansikat kuppien, maljan, kahvin ja pöydän taustasta. Värikuvanprosessointi 345 Värikuvanprosessointi 346 (a) (b) Kuva 6.19.(a) Alkuperäinen värikuva ja (b) värinviipalointi mansikoiden erottamiseksi kuvasta. Värikuvanprosessointi 347
6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet
6. Värikuvanprosessointi 6.1. Värien periaatteet Värien käyttö kuvissa on hyödyllistä kahdesta syystä. Väri on tehokas kuvaaja kohteiden tunnistamiseksi ja erottamiseksi näkymästä. Toiseksi normaalilla
LisätiedotVärijärjestelmät. Väritulostuksen esittely. Tulostaminen. Värien käyttäminen. Paperinkäsittely. Huolto. Vianmääritys. Ylläpito.
Tällä tulostimella voidaan tulostaa värillisiä asiakirjoja. Värituloste herättää huomiota, lisää arvostusta ja tulosteen tai tietojen arvoa. käyttö lisää lukijoiden määrää, sillä väritulosteet luetaan
Lisätiedot6.6. Tasoitus ja terävöinti
6.6. Tasoitus ja terävöinti Seuraavassa muutetaan pikselin arvoa perustuen mpäristön pikselien ominaisuuksiin. Kuvan 6.18.a nojalla ja Lukujen 3.4. ja 3.5. harmaasävjen käsittelssä esitellillä menetelmillä
Lisätiedot13. Värit tietokonegrafiikassa
13.1. Värijoukot tietokonegrafiikassa 13. Värit tietokonegrafiikassa Tarkastellaan seuraavaksi värien kvantitatiivista pohjaa. Useimmiten käytännön tilanteissa kiinnitetään huomiota kvalitatiiviseen. Värien
LisätiedotVÄRIT 12.2.2015 WWW-VISUALISOINTI - IIM60110 - VÄRIT
VÄRIT 12.2.2015 Väri on silmään saapuvan valon aistittava ominaisuus, joka havaitaan näkö- ja väriaistilla. Värin aistiminen riippuu silmään saapuvan valon sisältämistä aallonpituuksista ja niiden voimakkuuksista.
LisätiedotVÄRI ON: Fysiikkaa: valon osatekijä (syntyy valosta, yhdistyy valoon)
VÄRI VÄRI ON: Fysiikkaa: valon osatekijä (syntyy valosta, yhdistyy valoon) VÄRI ON: Biologiaa: näköaistimus (solut ja aivot) Kemiaa: pigmentti (väriaine, materiaali) VÄRI ON: VÄRI ON: Psykologiaa: havainto
LisätiedotValokuvien matematiikkaa
Valokuvien matematiikkaa Avainsanat: valokuva, pikseli, päättely Luokkataso: 3.-5. luokka, 6.-9. luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, tehtävämonisteet (liitteenä), mahdollisiin jatkotutkimuksiin tietokone
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotHAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Photoshop ohje 59 Väritilat, kanavat
HAAGA-HELIA ammattikorkeakoulu Photoshop ohje 59 VÄRIT Värimuokkain-ikkuna Työkalupaletin tai Color-paletin Foreground tai Background Color kuvaketta napsauttamalla saadaan näkyviin Color Picker-valintaikkuna
LisätiedotVÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA
VÄRISPEKTRIKUVIEN TEHOKAS SIIRTO TIETOVERKOISSA Juha Lehtonen 20.3.2002 Joensuun yliopisto Tietojenkäsittelytiede Kandidaatintutkielma ESIPUHE Olen kirjoittanut tämän kandidaatintutkielman Joensuun yliopistossa
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
LisätiedotTeledyne Optech Titan -monikanavalaser ja sen sovellusmahdollisuudet
Teledyne Optech Titan -monikanavalaser ja sen sovellusmahdollisuudet Jan Biström TerraTec Oy TerraTec-ryhmä Emoyhtiö norjalainen TerraTec AS Liikevaihto 2015 noin 13 miljoonaa euroa ja noin 90 työntekijää
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotTämän monisteen tarkoitus on tutustua pikamaski -toimintoon GIMP:issä.
Gimp alkeet XVII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 5 Tutustuminen pikamaskiin Tämän monisteen tarkoitus on tutustua pikamaski -toimintoon GIMP:issä. Pikamaski on tehokas keino rajata alueita ja copypasteta
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotJohdanto. Kuvankäsittely: Kuva Kuva. Kuva. Mittauksia. Kuva-analyysi: Korkean tason kuvaus. Kuva. Kuvan ymmärtäminen:
Johdanto Kuvankäsittely: Kuva Kuva Kuva-analyysi: Kuva Mittauksia Kuvan ymmärtäminen: Kuva Korkean tason kuvaus Kuvantamismenetelmien ominaisuuksia Digitaalinen kuva Näkö Laitetekniikkaa Digitaalinen kuva
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot1. ALKUSANAT... 3 2. TUNNUS... 3 3. VÄRIT... 3 4. MERKKI JA LOGOTYYPPI... 4 5. SUOJA-ALUE... 5 6. TUNNUKSEN KÄYTTÖ... 5 7. MONIVÄRI...
GRAAFINEN OHJEISTO 1. ALKUSANAT... 3 2. TUNNUS... 3 3. VÄRIT... 3 4. MERKKI JA LOGOTYYPPI... 4 PÄÄLLEKKÄISVERSIO... 4 RINNAKKAISVERSIO... 4 5. SUOJA-ALUE... 5 6. TUNNUKSEN KÄYTTÖ... 5 7. MONIVÄRI... 5
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotFYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa
FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotRiemannin pintojen visualisoinnista
Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotKenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka
3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta
LisätiedotIhminen havaitsijana: Luento 8. Jukka Häkkinen ME-C2600
Ihminen havaitsijana: Luento 8 Jukka Häkkinen ME-C2600 Kevät 2016 1 Luento 8: Värit 2 Luennon rakenne 1. Kolmiväriteoria 2. Vastakkaisväriteoria 3. Illuusioita 4. Värien pysyvyys 3 4 Värit Värinäkö tarkoittaa
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotKuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus
Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan
LisätiedotValon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen
Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?
LisätiedotKenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
LisätiedotLuento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
LisätiedotPL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898
OPS M2-1, Liite 1 21.12.2007 PL 186, 01531 VANTAA, FINLAND, puh. 358 (0)9 4250 11, Faksi 358 (0)9 4250 2898 www.ilmailuhallinto.fi LENTOKONEEN VALOT Huom. Katso luku 6 1. MÄÄRITELMIÄ Kun tässä luvussa
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotLuento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1
Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt
LisätiedotGraafinen ohjeisto 21.01.2013
Graafinen ohjeisto 21.01.2013 Tunnus Kansallisen digitaalisen kirjaston asiakasliittymä Finna on arkistojen, kirjastojen ja museoiden yhteinen helppokäyttöinen verkkopalvelu. Finna-palvelu auttaa käyttäjiä
LisätiedotTämän värilaatuoppaan tarkoitus on selittää, miten tulostimen toimintoja voidaan käyttää väritulosteiden säätämiseen ja mukauttamiseen.
Sivu 1/7 Värilaatuopas Tämän värilaatuoppaan tarkoitus on selittää, miten tulostimen toimintoja voidaan käyttää väritulosteiden säätämiseen ja mukauttamiseen. Laatu-valikko Tulostustila Väri Vain musta
LisätiedotKenguru 2017 Student lukio
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.
LisätiedotInfrapunaspektroskopia
ultravioletti näkyvä valo Infrapunaspektroskopia IHMISEN JA ELINYMPÄ- RISTÖN KEMIAA, KE2 Kertausta sähkömagneettisesta säteilystä Sekä IR-spektroskopia että NMR-spektroskopia käyttävät sähkömagneettista
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMIKSI ERI AINEET NÄYTTÄVÄT TIETYN VÄRISILTÄ? ELINTARVIKEVÄRIEN NÄKYVÄN AALLONPITUUDEN SPEKTRI
sivu 1/5 MIKSI ERI AINEET NÄYTTÄVÄT TIETYN VÄRISILTÄ? ELINTARVIKEVÄRIEN NÄKYVÄN AALLONPITUUDEN SPEKTRI Kohderyhmä: Kesto: Tavoitteet: Toteutus: Peruskoulu / lukio 15 min. Työn tavoitteena on havainnollistaa
LisätiedotMikroskooppisten kohteiden
Mikroskooppisten kohteiden lämpötilamittaukset itt t Maksim Shpak Planckin laki I BB ( λ T ) = 2hc λ, 5 2 1 hc λ e λkt 11 I ( λ, T ) = ε ( λ, T ) I ( λ T ) m BB, 0 < ε
LisätiedotKenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotMainoksen taittaminen Wordilla
Mainoksen taittaminen Wordilla Word soveltuu parhaiten standardimittaisten (A4 jne) word-tiedostojen (.docx) tai pdf-tiedostojen taittoon, mutta sillä pystyy tallentamaan pienellä kikkailulla myös kuvaformaattiin
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotFYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA230/2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 JOHDANTO Työssä tutustutaan hila- ja prismaspektrometreihin, joiden avulla tutkitaan valon taipumista hilassa ja taittumista prismassa. Samalla tutustutaan eräiden
LisätiedotKuvankäsi*ely 1. Digitaaliset kuvat ja niiden peruskäsi3eet. Kimmo Koskinen
Kuvankäsi*ely 1 Digitaaliset kuvat ja niiden peruskäsi3eet Kimmo Koskinen Mitä kuvankäsi3ely on? Digitaalisten kuvien monipuolista muokkausta: - korjailua: roskien poisto, punaiset silmät jne - muuntelua:
LisätiedotVärisuunnitteluopas. www.e-weber.fi
okkelit kuntoon Värisuunnitteluopas Värien antamat mahdollisuudet rakennussuunnittelussa okkeliratkaisut kätevästi eberiltä www.e-weber.fi Värien antamat mahdollisuudet Tervetuloa eberin värimaailmaan.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotMyytävänä olevat tölkinvedin kukkarot
1 MUSTA/HOPEA ISO YMPYRÄ KUKKARO Koko 13 x 13 cm, pronssinvärinen kehys, pronssinvärinen nappi Hinta euroa 30 euroa+ postikulut 3 euroa MUSTA/KULTA ISO YMPYRÄ KUKKARO Koko 13 x 13 cm, pronssinvärinen kehys,
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotOpetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu. Kirsi Nousiainen 27.5.2005
Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu Kirsi Nousiainen 27.5.2005 Visuaalinen suunnittelu Ei ole koristelua Visuaalinen ilme vaikuttaa vastaanottokykyyn rauhallista jaksaa katsoa pitempään ja keskittyä
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotSPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA
FYSA234/K2 SPEKTROMETRI, HILA JA PRISMA 1 Johdanto Kvanttimekaniikan mukaan atomi voi olla vain tietyissä, määrätyissä energiatiloissa. Perustilassa, jossa atomi normaalisti on, energia on pienimmillään.
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Datan käsittely ja tallentaminen Käytännössä kaikkien mittalaitteiden ensisijainen signaali on analoginen Jotta tämä
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotLOGO 2. LOGO. Autokeskuksen yritystunnus on Autokeskus-logo.
8 LOGO Autokeskuksen yritystunnus on Autokeskus-logo. Autokeskuksen logoa käytetään aina vaakamuodossa. Logoa ei saa latoa, piirtää tai asetella uudelleen. Logon mittasuhteita tai väritystä ei saa muuttaa.
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen
MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi
Lisätiedot6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4
Datamuuntimet 1 Pekka antala 19.11.2012 Datamuuntimet 6. Analogisen signaalin liittäminen mikroprosessoriin 2 6.1 Näytteenotto analogisesta signaalista 2 6.2. DA-muuntimet 4 7. AD-muuntimet 5 7.1 Analoginen
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotThe acquisition of science competencies using ICT real time experiments COMBLAB. Kasvihuoneongelma. Valon ja aineen vuorovaikutus. Liian tavallinen!
Kasvihuoneongelma Valon ja aineen vuorovaikutus Herra Brown päätti rakentaa puutarhaansa uuden kasvihuoneen. Liian tavallinen! Hänen vaimonsa oli innostunut ideasta. Hän halusi uuden kasvihuoneen olevan
LisätiedotKORVATUNTURI SAVUKOSKI
KORVATUNTURI SAVUKOSKI Graafinen ohjeisto / 1 Sisällysluettelo Logon käyttö 3 Logoversiot 7 Brändivärit 21 Typografia 25 Kuvankäyttötapa 28 / 2 Logon käyttö / 3 Logo ja liikemerkki LIIKEMERKKI koostuu
LisätiedotTilkkuilijan värit. Saana Karlsson
Tilkkuilijan värit Saana Karlsson Tilkkutöissä erivärisiä kangaspaloja ommellaan yhteen ja siten muodostetaan erilaisia kuvioita. Värien valinta vaikuttaa siihen miten suunnitellut kuviot tulevat tilkkutyössä
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotIHTE-2100 KaSuper 2007-2008 Luento 2: värit, kuvakkeet
IHTE-2100 KaSuper 2007-2008 Luento 2: värit, kuvakkeet Aiheet tänään Värit käyttöliittymäsuunnittelussa Kuvakkeiden suunnittelu Värit käyttöliittymässä Of all design elements, color most exemplifies the
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotAMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE
AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN VALINTAKOE Matematiikan koe 1.6.2010 Nimi: Henkilötunnus: VASTAUSOHJEET: 1. Koeaika on 2 tuntia (klo 12.00 14.00). Kokeesta saa poistua aikaisintaan
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotTarvikkeet: A5-kokoisia papereita, valmiiksi piirrettyjä yksinkertaisia kuvioita, kyniä
LUMATE-tiedekerhokerta, suunnitelma AIHE: OHJELMOINTI 1. Alkupohdinta: Mitä ohjelmointi on? Keskustellaan siitä, mitä ohjelmointi on (käskyjen antamista tietokoneelle). Miten käskyjen antaminen tietokoneelle
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
LisätiedotSuupohjan koulutuskuntayhtymä. Graafinen ohjeisto
Suupohjan koulutuskuntayhtymä Graafinen ohjeisto Graafinen ohjeisto Tämä graafinen ohjeisto antaa perusohjeet Vuoksin visuaalisen ilmeen käytöstä markkinointiviestinnässä. Graafisen ohjeiston noudattamisella
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotGimp alkeet XIII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 8. Tasot ja kanavat. Jynkänlahden koulu. Yleistä
Gimp alkeet XIII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 8 Tasot ja kanavat Yleistä Tasot eli layerit ovat tärkeä osa nykyajan kuvankäsittelyä. Tasojen perusidea on se, että ne ovat läpinäkyviä "kalvoja", joita
LisätiedotVERKOSTO GRAAFINEN OHJE
2018 SISÄLTÖ 3 Pikaohje 4 Tunnus ja suoja-alue 5 Tunnuksen versiot 6 Tunnuksen käyttö 7 Fontit 8 Värit 9 Soveltaminen ----- 10 Verkosto Lapset 2 suoja-alue Tunnuksen suoja-alueen sisäpuolella ei saa olla
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotLuento 15: Ääniaallot, osa 2
Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa
LisätiedotTunnus. Elinkeinoelämän keskusliiton EK:n visuaalinen ilme heijastaa keskusliiton visiota ja missiota sekä uudelle liitolle asetettuja tavoitteita.
Graafinen ohjeisto Tunnus Elinkeinoelämän keskusliiton EK:n visuaalinen ilme heijastaa keskusliiton visiota ja missiota sekä uudelle liitolle asetettuja tavoitteita. Visio: Suomi on Euroopan kilpailukykyisin
LisätiedotKenguru 2016 Student lukiosarja
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Lisätiedot