2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:"

Transkriptio

1 2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. Son height (cm) Father height (cm) Kuvio. IsÄan ja pojan pituus. 2.1 Malli ja parametrien estimointi Malli: Y i = + X i + u i, Y Riippuva (dependent) SelitettÄavÄa (explained) (predictand) (regressand) vaste (respond) Oletukset: i =1,...,n X Riippumaton (independent) SelittÄavÄa (explanatory) (predictor) (regressor) (stimulus) (control variable) 1. E (u i )= tai E(Y i X i )= + X i 2. Var(u i )= 2 Var(Y i X i )= 2 3. Cov(u i,u j )=,i= j Cov(Y i,y j )=,i= j 4. Cov(X i,u i )=, i 5. (X i ¹X) 2 > Huom. Usein oletetaan, ettäa X on kiinteäa (ei-stokastinen) u i : Virhetermi on yhdistelmäa eritekijäoistäa, kuten (Ramanathan 1998, p. 84{85) 1. (PoisjÄatetyt muuttujat) It accounts the e ects of variables omitted from the model 2. (EpÄalineaarisuudet) It captures the e ects of nonlinearities in the relationship between Y and X. Thus,ifthetruemodel were Y i = + X i + X 2 i + v i,andweassume that it was Y i = + X i + u i,then the e ect of X 2 i wouldbeabsorbedbyu i. Estimointi: Price $1 (Y ) Area (X) (Mittausvirheet) Errors in measuring X and Y arealsoabsorbedinu i. Price (USD) (Ennakoimattomat tekijäat, unpredictable e ect) u i also includes inherently unpredictable random e ects Square feet Kuvio. NeliÄomÄaÄarÄa (square feet) vs hinta (dollareina) 34 35

2 PienimmÄan neliäosumman estimointi (PNS) OLS = Ordinary Least Squares. Sovitetaan aineistoon suora ^Y =^ + ^X siten, ettäa neliäosumma n n n f(^, ^) = e 2 i = (Y i ^Y i ) 2 = (Y i ^ ^X i ) 2 i=1 minimoituus. i=1 Derivoimalla ja ratkaisemalla derivaattojen nollakohdat, saadaan normaaliyhtäaläot i=1 n^ + ^ X i = Y i ^ X i + ^ X 2 i = X i Y i josta ratkaisemalla saadaan OLS-estimaattorit Esim. Asunnon hinnan ja pinta-alan väalinen suhde. Parametrien tulkinnasta: Nyt ^Y i = X i, (46.8) (.24) R 2 =.563,s=37.48 jossa ^Y = estimoitu hinta ja X = pinta-ala. Estimaattoreiden keskivirheet on esitetty suluissa kertoimien alla. Kulmakerroin ilmaisee yksikkäomuutoksen, silläa d^y/dx = ^. TÄaten yhden neliäojalan lisäays pinta-alassa lisäaäa keskimäaäarin asunnon hintaa ^ = 94 dollarilla. Kun X = on ^Y = ^, joka voidaan tulkita rakentamattoman tonttimaan keskihinnaksi. TÄaten rakentamattoman tonttimaan keskihinnaksi tulisi $22 6. ^ = (Xi ¹X)(Y i ¹Y ) ^ = ¹Y ^ ¹X (Xi ¹X) 2 = s y s x r xy Huom. Otoksesta laskettua virhetermiäa e i = Y i (^ + ^X i ) = u i = Y i ( + X i ) sanotaan residuaaliksi eli jäaäannäostermiksi (ks. tarkemmin Doughert kalvot) Usein on myäos mielenkiintoista tarkastella joustoja. Esim. EdellÄa olevan esimerkin tapauksessa E = X^Y d^y dx = ^ X^Y, joka riippuu sekäa hinnastaettäa pinta-alasta. Price $1 (Y ) Area (X).94 X^Y Huomioita: Hinnan pinta-alajousto on alle ykkäosen, ts. pinta-alan kasvaessa hinta kasvaa prosentuaalisesti väahemmäan kuin prosentuaalinen pinta-ala. Toisaalta jousto kasvaa pinta-alan kasvun myäotäa, eli suhteellisesti lisäapinta-ala on kalliimpi isoissa asunnoissa kuin pienissäa. TÄamÄa on tietysti selväa, koska pintaalalla on täassäa mallissa vakiohinta! Kuitenkin tulokset ilmaisevat, ettäa esimerkiksi 1 prosentin pinta-alan lisäays isossa asunnossa tulee täamäan mallin mukaan suhteellisesti kalliimmaksi kuin vastaava prosentuaalinen lisäays pienessäa asunnossa. (HyÄoty!) Onko jäarkeväa!? KÄaytÄannÄossÄa lienee niin, ettäa neliäohinta on isoissa asunnoissa pienempi! Palataan täahäan tuonnempana

3 2.2 MittayksikÄon muutoksen vaikutus estimaatteihin Esim. $1 =.82Eur ja 1ft =.348m. MerkitÄaÄan H =.82 P ja NM = (.348) 2 SQFT =.929 SQFT. SelittÄavÄan muuttujan skaalaus vaikuttaa vain vastaavan regressiokertoimen suuruuteen, silläa jos Z = ax (a >), niin X = Z/a = Z, jossa = /a. Estimoitu malli muunnetuissa mittayksikäoissäa onsiis ^H = NM = NM dh =.83 dnm. Jos ala kasvaa neliäometrilläa, niin hinta muuttuu keskimäaäarin 82 Eurolla. SelitettÄavÄan muuttujan skaalauksessa on kerrottava yhtäaläon molemmat puolet, joten kaikki regressiokertoimet ja residuaalitermi muuttuvat. Esim. EdellÄa (1 ) euroina P = + SQFT + u H = + NM + u, jossa =.82, =.82/.929 ja u =.82u OLS Estimaattoreiden ominaisuuksia Best Linear Unbiased Estimator (BLUE) eli paras lineaarinen harhaton estimaattori (PLHE) Voidaan helposti osoittaa, ettäa aiemmin tehtyjen (klassisten) oletusten vallitessa OLS estimaattori on BLUE (ns. Gauss-Markov teoreema ). Estimaattoria, joka on havaintojen lineaarikombinaatio, eli muotoa n ^ = a i Y i i=1 sanotaan lineaariseksi estimaattoriksi. LisÄaksi, jos sille päatee: LisÄaksi päatee, ettäa OLS-estimaattori on tarkentuva (Consistent) tehokas, jos residuaalitermit u i ovat normaalisti jakutuneita. harhaton varianssi on pienin tarkasteltavan parametrin lineaaristen ja harhattomien estimaattoreiden joukossa Huom. BLUE pitäaäa sisäalläaäan sen, ettäa OLS estimaattorit ovat harhattomia. niin kyseinen estimaattori on BLUE. 42 Gauss-Markov Theorem: Parametrien ja lineaarisista harhattomista estimattoreista OLS estimaattoreiden ^ ja ^ varianssit ovat pienimmäat 43

4 2.4 Estimoinnin tarkkuus Estimaattorin tarkkuutta mitataan estimaattorin keskivirheelläa (standard error). ^ = var(^) 2^ = = u 2 (Xi ¹X) 2, jossa u 2 =var(u i ). Korvaamalla u 2 sen estimaattorilla s 2 u = 1 n (Y i ^Y i ) 2 n 2 i=1 ja ottamalla neliäojuuri saadan ^:n keskivirheestimaattori s^ = s u (Xi ¹X) 2. Vastaavalla tavalla leikkaustemin ^ keskivirheestimaattoriksi tulee s^ = s X 2 i u n (X i ¹X) 2 = s 1 u n + ¹X 2 (Xi ¹X) HT: Miten muuttujien skaalaus vaikuttaa keskivirheisiin? Huom. Kuten aiemmin on todettu, Gauss- Markov teoreeman mukaan, jos lineaarisen regression oletukset 1{5 ovat voimassa, niin OLS estimaattorit ovat BLUE eli niilläa on lineaarisista harhattomista estimaattoreista pienin varianssi. Jos residuaalitermi on likipitäain normaalijakautunut, saadaan keskivirheiden avulla muodostettua mm. luottamusväalit. 1(1 p)-prosentin luottamusväalit : : ^ ± t 12 p s^ ^ ± t 12 p s^, jossa t p on t-jakauman taulukkoarvo vapausasteilla n 2(havaintojenlkm-estimoitujen parametrin lkm) Selitysaste e i =^u i = Y i ^Y i Esim. (NeliÄohintadata) df =14 2 = 12, s^ =46.84 ja s^ = prosentin luottamusväaleiksi saadaan, kun t.25 (12) = ^ ± t.25 s^ =22.6 ± eli (79.46, ) Vastaavasti :n 95 prosentin luottamusväaliksi saadaan (.42,.146). HT: Laske luottamusväalit, kun rahayksikkäonäa oneuro ja pinta-alana neliäometri. Y i ¹Y =(^Y i ¹Y )+(Y i ^Y i )=(^Y i ¹Y )+e i Korotetaan neliäoäon ja summataan (Yi ¹Y ) 2 = (^Y i ¹Y ) 2 + e 2 i +2 (^Y i ¹Y )e i = = (^Y i ¹Y ) 2 + (Y i ^Y i ) 2 SST = SSR + SSE Huom. Leikkaustermin luottamusväali sisäaltäaäa nollan. LuottamusvÄaleistÄa enemmäan tuonnempana. Selitysaste R 2 = SSR SSE =1 SST SST. Voidaan osoittaa, ettäa rxy 2 = R 2 täassäa yhden selittäajäan regressiomallissa

5 z Y Yleistys: usean selittäajäan regressioanalyysissäa yhteiskorrelaatiokertoimen (multiple correlation) neliäo (R 2 = r 2 y^y ). Huom. Vain yksi, joskin ehkäa käaytetyin mallin (teknisen) hyvyyden mitta. Esim. (jatkoa) R 2 =.563. HT: Vaikuttaako muuttujien skaalaus selitysasteeseen? Osoita todeksi väaittäamäasi. Saattaa esimerkiksi olla, ettäa kahdella mallilla virhetermin suuruuta kuvaava hajonta (s u ) on sama, mutta selitysasteet ovat eri suuria. TÄallÄoin mallien hyvyydet absoluuttisella tarkkuudella mitattuna ovat samat vaikka selitysaste toisessa onkin korkeampi. Esim. Selitysaste ja residuaalihajonta. y x z u y = a + b x + e X z = c + d x + e x y = a + b x + e SUMMARY OUTPUT ANOVA df SS MS F P-val Regression Statistics Regression 1 Multiple R.86 Residual R Square.75 Total Adj R Squa.74 Std Err 1.4 Coeff Std Err Stat t P-value Observatio 29 Intercept X Variable z = c + d x + e SUMMARY OUTPUT ANOVA df SS MS F P-val Regression Statistics Regression Multiple R.46 Residual R Square.21 Total Adj R Squa.18 Std Err 1.4 Coeff Std Err Stat t P-value Observatio 29 Intercept x Normaalisuusoletus LisÄatÄaÄan oletuksiin (1{5) 6. u i N(, 2 u). Normaalisuusoletus on usein perusteltavissa keskeisen raja-arvolauseen kautta. JÄaÄannÄostemin jakaumaoletuksesta seuraa estimaattoreiden jakaumaominaisuudet! X 2 ^ N, i n (X i ¹X) 22 u ^ 2 u N, (Xi ¹X) 2 jossa ^Y X N + X, 2^y, 2^y = 1 n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 2 u. 5 Esimerkiksi ^ z = (Xi N(, 1). u / ¹X) 2 Kun u korvataan estimaattorillaan s u, niin ^ t = (Xi s u / ¹X) t n2, 2 jossa s 2 u = 1 e 2 n 2 i. SiispÄa: Residuaalin jakaumasta seuraa estimaattoreiden jakaumat. NÄaille puolestaan perustuvat luottamusväalien laskeminen ja tilstollisten testien muodostaminen. NÄaistÄa syistäa on täarkeäaäa, ettäa tarkistetaan residuaalitermin normaalisuusoletuksen paikkansapitäavyys, jotta testien ja luottamusväalien antamat tuloksetolisivatkäayttäokelpoisia. HT: Miten muuttujien skaalaus vaikuttaa t- jaz-testi- suureisiin? Osoita todeksi väaittäamäasi. 51

6 2.7 Kertoimien luottamusväalit 2.8 Kertoimien testaus Tilastolliset hypoteesivaihtoehdot: Y = + X + u. LuottamusvÄali :lle ^ P ( <t 1 ) =1 p, s^ 2 p eli P (^ t 12 p s^ < < ^ + t 12 p s^ ) =1 p. :n 1(1p) prosentin luottamusväaliksi saadaan siis ^ ± t 12 p s^. Tulkinta! (ks. kuvio) H : = H 1 : = tai H : H 1 : > tai H : H 1 : < Esim. SQFT-data H : H 1 : > t =.94 =3.932, p-val =.2 <.1,.24 joten H hyläatäaäan ja > (eipäalieneylläatys!) Vastaavalla tavalla saadaan -parametrin p- arvoksi.638, joten ^ ei ole tilastollisesti merkitseväa! p-arvo (p-value): Merkitsevyystaso eli ensimmäaisen lajin virheen todennäakäoisyys p-arvo = P (HylÄatÄaÄan H H on tosi), joka siis ilmaisee todennäakäoisyyden riskille, ettäa hyläatäaäan H vaikka se on tosi (hylkäaysvirhe). Tietokoneen testin yhteydessäa laskemap-arvo ilmaisee pienimmäan merkitsevyystason, jolla H voitaisiin hyläatäa. Tavanomisesti käaytettyjäa merkitsevyystasoja ovat.5,.1 tai.1, joten jos laskettu p-arvo on pienempi kuin esimerkiksi.5 hyläatäaäan H viiden prosentin merkitsevyystasolla. Esim. SQF-data H : = H 1 : = Excel-tulostuksesta: p-val =.2 <.1, joten todetaan, ettäa kerroin poikkeaa tilastollisesti merkiteväasti nollasta. Sensijaanleikkaustermin tapauksessa p-val =.638, joten jos hylkäaäamme nollahypoteesin, ettäa =ottaisimme 64 prosentin riskin hyläatäa väaäarin perustein kyseinen hypoteesi. Emme kuitenkaan tee niin vaan päaäattelemme, ettäa leikkaustemi on nolla ANOVA-taulu Yleiseksi tavaksi on tullut, ettäa kokonaisneliäosumman SST hajoitelma kootaan varianssianalyysin tauluun (ANOVA ANalysis Of VAriance): 54 55

7 Source df SS MS F p-value Regression p SSR Residual n p 1 SSE Total n 1 SST SSR p SSE (np1) SSR SSE np1 p P (F >F obs ) 2.1 Ennustaminen Olkoon X annettu X:n arvo. saadaan ennustearvo Silloin Y :lle missäa p on selittäavien muuttujien lukumäaäaräa mallissa. joka on mallin ^Y =^ + ^X, Huom. F -testi testaa koko regression merkitsevyyttäa, joka yhden selittäajäan tapauksessa on sama kuin regressiokertoimen t-testi. PÄatee: t 2 = F (1,n 2). Ei kuitenkaan, jos selittäajiäa on useampia. Esim. SQF-data. Housing price data from Ramanathan (1993) Price SQFT SUMMARY OUTPUT Obs Y X 1 Regression Statistics Multiple R R Square Adj R Square Std Err Obs ANOVA df SS MS F Signf F Regression Residual Total Coeff Std Err t Stat P-value Intercept SQFT systemaattisen osan Y = + X + u E(Y )= + X paras lineaarinen harhaton estimaattori (BLUE), kun X = X. On kuitenkin huomattavaa, ettäa ^Y :aa ei voida pitäaäa Y :n BLUE:na! Se ei ole edes Y :n harhaton estimaattori, silläa E(^Y )=+X = Y = + X + u,josu =. 57 Kuitenkin, koska X:n arvolla X päatee E(u )=E(Y ^Y )=, niin voidaan ennustetta ^Y pitäaäa siinäa mielessäa Y :n harhattoman estimaattorina, ettäa ennustevirheen odotusarvo on nolla. Voidaan osoittaa, ettäa ennusteella ^Y on täallaisten estimaattoreiden joukossa pienin varianssi. TÄamÄan vuoksi sanotaan, ettäa ^Y on Y :n paras lineaarinen harhaton ennuste (BLUP = Best Linear Unbiased Predictor). Ennusteen luottamusväali Yleiseti varianssille Var( ^Y ) päatee 1 Var( ^Y )= n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 u, 2 jonka estimaattori saadaan korvaamalla tuntematon parametri u 2 estimaatillaan s 2 u. TÄaten saadaan yleiselläa X:n arvolla odotusarvon E(Y X) eli regressiosuoran luottamusväaliksi E(Y X) : ^Y ± t 12 p s 1 u n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X) 2 YksittÄaisen havainnon luottamusväaliksi tulee puolestaan: Y : ^Y ± t 12 p s 1 u 1+ n + (X ¹X) 2 (Xi ¹X)

8 Esim. SQF-Data Ennusteiden vertailu: Confidence intervals Housing prices per square feets. Price i ($1) SQFT Housing prices vs Area R Square Area Adj R Sqr.527 s No of Obs 14 Price ANOVA df SS MS F P-value Regression 1 Residual Total Std err t Stat Coeff P-value Intercept X Variable RESIDUAL OUTPUT Prediction intervals E(Y X) Y X Obs Pred Price Residuals L95% U95 L95 U Mean absolute error (MAE): MAE = 1 n Yi ^Y i Mean absolute percentage error (MAPE): MAPE = 1 1 Y i ^Y i. n Y i Mean Square Error (MSE): MSE = 1 n (Yi ^Y i ) 2. Root Mean Square Error (RMSE): RMSE = MSE Aikasarja-aineistossa (Y t ) Theilin U: U = Tt=1 (Y t ^Y t ) 2 Tt=2 (Y t Y t1 ) U vertaa ennustetta naiviin menetlemäaäan, jossa seuraavan periodin ennustearvo on sama kuin nykyinen arvo, eli Enn(Y t+1 )=Y t. TÄaten jos U<1, niin ^Y t ennustaa paremmin kuin vakioennuste U = 1, sama jos ennustetaan nykyiselläa arvolla U>1, naiivi ennuste on parempi. Huom. U on käayttäokelpoinen vain aikasarjaaineistossa. YleensÄa näaitäa käaytetäaäan vertaamaan eri menetelmilläa saatuja ennusteita keskenäaäan. Esim. Cultorin liikevaihto Cultor Oy:n liikevaihto [ ] Cultor Liikevaihto Vuosi Liikevaihto LN(lv) t Trendi ennuste Tasaisen kasvun Regressioestimaatit vuosilta SUMMARY OUTPUT Regression Statistics v t = (1+g ) t v u t Multiple R.993 y t = + t + t, R Square.986 jossa y t = ln(v t), = ln(v ) Adjusted R Square.984 ja = ln(1+g) ja t = ln(u t) Standard Error.36 Observations 1 ANOVA df SS MS F Signif F Regression Residual 8.1. Total 9.74 Coeff Std Error t Stat P-value Intercept t ==> Kasvu % 9.85 RESIDUAL OUTPUT Ennusteet vuosille Year Pred LN(lv) Pred LV Ennuste Virheet Vuosi Tot Trendi Tas-kasv Trendi m Tas kasv LV t-lv t Trendi Tas-kasvu Naiivi MAE MAPE (% MSE RMSE U

9 Esim. Suomen kansantalouden kasvu: 2.11 EpÄalineaariset riippuvuussuhteet year Muutos-% Ennuste-% LCL-5% UCL-5% SAS-estimates from data for Variable Coeff Std Error t Ratio p-val Intercept time A(1) A(2) Maximum Likelihood Estimates SSE.11 DFE MSE. Root MSE SBC AIC Reg Rsq.93 Total Rsq Durbin-Wats Tutkimuslaitosten ennusteet ETLA Merita OECD Osuusp 2.5 na Sampo PTT PT VM Average Std Suomen talouskasvun muutokset (%) 1 BKT muutos % Muutos % Kasvuennuste % LCL-5% UCL-5% 64 Lineaarista regressiomallia voidaan soveltaa kunhan vain malli on muunnettavissa lineaariseen muotoon. Esim. Oletetaan, ettäa muuttuja P t kasvaa ajan funktiona tasaisesti. Eli P t =(1+g) t P, jossa P on P :n arvo alkuhetkelläa. Ottamalla logaritmit ln P t = lnp + t ln(1 + g) ja mäaäarittelemäalläa Y t =lnp t, 7 =lnp, X t = t ja =ln(1+g), sekäa lisäaäamäalläa malliin satunnaiskomponentti saadaan Y t = + X t + u t. Eli lineaarinen malli. Huom! Logaritmisessa muodossa perusolettamusten mukaan E(u t ) =. Kuitenkin siirryttäaessäa alkuperäaisiin havaintoihin on malli muotoa ~P t = (1 + g) t P w t, jossa w t = e ut. Jotta E( ~P t) = P t olisi oltava E(w t) = 1. Kuitenkin, voidaan osoittaa, ettäa jos u t N(, 2 ), niin E(w t)=e(e ut )=e TÄamÄan vuoksi ennustettaessa käaytetäaäan korjausta ^P t+1 = exp(^ + ^t) exp( 1 2 s2 )), jossa s 2 on 2 :n estimaattori. 65 Muuntamalla takaisin saadaan estimoinnin jäalkeen laskettua ennusteet alkuperäaisille muuttujille. Esim. ^g = e^ 1. Cultor-esimerkissÄa vuosien 1983{92 havaintoihin perustuen ^ =.94, joten ^g = e.94 1 =.99 eli 9.9%. Vastaavalla tavalla voidaan linearisoida muitakin epäalineaarisia yhtäaläoitäa. Kaikkia epäalineaarisia malleja ei kuitenkaan voida aina linearisoida. Esim. Oletetaan, ettäa asunnon hankinnassa ihmiset arvostavat asuinpinta-alan lisäaystäa suuremmissa asunnoissa väahemmäan kuin pienissäa. ErÄas mahdollinen malli on silloin P i = + ln(sqf) + u i. Parametrin tulkinta? Nyt dp dsqf = 1 SQF eli P = (SQF) SQF. Toisin sanoen ilmaisee hinnan muutoksen (satoina tuhansina dollareina), kun asuinpinta-ala muttuu yhdelläa prosentilla 66 67

10 Muita mallivaihtoehtoja: (1) P i = + SQFT i + u i (linear model) (2) P i = + ln SQFT i + u i (linear-log model) (3) ln P i = + SQFT i + u i (linear-log model) (4) ln P i = + ln SQFT i + u i (log model) (5) P i = + SQFT i + u i (square root) etc. (1) (2) (3) (4) (5) Derivaatta dp dsqft = dp dsqft = 1 dp SQFT dsqft = P dp dsqft = P SQFT dp dsqft = SQFT Jousto E = SQFT P E = 1 P E = SQFT E = E = 1 2 SQFT P Esim. Linaarinen malli (1) Esim. Lin-log malli (2) House Prices (Linear model) Housing (lin-log model) SUMMARY OUTPUT 3 Housing prices vs Area Regression Statistics 25 Multiple R R Square Adj R Sqr s Area No of Obs ANOVA df SS MS F P-value Regression 1 Residual Total Price Coefficientstandard Err t Stat P-value Intercept X Variable SUMMARY OUTPUT 3 ln(sqft) Line Fit Plot 25 Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Standard E ln(sqft) Observatio ANOVA df SS MS F ignificance F Regression Residual Total Coefficientstandard Err t Stat P-value Intercept ln(sqft) Price RESIDUAL OUTPUT RESIDUAL OUTPUT PROBABILITY OUTPUT Obs Pred Price SQF Residuals Elasticity Elasticity Obs Pred price Resid Elasticity Percentile Price Residual plot Normal Probability Plot ln(sqft) Residual Plot Residuals Area -5 Price Sample Percentile Residuals ln(sqft) 7 71

11 Esim. Log-log malli (4) 2.12 Regressioanalyysin tulosten esittäaminen House prices (Log-log model) SUMMARY OUTPUT 3 Line Fit Plot Regression Statistics Orig Data 25 Multiple R R Square Adjusted R Standard E Observatio ANOVA df SS MS F P-value Regression 1 Residual Total Coefficients Std Error t Stat P-value Intercept ln(sqft) Elasticity = RESIDUAL OUTPUT PROBABILITY OUTPUT Percentile ln(price) Observationdicted ln(pr Residuals Pred Price Price Resid Residuals ln(sqft) Residual Plot ln(sqft) Price ln(price) SQFT Normal Probability Plot Sample Percentile Analyysin tulokset esitetäaäan vaihtelevilla tavoilla. Yksi yleinen tapa on esittäaäa estimoitu regressioyhtäaläo ja laittaa t-tunnusluvut tai keskivirheet (tai p-arvot) kertoimien alle sulkuihin. Esim. ^P = SQFT (.483) (3.93) R 2 =.563, df = 12, F =15.459, s =37.484, missäa t-arvo suluissa. Toinen, usein jopa käayttäokelpoisempi tapa, on esittäaäa tulokset taulukkossa. NÄain erityisesti, jos tarkastellaan useampia mallivaihtoehtoja tai mallissa on useita selittäaviäa muuttujia Esim. Taulukko. Assunon hinta (1 $) ja pinta-ala (neliäojalkaa) SelittÄavÄa Kerroin muuttuja estimaatti std err t-arvo p-arvo Vakio Pinta-ala Regressiotunnuslukuja R s F df 12 n Eri mallivaihtoehtojen selitysasteiden R 2 vertailu Usein joudutaan punnitsemaan eri funktiomuotoja keskenäaäan valittaessa lopullista mallia. Ei kuitenkaan ole oikein verrata selitysasteita kekenäaäan, jos riippuvat muuttujat ovat eri muuttujia (esim toisessa mallissa ln Y ja toisessa Y ). Jos ne ovat samoja, niin vertailu voidaan tehdäa. Heuristinen tapa: muunnetaan ensin samoiksi ja lasketaan korrelaatiot Y :n ja ^Y :n väalilläa ja verrataan näaiden neliäoitäa kekenäaäan

12 Toinen mahdollisuus on verrata virhevariansseja s 2 u = 1 (Yi ^Y i ) 2 n 2 keskenäaäan. Huom. TÄassÄakin on ensin tehtäaväa muunnos alkuperäaiseen malliin takaisin. Kolmas tapa valita malli eri funktiomuotojen väalilläa on tilastollinen testaus. YleispÄatevÄaÄa tilastollista testiäa ei ole, mutta joissakin erikoistapauksissa testaus käay päainsäa. Usein lineaarisen preusmallin Y i = + 1 X i + i vaihtoehtona on logariminen malli (log-lineaarinen malli) y i = + i x i + i, jossa y i =logy i ja x i =logx i. MerkitÄaÄan ja ja olkoon n SSE L = (Y i ^Y i ) 2 i=1 n SSE LL = (y i ^y i ) 2, i=1 ¹Y g =(Y 1 Y 2 Y n ) 1/n Y : n geometrinen keskiarvo, silloin voidaan osoittaa, ettäa n 2 log SSE L/¹Y 2 g SSE LL on asymptoottisesti 2 jakautunut vapausasteella 1, jos molemmat mallit sopivat yhtäa hyvin havaintoaineistoon Esim. Asuntojen hintojen geometrinen keskiarvo ¹Y g = $ Lineaarisen mallin SSE L = ja logmallin SSE LL =.3412, joten Esim. Tarkastellaan auton nopeuden ja jarrutusmatkan väalistäa yhteyttäa. n SSEL/¹Y 2 2 log g = 14 SSE LL 2 log / = arvoa vastaava p-arvo yhdelläa vapausasteella on p =.18, joten molemmat mallit ovat empiirisesti yhtäa hyviäa. ObservationDistance Speed Distance Speed vs Distance Speed 78 79

13 Aineistoon voidaan sovittaa useita erilaisia mallivaihtoehtoja, jota ovat tilastollisilta ominaisuuksiltaan likipitäain ekvivalentteja. Kuitenkin täassäa voidaankäaytäaäa hyväaksi myäos teoreettista tietäamystäa: Fysiikan lakien mukaan teoreettinen etäaisyys jarrutushetkestäa on verrannollinen nopeuden neliäoäon. TÄaten teoreettinen jarrutusmatka on 1 S 2. TÄamÄan lisäaksi matkaan vaikuttaa kuljettajan reaktionopeus ennen kuin häan merkin tultua tajuaa painaa jarrua. TÄanÄa aikana auto ehtii kulkea matkan S, jossa on keskimäaäaräainen reaktioaika. Kunkin yksiläon reaktioaika voidaan ajatella olevan +, jossa kuvaa yksiläon poikkeamaa keskiarvosta ja Var (e) = 2 (sama kaikilla yksiläoilläa). TÄaten sopiva malli on D = S + 1 S 2 + u Huom. Residuaalitermi on muotoa u = S, jossa on reaktioajan residuaali Reaktioaika vaihtelee henkiläostäa toiseen jonkin verran satunnaisesti, odotusarvona ja varianssina 2. TÄaten regressiotermiin se aiheuttaa heteroskedastisuutta. Toisin sanoen edelläa olevan regressiomallin jäaäannäosvarianssi on muotoa S Estimoidut mallit. Kuvio: Lineaarinen malli. Estimates of both models Original data Regression Statistics Multiple R.81 R Square.65 Adjusted R Square.64 Standard Error Observations Linear model D = + S + e ANOVA df SS MS F Significance F Regression 1 Residual Total Coefficients Standard Error Stat P-value t Intercept -2.6 Speed Distance Transformed data Regression Statistics Regression Statistics Multiple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observations Speed Speed Residual Plot ANOVA (Transformed data) df SS MS F Significance F Regression Residual Total Coefficients Standard Error P-value t Stat Intercept 2.96 Speed Coeffisicents for the untransformed model Coefficients Standard Error t Stat P-value Speed Speed Squared Residuals Speed 82 83

14 Kuvio: EpÄalineaarinen malli Speed vs Distance Residuals Residuas of D = S + 1 S 2 + u Predicted distance 84

2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli:

2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli. 2.1 Malli ja parametrien estimointi. Malli: 2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. Son height (cm) 210 200 190 180 170 160

Lisätiedot

Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika.

Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. 2. Yhden selittäajäan lineaarinen regressiomalli Regressio-termi peräaisin Galtonilta. IsÄan ja pojan pituus: PitkÄa isäa lyhyempi poika, lyhyt isäa pidempi poika. 210 200 Son height (cm) 190 180 170 160

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa. Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i 3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.14 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 7 7. luento: Tarina yhden selittään lineaarisesta regressiomallista atkuu Kai Virtanen 1 Luennolla 6 opittua Kuvataan havainnot (y, x ) yhden selittään

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):

54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös): Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei

Lisätiedot

[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO

1. USEAN SELITTÄJÄN LINEAARINEN REGRESSIOMALLI JA OSITTAISKORRELAATIO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Estimaatti, Estimaattori, Estimointi, Jäännösneliösumma, Jäännöstermi, Jäännösvarianssi,

Lisätiedot

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti

A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti A250A0050 Ekonometrian perusteet Tentti 28.9.2016 Tentissä ei saa käyttää laskinta. Tentistä saa max 80 pistettä. Hyväksytysti suoritetusta harjoitustyöstä saa max 20 pistettä. Huom. Merkitse vastauspaperin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501

Esim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501 Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662

Lisätiedot

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE

VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)

Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot) R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Regressiodiagnostiikka Cooken etäisyys, Funktionaalinen muoto, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset testit, Heteroskedastisuus,

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan

Perusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat

Residuaalit. Residuaalit. UK Ger Fra US Austria. Maat TAMPEREEN YLIOPISTO Tilastollisen mallintamisen harjoitustyö Teemu Kivioja ja Mika Helminen Epätasapainoisen koeasetelman analyysi Worksheet 5 Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Maximum likelihood-estimointi Alkeet

Maximum likelihood-estimointi Alkeet Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

2. Tietokoneharjoitukset

2. Tietokoneharjoitukset 2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti.

(d) Laske selittäjään paino liittyvälle regressiokertoimelle 95 %:n luottamusväli ja tulkitse tulos lyhyesti. 2. VÄLIKOE vuodelta -14 1. Liitteessä 1 on esitetty R-ohjelmalla saatuja tuloksia aineistosta, johon on talletettu kahdenkymmenen satunnaisesti valitun miehen paino (kg), vyötärön ympärysmitta (cm) ja

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat: Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Mallin valinta Painotettu PNS-menetelmä Alaspäin askellus, Askellus, Askeltava valikointi, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä

Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi. Esimerkit laskettu JMP:llä Tilastollinen vastepintamallinnus: kokeiden suunnittelu, regressiomallin analyysi, ja vasteen optimointi Esimerkit laskettu JMP:llä Antti Hyttinen Tampereen teknillinen yliopisto 29.12.2003 ii Ohjelmien

Lisätiedot

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

MTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä

MTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä 23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Logistinen regressioanalyysi Vastemuuttuja Y on luokiteltu muuttuja Pyritään mallittamaan havaintoyksikön todennäköisyyttä kuulua

Lisätiedot

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko

Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Tilastollisten menetelmien perusteet II TILTP3 Luentorunko Raija Leppälä 29. helmikuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Jatkuvista jakaumista 2 1.1.1 Normaalijakauma 2 1.1.2 Studentin t-jakauma 3 1.2 Satunnaisotos,

Lisätiedot

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa

3. Useamman selittäajäan regressiomalli. p-selittäaväaäa muuttujaa 3. Useamman selittäajäan regressiomalli p-selittäaväaäa muuttujaa Y i = + 1 X i1 +...+ p X ip + u i i = 1,...,n (> p), missäa n = havaintojen lukumäaäaräa otoksessa. Oletukset kuten aiemmin: (1) E(u i

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009

SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä. Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä Antti Suoperä 16.11.2009 SAS/IML käyttö ekonometristen mallien tilastollisessa päättelyssä: Matriisi ja vektori laskennan ohjelmisto edellyttää

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)

7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking) 7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yleinen lineaarinen malli Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Yleisen lineaarisen mallin matriisisesitys Yleisen

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

2. Keskiarvojen vartailua

2. Keskiarvojen vartailua 2. Keskiarvojen vartailua Esimerkki 2.1: Oheiset mittaukset liittyvät Portland Sementin sidoslujuuteen (kgf/cm 2 ). Mittaukset y 1 ovat nykyisestä seoksesta ja mittaukset y 2 uudesta seoksesta, jossa lisäaineena

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Ilmoittaudu Weboodissa klo (sali L4) pidettävään 1. välikokeeseen!

Ilmoittaudu Weboodissa klo (sali L4) pidettävään 1. välikokeeseen! 8069 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2013 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOLLA 9! Ilmoittaudu Weboodissa 4.3.2013 klo

Lisätiedot

Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus )

Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus ) 31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 2 : Monimuuttujaregressio (Palautus 24.1.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 1. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aiheet: Aluksi Yleinen lineaarinen malli eli usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Tällä kurssilla käytetään

Lisätiedot

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...

Sisällysluettelo 6 REGRESSIOANALYYSI. Metsämuuronen: Monimuuttujamenetelmien perusteet SPSS-ympäristössä ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... Sisällysluettelo ALKUSANAT... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON...5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 LYHYT SANASTO VASTA-ALKAJILLE... 7 1. MONIMUUTTUJAMENETELMÄT IHMISTIETEISSÄ... 9 1.1 MONIMUUTTUJA-AINEISTON ERITYISPIIRTEITÄ...

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Suhtautuminen Sukupuoli uudistukseen Mies Nainen Yhteensä Kannattaa Ei kannata Yhteensä

Suhtautuminen Sukupuoli uudistukseen Mies Nainen Yhteensä Kannattaa Ei kannata Yhteensä 806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2011 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Eräässä suuressa yrityksessä

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin

Lisätiedot

Lumipallo regressioanalyysista. Logistinen regressioanalyysi. Soveltuvan menetelmän valinta. Regressioanalyysi. Logistinen regressioanalyysi I

Lumipallo regressioanalyysista. Logistinen regressioanalyysi. Soveltuvan menetelmän valinta. Regressioanalyysi. Logistinen regressioanalyysi I Lumipallo regressioanalyysista jokainen kirjoittaa lapulle yhden lauseen regressioanalyysista ja antaa sen seuraavalle Logistinen regressioanalyysi Y250. Kvantitatiiviset menetelmät (6 op) Hanna Wass tutkijatohtori

Lisätiedot

Opiskelija viipymisaika pistemäärä

Opiskelija viipymisaika pistemäärä 806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 7, viikko 9, kevät 2012 (Muut kuin taloustieteiden tiedekunnan opiskelijat) MUISTA MIKROLUOKKAHARJOITUKSET VIIKOILLA 8 JA 9! 1. Jatkoa harjoituksen 5 tehtävään

Lisätiedot

Frequencies. Frequency Table

Frequencies. Frequency Table GET FILE='C:\Documents and Settings\haukkala\My Documents\kvanti\kvanti_harjo'+ '_label.sav'. DATASET NAME DataSet WINDOW=FRONT. FREQUENCIES VARIABLES=koulv paino /ORDER= ANALYSIS. Frequencies [DataSet]

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa Tapio Nummi Tampereen yliopisto Runkokäyrän ennustaminen Jotta runko voitaisiin katkaista optimaalisesti pitäisi koko runko mitata etukäteen. Käytännössä

Lisätiedot