Katso Latex sourcesta otsikkoehdotuksia kommentista tämän yltä

Transkriptio

1 Katso Latex sourcesta otsikkoehdotuksia kommentista tämän yltä August 18, 2009 Abstract The classical theory of electromagnetism is a used tool in engineering and science. Concepts of magnetic and electric fields are adopted as everyday tools. These are solved for actuators, geodynamic models, earth s atmosphere etc to study their behaviour. Thus, the interpretation of classical electromagnetism has hitherto been very much biased; fields are solved to geometric domains. Here we report on extension of this interpretation. The unifying principle in our approach is to use the theory of manifolds and differential geometry. They state that fields are transition maps from Euclidean geometry to electromagnetic quantities. However, the theory of manifolds guarantees that these fields are homeomorphic mappings, i.e. bijective, continuous and inverse maps are continuous. Thus, we can start from the electromagnetic quantities and fields tell us the geometries. We show that this new approach, the duality of classical electromagnetism, gives an earlier unseen possibility to engineering design and interpretation of the classical electromagnetic theory. Finally, we suggest that electromagnetic quantities should be seen as another possible parametrization of space. 1

2 Jos kirjoittaa Natureen Letterin, ei siinä ole väliotsikoita. Nyt kuitenkin laitoin tähän, jotta ajatuksenjuoksu sujuisi paremmin ja osattaisiin eri otsikoiden alle yhdistää tarina. Mielestäni julkaisu jakautuu seuraaviin osakokonaisuuksiin 1. Abstract Klassinen SMG-mallinnus ja sen käyttö Meidän asian tausta ja mitä uutta tulee 2. Johdanto ja tausta Nykyinen SMG teoria ja sen ymmärtämyksen taso Historia Kenttäsuureet, koordinaatistot, kartat (tai koordinaatithan muodostavat kartan) Kartanvaihdot ja havainnoitsijanvaihdot Kokoajan mukana fyysikko ja matemaatikkonäkökulma sopivasti vaihdellen 3. Teoria sanoin selittäen jopa lähes popularistisesti (menee limittäin edellisen kohdan kanssa) 4. Laskuesimerkit Jokaiselle kohdalle on löydettävä hyvä motivointi Pitää vielä keskustella esimerkeistä Primäärilinssi Duaalilinssi Primääri-duaali havainnoitsijanvaihtokuvaus 5. Yhteenveto Kerrotaan vielä uudesta näkökulmasta miksi tämä on erittäin merkittävää Kasataan teoria tiivistetysti Kerrataan teorian avulla lasketut esimerkit 2

3 Johdantoa ja taustaa In classical physics the notion of field, such as the electric field or the magnetic field, is formally about a map from some point set to some vector space. The very idea of the map is to relate every point of the Euclidean geometric domain with some element of the vector space. Basic education in physics and engineering and contemporary computation techniques, such as the finite element method, commonly employed in engineering base on this interpretation of fields. The roots of this classical approach lie in the work of W. Gibbs and O. Heaviside who invented vector analysis independently of each other. Heaviside reformulated Maxwell s theory in terms of vector algebra in the latter part of 1880 s. Later on, the modern mathematics such as H. Poincaré s work on two and three dimensional manifolds, H. Weyl s definition of differentiable manifolds, H. Whitney s work on algebraic topology, differential geometry and differential topology and the structural work by the Bourbaki group to name a few contributions have given foundations to strengthen and clarify the interpretation of classical electromagnetism. In this paper, we employ differential geometry to show that the notion of field is more extensive than what the classical interpretation lets one to understand. Especially, we will show that the electromagnetic fields can be understood as a parametrization of space. That is, electromagnetic field quantities characterize space in the same manner as a ruler and a compass do in Euclidean geometry. In terms of modern mathematics and differential geometry, space can be understood as the underlying point set of a manifold. Parametrizations of this point set, such as coordinate systems, are known as charts. Then, fields are called as transition maps from some Euclidean geometric chart to an electromagnetic chart. By construction, manifolds have the property that the transition maps are at least homeomorphic, i.e., both ways continuous mappings. This implies that the inverse of the transition maps exists by definition. Consequently, the classical interpretation of the field notion can be reverted; One may also start from the electromagnetic chart and generate the map to the Euclidean geometric chart. 3

4 Tästä lähtien aletaan sitten pureutumaan asiaan Yleistä teoriapuolta - Koordinaatistot karttoina, vuorovaikutuskoordinaatiston suhde Euklideen koordinaatistoon. Ts. mitä esittää ja potentiaalit ovat vuorovaikutuskartan koordinaatteja, mitä rajoituksia tästä tulee. Elementtimenetelmän, jota nyt käytetään, suhtautuminen näiden kartanvaihtokuvausten ratkaisuihin: pienin energia vs. pienin pinta-ala - Havainnoitsijat, niiden suhtautuminen moniston parametrisointiin, eksaktit (tai holonomiset) havainnoitsijat kartoilla, avaruuden parametrisoinnin laajentaminen sellaiseksi topologiseksi rakennelmaksi, missä ei ole karttoja, on vain havainnoitsijoita - Kartanvaihtokuvausten laajentaminen havainnoitsijanvaihtokuvauksiin, jos kirjoitetaan Natureen, tässä voi käyttää viittauksia Supplementary Informationiin, jonne sitten kasataan nyt olemassa olevaa teoriaa formaalisti elementtimentelmän näkökulmasta (ensin teoria sitten numeerinen ratkaisu elementtimenetelmällä) Välikommentti: asioita, joihin on syytä ottaa kantaa pikimmiten - Ratkaistaanko linssitehtävät yksinkertaisina karttatehtävinä? - Jos ei, niin tällöin ratkaistaan quadropolimagneetti "väärin reunaehdoin" ja tästä sitten pintavirrat primääritehtävään ja epäjatkuvuudet duaalitehtävään. Tässä on se ongelma, että tällöin ei mielestäni näe kartanvaihtokuvauksen ideaa niin selvästi (jos lainkaan). Jos tekisi s.e. ratkaisi duaalikartan primääritehtävästä ja tästä duaalikarttatehtävän, niin tällöinkään ei näe ideaa, koska rautasydän on niin pieni ϕ (H:n potentiaali) suunnassa. - Parhaan intuition luomiseksi itse käsittelisin juuri alla esitettyjä esimerkkejä, vaikkakin siinä rikotaan se idea, että olisi kokoajan täsmälleen sama virrallinen quadrupoli esimerkki. Aletaan siirtymään kohti esimerkkejä - Kerrotaan tyypillisestä toimilaitesuunnittelusta: optimointitehtävä joidenkin 4

5 parametrien suhteen, kerrottaan mitä ovat usein kohdefunktiot, päädytään homogenointitehtäviin, kerrotaan mitä laitesuunnittelu saa duaalitehtävistä - Aasinsillan rakentaminen primäärilinssitehtävään magneettikentänhomogenointitehtävien kautta - Primääri- ja duaalilinssitehtävät kartoilla ja kartanvaihtokuvaukset. Miten primäärija duaalilinssitehtävä eroavat toisistaan (aktiivi-passiivi). Käytännössähän duaalilinssitehtävässä ratkaistaan aluetta, jota ei voida havaita SMG havainnoitsijoilla ja tämä löytyy reunalla hyppäyksestä. Primääritehtävästä saadaan myös epäjatkuvuus, mutta se on pintavirran määritelmä. - Primäärilinssitehtävän tarkempi esittely kuvat 1 ja 2. Figure 1: Homogenization of a magnetic field produced with an iron yoke. Gray contour lines present some magnetic flux lines without active homogenizaton. Colourful contour lines present the computed magnetic flux lines when the computed surface currents are spread to the shown small neighbourhood. - Duaalilinssitehtävän tarkempi esittely ja kuva 3. - Kappale, jossa palataan havainnoitsijanvaihtokuvaukseen kertaamalla vielä kartanvaihtokuvauksen rajoittuneisuus (pyörteetön, lähteetön). - Kerrotaan havainnoitsijan käytöstä primääri-duaaliparissa, ehdotetaan mahdollisia sovelluksia, kerrotaan miten homogenointitehtävässä optimoitaisiin muotoja, mutta tästä päädytään meidän nykytietämyksen mukaan Cauchy-tehtävään 5

6 y constant 0 x constant Figure 2: Computed surface currents on the top of the homogized region (y constant) and on the right of the homogenized region (x constant). ϕ y α x Figure 3: Electromagnetic geometry on the interaction coordinates on the right. On the left is presented the solved Euclidean geometry. Also magnetic flux density lines are shown to demonstrate the homogenized region. havainnoitsijanvaihtokuvaustehtävän reunaehtoina ja että se on tunnettu ongelma Laplace yhtälöiden ratkaisujen parissa. - Kerrotaan, että halutusta hyvin asetetusta reuna-arvotehtävästä voidaan kuitenkin ratkaista geometria numeerisesti kun tiedetään havaintojoukot (eli siis 2D:ssä vuot särmien läpi, mmv:t särmillä). Tällaista hyvin asetettua tehtävää kuvaa esim primääri-duaali parin toinen osa. - Kuvaan 4 johdattelu ja selitys. - Kerrotaan vielä primääri-duaaliparista, että tämä antaa aivan uuden tavan 6

7 Figure 4: Gray on the background presents the initial Euclidean geometry from which all the magnetomotive force and magnetic fluxes were solved to the topological electromagnetic mesh. Blue, green and red edges present the coil, iron yoke and air, respectively, at Euclidean geometry solved from the topological data with finite element method. Details of the computations are shown in supplemenatery information. päästä kiinni verkon / elementtimenetelmän lokaaliin virheeseen. Nyt alkavassa osiossa tiivistetään kerrottu ja vähän lisätään. Koitetaan kertoa vielä kerran miksi tämä olisi niin merkittävää, että tämä käy tähän lehteen - Lyhyt viittaus siihen mitä havainnoitsijat voisivat tarkoittaa 1.) suhteellisuusteorian kannalta ja 2.) laajenevan maailmankaikkeuden kannalta. Mitä lisäarvoa nämä voisivat tuoda näiden asioiden matemaattisfysikaaliseen tulkintaan. - Pitäisin yhtenä pääideana tässä lopussa sen, että SMG suureita voidaan käyttää avaruuden parametrisoinnissa kuten Euklideaan geometriaakin. SMG kenttäsuureet yleisessä tapauksessa vain ovat oleellisesti erilaisia: ei-eksakteja havainnoitsijoita. Tämän takia kartta ei ole primääri vaan yleisen havainnoitsijan erikoistapaus. 7

8 Tietyt havainnoitsijat voidaan esittää kartoilla, mutta onko sekään oikein (laajeneva maailmankaikkeus). - Käydään vielä lopuksi lyhyesti läpi minkälaiset esimerkit me näytettiin tällä uudella teorialla 8