Mitä matemaatikot tutkivat?
|
|
- Ville-Veikko Juusonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mitä matemaatikot tutkivat? Xiao Zhong matemaatikot tutkivat? Leikkivätkö he vain luvuilla? Voitko antaa minulle Mitä esimerkkejä matemaattisista kiinnostavista ongelmista joita tällä hetkellä tutkitaan? Matematiikan tutkijoilta kysytään usein tällaisia kysymyksiä. Valitettavasti matemaatikkojen ei ole kovin helppoa selittää muille ymmärrettävästi sitä mitä he tutkivat, sillä yhteinen kieli ja kokemusmaailma puuttuvat. Minun on oikeastaan mahdotonta antaa tyhjentävää vastausta kysymykselle mitä matemaatikot tutkivat, sillä en hallitse kaikkia matematiikan osaalueita. Matematiikassa tutkitaan muun muassa määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Tieteiden kuningatar, kuten Gauss matematiikkaa kuvasi, voidaan karkeasti jakaa aritmetiikkaan, algebraan, geometriaan ja analyysiin. Moderni matematiikan tutkimus on jakautunut lukuisiin osa-alueisiin, jotka ovat monimutkaisissa yhteyksissä toisiinsa. Matematiikkaa voi pitää pelkästään ajattelun tuloksena, jolloin motivaatio ja tutkimusongelmat tulevat matematiikasta itsestään, ilman mitään käytännön sovelluskohteita. Tästä huolimatta tapahtuu usein niin, että tällainen puhdas matematiikka löytää käytännöllisiä sovelluskohteita. Matematiikka on tärkeä työkalu useilla tieteen osa-alueilla, kuten luonnontieteissä, insinööritieteissä, lääketieteessä ja sosiaalitieteissä. Sovellettu matematiikka, matematiikan ala jossa matemaattista perusteoriaa pyritään käyttämään hyväksi käytännön elämässä, inspiroi ja hyödyntää uusia matemaattisia keksintöjä ja johtaa toistuvasti kokonaan uusien matemaattisten alojen kehittymiseen. Voin helposti antaa esimerkkejä matemaattisista ongelmista, joita matemaatikot ovat tutkineet ennen ja tutkivat parhaillaan. Esitän yhden kauniin kysymyksen. Ongelmana on löytää nopeimmin laskeva, kaksi erillistä pistettä yhdistävä tason käyrä. Olkoot kaksi pistettä, A ja B, kuten kuvassa siten, että A ei ole B:n alapuolella. A B Hiukkanen lähtee pisteestä A ja liikkuu käyrää pitkin pisteeseen B. Nyt täytyy löytää käyrä siten, että hiukkanen pääsee sitä pitkin nopeimmin pisteestä A pisteeseen B. Toisin sanoen haluamme rakentaa nopeimman liukumäen siten, että lapsilla on hauskaa sen kanssa. Jos hallitsemme fysiik- Academia Scientiarum Fennica
2 kaa, voimme muotoilla tämän ongelmana seuraavasti: etsi funktio joka minimoi integraalin: 1 + y (x) 2 dx. y (x) Tämän muotoilun ymmärtämiseen tarvitaan myös hieman matematiikan tuntemusta. Se sisältää funktion derivaatan ja integraalin käsitteet. Nämä käsitteet kuuluvat differentiaalilaskennan alaan, jota opetamme yliopisto-opiskelijoille. Tavoitteena on nyt ratkaista tämä matemaattinen ongelma. Kyseisessä esimerkissä olemme erittäin tyytyväisiä, koska meillä on tarkka ratkaisu ongelmaan. Olemme myös erittäin onnekkaita, sillä seisomme jättiläisten olkapäillä. Emme opeta opiskelijoita ainoastaan muotoilemaan ongelmaa, vaan myös ratkaisemaan sen. Nämä eivät ole ainoita opiskelijoille opettamiamme asioita. Muuten heistä tulisi mekaanisia ongelmanratkaisijoita. Meidän tulee oppia käsittelemään tällaisia ongelmia. Opimme tekniikat, joilla ongelmat pystytään ratkaisemaan. Opimme, kuinka matemaatikot kehittävät uusia menetelmiä ongelmien nujertamiseksi. Matemaatikot eivät tyytyneet ainoastaan ratkaisemaan yllä olevaa ongelmaa. Sen sijaan he rakensivat kauniin matematiikan alan, variaatiolaskennan, jolla tämänkaltaisia kysymyksiä voi lähestyä yleisesti. Tämä kaikki on juuri sitä, mitä matemaatikot tekevät. Opiskelijoiden tulee oppia tästä esimerkistä: mistä matematiikan tutkimuksessa on kysymys; mikä on hyvää matematiikkaa. He voivat alkaa nauttia matematiikan kauneudesta ja eleganssista. Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa taiteen muodoksi. He vertaavat sitä hyvin usein musiikkiin ja runouteen. Edellä olevaa esimerkkiä tuleekin ajatella musiikkikappaleena. Minun mielestäni on tärkeämpää opettaa opiskelijat nauttimaan siitä kuin ratkaisemaan sen. Nautimme matematiikan luovuudesta. Nautimme hienoista ideoista. Nautimme tekniikoista ja metodeista. Sitten voimme alkaa kehittää omaa matemaattista makuamme. Tämä on esimerkki kysymyksistä, joita olemme jo tutkineet ja jotka osaamme ratkaista. Onko matematiikassa sitten enää mitään tutkimista? Eikö kaikki ole jo ajat sitten keksitty? Valitettavasti mitä enemmän tiedämme sitä enemmän emme tiedä. Mitä enemmän tiedämme sitä enemmän on tiedettävää. Minun on helpompi antaa ongelmia, joita matemaatikot parhaillaan tutkivat eivätkä vielä osaa ratkaista. Tässä on yksi esimerkki. Ongelma on jälleen lähtöisin fysiikasta. Se koskee Eulerin yhtälöitä virtausmekaniikassa. Eulerin yhtälöt kuvaavat nesteiden ja kaasujen liikettä. Puristumattomille, ideaalisille nesteille Eulerin yhtälöt voidaan esittää seuraavalla tavalla. u = 0; u + u u = p, t missä suure u on tuntematon nopeusvektori ja p paine. Ensimmäinen yhtälö on jatkuvuusyhtälö, ja toinen on liikeyhtälö. Perusongelmana on nyt tutkia ratkaisujen olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja ominaisuuksia. Fysiikan kurssilla Virtausmekaniikka, ja myös matematiikan kurssilla Osittaisdifferentiaaliyhtälöt, opetamme opiskelijoita johtamaan nämä yhtälöt. Annamme myös esimerkkejä ratkaisuista joillakin annetuilla alkunopeuksilla. Valitettavasti emme voi opettaa heitä ratkaisemaan näitä yhtälöitä, sillä emme tiedä kuinka se tehdään. Emme tiedä ratkaisujen käyttäytymistä. Emme edes tiedä onko ratkaisuja 74 Academia Scientiarum Fennica 2011
3 olemassa. Tämä haastava ja syvällinen matemaattinen ongelma on askarruttanut useita matemaatikkosukupolvia. Monia tärkeitä edistysaskelia on saavutettu. Tästä huolimatta näiden yhtälöiden ymmärtäminen on vielä vaillinaista. Itse asiassa se on varsin alkeellisella tasolla. Nesteet ovat tärkeitä, ja niiden käyttäytymistä on hankalaa käsittää. Näiden yhtälöiden fysikaalinen tausta voidaan unohtaa, ja tarkastella niitä puhtaasti matemaattisena ongelmana. Tai ehkä fysiikan unohtaminen ei olekaan oikea tapa hakea ratkaisua. Ehkä tarvitsemme ideoita fysiikasta oppiaksemme ymmärtämään mitä on tekeillä. Voi myös olla, että näiden yhtälöiden matemaattinen tutkiminen johtaa uuteen, fysikaalisesti merkittävään suureeseen. Emme tiedä. Mitä matemaatikot tutkivat? Kyllä, matemaatikot tutkivat lukuja. Itse asiassa monet lukujen ominaisuudet ovat edelleen matemaatikoille mysteerejä. Emme esimerkiksi tiedä onko Goldbachin otaksuma totta: voidaanko jokainen kakkosta suurempi parillinen kokonaisluku esittää kahden alkuluvun summana? Lukuteoria on tietenkin ainoastaan yksi matematiikan osa-alue. Kuten edellisistä esimerkeistä näemme, matemaatikot ovat myös kiinnostuneita tosielämästä kumpuavista ongelmista. Lisäksi matematiikan teoria on kaukana valmiista, eikä se varmaan ikinä valmistukaan. Matematiikan tutkimus jatkuu edelleen. What do mathematicians study? Summary Do mathematicians do anything other than play games with numbers? Can you give me examples of problems that mathematicians are interested in and are studying now? Very often people consult researchers in mathematics with questions of this kind. Unfortunately, it is not so easy for mathematicians to explain to non-mathematicians what they do, because they have no common background or common language. Actually, it is impossible for me to give a complete and good answer to this question, due to lack of knowledge. Being the Queen of the Sciences, as referred to by Gauss, mathematics can broadly speaking be divided into arithmetic, algebra, geometry and analysis. Nowadays mathematical research has diverged into many fields having points of intersection with each other. What mathematicians do is to establish truth by rigorous deduction from appropriately chosen axioms and definitions. They engage in pure mathematics and build up mathematical theories. They study problems from the point of view of mathematics, without having any application in mind, although practical applications for what began as pure mathematics are often discovered. Mathematics is used as an essential tool in many fields, including the natural sciences, engineering, medicine and the social sciences. Applied mathematics, a branch of mathematics concerned with the application of mathematical knowledge to other fields, inspires and makes use of new mathematical discoveries, and sometimes leads to the de- Academia Scientiarum Fennica
4 velopment of entirely new mathematical disciplines. It is not so difficult for me to give examples of problems that mathematicians have studied or are studying now. Here is a beautiful problem. The problem is to find the curve of fastest descent between two points on a vertical plane. Given two points, say A and B as in the picture, with A not lower than B, a body starts at point A at zero speed and moves along the curve to point B under the action of constant gravity and assuming no friction. Now the problem is to find a curve joining A and B so that the body slips to its destination in the least time. In other words, we want to build the fastest slide so that kids can have fun with it. With some knowledge of physics, we can formulate this problem in terms of the following mathematical one: to find a function that minimizes the integral here. For this formulation, some knowledge of mathematics is also required. It involves the derivative and integral of a function. These notions belong to a branch of mathematics called calculus, which we teach students at university. Now the task is to solve this mathematical problem. Here we are extremely happy, because we have an explicit solution to this problem. We are extremely happy because we are standing on the shoulders of the giants. We can teach the students not only to formulate the problem, but also to solve it. These are not the only things that we teach students; otherwise they would simply become mechanical problem-solvers. We should learn how mathematicians deal with problems that have a strong physical background. We learn the techniques for solving this problem, and learn how mathematicians develop new tools to handle problems. Indeed, mathematicians were not satisfied merely with solving this problem. Instead, they built up a beautiful branch of mathematics called the Calculus of Variations to deal with problems of this type. These all lie within the scope of mathematical research. Students are supposed to learn from this example what mathematical research is all about, what is good mathematics. Then they can start to enjoy the beauty and elegance of mathematics. Mathematicians sometimes describe mathematics as an art form, or at least as a form of creative activity. They very often compare it with music and poetry. The example here should be treated like a beautiful piece of music. In my opinion it is more important for us to teach students to enjoy a problem than to solve it. We can enjoy the creativity involved, enjoy the beautiful ideas. We can enjoy the techniques and the methods. Then we will start to develop our own taste for mathematics. This is an example of a problem that we already studied and that we know how to solve. Is there anything else in mathematics to be studied? Hasn t everything already been developed? Unfortunately, the more we know, the more we do not know. The more we know, the more we should know. It is easier for me to give an example of problems that mathematicians are studying right now and that they do not know how to solve. Here is one good example. The problem is again from physics. It concerns the famous Euler equations in fluid mechanics, the equations that describe the motion of fluids or gases. The Euler equations for ideal, incompressible fluids are these. In these equations u is the unknown velocity vector and p the pressure. The first equation is called the continuity equation. It follows from the fact that the mass does not change and that the fluids are incompressible. The other equation follows from Newton s second law. Now the 76 Academia Scientiarum Fennica 2011
5 basic problem is to study the existence and uniqueness of the solutions and the properties of these solutions. Students are taught to derive these equations in the course on fluid mechanics in the Department of Physics and also in the course on partial differential equations in the Department of Mathematics. We also give examples of solutions for particular given initial velocities. Unfortunately, we cannot teach them how to solve these equations, because we do not know how to do that. We do not know the behaviour of the solutions. We do not even know whether any solutions exist. This profound and challenging mathematical problem has attracted many generations of mathematicians. Many important contributions have been made, but our knowledge of these equations is still not complete. Actually, our understanding is still at quite a primitive level. Fluids are important and hard to understand, but one can forget the physical background to these equations, and regard this as a purely mathematical problem, although that is probably not the case. Maybe we need ideas from physics to handle this problem. It is also possible that the mathematical study of these equations will lead us to a new quantity with physical meanings. We do not know. What do mathematicians study? Yes, of course mathematicians study numbers, but actually there are many things in numbers that remain mysterious even to mathematicians. For example, we do not know whether the famous Goldbach s conjecture is true: can every even integer greater than two be expressed as the sum of two primes? Of course, number theory is only one branch of mathematics. As we saw from the previous examples, mathematicians are also interested in the underlying real-life problems. In addition, mathematical theory is far from complete, and in actual fact it will never be completed at all. Academia Scientiarum Fennica
Capacity Utilization
Capacity Utilization Tim Schöneberg 28th November Agenda Introduction Fixed and variable input ressources Technical capacity utilization Price based capacity utilization measure Long run and short run
LisätiedotOn instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
LisätiedotOn instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
LisätiedotUusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition)
Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition) Esko Jalkanen Click here if your download doesn"t start automatically Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 4 (käsikirja) (Finnish Edition) Esko Jalkanen
LisätiedotInformation on preparing Presentation
Information on preparing Presentation Seminar on big data management Lecturer: Spring 2017 20.1.2017 1 Agenda Hints and tips on giving a good presentation Watch two videos and discussion 22.1.2017 2 Goals
LisätiedotOn instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31)
On instrument costs in decentralized macroeconomic decision making (Helsingin Kauppakorkeakoulun julkaisuja ; D-31) Juha Kahkonen Click here if your download doesn"t start automatically On instrument costs
LisätiedotThe CCR Model and Production Correspondence
The CCR Model and Production Correspondence Tim Schöneberg The 19th of September Agenda Introduction Definitions Production Possiblity Set CCR Model and the Dual Problem Input excesses and output shortfalls
Lisätiedotanna minun kertoa let me tell you
anna minun kertoa let me tell you anna minun kertoa I OSA 1. Anna minun kertoa sinulle mitä oli. Tiedän että osaan. Kykenen siihen. Teen nyt niin. Minulla on oikeus. Sanani voivat olla puutteellisia mutta
LisätiedotEfficiency change over time
Efficiency change over time Heikki Tikanmäki Optimointiopin seminaari 14.11.2007 Contents Introduction (11.1) Window analysis (11.2) Example, application, analysis Malmquist index (11.3) Dealing with panel
LisätiedotThe Viking Battle - Part Version: Finnish
The Viking Battle - Part 1 015 Version: Finnish Tehtävä 1 Olkoon kokonaisluku, ja olkoon A n joukko A n = { n k k Z, 0 k < n}. Selvitä suurin kokonaisluku M n, jota ei voi kirjoittaa yhden tai useamman
Lisätiedot1. Liikkuvat määreet
1. Liikkuvat määreet Väitelauseen perussanajärjestys: SPOTPA (subj. + pred. + obj. + tapa + paikka + aika) Suora sanajärjestys = subjekti on ennen predikaattia tekijä tekeminen Alasääntö 1: Liikkuvat määreet
LisätiedotResults on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data
Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data Multi-drug use, polydrug use and problematic polydrug use Martta Forsell, Finnish Focal Point 28/09/2015 Martta Forsell 1 28/09/2015 Esityksen
LisätiedotNuku hyvin, pieni susi -????????????,?????????????????. Kaksikielinen satukirja (suomi - venäjä) (www.childrens-books-bilingual.com) (Finnish Edition)
Nuku hyvin, pieni susi -????????????,?????????????????. Kaksikielinen satukirja (suomi - venäjä) (www.childrens-books-bilingual.com) (Finnish Edition) Click here if your download doesn"t start automatically
LisätiedotMEETING PEOPLE COMMUNICATIVE QUESTIONS
Tiistilän koulu English Grades 7-9 Heikki Raevaara MEETING PEOPLE COMMUNICATIVE QUESTIONS Meeting People Hello! Hi! Good morning! Good afternoon! How do you do? Nice to meet you. / Pleased to meet you.
LisätiedotOma sininen meresi (Finnish Edition)
Oma sininen meresi (Finnish Edition) Hannu Pirilä Click here if your download doesn"t start automatically Oma sininen meresi (Finnish Edition) Hannu Pirilä Oma sininen meresi (Finnish Edition) Hannu Pirilä
LisätiedotChoose Finland-Helsinki Valitse Finland-Helsinki
Write down the Temporary Application ID. If you do not manage to complete the form you can continue where you stopped with this ID no. Muista Temporary Application ID. Jos et onnistu täyttää lomake loppuun
LisätiedotGap-filling methods for CH 4 data
Gap-filling methods for CH 4 data Sigrid Dengel University of Helsinki Outline - Ecosystems known for CH 4 emissions; - Why is gap-filling of CH 4 data not as easy and straight forward as CO 2 ; - Gap-filling
LisätiedotOP1. PreDP StudyPlan
OP1 PreDP StudyPlan PreDP The preparatory year classes are in accordance with the Finnish national curriculum, with the distinction that most of the compulsory courses are taught in English to familiarize
Lisätiedotmake and make and make ThinkMath 2017
Adding quantities Lukumäärienup yhdistäminen. Laske yhteensä?. Countkuinka howmonta manypalloja ballson there are altogether. and ja make and make and ja make on and ja make ThinkMath 7 on ja on on Vaihdannaisuus
LisätiedotOpiskelijat valtaan! TOPIC MASTER menetelmä lukion englannin opetuksessa. Tuija Kae, englannin kielen lehtori Sotungin lukio ja etälukio
Opiskelijat valtaan! TOPIC MASTER menetelmä lukion englannin opetuksessa Tuija Kae, englannin kielen lehtori Sotungin lukio ja etälukio Päättääkö opettaja ohjelmasta? Vai voisivatko opiskelijat itse suunnitella
LisätiedotNetwork to Get Work. Tehtäviä opiskelijoille Assignments for students. www.laurea.fi
Network to Get Work Tehtäviä opiskelijoille Assignments for students www.laurea.fi Ohje henkilöstölle Instructions for Staff Seuraavassa on esitetty joukko tehtäviä, joista voit valita opiskelijaryhmällesi
LisätiedotOther approaches to restrict multipliers
Other approaches to restrict multipliers Heikki Tikanmäki Optimointiopin seminaari 10.10.2007 Contents Short revision (6.2) Another Assurance Region Model (6.3) Cone-Ratio Method (6.4) An Application of
LisätiedotInformation on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine Centre for Language and Communication Studies
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2018 Päivi Paukku & Jenni Laine 4.1.2018 Centre for Language and Communication Studies Puhutko suomea? -Hei! -Hei hei! -Moi! -Moi moi! -Terve! -Terve
LisätiedotAkateemiset fraasit Tekstiosa
- Väitteen hyväksyminen Broadly speaking, I agree with because Samaa mieltä jostakin näkökulmasta One is very much inclined to agree with because Samaa mieltä jostakin näkökulmasta Yleisesti ottaen olen
LisätiedotGuidebook for Multicultural TUT Users
1 Guidebook for Multicultural TUT Users WORKPLACE PIRKANMAA-hankkeen KESKUSTELUTILAISUUS 16.12.2010 Hyvää käytäntöä kehittämässä - vuorovaikutusopas kansainvälisille opiskelijoille TTY Teknis-taloudellinen
LisätiedotInformation on Finnish Courses Autumn Semester 2017 Jenni Laine & Päivi Paukku Centre for Language and Communication Studies
Information on Finnish Courses Autumn Semester 2017 Jenni Laine & Päivi Paukku 24.8.2017 Centre for Language and Communication Studies Puhutko suomea? -Hei! -Hei hei! -Moi! -Moi moi! -Terve! -Terve terve!
LisätiedotMiksi Suomi on Suomi (Finnish Edition)
Miksi Suomi on Suomi (Finnish Edition) Tommi Uschanov Click here if your download doesn"t start automatically Miksi Suomi on Suomi (Finnish Edition) Tommi Uschanov Miksi Suomi on Suomi (Finnish Edition)
LisätiedotUusi Ajatus Löytyy Luonnosta 3 (Finnish Edition)
Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 3 (Finnish Edition) Esko Jalkanen Click here if your download doesn"t start automatically Uusi Ajatus Löytyy Luonnosta 3 (Finnish Edition) Esko Jalkanen Uusi Ajatus Löytyy
LisätiedotInformation on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine
Information on Finnish Language Courses Spring Semester 2017 Jenni Laine 4.1.2017 KIELIKESKUS LANGUAGE CENTRE Puhutko suomea? Do you speak Finnish? -Hei! -Moi! -Mitä kuuluu? -Kiitos, hyvää. -Entä sinulle?
LisätiedotBLOCKCHAINS AND ODR: SMART CONTRACTS AS AN ALTERNATIVE TO ENFORCEMENT
UNCITRAL EMERGENCE CONFERENCE 13.12.2016 Session I: Emerging Legal Issues in the Commercial Exploitation of Deep Seabed, Space and AI BLOCKCHAINS AND ODR: SMART CONTRACTS AS AN ALTERNATIVE TO ENFORCEMENT
Lisätiedot812336A C++ -kielen perusteet, 21.8.2010
812336A C++ -kielen perusteet, 21.8.2010 1. Vastaa lyhyesti seuraaviin kysymyksiin (1p kaikista): a) Mitä tarkoittaa funktion ylikuormittaminen (overloading)? b) Mitä tarkoittaa jäsenfunktion ylimääritys
Lisätiedot1. SIT. The handler and dog stop with the dog sitting at heel. When the dog is sitting, the handler cues the dog to heel forward.
START START SIT 1. SIT. The handler and dog stop with the dog sitting at heel. When the dog is sitting, the handler cues the dog to heel forward. This is a static exercise. SIT STAND 2. SIT STAND. The
LisätiedotEVALUATION FOR THE ERASMUS+-PROJECT, STUDENTSE
#1 Aloitettu: 6. marraskuuta 2015 9:03:38 Muokattu viimeksi: 6. marraskuuta 2015 9:05:26 Käytetty aika: 00:01:47 IP-osoite: 83.245.241.86 K1: Nationality Finnish K2: The program of the week has been very
LisätiedotTIETEEN PÄIVÄT OULUSSA 1.-2.9.2015
1 TIETEEN PÄIVÄT OULUSSA 1.-2.9.2015 Oulun Yliopisto / Tieteen päivät 2015 2 TIETEEN PÄIVÄT Järjestetään Oulussa osana yliopiston avajaisviikon ohjelmaa Tieteen päivät järjestetään saman konseptin mukaisesti
LisätiedotMitä Master Class:ssa opittiin?
Mitä Master Class:ssa opittiin? Tutkimuskoordinaattori Kaisa Korhonen-Kurki, Helsingin yliopisto Tutkija Katriina Soini, Helsingin yliopisto Yliopistopedagogi Henna Asikainen, Helsingin yliopisto Tausta
LisätiedotECVETin soveltuvuus suomalaisiin tutkinnon perusteisiin. Case:Yrittäjyyskurssi matkailualan opiskelijoille englantilaisen opettajan toteuttamana
ECVETin soveltuvuus suomalaisiin tutkinnon perusteisiin Case:Yrittäjyyskurssi matkailualan opiskelijoille englantilaisen opettajan toteuttamana Taustaa KAO mukana FINECVET-hankeessa, jossa pilotoimme ECVETiä
LisätiedotVertaispalaute. Vertaispalaute, /9
Vertaispalaute Vertaispalaute, 18.3.2014 1/9 Mistä on kyse? opiskelijat antavat palautetta toistensa töistä palaute ei vaikuta arvosanaan (palautteen antaminen voi vaikuttaa) opiskelija on työskennellyt
LisätiedotGreen Growth Sessio - Millaisilla kansainvälistymismalleilla kasvumarkkinoille?
Green Growth Sessio - Millaisilla kansainvälistymismalleilla kasvumarkkinoille? 10.10.01 Tuomo Suortti Ohjelman päällikkö Riina Antikainen Ohjelman koordinaattori 10/11/01 Tilaisuuden teema Kansainvälistymiseen
LisätiedotAYYE 9/ HOUSING POLICY
AYYE 9/12 2.10.2012 HOUSING POLICY Mission for AYY Housing? What do we want to achieve by renting apartments? 1) How many apartments do we need? 2) What kind of apartments do we need? 3) To whom do we
LisätiedotNational Building Code of Finland, Part D1, Building Water Supply and Sewerage Systems, Regulations and guidelines 2007
National Building Code of Finland, Part D1, Building Water Supply and Sewerage Systems, Regulations and guidelines 2007 Chapter 2.4 Jukka Räisä 1 WATER PIPES PLACEMENT 2.4.1 Regulation Water pipe and its
LisätiedotFinFamily PostgreSQL installation ( ) FinFamily PostgreSQL
FinFamily PostgreSQL 1 Sisällys / Contents FinFamily PostgreSQL... 1 1. Asenna PostgreSQL tietokanta / Install PostgreSQL database... 3 1.1. PostgreSQL tietokannasta / About the PostgreSQL database...
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the
LisätiedotMUSEOT KULTTUURIPALVELUINA
Elina Arola MUSEOT KULTTUURIPALVELUINA Tutkimuskohteena Mikkelin museot Opinnäytetyö Kulttuuripalvelujen koulutusohjelma Marraskuu 2005 KUVAILULEHTI Opinnäytetyön päivämäärä 25.11.2005 Tekijä(t) Elina
LisätiedotWindows Phone. Module Descriptions. Opiframe Oy puh. +358 44 7220800 eero.huusko@opiframe.com. 02600 Espoo
Windows Phone Module Descriptions Mikä on RekryKoulutus? Harvassa ovat ne työnantajat, jotka löytävät juuri heidän alansa hallitsevat ammatti-ihmiset valmiina. Fiksuinta on tunnustaa tosiasiat ja hankkia
Lisätiedot16. Allocation Models
16. Allocation Models Juha Saloheimo 17.1.27 S steemianalsin Optimointiopin seminaari - Sks 27 Content Introduction Overall Efficienc with common prices and costs Cost Efficienc S steemianalsin Revenue
LisätiedotReturns to Scale II. S ysteemianalyysin. Laboratorio. Esitelmä 8 Timo Salminen. Teknillinen korkeakoulu
Returns to Scale II Contents Most Productive Scale Size Further Considerations Relaxation of the Convexity Condition Useful Reminder Theorem 5.5 A DMU found to be efficient with a CCR model will also be
LisätiedotKysymys 5 Compared to the workload, the number of credits awarded was (1 credits equals 27 working hours): (4)
Tilasto T1106120-s2012palaute Kyselyn T1106120+T1106120-s2012palaute yhteenveto: vastauksia (4) Kysymys 1 Degree programme: (4) TIK: TIK 1 25% ************** INF: INF 0 0% EST: EST 0 0% TLT: TLT 0 0% BIO:
LisätiedotThe role of 3dr sector in rural -community based- tourism - potentials, challenges
The role of 3dr sector in rural -community based- tourism - potentials, challenges Lappeenranta, 5th September 2014 Contents of the presentation 1. SEPRA what is it and why does it exist? 2. Experiences
LisätiedotOperatioanalyysi 2011, Harjoitus 4, viikko 40
Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 4, viikko 40 H4t1, Exercise 4.2. H4t2, Exercise 4.3. H4t3, Exercise 4.4. H4t4, Exercise 4.5. H4t5, Exercise 4.6. (Exercise 4.2.) 1 4.2. Solve the LP max z = x 1 + 2x 2
LisätiedotUusia kokeellisia töitä opiskelijoiden tutkimustaitojen kehittämiseen
The acquisition of science competencies using ICT real time experiments COMBLAB Uusia kokeellisia töitä opiskelijoiden tutkimustaitojen kehittämiseen Project N. 517587-LLP-2011-ES-COMENIUS-CMP This project
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO Humanististen tieteiden kandidaatin tutkinto / Filosofian maisterin tutkinto
VAASAN YLIOPISTO Humanististen tieteiden kandidaatin tutkinto / Filosofian maisterin tutkinto Tämän viestinnän, nykysuomen ja englannin kandidaattiohjelman valintakokeen avulla Arvioidaan viestintävalmiuksia,
LisätiedotElämä on enemmän kuin yksi ilta (Finnish Edition)
Elämä on enemmän kuin yksi ilta (Finnish Edition) Maria Calabria Click here if your download doesn"t start automatically Elämä on enemmän kuin yksi ilta (Finnish Edition) Maria Calabria Elämä on enemmän
LisätiedotSCIENTIX - LUMA-opettajien. uusia ideoita opetukseen. M ij P ll i. Maija Pollari LUMA-keskus Suomi MAOL-kevätkoulutuspäivä 18.4.
SCIENTIX - LUMA-opettajien verkkoportaalista t uusia ideoita opetukseen M ij P ll i Maija Pollari LUMA-keskus Suomi MAOL-kevätkoulutuspäivä 18.4.2015 Mitä ajatuksia herättävät nämä yhdistelmät: Opettaja
LisätiedotCo-Design Yhteissuunnittelu
Co-Design Yhteissuunnittelu Tuuli Mattelmäki DA, associate professor Aalto University School of Arts, Design and Architecture School of Arts, Design and Architecture design with and for people Codesign
LisätiedotALOITUSKESKUSTELU / FIRST CONVERSATION
ALOITUSKESKUSTELU / FIRST CONVERSATION Lapsen nimi / Name of the child Lapsen ikä / Age of the child yrs months HYVINKÄÄN KAUPUNKI Varhaiskasvatuspalvelut Lapsen päivähoito daycare center / esiopetusyksikkö
Lisätiedotkoiran omistajille ja kasvattajille 2013 for dog owners and breeders in 2013
Irlanninsusikoiran luonnekysely A survey of the temperament of Irish wolfhounds koiran omistajille ja kasvattajille 213 for dog owners and breeders in 213 Teksti / author: Jalostustoimikunta / breeding
LisätiedotConstructive Alignment in Specialisation Studies in Industrial Pharmacy in Finland
Constructive Alignment in Specialisation Studies in Industrial Pharmacy in Finland Anne Mari Juppo, Nina Katajavuori University of Helsinki Faculty of Pharmacy 23.7.2012 1 Background Pedagogic research
LisätiedotHankkeiden vaikuttavuus: Työkaluja hankesuunnittelun tueksi
Ideasta projektiksi - kumppanuushankkeen suunnittelun lähtökohdat Hankkeiden vaikuttavuus: Työkaluja hankesuunnittelun tueksi Erasmus+ -ohjelman hakuneuvonta ammatillisen koulutuksen kumppanuushanketta
LisätiedotKONEISTUSKOKOONPANON TEKEMINEN NX10-YMPÄRISTÖSSÄ
KONEISTUSKOKOONPANON TEKEMINEN NX10-YMPÄRISTÖSSÄ https://community.plm.automation.siemens.com/t5/tech-tips- Knowledge-Base-NX/How-to-simulate-any-G-code-file-in-NX- CAM/ta-p/3340 Koneistusympäristön määrittely
LisätiedotHotel Sapiens (Finnish Edition)
Hotel Sapiens (Finnish Edition) Leena Krohn Click here if your download doesn"t start automatically Hotel Sapiens (Finnish Edition) Leena Krohn Hotel Sapiens (Finnish Edition) Leena Krohn Leena Krohnin
LisätiedotAlternative DEA Models
Mat-2.4142 Alternative DEA Models 19.9.2007 Table of Contents Banker-Charnes-Cooper Model Additive Model Example Data Home assignment BCC Model (Banker-Charnes-Cooper) production frontiers spanned by convex
LisätiedotPojan Sydan: Loytoretki Isan Rakkauteen (Finnish Edition)
Pojan Sydan: Loytoretki Isan Rakkauteen (Finnish Edition) M. James Jordan Click here if your download doesn"t start automatically Pojan Sydan: Loytoretki Isan Rakkauteen (Finnish Edition) M. James Jordan
LisätiedotFinFamily Installation and importing data (11.1.2016) FinFamily Asennus / Installation
FinFamily Asennus / Installation 1 Sisällys / Contents FinFamily Asennus / Installation... 1 1. Asennus ja tietojen tuonti / Installation and importing data... 4 1.1. Asenna Java / Install Java... 4 1.2.
LisätiedotHuom. tämä kulma on yhtä suuri kuin ohjauskulman muutos. lasketaan ajoneuvon keskipisteen ympyräkaaren jänteen pituus
AS-84.327 Paikannus- ja navigointimenetelmät Ratkaisut 2.. a) Kun kuvan ajoneuvon kumpaakin pyörää pyöritetään tasaisella nopeudella, ajoneuvon rata on ympyränkaaren segmentin muotoinen. Hitaammin kulkeva
LisätiedotTravel Getting Around
- Location Olen eksyksissä. Not knowing where you are Voisitko näyttää kartalta missä sen on? Asking for a specific location on a map Mistä täällä on? Asking for a specific...wc?...pankki / rahanvaihtopiste?...hotelli?...huoltoasema?...sairaala?...apteekki?...tavaratalo?...ruokakauppa?...bussipysäkki?
LisätiedotExercise 1. (session: )
EEN-E3001, FUNDAMENTALS IN INDUSTRIAL ENERGY ENGINEERING Exercise 1 (session: 24.1.2017) Problem 3 will be graded. The deadline for the return is on 31.1. at 12:00 am (before the exercise session). You
LisätiedotArkkitehtuuritietoisku. eli mitä aina olet halunnut tietää arkkitehtuureista, muttet ole uskaltanut kysyä
Arkkitehtuuritietoisku eli mitä aina olet halunnut tietää arkkitehtuureista, muttet ole uskaltanut kysyä Esikysymys Kuinka moni aikoo suunnitella projektityönsä arkkitehtuurin? Onko tämä arkkitehtuuria?
LisätiedotAlueellinen yhteistoiminta
Alueellinen yhteistoiminta Kokemuksia alueellisesta toiminnasta Tavoitteet ja hyödyt Perusterveydenhuollon yksikön näkökulmasta Matti Rekiaro Ylilääkäri Perusterveydenhuollon ja terveyden edistämisen yksikkö
LisätiedotS-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
S-55.00 SÄHKÖKNKKA A KONKKA. välikoe 2..2008. Saat vastata vain neljään tehtävään!. aske jännite U. = 4 Ω, 2 = Ω, = Ω, = 2, 2 =, = A, 2 = U 2 2 2 2. ännitelähde tuottaa hetkestä t = t < 0 alkaen kaksiportaisen
LisätiedotSmall Number Counts to 100. Story transcript: English and Blackfoot
Small Number Counts to 100. Story transcript: English and Blackfoot Small Number is a 5 year-old boy who gets into a lot of mischief. He lives with his Grandma and Grandpa, who patiently put up with his
LisätiedotStrategiset kyvykkyydet kilpailukyvyn mahdollistajana Autokaupassa Paula Kilpinen, KTT, Tutkija, Aalto Biz Head of Solutions and Impact, Aalto EE
Strategiset kyvykkyydet kilpailukyvyn mahdollistajana Autokaupassa Paula Kilpinen, KTT, Tutkija, Aalto Biz Head of Solutions and Impact, Aalto EE November 7, 2014 Paula Kilpinen 1 7.11.2014 Aalto University
LisätiedotENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa II: Projekti- ja tiimityö
ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa Aloitustapaaminen 11.4.2016 Osa II: Projekti- ja tiimityö Sisältö Projektityö Mitä on projektityö? Projektityön tekeminen: ositus, aikatauluhallinta, päätöksenteon
LisätiedotBounds on non-surjective cellular automata
Bounds on non-surjective cellular automata Jarkko Kari Pascal Vanier Thomas Zeume University of Turku LIF Marseille Universität Hannover 27 august 2009 J. Kari, P. Vanier, T. Zeume (UTU) Bounds on non-surjective
LisätiedotLYTH-CONS CONSISTENCY TRANSMITTER
LYTH-CONS CONSISTENCY TRANSMITTER LYTH-INSTRUMENT OY has generate new consistency transmitter with blade-system to meet high technical requirements in Pulp&Paper industries. Insurmountable advantages are
LisätiedotBusiness Opening. Arvoisa Herra Presidentti Very formal, recipient has a special title that must be used in place of their name
- Opening Finnish Norwegian Arvoisa Herra Presidentti Very formal, recipient has a special title that must be used in place of their name Hyvä Herra, Formal, male recipient, name unknown Hyvä Rouva Formal,
LisätiedotCounting quantities 1-3
Counting quantities 1-3 Lukumäärien 1 3 laskeminen 1. Rastita Tick (X) (X) the kummassa box that has laatikossa more on balls enemmän in it. palloja. X. Rastita Tick (X) (X) the kummassa box that has laatikossa
LisätiedotTummempaa tuolla puolen (Finnish Edition)
Tummempaa tuolla puolen (Finnish Edition) Kaj Korkea-aho Click here if your download doesn"t start automatically Tummempaa tuolla puolen (Finnish Edition) Kaj Korkea-aho Tummempaa tuolla puolen (Finnish
LisätiedotKäyttöliittymät II. Käyttöliittymät I Kertaus peruskurssilta. Keskeisin kälikurssilla opittu asia?
Käyttöliittymät II Sari A. Laakso Käyttöliittymät I Kertaus peruskurssilta Keskeisin kälikurssilla opittu asia? 1 Käyttöliittymät II Kurssin sisältö Käli I Käyttötilanteita Käli II Käyttötilanteet selvitetään
LisätiedotLiikkujapalaute & korkeakoulujen palaute sopimuskaudelta
Liikkujapalaute & korkeakoulujen palaute sopimuskaudelta 2017-2018 Sofia Lähdeniemi, Opetushallitus Erasmus+ koordinaattoritapaaminen 4.4.2019 10/04/2019 Opetushallitus 1 2017-2018 loppuraporttien käsittely
LisätiedotTietorakenteet ja algoritmit
Tietorakenteet ja algoritmit Taulukon edut Taulukon haitat Taulukon haittojen välttäminen Dynaamisesti linkattu lista Linkatun listan solmun määrittelytavat Lineaarisen listan toteutus dynaamisesti linkattuna
LisätiedotSisällysluettelo Table of contents
Sisällysluettelo Table of contents OTC:n Moodlen käyttöohje suomeksi... 1 Kirjautuminen Moodleen... 2 Ensimmäinen kirjautuminen Moodleen... 2 Salasanan vaihto... 2 Oma käyttäjäprofiili... 3 Työskentely
LisätiedotLakimies PDF. ==>Download: Lakimies PDF ebook
Lakimies PDF ==>Download: Lakimies PDF ebook Lakimies PDF - Are you searching for Lakimies Books? Now, you will be happy that at this time Lakimies PDF is available at our online library. With our complete
LisätiedotVaihtoon lähdön motiivit ja esteet Pohjoismaissa. Siru Korkala 12.10.2012
Vaihtoon lähdön motiivit ja esteet Pohjoismaissa Siru Korkala 12.10.2012 Tutkimuskysymykset Miten kansainväliseen liikkuvuuteen osallistuvat opiskelijat eroavat ei-liikkujista taustoiltaan Mitkä ovat liikkuvuuden
LisätiedotErasmus Intensive Language Course KV kevätpäivät Kuopio 9.5.2011 Päivi Martin, Lapin yliopisto
Erasmus Intensive Language Course KV kevätpäivät Kuopio 9.5.2011 Päivi Martin, Lapin yliopisto EILC KOKEMUKSIA LAPISTA HAKEMUS BUDJETTI JÄRJESTÄVÄTAHO & VASTUU TYÖNJAKO KIELENOPETUS OHJELMA JA PALJON KOKEMUKSIA
LisätiedotYou can check above like this: Start->Control Panel->Programs->find if Microsoft Lync or Microsoft Lync Attendeed is listed
Online Meeting Guest Online Meeting for Guest Participant Lync Attendee Installation Online kokous vierailevalle osallistujalle Lync Attendee Asennus www.ruukki.com Overview Before you can join to Ruukki
LisätiedotLapin Rovaniemen moduuli 2 verkko-opiskelijoiden kysymyksiä tetoimiston virkailijoiden tapaamiseen AC-huoneessa:
Lapin Rovaniemen moduuli 2 verkko-opiskelijoiden kysymyksiä tetoimiston virkailijoiden tapaamiseen AC-huoneessa: Koulutukseen ja Te-toimiston rooliin liittyviä kysymykset: 1. Olen yli 30-vuotias mutta
LisätiedotHOITAJAN ROOLI TEKNOLOGIAVÄLITTEISESSÄ POTILASOHJAUKSESSA VÄITÖSKIRJATUTKIJA JENNI HUHTASALO
HOITAJAN ROOLI TEKNOLOGIAVÄLITTEISESSÄ POTILASOHJAUKSESSA VÄITÖSKIRJATUTKIJA JENNI HUHTASALO Tutkimusintressit Asiantuntijuus ja teknologia: Hoitajan rooli teknologiavälitteisessä potilasohjauksessa Opettajan
LisätiedotExpression of interest
Expression of interest Avoin hakemus tohtorikoulutettavaksi käytäntö Miksi? Dear Ms. Terhi virkki-hatakka I am writing to introduce myself as a volunteer who have the eagerness to study in your university.
LisätiedotCounting quantities 1-3
Counting quantities 1-3 Lukumäärien 1 3 laskeminen 1. Rastita Tick (X) (X) the kummassa box that has laatikossa more on balls enemmän in it. palloja. X 2. Rastita Tick (X) (X) the kummassa box that has
LisätiedotStatistical design. Tuomas Selander
Statistical design Tuomas Selander 28.8.2014 Introduction Biostatistician Work area KYS-erva KYS, Jyväskylä, Joensuu, Mikkeli, Savonlinna Work tasks Statistical methods, selection and quiding Data analysis
LisätiedotVäite Argument "Yhteiskunnan velvollisuus on tarjota virkistysalueita ja -palveluita." "Recreation sites and service
Olisiko vastaaja valmis maksamaan... Would the respondent be willing to pay for... Luonto-opastuksesta Nature guide services Autiotuvan käytöstä Use of wilderness huts Tulipaikan käytöstä (polttopuut,
Lisätiedot7.4 Variability management
7.4 Variability management time... space software product-line should support variability in space (different products) support variability in time (maintenance, evolution) 1 Product variation Product
LisätiedotJatko-opintovaihtoehdot/ Further studies
Jatko-opintovaihtoehdot/ Further studies Lukion jälkeen.. Ammatillinen toinen aste 2v. Ammattikorkeakoulut 3,5-4v. Yliopistot 5,5-6 v. Opinnot ulkomailla After Upper Secondary Vocational school, 2 years
LisätiedotOsallistujaraportit Erasmus+ ammatillinen koulutus
Osallistujaraportit 2016 Erasmus+ ammatillinen koulutus Suomesta lähteneiden ja Suomeen tulleiden vertailu V. 2016 osallistujaraporttien osalta saatavilla myös Suomeen tulleet opiskelijat ja henkilöstö
Lisätiedot1.3Lohkorakenne muodostetaan käyttämällä a) puolipistettä b) aaltosulkeita c) BEGIN ja END lausekkeita d) sisennystä
OULUN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteiden laitos Johdatus ohjelmointiin 81122P (4 ov.) 30.5.2005 Ohjelmointikieli on Java. Tentissä saa olla materiaali mukana. Tenttitulokset julkaistaan aikaisintaan
LisätiedotSkene. Games Refueled. Muokkaa perustyyl. napsautt. @Games for Health, Kuopio. 2013 kari.korhonen@tekes.fi. www.tekes.fi/skene
Skene Muokkaa perustyyl. Games Refueled napsautt. @Games for Health, Kuopio Muokkaa alaotsikon perustyyliä napsautt. 2013 kari.korhonen@tekes.fi www.tekes.fi/skene 10.9.201 3 Muokkaa Skene boosts perustyyl.
LisätiedotGeneral studies: Art and theory studies and language studies
General studies: Art and theory studies and language studies Centre for General Studies (YOYO) Aalto University School of Arts, Design and Architecture ARTS General Studies General Studies are offered
Lisätiedotasiantuntijuutta kohti kouluprojektia rakentamalla
Määränpää tuntematon. Kielenopettajan asiantuntijuutta kohti kouluprojektia rakentamalla Leena Kuure Oulun yliopisto Humanistinen tiedekunta Englantilainen filologia Language Learning and New Technologies
Lisätiedot7. Product-line architectures
7. Product-line architectures 7.1 Introduction 7.2 Product-line basics 7.3 Layered style for product-lines 7.4 Variability management 7.5 Benefits and problems with product-lines 1 Short history of software
LisätiedotMRI-sovellukset. Ryhmän 6 LH:t (8.22 & 9.25)
MRI-sovellukset Ryhmän 6 LH:t (8.22 & 9.25) Ex. 8.22 Ex. 8.22 a) What kind of image artifact is present in image (b) Answer: The artifact in the image is aliasing artifact (phase aliasing) b) How did Joe
Lisätiedot