Ville Sipola, 49059B

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ville Sipola, 49059B vsipola@cc.hut.fi, Ville_Sipola@hotmail.com"

Transkriptio

1 Maa Kuvatekniikan harjoitustyöt: Anaglyfisen tietokonepelin grafiikan toteuttamisesta Ville Sipola, 49059B

2 Sisällysluettelo 1 Työstä Kysymykseen tulevia tuotantotekniikoita Anaglyfikuvantamisen värityksen perusteita Värityksen hienouksia Värijaon syvyystoteutus Fraktaaleista Stereokuvat ja tietokonegrafiikka Aiheisiin liittyvää kirjallisuutta...22

3 1 Työstä Kolmiulotteinen grafiikka siinä merkityksessä, että esitetty grafiikka mallinnetaan kolmiulotteisesti ja projisoidaan sitten monitorin pinnalle kaksiulotteisena, on nykyajan tietokonepeleissä suorastaan häiritsevän tavallista. Sitävastoin kolmiulotteisuus siinä merkityksessä, että grafiikka olisi aidosti stereografista, on lähestulkoon tavatonta.työn tarkoituksena oli tutkia, miten hyviin tuloksiin tällaisessa käytössä olisi mahdollista päästä anaglyfisellä (puna-viher) grafiikalla.työn olennaisimman sisällön muodosti tietokonepelin karttaeditoria varten tarvittavan koodin kirjoittaminen. Toiseksi työn sisällöksi muodostui fraktaalien käyttömahdollisuuksien tutkiminen pelien karttatuotannossa. Erilaiset karttageneraattorit ovat vanhastaan olleet mm. strategiapelien perusaineistoa. Niillä on pystynyt luomaan realistisen näköisiä pelimaisemia kohtuullisen helposti. Noille editoreille on kuitenkin aina ollut yhteistä se, että niissä on yhdistetty toisiinsa etukäteen piirrettyjä maisemaosia tiettyjen sääntöjen mukaan. Tässä työssä testattiin menetelmää, jossa kaikki maastonmuodot sekä ainakin osa kasvistosta on luotu fraktaaleilla. Anaglyfipiirtämisestä, erityisesti väripintagrafiikkaa käyttävästä sellaisesta, on olemassa sen verran vähän varsinaista tieteellistä tutkimustietoa, että tekstiä kirjoitettaessa lähteitä ei juuri käytetty. Teksti sisältääkin pääasiassa empiirisiä tuloksia. Silloin kun testien tuloksen arviointi on vaatinut mielipiteen muodostamista, mielipiteitä on kysytty rajoitetulta kohdeyleisöltä. Pääosin olen pyrkinyt perustelemaan tulokseni kuvin. Tekstin esimerkkikuvien katselu vaatii anaglyfilasit.

4 2 Kysymykseen tulevia tuotantotekniikoita Teoriassa ei olisi mitenkään mahdotonta tuottaa täysin uusia apuvälineitä tietokonegrafiikan kolmiulotteiseen näyttämiseen. Käytännössä sellaisten valmistaminen vaatisi kuitenkin niin paljon rahaa, että moisten näyttölaitteiden levittäminen pelin tai muun hinnaltaan suhteellisen halvan tietokoneohjelman mukana ei tulisi kyseeseen. Niinpä kaikissa yleisissä stereototeutuksissa kuva tuotetaan tietokoneen monitorilla ja stereojako toteutetaan jälkeenpäin. Stereokuvan käyttäminen tietokoneohjelmassa vaatii, että kuvia pystytään katselemaan tunteja yhtäjaksoisesti väsymättä. Tämä johtaa vaatimukseen, että tekniikka on helposti nähtävissä, ts. katsojan ei tarvitse sopeuttaa silmiään katselua varten. Tämänkaltaisessa käytössä kyseeseen tulevia tekniikoita ovat mm. seuraavat: Suljinlasit: näytön kuva tuotetaan kahdesta erillisestä kamerasta kuvattuna, ja ko. kuvia näytetään ruudulla vuorotellen. Lasien ja monitorin toiminta tahdistetaan siten, että kun vasemmalla silmällä nähtäväksi tarkoitettua kuvaa näytetään, oikean puolen linssi ei läpäise valoa, ja kun oikealla silmällä nähtäväksi tarkoitettua kuvaa näytetään, pimeänä on vasemman puolen linssi. Tekniikalla saadaan erittäin hyvän näköinen kuva, sen käyttö ei tuota juuri mitään rajoituksia itse grafiikan tuotantoon (puolet tavanomaista alemman kuvanpäivitysnopeuden lisäksi) ja ohjelmointitekninen toteutus on melko yksinkertaista molemmilla yleisesti käytetyillä 3Dgrafiikkakirjastoilla, ts. OpenGL:llä ja Direct X:llä. Ainoa todella suuri rajoitus toteutukselle on itse suljinlasien tarve. Lasit ovat juuri sen verran kalliit, että niitä ei voida levittää itse pelien mukana, ja erillisenä lisälaitteena lasit eivät ole saavuttaneet samanlaista suosiota kuin esim. äänikortit tai rattiohjaimet. Niin kauan kuin suljinlasit ovat käyttäjien keskuudessa harvinaisia, harvinaisia ovat myös pelit, jotka niitä käyttävät. Ja päinvastoin. Anaglyfilasit: Sarjakuvapuolella aina silloin tällöin nähty tekniikka ei jostain syystä ole saavuttanut suosiota tietokonepuolella, vaikka itse jako on tietoteknisesti helppo toteuttaa (asiasta enemmän muualla tässä työssä). Tekniikan ylittämättömänä ongelmana on värillisten linssien aiheuttama värivirhe sekä se, että lasien käyttö tulee jossain määrin huomioida koko pelintekoprosessissa. Tekniikan suuri etu, ja myös syy siihen, että pidän sitä todennäköisimpänä tekniikkana stereografiikan tuomiseksi tietokonepeleihin, on itse anaglyfilasien tekninen yksinkertaisuus. Muutamia kymmeniä senttejä maksavia punaviherlaseja voitaisiin levittää muutaman kymmenen euron hintaisten pelien mukana vaikkapa useampiakin joka paketissa. Chromadepth: Chromatek niminen yhtiö (www.chromatek.com) markkinoi omaa tekniikkaansa, jossa toinen lasin linsseistä taittaa eri tavoin valon eri aallonpituuksia. Tällöin esim. punaiset värisävyt näkyvät sinisten edessä. Lasien hinnat jäävät pienissäkin erissä dollarin alapuolelle, joten niidenkin levittäminen peleissä tulisi kysymykseen. Ohjelmointiteknisesti Chromadepthiin sisältyy kaksikin mielenkiintoista etua: ensinnäkin tekniikka on ainoa tunnettu stereotekniikka, jossa kuvia ei tarvitse piirtää kuin yksi, ts. stereojako tapahtuu suoraan kuvasta. Tämä on huomion arvoinen etu peleissä, joissa grafiikan nopeus on usein olennaisen tärkeä seikka. Lisäksi varsinkin palettigrafiikkaan pohjaavissa väritiloissa ( värisissä tiloissa) olisi värisävyn ja niin muodoin syvyyden säätäminen erittäin helppoa ja nopeaa. Tärkein kirjaus tekniikan ongelmapuolelle on se perustava seikka, että kappaleiden värin täytyisi liittyä syvyyteen. Siis esimerkiksi nouseva helikopteri tai portaita kiipeävä ihmishahmo joutuisi vaihtamaan väriä syvyyden muuttuessa. Tämä ei näytä kovinkaan luonnolliselta, ja estää värin käyttämisen informaation välittämiseen. Grafiikka olisi siis katsojien mielestä riemunkirjavaa, mutta ohjelmoijan ja graafikon kannalta mustavalkoista. Lisäksi on vuosia siitä, kun 256- väriset tilat olivat yleisesti hyväksyttyjä tietokonepeissä. Nykyään standardin asemassa olevissa

5 täysväritiloissa laajat värisävyn muunnokset taas eivät ole erityisen nopeita operaatioita. 3D Eye:saman nimisen firman levittämässä tekniikassa otetaan tavanomainen stereokuvapari, jonka toinen puolikas peilataan. Katselua varten kuvat asetetaan vierekkäin ja niiden väliin asetetaan peili. Kun katselija asettaa nenänsä peilin kohdalle ja kohdistaa katseensa siihen peilaamattomaan kuvaan, hänen toinen silmänsä näkee suoraan peilaamattoman kuvan ja toinen peilistä toisen kuvan kahdesti peilattuna. Tekniikan etuna olisi helppo toteutus (peilaaminen on tietokoneella hyvin nopea operaatio) sekä erinomainen kuvan laatu. Teknisen ongelmapuolen monitorikäytössä muodostavat peilin kiinnittämiseen ja ergonomiaan liittyvät vaikeudet. Hinnan kannalta epävarmuustekijän tuottaa se, että tekniikkaan liittyy patentteja. Niinpä käyttö luultavasti vaatisi lisenssimaksujen kustantamista tai muita (mahdollisesti kalliita) järjestelyjä. Perinteiset katselujärjestelmät: ilmakuvien tulkinnassa, fotogrammetriassa ja useissa muissa käyttötarkoituksissa on jo pitkaään käytetty vaihtelevaa määrää mekaanisia apuvälineitä. Periaatteessa ei olisi mitään estettä asettaa esimerkiksi ilmakuvatulkinnassa käytettävän stereonäkökojeen kuvanlähteeksi kahta kuvaa monitorin eri puolilta. Käytännön ongelman muodostavat näissä toteutuksissa laitteiston mekaaninen kiinnittäminen monitoriin sekä mekanismin mutkikkuuden kasvaessa erittäin nopeasti kasvava hinta.

6 3 Anaglyfikuvantamisen värityksen perusteita Perusperiaate anaglyfikuvissa on sama kuin missä tahansa stereopiirtämisessä: piirretään kaksi hyvin pitkälti samanlaista kuvaa, joista toinen näytetään toiseen ja toinen toiseen silmään.kuvien vaakasuoraa etäisyyttä säätämällä saadaan aikaan syvyysvaikutelma. Anaglyfilaseissa toinen linssi läpäisee punaiset ja toinen siniset ja vihreät värisävyt. Tapa, jolla tätä värijakoa käytetään hyväksi, poikkeaa tietokoneen kokovärikuvissa ja sarjakuvien mustavalkomaailmassa hiukan toisistaan. Sarjakuvissa musta väri on piirretty valkoisen pinnan päälle. Niinpä esimerkiksi sininen tai vihreä linssi, joka läpäisee heikosti punaisia aallonpituuksia, saa punaisen viivan näkymään mustana valkoisella taustalla. Sitävastoin kirkas, linssin väriä vastaava värisävy ei erotu valkoiselta taustalta. Siis punaisessa linssissä erottuvat sininen ja vihreä, sinisessä tai vihreässä linssissä punainen. Kuva 1 sarjakuvan punaviherkäyttöä: pyrkimys mustaan. Kansilehti 3D- Ankronikkasarjasta Hyppypapujen hyökyaalto. (Disney, Sanomaprint/Kirjat 1993) Monivärisissä kuvissa tilanne on päinvastainen. Kaikki punaisen sävyt näyttävät vihreän linssin läpi yhtä tasaisen mustilta, vihreästä ja sinisestä taas erottuvat myös sävyt. Vastaavasti punaisessa linssissä näkyvät punaisen sävyt.

7 4 Värityksen hienouksia Alunperin värityksen tutkimisen oli tarkoitus olla työn olennaisin sisältö, ja aiheesta tehtiinkin varsin perusteellisia, vaikkakin tuloksiltaan rajallisia tutkimuksia. 4.1 Lasien väritys Värien vääristymisen kannalta olennaisin tekijä ovat itse lasit. 3D- vaikutelmaltaan hyväksi todetut sinipunaiset lasit osoittautuivat tässä suhteessa erittäin heikoksi vaihtoehdoksi, sillä kuva kuin kuva muuttuu niiden lävitse katseltuna väistämättä hivenen violetin sävyiseksi. Koska violetti on tosimaailmassa melko harvinainen väri, realismista ei ole juuri puhetta. Punaviherlaseilla värien vääristymä on useimmiten pienempi, lisäksi vihreä on erityisesti luonnonmaisemissa niin tavallinen väri, että aidon värisiä maisemia on melko niillä helppo tuottaa. Toisaalta edellisessä kappaleessa mainitut seikat ovat lasikohtaisia, ja minulla ei ollut testeissä käytettävissäni kuin yhdet hyvät lasit kumpaakin väritystä. Linssivärien tummuus ja sävy vaikuttavat tuloksiin. Ainakin teoriassa on kuitenkin niin, että myös lähes täydellisen väriset lasit olisi mahdollista tuottaa. Koska tietokoneen monitoreissa on vain kolmea värikomponenttia, eli tiettyä punaista, vihreää ja sinistä, riittäisi melko puhtaiden värien tuottamiseksi käyttää vastaavaa punaista ja sinivihreää sopivissa suhteissa. Spektrissä ko. värit tosin olisivat hiukan lähempänä toisiaan kuin punainen ja sininen, joka saattaisi osaltaan heikentää värinäkemistä.värikokeiden aikana kehittelin pienen testinkin optimaalisten värisävyjen etsimiseksi: Testisävystön ylin osa sisältää lähes kokonaisen sävyskaalan. Toiseksi ylimmässä on sama skaala ilman punaista. Sinivihreän linssin läpi katsottuna ylimmän ja toiseksi ylimmän tulisi näyttää tarkalleen samalta. Lisäksi toiseksi ylimmän skaalan tulisi näyttää molempien linssien läpi katsottuna samalta kuin pelkän sinisen lasin läpi. Skaalan värin tulisi olla myös mahdollisimman tarkoin alkuperäinen. Punaisen linssin läpi taas toisen skaalan tulisi näyttää täysin mustalta.valkoisen skaalan tulee näyttää punaisen linssin läpi katsottuna tarkalleen samalta kuin ylimmän ja alimman skaalan. Punaisen skaalan tulee olla sinivihreän linssin läpi täysin musta. Täysin mustan vastavärin vaatimus on sikäli ongelmallinen, että sen suhteen tilanne paranee värin säätämisen lisäksi myös tummentamalla laseja. Ja liian tummat lasit taas ovat ongelma, koska niiden läpi kuvan näkyminen heikkenee. Värien vääristymisen kannalta tärkeämpi vaatimus onkin, että värit näkyvät läpi yhtä voimakkaasti. Toistaiseksi en ole keksinyt kunnon testiä sille, että punaisen ja sinivihreän linssin värin voimakkuus on yhtä suuri, joka on kuitenkin värien vääristymisen kannalta tärkeä vaatimus. Testiskaaloja on tietysti syytä tarkastella tietokoneen ruudulta. -Ja mieluiten juuri sen tietokoneen, jolta peliäkin aiotaan pelata. Kuva 2 Testi optimaalisen linssivärin etsimiseksi.

8 4.2 Kuvassa käytettävistä väreistä Kuvan värityksellä on voimakas vaikutus siihen, miten käyttäjä kuvan näkee. Täysin väärän tyyppinen väritys estää kolmiulotteisen näkemisen kokonaan, ja mitä voimakkaammat syvyyserot ovat, sitä paremmin onnistunut väritys tarvitaan kuvan näkemiseksi. Väritysvirheitä löydettiin viittä perustyyppiä: 1. Väripinnassa ei ole riittävää tekstuuria. Tasaisen väriset väripinnat ovat ongelma erityisesti silloin, kun kuvassa ei ole tarkkaa varjostusta. Katso itse, kumman maiseman muodot näet lasien läpi tarkemmin? Kuva 3 Esimerkki tekstuurin olemassaolon tärkeydestä Kyseessä on yksi ja sama korkeusmalli tarkalleen samanlaisella punaviherjaolla. Ainoastaan värityksessä on eroa. Kuvissa on melko voimakas anaglyfierottelu kuvien kokoon nähden, joten mikäli et näe syvyyksiä kummassakaan kuvassa, käännä lasit ympäri. Tekstuuri tarjoaa silmälle paikkoja joihin tarttua ja kohtia joita yhdistää toisiinsa. Mitä enemmän nähtävän kokoisia yksityiskohtia kuvassa on, sitä helpommin se pystytään näkemään ja sitä tarkempia ja syvempiä syvyysmuotoja siinä pystyy olemaan. Kuvaa 1, samoin kuin muitakin anaglyfisarjakuvia, voidaan käyttää esimerkkinä myös siitä, kuinka teksturoinnin puutetta voidaan käyttää hyväksi. Mikä hyvänsä täysin tasainen väripinta kahden jollekin tasolle sijoittuvan rajan välillä näyttää katsojan silmässä olevan samalla syvyydellä kuin rajansa. 2. Tekstuuri näyttää eri linssien läpi katsottuna olennaisesti erilaiselta. Tämä on oikeastaan niin itsestäänselvä asia, ettei sitä pitäisi tarvita edes sanoa. Jotenkin vain totesin itse lankeavani ansaan useamman kerran. Mikäli kuvan värikomponentit ovat todella täysin erilaiset, minkäänlaista syvyyskuvaa ei tietenkään synny, koska silmä ei pysty näkemään (tai aivot päättelemään), mitkä pisteet kuvissa pitäisi yhdistää toisiinsa. Asiassa on kuitenkin mahdollista tehdä useita pienempiäkin virheitä, jotka onnistuvat nekin tuhoamaan ulottuvuusnäkemisen täysin. Eräs tyypillisimmistä virheistä on, että jommassa kummassa värikomponentissa tapahtuvat muutokset ovat niin paljon vaimeampia kuin toisessa, että kuvat eivät yhdisty, ks. kuva 4.

9 Kuva 4 Vasemmalla (turhan matala) puu oikein väritettynä, oikealla sama kuva tasapaksulla punaisella värillä. Toinen tyyppivirhe on, että väritys näkyy toisen linssin läpi hyvin tummana ja toisen hyvin vaaleana.vaikka väritys olisi tällaisessa tapauksessa muutoin täydellisen onnistunut, värit näyttävät linssien läpi hyvin rauhattomilta. Puhtaat punaiset, vihreät ja siniset värit eivät siis tule kuvissa yleensä kysymykseen. Vastaavasti kuvan näkemisen kannalta ihanteellisiksi väreiksi todettiin erilaiset keltaisen, violetin ja harmaan sävyt, ts. värit, joissa on tasaisesti kummankin linssin läpi näkyviä värikomponentteja. Ei kuitenkaan pidä ymmärtää väärin: vihreä, sininen tai edes punainen eivät ole täysin mahdottomia värejä käytettäväksi, kunhan niistä ei tarvita täysin samoja sävyjä kuin lasin linsseissä. Sinisiin ja vihreisiin kappaleisiin täytyy pystyä lisäämään näkyvä määrä punaista, punaisiin sinistä ja/tai vihreää. Esimerkki erittäin rauhattomista väreistä löytyy omilta kartoiltani. Omituinen fiksaationi, että veden pitäisi olla väriltään sinistä, johti pahimmillaan tämän näköiseen lopputulokseen: Kuva 5 Vihertävän sininen vesi on toki kauniin värinen, mutta värijakolasien läpi katseltuna se juoksee silmissä. Efektiä voi käyttää maltillisesti myös hyväkseen. Kunhan ilmiö ei ole kauhean voimakas, niin sillä saadaan aikaan esimerkiksi kohtuullisen hyvän näköinen heijastava vedenpinta...

10 On syytä huomata, että värikomponenttien muutosten ei suinkaan aina tarvitse olla eri linsseissä samansuuntaisia, kunhan muutosrajat ovat samoilla kohdin. 3. Värit näkyvät läpi väärän värisestä linssistä. Riittävän kirkas värisävy, erityisesti mikäli se rajautuu terävästi tummiin sävyihin, näkyy lähestulkoon väistämättä haamukuvana läpi myös väärän värisestä linssistä. Haamukuva on jo sinänsä häiritsevä. Lisäksi mikäli väriero on suuri, silmät kohdistuvat herkästi oikean kuvan sijasta haamukuvaan, jolloin syvyysvaikutelmaa ei synny. 4. Tekstuurin väripinnat ovat liian pieniä. Kuva 6 Voimallinen väri erityisesti tummalla taustalla näkyy läpi lähes laseista kuin laseista Tekstuuri menettää erityisesti suurien korkeuserojen yhteydessä merkityksensä, mikäli se on niin pientä, ettei katsoja erota kunnolla toisiinsa yhtyviä pikseleitä. Kuva 7 Liian pikkutarkka tekstuuri menettää tehonsa. Oikeanpuoleisenkin kuvan syvyysefektin pystyy edelleen näkemään, mutta se vaati useimmilta testatuilta enemmän keskittymistä kuin vasemmanpuoleinen. 5. Tekstuuri on joko liian räikeä tai liian tumma Liian tasavärisen tekstuurin vaikutus kerrottiin ensimmäisessä kohdassa. Liian tumman tekstuurin vaikutus on samantapainen, ja sen syykin lienee sama: tekstuuri, joka on liian tumma nähtäväksi on yhtä kuin ei tekstuuria. Liian räikeä (siis tasavärisen vastakohtana) tekstuuri ei yleensä täydellisesti tuhoa syvyysnäkemistä, mutta erittäin voimalliset värierot saattavat erityisesti suhteellisen pieniin väripintoihin yhdistyneenä - heikentää jossain määrin vaikutelmaa.

11 Tavallisessa piirtämisessä käytettävät syvyysvihjeet helpottavat myös anaglyfikuvien syvyysnäkemistä. Erityisesti kuvien varjostamisella on suuri vaikutus. Raytracing- tekniikalla tai muuten erittäin tarkasti varjostetuissa kappaleissa esimerkiksi liian pikkutarkan tekstuurin sekä tekstuurin puuttumisen vaikutus suurelta osin kumoutuu. Varjostus parantaa myös värikomponenttien keskinäistä samankaltaisuutta. Esimerkiksi linssin värisen tekstuurin ongelmaa paraskaan varjostus ei kuitenkaan poista.

12 5 Värijaon syvyystoteutus Värijako noudattaa silmien toimintaa. Mitä suorempaan kohteeseen katsottaessa katsellaan, sitä syvemmällä se näyttää olevan, ja mitä enemmän ristiin (sirittäen) sitä katsottaessa katsellaan, sitä lähempänä se näyttää olevan. Jos siis esimerkiksi vasemmasta linssistä näkyy läpi punainen väri, niin mitä enemmän vasemmalla punainen on suhteessa vastaavaan sinivihreään, sitä syvemmällä kohde näyttää olevan, ja mitä enemmän oikealla punainen on, sitä lähempänä kohde näyttää olevan. Taso, jossa sinivihreä ja punainen ovat yhdessä, näkyy (tietysti) kuvaruudun pinnan tasolla. Jos siis halutaan, että kuva näyttää nousevan kuvaruudun pinnasta ylöspäin, tulee punaista siirtää nollatasosta sinivihreän linssin suuntaan, sinivihreää taas punaisen linssin suuntaan. Jos halutaan kuvan laskeutuvan kuvaruudun sisään, toimitaan päinvastoin. (Ei ole tietenkään sinänsä välttämätöntä siirtää molempia, riittää siirtää esimerkiksi punaisia komponentteja ja jättää siniset ja vihreät alkuperäisille paikoilleen.) Se, kumman kuvan (sisään painuvan vai pinnasta nousevan) katsoja näkee helpommin, riippuu katsojasta. On huomattava, että kuvaruudun pinnasta nouseva versio ei näy oikein kuvapinnan laidoilla, koska noilla alueilla alempana oleva kohde (kuvapinnan reunat) peittää (ts. alla oleva väri ei näy) ylempänä olevan kohteen. Asian voit tarkistaa vaikkapa kuvan 3 oikeasta puoliskosta, käyttämällä anaglyfilaseja molemmin päin. Mitä suurempi värijako on, sitä vaikeampi kuva on nähdä. Niinpä eräässä mielessä optimaalinen jakotapa olisi tapaus, jossa värisiirron nollataso sijaitsisi jossain kuvan syvyysjakauman puolivälin paikkeilla. Se, kuinka voimakkaat syvyysvaikutelmat katsoja pystyy näkemään oikein, on kuitenkin sekin käyttäjästä riippuvainen seikka eikä edes vakio ajan suhteen (mm. lisääntynyt kokemus anaglyfikuvien katselussa parantaa vaikutelmaa). Kaikkein paras tekniikka olisikin päästää käyttäjä säätämään sekä värisiirron nollataso että värisiirron voimakkuus omiin mieltymyksiinsä sopiviksi. Omissa kuvissani (ja lähes kaikissa tämän tekstin esimerkeissä) käytän silti kuvaruudun pinnasta nousevaa versiota, lähinnä siksi koska pidän sitä henkilökohtaisesti jotenkin vaikuttavampana. Yksi syvyysvaikutelmaan vaikuttavista seikoista on myös etäisyys, jolta kuvaa katsellaan. Mitä suurempi etäisyys on, sitä suuremmilta syvyyserot vaikuttavat. Koska kulma, johon silmien pitää kääntyä nähdäkseen värikomponentit yhtenä pienenee etäisyyden kasvaessa, kuvan näkeminenkin on yleensä (aina siihen asti että kuvan tarkkuuden heikkeneminen alkaa haittaamaan) helpompaa etäämmältä.

13 6 Fraktaaleista Fraktaalit ovat, sanakirjaselityksen omaisesti yksinkertaistaen, matemaattisia algoritmeja joilla pyritään luomaan samantapaisia muotoja kuin ne, jotka esiintyvät luonnossa. Fraktaalien keksijänä tunnetaan Benoit Mandelbrot, jonka nimeä kantava Mandelbrot- joukko lieneekin tunnetuin yksittäinen fraktaali. Erityisen käytettyjä fraktaalit ovat pinnanmuotojen, pilvien, puiden ja muiden tämänkaltaisten kohteiden määrittelyssä, joissa tavanomaisen geometrian kuvaamat muodot näyttävät häiritsevän säännöllisiltä mutta täydellinen sattumanvaraisuuskaan ei tuota haluttua tulosta. Fraktaalien määritelmä ei ole kovin tiukka, mutta muutamia niihin yleisesti kytkettyjä ominaisuuksia ovat : Proseduraalinen määritelmä: fraktaaleja eivät yleensä määritä yksittäiset matemaattiset lausekkeet vaan ketjut, joissa tehdään yksi laskelma, testataan sen tulos ja päätetään sen jälkeen, mikä laskelma tehdään seuraavaksi. Ääretön yksityiskohtaisuus: useimmista fraktaaleista voisi ainakin periaatteessa tarkastella kuinka pieniä osia hyvänsä, löytäen silti jatkuvasti lisää yksityiskohtia. Tämän merkityksen ymmärtää, kun ajattelee vaikkapa maastonmuotoja. Kaukaa katsottuna isostakaan tunturista ei näy kuin yleinen muoto. Lähemmäs mentäessä yhä pienemmät pintaa kansoittavat kukkulat alkavat näkymään. Laella seisoessa näkee pikkukiviä ja kumartuessaan vaikka hiekanjyviä. Mitä lähempää tarkastellaan, sitä pienempiä yksityiskohtia näkyy. Sitävastoin mitä hyvänsä tavanomaista matemaattista yhtälöä (ajattele vaikka sinikäyrää) tarkasteltaessa on löydettävissä taso, jossa yhtälön ura oikenee suoraksi. Yhdenmukaisuus itsensä kanssa: tarkasteltaessa fraktaalia eri etäisyyksiltä nähtävät muodot ovat aina jossakin määrin samantapaisia. Siis edellistä esimerkkiä käyttäen: pieninkin mäki näyttää perusmuodoltaan jossakin määrin samalta kuin vuori. Tai paljon ilmeisempi tapaus: tarkastele saniaisen lehteä. Yksittäisen oksan jokaisen haaran muoto on yleisesti ottaen sama kuin koko oksan. Edelleen jokaisen haaran jokainen alihaara on samanmuotoinen kuin itse oksa. Ja niin edelleen. Kuten luonnossa, myös fraktaaleissa yhdenmukaisuutta esiintyy hyvin eriasteisesti käyttökohteesta riippuen. 6.1 Fraktaalit pelin maastonmuodoissa Erilaisia fraktaaleja kauniin maaston tuottamiseksi on esitetty maailmassa lukemattomia. Todella täydellisen maaston luomiseen niistä ei taida kyetä yksikään, mutta useilla niistä saadaan kyllä todella hyvän näköistä jälkeä. Oma tekniikkani on muotoutunut vuosien kuluessa useamman tunnetun mekanismin yhteiskäytöstä, algoritmin olennaisimpana perustana toimii kuitenkin midpoint displacement (keskipisteen poikkeutus) -nimellä tunnettu tekniikka. Pyrkimyksenäni on ollut hakea menetelmää, joka on laskennallisesti nopea ja tuottaa silti hyvän näköisiä maisemia. Olennaisesti periaate on seuraava: Aluksi kuvalle luodaan väriskaala. Ilman pintakasvillisuutta ohjelmani tuottamissa pinnanmuodoissa kutakin korkeusarvoa vastaa aina sama vakioväri. Samantapaisia piirteitä löytyy luonnostakin, alueilta joilla kerroksellisten kivilajien pintaa ei peitä kasvillisuus. Sitten luodaan taulukko, joka sisältää kartalla olevien pikseleiden korkeudet. Kukin pikseli saa korkeuttaan vastaavan värin edellä mainitun väriskaalan mukaan. Otetaan alue, jonka sivujen pituudet ovat jokin toisen potenssi. Sivujen on myös hyvä olla keskenään yhtä pitkät. (128*128,256*256,2048*2048)

14 Kuva 8 Kartta alkutilassaan: molemmat laidat joku kahden potenssi. Sen jälkeen kuvan nurkkiin tulevat pikselit arvotaan. Näiden pikseleiden arvot ovat käytännössä melko määrääviä sen suhteen, tulevatko kuvan korkeuserot olemaan suuret vai pienet. Kartan keskelle arvotaan pikseli. Tämän pikselin arvonnassa kuitenkin vaaditaan, että pikselin arvo ei saa olla kauempana nurkkapikseleiden arvosta kuin mitä sillä on niihin välimatkaa. (Siis esim. 128*128- kokoisella kartalla keskipikseli saa olla arvoltaan korkeintaan 128*neliöjuuri(2):n päässä kulmapikseleiden keskiarvosta. Siis periaatteessa. Käytännössä säädöt ovat mutkikkaampia.) Kuva 9 Kartan 5 ensimmäistä pikseliä Seuraavaksi kunkin kartan tyhjän osan keskipisteeseen, eli tässä tapauksessa sivujen puoliväleihin, asetetaan pikseli. Toimintaa jatketaan eteenpäin aina suurin tyhjä tila täyttäen, kunnes kartta on täynnä. Joka toinen kierros menee "vinoon" siis ympäröivät pikselit ovat vinoneliön muotoisessa asetelmassa, joka toisella ne ovat vaakaneliön asennossa. Joka kolmannella kierroksella etäisyys ympäröiviin pikseleihin puolittuu. Kuva 10 Kartta viidennellä kierroksella: täyttöjärjestys ensin valkoiset, sitten punaiset ja sitten keltaiset pikselit. Tuloksena saadaan kartta, jossa suuretkin korkeusvaihtelut ovat mahdollisia etäällä toisistaan olevissa pikseleissä, mutta toisiaan lähellä olevat pisteet ovat toisiaan lähellä myös korkeusarvoltaan. Tässä perusmekanismissa on yksi fraktaalimaisemille hyvin tyypillinen ongelma: maasto on kauttaaltaan tasan yhtä kumpuilevaa. Siis mikäli syvyys korostetaan niin korkeaksi, että maasto alkaa muistuttamaan vuoristoa, niin koko maasto on vuoristoa. Jos taas kuvaa kerrotaan sen verran miedommin, että yksikään kohta kuvassa näyttää mukavan tasaiselta pellonpohjalta, niin sitten koko kartta näyttää siltä.

15 Maapallolla suurin osa maastosta on mukavan tasaista ja harvoissa vuoristoisissa kohdissa sijaitsevat sekä suurimmat korkeudet että suurimmat korkeusvaihtelut. Rannikot ovat enimmäkseen hyvin tasaisia. Syyt ovat geologisia: edelleen nähtävissä olevat vuoristot ovat syntyneet suhteellisen vastikään ja suhteellisen nopeasti pystysuorien liikkeiden vaikutuksesta, vanhempia maastonmuotoja taas on eroosio pyöristänyt ja vesi kuljettanut jo pidemmän aikaa. Koko kartan tuottaminen geologisia tapahtumia simuloiden vaatisi melkoisen pitkiä ajoaikoja (olen testannut), mutta on olemassa nopeampiakin tapoja päästä tavoitteeseen. Helpoin tapa vaihtelevuuden lisäämiseksi on yksinkertainen laskelma, joka suoritetaan jo siinä vaiheessa kun pikseleitä arvotaan ruudulle: mitä korkeampi ympäröivien pikseleiden taso on, sitä enemmän vaihtelua sallitaan suhteessa ympäröiviin pikseleihin. Tämä johtaa siihen, että rannikoilla on runsaasti tasaisia alueita ja vuoristoissa on korkeiden vuorien lisäksi myös suuria korkeuseroja. Tekniikan suuria ongelmia on, että mitä voimakkaampia kertoimia käytetään, sitä suurempi on lähes pyöreiden rakenteiden syntymisen todennäköisyys (ks. kuva alla). Kuva 11 Arpomalla tuotetun eroosion perusongelma Eräs mahdollisuus näiden välttämiseen (ja samalla maastonmuotojen monipuolistamiseen ennestään) olisi lisätä maastoon kivilajialueiden vastineita ennen arpomista. Alueilla joilla simuloidut kivilajit ovat pehmeitä, eroosion vaikutus olisi suurempi kuin kovien kivilajien alueilla. Kaksinkertainen efekti (yhdessä korkeuskertoimen kanssa) saisi maastonmuotojen vaihtelun pehmenemään. Myös aito eroosien simulointi auttaa ongelmaan. Lopputuloksena yksi rantamaisema suoraan edellisellä tekniikalla toimivasta maisemageneraattorista.

16 Kuva 12 Toimivan maastonmuotogeneraattorin tuote. Tällä kertaa, poikkeuksellisesti: jos et näe, niin katso lähempää. 6.2 Fraktaalikuuset Peleissä käytettävät kasvit piirretään yleensä käsin ja liitetään sitten kartalle kuvina. Mikään ei kuitenkaan estä tekemästä niitäkin fraktaaleina. Fraktaalikasvien käytöllä saavutetaan useita etuja. Tärkein näistä on se, että yhdellä koodilla voidaan saada aikaan lukematon määrä erikokoisia, -muotoisia ja -värisiä kasveja, jotka kaikki kuitenkin ovat tunnistettavissa samaan kasvilajiin kuuluviksi. Toinen, kolmiulotteisille kuville pätevä etu on se, että punaviherjako voidaan tehdä tarkalleen samalla tavalla kuin allaolevassa maastossa. Tästä aiheesta lisää luvussa 7. Ensimmäiseksi simuloitavaksi kasvikseni valitsin kuusen. Syy on toisaalta se, että se on huomattavasti näkyvämpi kohde kuin esimerkiksi ruohonkorret ja toisaalta se, että kuusien muoto (oksia lähes maahan asti, pisimmät oksat lähes alimpana) on ylhäältäpäin kuvattavaksi kiitollisempi kuin esimerkiksi männyn rakenne. Kuusi on myös rakenteeltaan melko yksinkertainen kasvi, ja niin muodoin helposti algoritmisoitavissa.

17 Viisi minuuttia kestävän kuusen muodon tarkastelun perusteella voi kuka hyvänsä sanoa vaikkapa seuraavaa: Runko on useimmiten lähestulkoon suora. Kuva 13 Kuusenoksan perusmuoto karrikoituna Oksien pituus kasvaa alaspäin mentäessä lähes lineaarisesti, puun oksasto on muodoltaan jotakuinkin kartio tai puolikas venytettyä siniä. Aivan alimmat oksat ovat hieman lyhyempiä kuin niitä ylemmät. Oksat ovat ylhäältäpäin katsottuna lähes saman muotoisia kuin itse puu sivulta, leveämpiä tosin. Oksien varjoon jäävät osat kuihtuvat. Sivultapäin katsottuna oksat ovat usein huomattavasti ohuempia kuin ylhäältäpäin katsottuna. Oksan haaroilla on taipumus olla kallellaan oksan kärkeä kohti. Vastaavasti oksanhaarojen alihaaroilla on taipumus olla kallellaan haaran kärkeä kohti. Kulma haaran ja alihaaran välillä ei vaihtele yksittäisessä puussa kovin paljon, itse tutkimissani se oli jotakuinkin järjestelmällisesti välillä astetta. Oksakerrosten välimatka puun rungolla on lähes vakio. Neulaset peittävät puuta kauttaaltaan, varjossa kuihtuneita osia lukuunottamatta. Se, mitä kaikkia ominaisuuksia lopulliseen malliin laitetaan ja kuinka paljon vaihtelua ominaisuuksille annetaan, vaikuttaa suoraan siihen, kuinka aidon näköisiä lopputulokset ovat. Mallin toteutukseen vaikuttaa myös se, mistä suunnasta kuusta kuvataan. Koska itselläni oli tarkoituksena kuvata puita, kuten muutakin maisemaa, suoraan ylhäältä, ja koska toisaalta pidin mallia vielä hiukan kokeiluversiona, tyydyin seuraavaan: Runkoa ei erikseen kuvata, koska se kuitenkin jää oksien peittoon. Oksajakauma, ts. puun muoto, on pystysuora. Puun, oksien ja oksanhaarojen muotona (ts. pituusjakaumana) käytetään venytettyä siniä 45 asteen ja 180 asteen väliltä, ks. alla. Oksissa venytyskerroin on hiukan pienempi kuin itse puun muodossa. Kuva 14 Puolikas kuusen profiilia vaakasuoraan kaadettuna. Oksat ovat täysin lättäniä.

18 Oksanhaarojen jakauma vaihtelee todetulla välillä. Oksakerrosten välimatka sekä lukumäärä on (toistaiseksi) vakio. Puut piirretään siten, että kukin oksa lähtee kuvitteellisesta rungosta kohtisuoraan, suunta arvotaan mutta pituus tulee edellä esitetystä profiilista. Kullekin oksalle tuotetaan alioksia arvottuihin kohtiin ja todettuun kulmaan emo-oksastaan. Oksien alioksat ovat pituudeltaan säännöllisesti lyhyempiä kuin edelliset oksat. Tätä toistetaan rekursiivisesti, kunnes tullaan oksiin, joiden pituus on alle päätetyn minimipituuden. Lyhimmän kierroksen haarat peitetään kohtuullisen tasaisesti neulasilla. Kuva 15 yksi kerros kuusenoksia Mitä ylempänä puussa ollaan, sitä suurempi on värijako. Kuuset piirretään suoraan kartalle siten, että alin oksakerros tulee samalle korkeudelle kuin allaoleva maan pinta.

19 7 Stereokuvat ja tietokonegrafiikka Anaglyfigrafiikassa käytetty punaviherjako vaatii yleensä täysväritilojen (tai niiden 15- tai 16- bittisten vastineiden) käyttöä, koska tällöin kuvan jokaisen pikselin punaista, vihreää ja sinistä komponenttia voidaan käsitellä erikseen.tosin, kuten jo aiemmin totesin, nämä tilat ovat nykyajan ohjelmissa joka tapauksessa oletusarvo. Stereojaon tuominen grafiikkaan pakottaa ajattelemaan muutamaa seikkaa, joilla kaksiulotteisessa tai perinteisessä mielessä kolmiulotteisessa tietokonegrafiikassa ei ole merkitystä. Näitä ovat: Stereografiikan toteuttaminen Anaglyfigrafiikassa käytettäviä kaksoiskuvia on mahdollista piirtää lähinnä kolmella eri tavalla: joko kappale voidaan ensin piirtää kaksiulotteisena ja toteuttaa punasiirto jälkeenpäin, kuten tämän tekstin maisemagrafiikassa. Toinen tekniikka on kuvata todellisia kohteita tavanomaisen stereokuvauksen tapaan kahdella vierekkäisellä kameralla tai käyttää kolmiulotteista grafiikkaohjelmaa samalla periaatteella kahdella kameralla. Kolmas versio on piirtää grafiikka sarjakuvien tapaan. Tästä taktiikasta löytyy enemmän tietoa A. Girlingin teoksesta (1990). Kolmiulotteisten hahmojen piirtäminen päällekkäin Päällekkäin piirtäminen vaatii punaviherjaon tekemisen ennen kappaleiden piirtämistä ruudulle tai sen aikana. Kuvan näkymättömän värin poisto (blittaus) täytyy siis tehdä erikseen punaiselle värikomponentille sekä sinisen ja vihreän värikomponentin yhdistelmälle. Sen jälkeen piirrettävän hahmon punainen komponentti korvaa (pelkästään) taustakuvan punaisen komponentin värisiirron jälkeisestä kohdasta ja sininen ja vihreä vastaavat komponentit omasta uudesta sijainnistaan. Kun kuvattavat hahmot piirretään tällä tavoin kuvaan järjestyksessä alimmasta ylimpään, kuva rakentuu oikein. Syvyyden muuttaminen Liikkuvien kohteiden tulisi kolmiulotteisessa grafiikassa yleensä pystyä liikkumaan myös syvyyssuunnassa. Mikäli grafiikka on toteutettu kuvaamalla tai mallintamalla, tämä vaatisi erillisen kuvaparin jokaiselta tarvittavalta korkeudelta. Oman ohjelmani kaltaisissa tapauksissa, joissa korkeussuuntaisen liikkeen täytyy olla suhteellisen vapaata, tämä moninkertaistaisi animaatioruutujen määrän, ja niin muodoin muistintarpeen ja työmäärän. Eräs helppo tapa päästä ongelmasta on kuvata kohde kuvaparilla vain yhden tai muutaman kerran jotta silmille saadaan riittävästi eriävä kuva kappaleen sisäisten syvyyserojen näkemiseksi. Koko kappaleen syvyyssijainti saadaan muuttumaan siirtämällä punaista ja sinistä kuvaa normaaliin tapaan. Kuvien tekemisen vaivoihin saa säästöä myös sillä huomiolla, että riittävän matalissa tai syvällä sijaitsevissa kohteissa itse animoitavan hahmon ylimmän ja alimman pisteen välistä eroa ei pysty kunnolla huomaamaan. Niinpä näissä tapauksissa riittää käyttää kuvasta yhtä ainoaa versiota ja siirtää sen punaista ja sinivihreää komponenttia syvyyssiirron aikaansaamiseksi.

20 Kuva 16 Kuvan linnut ovat sen verran matalia ja tasapaksuja, ettei katsojaa yleensä paljon häiritse, ettei niissä ole sisäisiä korkeuseroja. Syvyyksien sovittaminen toisiinsa Jotta kappaleet näyttäisivät sopivan kuvassa toisiinsa, niiden syvyysulottuvuus pitäisi onnistua säätämään toisiaan vastaavaksi. Eri kuvantamistekniikoin toteutettujen kappaleiden sovittaminen toisiinsa ei likikään aina ole yksioikoista. Yksi mahdollinen tekniikka on tietysti aina kokeileminen, mutta viisaampi valinta saattaisi olla laskennallinen toteutus. Värijaon todellista vastaava määrä saadaan näin: Jos katselijan silmänväli on s, ja etäisyys katselukohteeseen e, kulma, johon silmät kääntyvät saadaan kuvan 17 suorakulmaisesta kolmiosta. Kuva 17

21 Kulman lausekkeeksi tulee (1) Kun vastaavaa tilannetta simuloidaan pinnalla, joka sijaitsee etäisyydellä p, värisiirtoa vaaditaan määrän v verran molempiin suuntiin. Kuva 18 v saadaan kuvan mukaisesti lausekkeesta (2) eli yhdistettynä lausekkeeseen 1, (3) Silmienvälin s ei tarvitse välttämättä vastata katselevan ihmisen silmienväliä, kunhan se on vakio kaikissa yhdistettävissä kuvissa. Sama pätee kuvapinnan etäisyyteen p. Laskelmaa hyödynnetään kuvantuottotekniikoiden yhdistämisessä siten, että esimerkiksi mallinnetuissa kuvissa mitat todella annetaan ohjelmalle ennen mallintamista, siis kuvat tehdään kahdesta kamerasta, joiden etäisyys toisistaan on päätetty s, ja kohteet sijoitetaan sille etäisyydelle kameroista kuin millä niiden halutaan lopputuloksessa sijaitsevan. Kappaleet, joissa syvyysvaikutelma tuotetaan suoraan värijaolla, saavat värijaon kaavan 3 mukaan.

22 8 Aiheisiin liittyvää kirjallisuutta 1. Arthur R Girling: Stereoscopic drawing: A Theory of 3-DVision and Its Application to Stereoscopic Drawing. Omakustanne, Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature, The Science of Fractal Images, toimittajat Heinz-Otto Peitgen ja Dietmar Saupe

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Tilkkuilijan värit. Saana Karlsson

Tilkkuilijan värit. Saana Karlsson Tilkkuilijan värit Saana Karlsson Tilkkutöissä erivärisiä kangaspaloja ommellaan yhteen ja siten muodostetaan erilaisia kuvioita. Värien valinta vaikuttaa siihen miten suunnitellut kuviot tulevat tilkkutyössä

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA

LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA 2013 LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA 2013 Selvityksen tarkoitus Liito-oravaselvityksessä oli tarkoitus löytää selvitysalueella mahdollisesti olevat liito-oravan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

MATEMATIIKKA JA TAIDE II

MATEMATIIKKA JA TAIDE II 1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,

Lisätiedot

Sukelluskeräily. Pelihahmon liikuttaminen. Aarre ja pisteet

Sukelluskeräily. Pelihahmon liikuttaminen. Aarre ja pisteet Sukelluskeräily 1 Tässä pelissä keräilet erilaisia aarteita ja väistelet vihollista. Tämän lisäksi pelaajan pitää käydä välillä pinnalla hengittelemässä. Peliin lisätään myös häiriötekijäksi esim. parvi

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI!

OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI! 1/8 OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI! Sinulla on nyt hallussasi testi, jolla voit arvioida oman älykkyytesi. Tämä testi muodostuu kahdesta osatestistä (Testi 1 ja Testi ). Testi on tarkoitettu vain yli neljätoistavuotiaille.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava

Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava 82127096 Pyhäjoen kunta ja Raahen kaupunki Maanahkiaisen merituulivoimapuiston osayleiskaava Kaavaehdotus 20.11.2012 Tuulivoimalamuodostelmien esteettiset ominaisuudet Tuulivoimaloiden keskittäminen usean

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005

Ultraäänen kuvausartefaktat. UÄ-kuvantamisen perusoletukset. Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 Ultraäänen kuvausartefaktat Outi Pelkonen OYS, Radiologian Klinikka 29.4.2005 kaikissa radiologisissa kuvissa on artefaktoja UÄ:ssä artefaktat ovat kaikuja, jotka näkyvät kuvassa, mutta eivät vastaa sijainniltaan

Lisätiedot

Pelivaihtoehtoja. Enemmän vaihtelua peliin saa käyttämällä erikoislaattoja. Jännittävimmillään Alfapet on, kun miinusruudut ovat mukana pelissä!

Pelivaihtoehtoja. Enemmän vaihtelua peliin saa käyttämällä erikoislaattoja. Jännittävimmillään Alfapet on, kun miinusruudut ovat mukana pelissä! Pelivaihtoehtoja Yksinkertaisin vaihtoehto: lfapetia voi pelata monella eri tavalla. Yksinkertaisimmassa vaihtoehdossa käytetään ainoastaan kirjainlaattoja. Pelilaudan miinusruudut ovat tavallisia ruutuja,

Lisätiedot

Pong-peli, vaihe Aliohjelman tekeminen. Muilla kielillä: English Suomi. Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana

Pong-peli, vaihe Aliohjelman tekeminen. Muilla kielillä: English Suomi. Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana Muilla kielillä: English Suomi Pong-peli, vaihe 3 Tämä on Pong-pelin tutoriaalin osa 3/7. Tämän vaiheen aikana Jaetaan ohjelma pienempiin palasiin (aliohjelmiin) Lisätään peliin maila (jota ei voi vielä

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 9 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto

Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A RAJAKIIRI OY Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto Näkymäalueanalyysi ja valokuvasovitteet 29 x RD160 x HH170 Yhteismallinnukset Seipimäki, Tikkala ja Leipiö

Lisätiedot

Valokuvaohje. Ohjeet on jaettu kuuteen ryhmään:

Valokuvaohje. Ohjeet on jaettu kuuteen ryhmään: Valokuvaohje Suomessa siirrytään lähitulevaisuudessa uusiin passikuvavaatimuksiin, jotka perustuvat YK:n alaisen kansainvälisen siviili-ilmailujärjestön määritelmiin. Tarkoituksena on yhdenmukaistaa passikuvia

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf

Lisätiedot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot 5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin

Lisätiedot

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä?

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Tätä kirjoittaessani nousi mieleeni eräs tuntemani insinööri T. Palosaari. Hän oli aikansa lahjakkuus. Hän oli todellinen nörtti. Hän teki heti tietokoneiden tultua

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Louen tuulivoimapuisto

Louen tuulivoimapuisto S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TUULIWATTI OY Louen tuulivoimapuisto FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY 2 (11) Paulina.Kaivo-oja@fcg.fi Louen tuulivoimapuisto 1 Maisema ja havainnekuvat Havainnekuvat

Lisätiedot

Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto

Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA RAJAKIIRI OY Simon Seipimäen ja Tikkalan tuulivoimapuisto Näkymäalueanalyysi ja valokuvasovitteet VE1: 22 x V126 x HH137 VE2: 39 x V126 x HH137 VE3: 36 x V126 x HH137 Yhteismallinnukset

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Portin tuulivoimapuisto

Portin tuulivoimapuisto S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A PUHURI OY Portin tuulivoimapuisto FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY 24112015 2 9) PaulinaKaivo-oja@fcgfi 24112015 Portin tuulivoimapuisto 1 Maisema ja havainnekuvat

Lisätiedot

Picasa 3 -kuvankäsittelyopas, osa 2, käytä tehokkaasti

Picasa 3 -kuvankäsittelyopas, osa 2, käytä tehokkaasti Picasa 3 -kuvankäsittelyopas, osa 2, käytä tehokkaasti Tämä on ensimmäisen kuvankäsittelyoppaan jatko-osa. Tässä jatko-osassa opimme käyttämään Picasan mainioita ominaisuuksia tehokkaasti ja monipuolisesti.

Lisätiedot

A* Reitinhaku Aloittelijoille

A* Reitinhaku Aloittelijoille A* Reitinhaku Aloittelijoille Alkuperäisen artikkelin kirjoittanut Patrick Lester, suomentanut Antti Veräjänkorva. Suom. huom. Tätä kääntäessäni olen pyrkinyt pitämään saman alkuperäisen tyylin ja kerronnan.

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara

Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Vanhankaupunginkosken ultraäänikuvaukset 15.7. 14.11.2014 Simsonar Oy Pertti Paakkolanvaara Avaintulokset 2500 2000 Ylös vaellus pituusluokittain: 1500 1000 500 0 35-45 cm 45-60 cm 60-70 cm >70 cm 120

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Agility Games Gamblers

Agility Games Gamblers Agility Games Gamblers Games-lajeista ehkä hieman helpommin sisäistettävä on Gamblers, jota on helppo mennä kokeilemaan melkein ilman sääntöjä lukematta. Rata koostuu kahdesta osuudesta: 1. Alkuosa, jossa

Lisätiedot

1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä ja palloja.

1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä ja palloja. KARAMBOLEN SÄÄNNÖT Kolmen vallin kara Yhden vallin kara Suora kara - Cadre YHTEISET SÄÄNNÖT KAIKILLE PELIMUODOILLE 1 PÖYDÄT JA PALLOT 1. Kilpailuissa tulee käyttää Suomen Biljardiliiton hyväksymiä pöytiä

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

VÄRI ON: Fysiikkaa: valon osatekijä (syntyy valosta, yhdistyy valoon)

VÄRI ON: Fysiikkaa: valon osatekijä (syntyy valosta, yhdistyy valoon) VÄRI VÄRI ON: Fysiikkaa: valon osatekijä (syntyy valosta, yhdistyy valoon) VÄRI ON: Biologiaa: näköaistimus (solut ja aivot) Kemiaa: pigmentti (väriaine, materiaali) VÄRI ON: VÄRI ON: Psykologiaa: havainto

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista

Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista 1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto 24.11.2015 Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista Talon sijoittaminen maastoon 2 / 12 1. File --> import --> valitse maastotiedosto (tai

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

Pintamallintaminen ja maastomallinnus

Pintamallintaminen ja maastomallinnus 1 / 25 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Pintamallintaminen ja maastomallinnus Muistilista uuden ohjelman opetteluun 2 / 25 1. Aloita käyttöliittymään tutustumisesta: Mitä hiiren näppäintä

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015)

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Harjoitus 2 (14. 18.9.2015) Huom. Sinun on tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. 1. Erään algoritmin suoritus vie 1 ms, kun syötteen

Lisätiedot

Naulakankaan tuulivoimapuisto

Naulakankaan tuulivoimapuisto S U U N N IT T EL U JA T EK N IIK K A TUULIWATTI OY Naulakankaan tuulivoimapuisto Näkymäalueanalyysi ja valokuvasovitteet 6 x V136 x HH182 FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY 19.4.2016 P26596 6 x V136 x HH182

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Benjamin, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Kuinka monta kokonaislukua on lukujen 19,03 ja,009 välissä? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) enemmän kuin 17 Luvut 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Lisätiedot

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2 Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi

Lisätiedot

ESITTELY OSAT JA TARVIKKEET RAKENNE EXPLORĒ 7 KÄYTTÄMINEN EXPLORĒ 7 TOIMINNOT Virta päälle / pois...

ESITTELY OSAT JA TARVIKKEET RAKENNE EXPLORĒ 7 KÄYTTÄMINEN EXPLORĒ 7 TOIMINNOT Virta päälle / pois... ESITTELY... 1 1. OSAT JA TARVIKKEET... 2 2. RAKENNE... 2 3. EXPLORĒ 7 KÄYTTÄMINEN... 4 3.1 EXPLORĒ 7 TOIMINNOT... 4 3.1.1 Virta päälle / pois... 4 3.1.2 Suurennus/pienennys... 5 3.1.3 Väritila ja kameran

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä.

1. Tässä tehtävässä päätellään kaksilapsisen perheen lapsiin liittyviä todennäköisyyksiä. TODENNÄKÖISYYS Aihepiirejä: Yhden ja kahden tapahtuman tuloksien käsittely ja taulukointi, ovikoodit, joukkueen valinta, bussin odotus, pelejä, urheilijoiden testaus kielletyn piristeen käytöstä, linnun

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 5 Ehtamo Demo 1: Arvaa lähimmäksi Jokainen opiskelija arvaa reaaliluvun välillä [0, 100]. Opiskelijat, joka arvaa lähimmäksi yhtä kolmasosaa (1/3) kaikkien

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2013 Benjamin sivu 1 / 7 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja

Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja Tampereen ammattiopisto - CAD perusharjoitukset - Tuula Höök Pintamallinnus 1: Pursotettuja pintoja Harjoitusten yleisohje Tutki mallinnettavan kappaleen mittapiirrosta. Valitse mittapiirroksen alla olevasta

Lisätiedot

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla 2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Radan luominen OCad llä

Radan luominen OCad llä Radan luominen OCad llä 1. Avataan ratojen suunnittelu menemällä ensiksi ohjelmistopalkin yläreunaan Tiedosto-kohtaan ja alavetovalikosta valikoidaan Uusi -kohta. Valinta hyväksytään hiiren vasemman puoleista

Lisätiedot

Tehtävä 2: Loppuosataulukko

Tehtävä 2: Loppuosataulukko Tehtävä 2: Loppuosataulukko Tutustu tarkoin seuraavaan tekstiin ja vastaa sitä hyväksi käyttäen tehtävän loppuosassa esitettyihin viiteen kysymykseen. Annetun merkkijonon (ns. hahmo) esiintymän haku pidemmästä

Lisätiedot

KODU. Lumijoen peruskoulu

KODU. Lumijoen peruskoulu KODU Lumijoen peruskoulu Sisällysluettelo 1. Aloitus... 2 1.1 Pelin tallennuspaikka... 2 1.2 Kodu Game lab... 3 2 Maan luominen... 4 2.1. Seinän tekeminen... 5 2.2. Vesialueen tekeminen peliin... 6 2.3.

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot