Ville Sipola, 49059B

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ville Sipola, 49059B vsipola@cc.hut.fi, Ville_Sipola@hotmail.com"

Transkriptio

1 Maa Kuvatekniikan harjoitustyöt: Anaglyfisen tietokonepelin grafiikan toteuttamisesta Ville Sipola, 49059B

2 Sisällysluettelo 1 Työstä Kysymykseen tulevia tuotantotekniikoita Anaglyfikuvantamisen värityksen perusteita Värityksen hienouksia Värijaon syvyystoteutus Fraktaaleista Stereokuvat ja tietokonegrafiikka Aiheisiin liittyvää kirjallisuutta...22

3 1 Työstä Kolmiulotteinen grafiikka siinä merkityksessä, että esitetty grafiikka mallinnetaan kolmiulotteisesti ja projisoidaan sitten monitorin pinnalle kaksiulotteisena, on nykyajan tietokonepeleissä suorastaan häiritsevän tavallista. Sitävastoin kolmiulotteisuus siinä merkityksessä, että grafiikka olisi aidosti stereografista, on lähestulkoon tavatonta.työn tarkoituksena oli tutkia, miten hyviin tuloksiin tällaisessa käytössä olisi mahdollista päästä anaglyfisellä (puna-viher) grafiikalla.työn olennaisimman sisällön muodosti tietokonepelin karttaeditoria varten tarvittavan koodin kirjoittaminen. Toiseksi työn sisällöksi muodostui fraktaalien käyttömahdollisuuksien tutkiminen pelien karttatuotannossa. Erilaiset karttageneraattorit ovat vanhastaan olleet mm. strategiapelien perusaineistoa. Niillä on pystynyt luomaan realistisen näköisiä pelimaisemia kohtuullisen helposti. Noille editoreille on kuitenkin aina ollut yhteistä se, että niissä on yhdistetty toisiinsa etukäteen piirrettyjä maisemaosia tiettyjen sääntöjen mukaan. Tässä työssä testattiin menetelmää, jossa kaikki maastonmuodot sekä ainakin osa kasvistosta on luotu fraktaaleilla. Anaglyfipiirtämisestä, erityisesti väripintagrafiikkaa käyttävästä sellaisesta, on olemassa sen verran vähän varsinaista tieteellistä tutkimustietoa, että tekstiä kirjoitettaessa lähteitä ei juuri käytetty. Teksti sisältääkin pääasiassa empiirisiä tuloksia. Silloin kun testien tuloksen arviointi on vaatinut mielipiteen muodostamista, mielipiteitä on kysytty rajoitetulta kohdeyleisöltä. Pääosin olen pyrkinyt perustelemaan tulokseni kuvin. Tekstin esimerkkikuvien katselu vaatii anaglyfilasit.

4 2 Kysymykseen tulevia tuotantotekniikoita Teoriassa ei olisi mitenkään mahdotonta tuottaa täysin uusia apuvälineitä tietokonegrafiikan kolmiulotteiseen näyttämiseen. Käytännössä sellaisten valmistaminen vaatisi kuitenkin niin paljon rahaa, että moisten näyttölaitteiden levittäminen pelin tai muun hinnaltaan suhteellisen halvan tietokoneohjelman mukana ei tulisi kyseeseen. Niinpä kaikissa yleisissä stereototeutuksissa kuva tuotetaan tietokoneen monitorilla ja stereojako toteutetaan jälkeenpäin. Stereokuvan käyttäminen tietokoneohjelmassa vaatii, että kuvia pystytään katselemaan tunteja yhtäjaksoisesti väsymättä. Tämä johtaa vaatimukseen, että tekniikka on helposti nähtävissä, ts. katsojan ei tarvitse sopeuttaa silmiään katselua varten. Tämänkaltaisessa käytössä kyseeseen tulevia tekniikoita ovat mm. seuraavat: Suljinlasit: näytön kuva tuotetaan kahdesta erillisestä kamerasta kuvattuna, ja ko. kuvia näytetään ruudulla vuorotellen. Lasien ja monitorin toiminta tahdistetaan siten, että kun vasemmalla silmällä nähtäväksi tarkoitettua kuvaa näytetään, oikean puolen linssi ei läpäise valoa, ja kun oikealla silmällä nähtäväksi tarkoitettua kuvaa näytetään, pimeänä on vasemman puolen linssi. Tekniikalla saadaan erittäin hyvän näköinen kuva, sen käyttö ei tuota juuri mitään rajoituksia itse grafiikan tuotantoon (puolet tavanomaista alemman kuvanpäivitysnopeuden lisäksi) ja ohjelmointitekninen toteutus on melko yksinkertaista molemmilla yleisesti käytetyillä 3Dgrafiikkakirjastoilla, ts. OpenGL:llä ja Direct X:llä. Ainoa todella suuri rajoitus toteutukselle on itse suljinlasien tarve. Lasit ovat juuri sen verran kalliit, että niitä ei voida levittää itse pelien mukana, ja erillisenä lisälaitteena lasit eivät ole saavuttaneet samanlaista suosiota kuin esim. äänikortit tai rattiohjaimet. Niin kauan kuin suljinlasit ovat käyttäjien keskuudessa harvinaisia, harvinaisia ovat myös pelit, jotka niitä käyttävät. Ja päinvastoin. Anaglyfilasit: Sarjakuvapuolella aina silloin tällöin nähty tekniikka ei jostain syystä ole saavuttanut suosiota tietokonepuolella, vaikka itse jako on tietoteknisesti helppo toteuttaa (asiasta enemmän muualla tässä työssä). Tekniikan ylittämättömänä ongelmana on värillisten linssien aiheuttama värivirhe sekä se, että lasien käyttö tulee jossain määrin huomioida koko pelintekoprosessissa. Tekniikan suuri etu, ja myös syy siihen, että pidän sitä todennäköisimpänä tekniikkana stereografiikan tuomiseksi tietokonepeleihin, on itse anaglyfilasien tekninen yksinkertaisuus. Muutamia kymmeniä senttejä maksavia punaviherlaseja voitaisiin levittää muutaman kymmenen euron hintaisten pelien mukana vaikkapa useampiakin joka paketissa. Chromadepth: Chromatek niminen yhtiö (www.chromatek.com) markkinoi omaa tekniikkaansa, jossa toinen lasin linsseistä taittaa eri tavoin valon eri aallonpituuksia. Tällöin esim. punaiset värisävyt näkyvät sinisten edessä. Lasien hinnat jäävät pienissäkin erissä dollarin alapuolelle, joten niidenkin levittäminen peleissä tulisi kysymykseen. Ohjelmointiteknisesti Chromadepthiin sisältyy kaksikin mielenkiintoista etua: ensinnäkin tekniikka on ainoa tunnettu stereotekniikka, jossa kuvia ei tarvitse piirtää kuin yksi, ts. stereojako tapahtuu suoraan kuvasta. Tämä on huomion arvoinen etu peleissä, joissa grafiikan nopeus on usein olennaisen tärkeä seikka. Lisäksi varsinkin palettigrafiikkaan pohjaavissa väritiloissa ( värisissä tiloissa) olisi värisävyn ja niin muodoin syvyyden säätäminen erittäin helppoa ja nopeaa. Tärkein kirjaus tekniikan ongelmapuolelle on se perustava seikka, että kappaleiden värin täytyisi liittyä syvyyteen. Siis esimerkiksi nouseva helikopteri tai portaita kiipeävä ihmishahmo joutuisi vaihtamaan väriä syvyyden muuttuessa. Tämä ei näytä kovinkaan luonnolliselta, ja estää värin käyttämisen informaation välittämiseen. Grafiikka olisi siis katsojien mielestä riemunkirjavaa, mutta ohjelmoijan ja graafikon kannalta mustavalkoista. Lisäksi on vuosia siitä, kun 256- väriset tilat olivat yleisesti hyväksyttyjä tietokonepeissä. Nykyään standardin asemassa olevissa

5 täysväritiloissa laajat värisävyn muunnokset taas eivät ole erityisen nopeita operaatioita. 3D Eye:saman nimisen firman levittämässä tekniikassa otetaan tavanomainen stereokuvapari, jonka toinen puolikas peilataan. Katselua varten kuvat asetetaan vierekkäin ja niiden väliin asetetaan peili. Kun katselija asettaa nenänsä peilin kohdalle ja kohdistaa katseensa siihen peilaamattomaan kuvaan, hänen toinen silmänsä näkee suoraan peilaamattoman kuvan ja toinen peilistä toisen kuvan kahdesti peilattuna. Tekniikan etuna olisi helppo toteutus (peilaaminen on tietokoneella hyvin nopea operaatio) sekä erinomainen kuvan laatu. Teknisen ongelmapuolen monitorikäytössä muodostavat peilin kiinnittämiseen ja ergonomiaan liittyvät vaikeudet. Hinnan kannalta epävarmuustekijän tuottaa se, että tekniikkaan liittyy patentteja. Niinpä käyttö luultavasti vaatisi lisenssimaksujen kustantamista tai muita (mahdollisesti kalliita) järjestelyjä. Perinteiset katselujärjestelmät: ilmakuvien tulkinnassa, fotogrammetriassa ja useissa muissa käyttötarkoituksissa on jo pitkaään käytetty vaihtelevaa määrää mekaanisia apuvälineitä. Periaatteessa ei olisi mitään estettä asettaa esimerkiksi ilmakuvatulkinnassa käytettävän stereonäkökojeen kuvanlähteeksi kahta kuvaa monitorin eri puolilta. Käytännön ongelman muodostavat näissä toteutuksissa laitteiston mekaaninen kiinnittäminen monitoriin sekä mekanismin mutkikkuuden kasvaessa erittäin nopeasti kasvava hinta.

6 3 Anaglyfikuvantamisen värityksen perusteita Perusperiaate anaglyfikuvissa on sama kuin missä tahansa stereopiirtämisessä: piirretään kaksi hyvin pitkälti samanlaista kuvaa, joista toinen näytetään toiseen ja toinen toiseen silmään.kuvien vaakasuoraa etäisyyttä säätämällä saadaan aikaan syvyysvaikutelma. Anaglyfilaseissa toinen linssi läpäisee punaiset ja toinen siniset ja vihreät värisävyt. Tapa, jolla tätä värijakoa käytetään hyväksi, poikkeaa tietokoneen kokovärikuvissa ja sarjakuvien mustavalkomaailmassa hiukan toisistaan. Sarjakuvissa musta väri on piirretty valkoisen pinnan päälle. Niinpä esimerkiksi sininen tai vihreä linssi, joka läpäisee heikosti punaisia aallonpituuksia, saa punaisen viivan näkymään mustana valkoisella taustalla. Sitävastoin kirkas, linssin väriä vastaava värisävy ei erotu valkoiselta taustalta. Siis punaisessa linssissä erottuvat sininen ja vihreä, sinisessä tai vihreässä linssissä punainen. Kuva 1 sarjakuvan punaviherkäyttöä: pyrkimys mustaan. Kansilehti 3D- Ankronikkasarjasta Hyppypapujen hyökyaalto. (Disney, Sanomaprint/Kirjat 1993) Monivärisissä kuvissa tilanne on päinvastainen. Kaikki punaisen sävyt näyttävät vihreän linssin läpi yhtä tasaisen mustilta, vihreästä ja sinisestä taas erottuvat myös sävyt. Vastaavasti punaisessa linssissä näkyvät punaisen sävyt.

7 4 Värityksen hienouksia Alunperin värityksen tutkimisen oli tarkoitus olla työn olennaisin sisältö, ja aiheesta tehtiinkin varsin perusteellisia, vaikkakin tuloksiltaan rajallisia tutkimuksia. 4.1 Lasien väritys Värien vääristymisen kannalta olennaisin tekijä ovat itse lasit. 3D- vaikutelmaltaan hyväksi todetut sinipunaiset lasit osoittautuivat tässä suhteessa erittäin heikoksi vaihtoehdoksi, sillä kuva kuin kuva muuttuu niiden lävitse katseltuna väistämättä hivenen violetin sävyiseksi. Koska violetti on tosimaailmassa melko harvinainen väri, realismista ei ole juuri puhetta. Punaviherlaseilla värien vääristymä on useimmiten pienempi, lisäksi vihreä on erityisesti luonnonmaisemissa niin tavallinen väri, että aidon värisiä maisemia on melko niillä helppo tuottaa. Toisaalta edellisessä kappaleessa mainitut seikat ovat lasikohtaisia, ja minulla ei ollut testeissä käytettävissäni kuin yhdet hyvät lasit kumpaakin väritystä. Linssivärien tummuus ja sävy vaikuttavat tuloksiin. Ainakin teoriassa on kuitenkin niin, että myös lähes täydellisen väriset lasit olisi mahdollista tuottaa. Koska tietokoneen monitoreissa on vain kolmea värikomponenttia, eli tiettyä punaista, vihreää ja sinistä, riittäisi melko puhtaiden värien tuottamiseksi käyttää vastaavaa punaista ja sinivihreää sopivissa suhteissa. Spektrissä ko. värit tosin olisivat hiukan lähempänä toisiaan kuin punainen ja sininen, joka saattaisi osaltaan heikentää värinäkemistä.värikokeiden aikana kehittelin pienen testinkin optimaalisten värisävyjen etsimiseksi: Testisävystön ylin osa sisältää lähes kokonaisen sävyskaalan. Toiseksi ylimmässä on sama skaala ilman punaista. Sinivihreän linssin läpi katsottuna ylimmän ja toiseksi ylimmän tulisi näyttää tarkalleen samalta. Lisäksi toiseksi ylimmän skaalan tulisi näyttää molempien linssien läpi katsottuna samalta kuin pelkän sinisen lasin läpi. Skaalan värin tulisi olla myös mahdollisimman tarkoin alkuperäinen. Punaisen linssin läpi taas toisen skaalan tulisi näyttää täysin mustalta.valkoisen skaalan tulee näyttää punaisen linssin läpi katsottuna tarkalleen samalta kuin ylimmän ja alimman skaalan. Punaisen skaalan tulee olla sinivihreän linssin läpi täysin musta. Täysin mustan vastavärin vaatimus on sikäli ongelmallinen, että sen suhteen tilanne paranee värin säätämisen lisäksi myös tummentamalla laseja. Ja liian tummat lasit taas ovat ongelma, koska niiden läpi kuvan näkyminen heikkenee. Värien vääristymisen kannalta tärkeämpi vaatimus onkin, että värit näkyvät läpi yhtä voimakkaasti. Toistaiseksi en ole keksinyt kunnon testiä sille, että punaisen ja sinivihreän linssin värin voimakkuus on yhtä suuri, joka on kuitenkin värien vääristymisen kannalta tärkeä vaatimus. Testiskaaloja on tietysti syytä tarkastella tietokoneen ruudulta. -Ja mieluiten juuri sen tietokoneen, jolta peliäkin aiotaan pelata. Kuva 2 Testi optimaalisen linssivärin etsimiseksi.

8 4.2 Kuvassa käytettävistä väreistä Kuvan värityksellä on voimakas vaikutus siihen, miten käyttäjä kuvan näkee. Täysin väärän tyyppinen väritys estää kolmiulotteisen näkemisen kokonaan, ja mitä voimakkaammat syvyyserot ovat, sitä paremmin onnistunut väritys tarvitaan kuvan näkemiseksi. Väritysvirheitä löydettiin viittä perustyyppiä: 1. Väripinnassa ei ole riittävää tekstuuria. Tasaisen väriset väripinnat ovat ongelma erityisesti silloin, kun kuvassa ei ole tarkkaa varjostusta. Katso itse, kumman maiseman muodot näet lasien läpi tarkemmin? Kuva 3 Esimerkki tekstuurin olemassaolon tärkeydestä Kyseessä on yksi ja sama korkeusmalli tarkalleen samanlaisella punaviherjaolla. Ainoastaan värityksessä on eroa. Kuvissa on melko voimakas anaglyfierottelu kuvien kokoon nähden, joten mikäli et näe syvyyksiä kummassakaan kuvassa, käännä lasit ympäri. Tekstuuri tarjoaa silmälle paikkoja joihin tarttua ja kohtia joita yhdistää toisiinsa. Mitä enemmän nähtävän kokoisia yksityiskohtia kuvassa on, sitä helpommin se pystytään näkemään ja sitä tarkempia ja syvempiä syvyysmuotoja siinä pystyy olemaan. Kuvaa 1, samoin kuin muitakin anaglyfisarjakuvia, voidaan käyttää esimerkkinä myös siitä, kuinka teksturoinnin puutetta voidaan käyttää hyväksi. Mikä hyvänsä täysin tasainen väripinta kahden jollekin tasolle sijoittuvan rajan välillä näyttää katsojan silmässä olevan samalla syvyydellä kuin rajansa. 2. Tekstuuri näyttää eri linssien läpi katsottuna olennaisesti erilaiselta. Tämä on oikeastaan niin itsestäänselvä asia, ettei sitä pitäisi tarvita edes sanoa. Jotenkin vain totesin itse lankeavani ansaan useamman kerran. Mikäli kuvan värikomponentit ovat todella täysin erilaiset, minkäänlaista syvyyskuvaa ei tietenkään synny, koska silmä ei pysty näkemään (tai aivot päättelemään), mitkä pisteet kuvissa pitäisi yhdistää toisiinsa. Asiassa on kuitenkin mahdollista tehdä useita pienempiäkin virheitä, jotka onnistuvat nekin tuhoamaan ulottuvuusnäkemisen täysin. Eräs tyypillisimmistä virheistä on, että jommassa kummassa värikomponentissa tapahtuvat muutokset ovat niin paljon vaimeampia kuin toisessa, että kuvat eivät yhdisty, ks. kuva 4.

9 Kuva 4 Vasemmalla (turhan matala) puu oikein väritettynä, oikealla sama kuva tasapaksulla punaisella värillä. Toinen tyyppivirhe on, että väritys näkyy toisen linssin läpi hyvin tummana ja toisen hyvin vaaleana.vaikka väritys olisi tällaisessa tapauksessa muutoin täydellisen onnistunut, värit näyttävät linssien läpi hyvin rauhattomilta. Puhtaat punaiset, vihreät ja siniset värit eivät siis tule kuvissa yleensä kysymykseen. Vastaavasti kuvan näkemisen kannalta ihanteellisiksi väreiksi todettiin erilaiset keltaisen, violetin ja harmaan sävyt, ts. värit, joissa on tasaisesti kummankin linssin läpi näkyviä värikomponentteja. Ei kuitenkaan pidä ymmärtää väärin: vihreä, sininen tai edes punainen eivät ole täysin mahdottomia värejä käytettäväksi, kunhan niistä ei tarvita täysin samoja sävyjä kuin lasin linsseissä. Sinisiin ja vihreisiin kappaleisiin täytyy pystyä lisäämään näkyvä määrä punaista, punaisiin sinistä ja/tai vihreää. Esimerkki erittäin rauhattomista väreistä löytyy omilta kartoiltani. Omituinen fiksaationi, että veden pitäisi olla väriltään sinistä, johti pahimmillaan tämän näköiseen lopputulokseen: Kuva 5 Vihertävän sininen vesi on toki kauniin värinen, mutta värijakolasien läpi katseltuna se juoksee silmissä. Efektiä voi käyttää maltillisesti myös hyväkseen. Kunhan ilmiö ei ole kauhean voimakas, niin sillä saadaan aikaan esimerkiksi kohtuullisen hyvän näköinen heijastava vedenpinta...

10 On syytä huomata, että värikomponenttien muutosten ei suinkaan aina tarvitse olla eri linsseissä samansuuntaisia, kunhan muutosrajat ovat samoilla kohdin. 3. Värit näkyvät läpi väärän värisestä linssistä. Riittävän kirkas värisävy, erityisesti mikäli se rajautuu terävästi tummiin sävyihin, näkyy lähestulkoon väistämättä haamukuvana läpi myös väärän värisestä linssistä. Haamukuva on jo sinänsä häiritsevä. Lisäksi mikäli väriero on suuri, silmät kohdistuvat herkästi oikean kuvan sijasta haamukuvaan, jolloin syvyysvaikutelmaa ei synny. 4. Tekstuurin väripinnat ovat liian pieniä. Kuva 6 Voimallinen väri erityisesti tummalla taustalla näkyy läpi lähes laseista kuin laseista Tekstuuri menettää erityisesti suurien korkeuserojen yhteydessä merkityksensä, mikäli se on niin pientä, ettei katsoja erota kunnolla toisiinsa yhtyviä pikseleitä. Kuva 7 Liian pikkutarkka tekstuuri menettää tehonsa. Oikeanpuoleisenkin kuvan syvyysefektin pystyy edelleen näkemään, mutta se vaati useimmilta testatuilta enemmän keskittymistä kuin vasemmanpuoleinen. 5. Tekstuuri on joko liian räikeä tai liian tumma Liian tasavärisen tekstuurin vaikutus kerrottiin ensimmäisessä kohdassa. Liian tumman tekstuurin vaikutus on samantapainen, ja sen syykin lienee sama: tekstuuri, joka on liian tumma nähtäväksi on yhtä kuin ei tekstuuria. Liian räikeä (siis tasavärisen vastakohtana) tekstuuri ei yleensä täydellisesti tuhoa syvyysnäkemistä, mutta erittäin voimalliset värierot saattavat erityisesti suhteellisen pieniin väripintoihin yhdistyneenä - heikentää jossain määrin vaikutelmaa.

11 Tavallisessa piirtämisessä käytettävät syvyysvihjeet helpottavat myös anaglyfikuvien syvyysnäkemistä. Erityisesti kuvien varjostamisella on suuri vaikutus. Raytracing- tekniikalla tai muuten erittäin tarkasti varjostetuissa kappaleissa esimerkiksi liian pikkutarkan tekstuurin sekä tekstuurin puuttumisen vaikutus suurelta osin kumoutuu. Varjostus parantaa myös värikomponenttien keskinäistä samankaltaisuutta. Esimerkiksi linssin värisen tekstuurin ongelmaa paraskaan varjostus ei kuitenkaan poista.

12 5 Värijaon syvyystoteutus Värijako noudattaa silmien toimintaa. Mitä suorempaan kohteeseen katsottaessa katsellaan, sitä syvemmällä se näyttää olevan, ja mitä enemmän ristiin (sirittäen) sitä katsottaessa katsellaan, sitä lähempänä se näyttää olevan. Jos siis esimerkiksi vasemmasta linssistä näkyy läpi punainen väri, niin mitä enemmän vasemmalla punainen on suhteessa vastaavaan sinivihreään, sitä syvemmällä kohde näyttää olevan, ja mitä enemmän oikealla punainen on, sitä lähempänä kohde näyttää olevan. Taso, jossa sinivihreä ja punainen ovat yhdessä, näkyy (tietysti) kuvaruudun pinnan tasolla. Jos siis halutaan, että kuva näyttää nousevan kuvaruudun pinnasta ylöspäin, tulee punaista siirtää nollatasosta sinivihreän linssin suuntaan, sinivihreää taas punaisen linssin suuntaan. Jos halutaan kuvan laskeutuvan kuvaruudun sisään, toimitaan päinvastoin. (Ei ole tietenkään sinänsä välttämätöntä siirtää molempia, riittää siirtää esimerkiksi punaisia komponentteja ja jättää siniset ja vihreät alkuperäisille paikoilleen.) Se, kumman kuvan (sisään painuvan vai pinnasta nousevan) katsoja näkee helpommin, riippuu katsojasta. On huomattava, että kuvaruudun pinnasta nouseva versio ei näy oikein kuvapinnan laidoilla, koska noilla alueilla alempana oleva kohde (kuvapinnan reunat) peittää (ts. alla oleva väri ei näy) ylempänä olevan kohteen. Asian voit tarkistaa vaikkapa kuvan 3 oikeasta puoliskosta, käyttämällä anaglyfilaseja molemmin päin. Mitä suurempi värijako on, sitä vaikeampi kuva on nähdä. Niinpä eräässä mielessä optimaalinen jakotapa olisi tapaus, jossa värisiirron nollataso sijaitsisi jossain kuvan syvyysjakauman puolivälin paikkeilla. Se, kuinka voimakkaat syvyysvaikutelmat katsoja pystyy näkemään oikein, on kuitenkin sekin käyttäjästä riippuvainen seikka eikä edes vakio ajan suhteen (mm. lisääntynyt kokemus anaglyfikuvien katselussa parantaa vaikutelmaa). Kaikkein paras tekniikka olisikin päästää käyttäjä säätämään sekä värisiirron nollataso että värisiirron voimakkuus omiin mieltymyksiinsä sopiviksi. Omissa kuvissani (ja lähes kaikissa tämän tekstin esimerkeissä) käytän silti kuvaruudun pinnasta nousevaa versiota, lähinnä siksi koska pidän sitä henkilökohtaisesti jotenkin vaikuttavampana. Yksi syvyysvaikutelmaan vaikuttavista seikoista on myös etäisyys, jolta kuvaa katsellaan. Mitä suurempi etäisyys on, sitä suuremmilta syvyyserot vaikuttavat. Koska kulma, johon silmien pitää kääntyä nähdäkseen värikomponentit yhtenä pienenee etäisyyden kasvaessa, kuvan näkeminenkin on yleensä (aina siihen asti että kuvan tarkkuuden heikkeneminen alkaa haittaamaan) helpompaa etäämmältä.

13 6 Fraktaaleista Fraktaalit ovat, sanakirjaselityksen omaisesti yksinkertaistaen, matemaattisia algoritmeja joilla pyritään luomaan samantapaisia muotoja kuin ne, jotka esiintyvät luonnossa. Fraktaalien keksijänä tunnetaan Benoit Mandelbrot, jonka nimeä kantava Mandelbrot- joukko lieneekin tunnetuin yksittäinen fraktaali. Erityisen käytettyjä fraktaalit ovat pinnanmuotojen, pilvien, puiden ja muiden tämänkaltaisten kohteiden määrittelyssä, joissa tavanomaisen geometrian kuvaamat muodot näyttävät häiritsevän säännöllisiltä mutta täydellinen sattumanvaraisuuskaan ei tuota haluttua tulosta. Fraktaalien määritelmä ei ole kovin tiukka, mutta muutamia niihin yleisesti kytkettyjä ominaisuuksia ovat : Proseduraalinen määritelmä: fraktaaleja eivät yleensä määritä yksittäiset matemaattiset lausekkeet vaan ketjut, joissa tehdään yksi laskelma, testataan sen tulos ja päätetään sen jälkeen, mikä laskelma tehdään seuraavaksi. Ääretön yksityiskohtaisuus: useimmista fraktaaleista voisi ainakin periaatteessa tarkastella kuinka pieniä osia hyvänsä, löytäen silti jatkuvasti lisää yksityiskohtia. Tämän merkityksen ymmärtää, kun ajattelee vaikkapa maastonmuotoja. Kaukaa katsottuna isostakaan tunturista ei näy kuin yleinen muoto. Lähemmäs mentäessä yhä pienemmät pintaa kansoittavat kukkulat alkavat näkymään. Laella seisoessa näkee pikkukiviä ja kumartuessaan vaikka hiekanjyviä. Mitä lähempää tarkastellaan, sitä pienempiä yksityiskohtia näkyy. Sitävastoin mitä hyvänsä tavanomaista matemaattista yhtälöä (ajattele vaikka sinikäyrää) tarkasteltaessa on löydettävissä taso, jossa yhtälön ura oikenee suoraksi. Yhdenmukaisuus itsensä kanssa: tarkasteltaessa fraktaalia eri etäisyyksiltä nähtävät muodot ovat aina jossakin määrin samantapaisia. Siis edellistä esimerkkiä käyttäen: pieninkin mäki näyttää perusmuodoltaan jossakin määrin samalta kuin vuori. Tai paljon ilmeisempi tapaus: tarkastele saniaisen lehteä. Yksittäisen oksan jokaisen haaran muoto on yleisesti ottaen sama kuin koko oksan. Edelleen jokaisen haaran jokainen alihaara on samanmuotoinen kuin itse oksa. Ja niin edelleen. Kuten luonnossa, myös fraktaaleissa yhdenmukaisuutta esiintyy hyvin eriasteisesti käyttökohteesta riippuen. 6.1 Fraktaalit pelin maastonmuodoissa Erilaisia fraktaaleja kauniin maaston tuottamiseksi on esitetty maailmassa lukemattomia. Todella täydellisen maaston luomiseen niistä ei taida kyetä yksikään, mutta useilla niistä saadaan kyllä todella hyvän näköistä jälkeä. Oma tekniikkani on muotoutunut vuosien kuluessa useamman tunnetun mekanismin yhteiskäytöstä, algoritmin olennaisimpana perustana toimii kuitenkin midpoint displacement (keskipisteen poikkeutus) -nimellä tunnettu tekniikka. Pyrkimyksenäni on ollut hakea menetelmää, joka on laskennallisesti nopea ja tuottaa silti hyvän näköisiä maisemia. Olennaisesti periaate on seuraava: Aluksi kuvalle luodaan väriskaala. Ilman pintakasvillisuutta ohjelmani tuottamissa pinnanmuodoissa kutakin korkeusarvoa vastaa aina sama vakioväri. Samantapaisia piirteitä löytyy luonnostakin, alueilta joilla kerroksellisten kivilajien pintaa ei peitä kasvillisuus. Sitten luodaan taulukko, joka sisältää kartalla olevien pikseleiden korkeudet. Kukin pikseli saa korkeuttaan vastaavan värin edellä mainitun väriskaalan mukaan. Otetaan alue, jonka sivujen pituudet ovat jokin toisen potenssi. Sivujen on myös hyvä olla keskenään yhtä pitkät. (128*128,256*256,2048*2048)

14 Kuva 8 Kartta alkutilassaan: molemmat laidat joku kahden potenssi. Sen jälkeen kuvan nurkkiin tulevat pikselit arvotaan. Näiden pikseleiden arvot ovat käytännössä melko määrääviä sen suhteen, tulevatko kuvan korkeuserot olemaan suuret vai pienet. Kartan keskelle arvotaan pikseli. Tämän pikselin arvonnassa kuitenkin vaaditaan, että pikselin arvo ei saa olla kauempana nurkkapikseleiden arvosta kuin mitä sillä on niihin välimatkaa. (Siis esim. 128*128- kokoisella kartalla keskipikseli saa olla arvoltaan korkeintaan 128*neliöjuuri(2):n päässä kulmapikseleiden keskiarvosta. Siis periaatteessa. Käytännössä säädöt ovat mutkikkaampia.) Kuva 9 Kartan 5 ensimmäistä pikseliä Seuraavaksi kunkin kartan tyhjän osan keskipisteeseen, eli tässä tapauksessa sivujen puoliväleihin, asetetaan pikseli. Toimintaa jatketaan eteenpäin aina suurin tyhjä tila täyttäen, kunnes kartta on täynnä. Joka toinen kierros menee "vinoon" siis ympäröivät pikselit ovat vinoneliön muotoisessa asetelmassa, joka toisella ne ovat vaakaneliön asennossa. Joka kolmannella kierroksella etäisyys ympäröiviin pikseleihin puolittuu. Kuva 10 Kartta viidennellä kierroksella: täyttöjärjestys ensin valkoiset, sitten punaiset ja sitten keltaiset pikselit. Tuloksena saadaan kartta, jossa suuretkin korkeusvaihtelut ovat mahdollisia etäällä toisistaan olevissa pikseleissä, mutta toisiaan lähellä olevat pisteet ovat toisiaan lähellä myös korkeusarvoltaan. Tässä perusmekanismissa on yksi fraktaalimaisemille hyvin tyypillinen ongelma: maasto on kauttaaltaan tasan yhtä kumpuilevaa. Siis mikäli syvyys korostetaan niin korkeaksi, että maasto alkaa muistuttamaan vuoristoa, niin koko maasto on vuoristoa. Jos taas kuvaa kerrotaan sen verran miedommin, että yksikään kohta kuvassa näyttää mukavan tasaiselta pellonpohjalta, niin sitten koko kartta näyttää siltä.

15 Maapallolla suurin osa maastosta on mukavan tasaista ja harvoissa vuoristoisissa kohdissa sijaitsevat sekä suurimmat korkeudet että suurimmat korkeusvaihtelut. Rannikot ovat enimmäkseen hyvin tasaisia. Syyt ovat geologisia: edelleen nähtävissä olevat vuoristot ovat syntyneet suhteellisen vastikään ja suhteellisen nopeasti pystysuorien liikkeiden vaikutuksesta, vanhempia maastonmuotoja taas on eroosio pyöristänyt ja vesi kuljettanut jo pidemmän aikaa. Koko kartan tuottaminen geologisia tapahtumia simuloiden vaatisi melkoisen pitkiä ajoaikoja (olen testannut), mutta on olemassa nopeampiakin tapoja päästä tavoitteeseen. Helpoin tapa vaihtelevuuden lisäämiseksi on yksinkertainen laskelma, joka suoritetaan jo siinä vaiheessa kun pikseleitä arvotaan ruudulle: mitä korkeampi ympäröivien pikseleiden taso on, sitä enemmän vaihtelua sallitaan suhteessa ympäröiviin pikseleihin. Tämä johtaa siihen, että rannikoilla on runsaasti tasaisia alueita ja vuoristoissa on korkeiden vuorien lisäksi myös suuria korkeuseroja. Tekniikan suuria ongelmia on, että mitä voimakkaampia kertoimia käytetään, sitä suurempi on lähes pyöreiden rakenteiden syntymisen todennäköisyys (ks. kuva alla). Kuva 11 Arpomalla tuotetun eroosion perusongelma Eräs mahdollisuus näiden välttämiseen (ja samalla maastonmuotojen monipuolistamiseen ennestään) olisi lisätä maastoon kivilajialueiden vastineita ennen arpomista. Alueilla joilla simuloidut kivilajit ovat pehmeitä, eroosion vaikutus olisi suurempi kuin kovien kivilajien alueilla. Kaksinkertainen efekti (yhdessä korkeuskertoimen kanssa) saisi maastonmuotojen vaihtelun pehmenemään. Myös aito eroosien simulointi auttaa ongelmaan. Lopputuloksena yksi rantamaisema suoraan edellisellä tekniikalla toimivasta maisemageneraattorista.

16 Kuva 12 Toimivan maastonmuotogeneraattorin tuote. Tällä kertaa, poikkeuksellisesti: jos et näe, niin katso lähempää. 6.2 Fraktaalikuuset Peleissä käytettävät kasvit piirretään yleensä käsin ja liitetään sitten kartalle kuvina. Mikään ei kuitenkaan estä tekemästä niitäkin fraktaaleina. Fraktaalikasvien käytöllä saavutetaan useita etuja. Tärkein näistä on se, että yhdellä koodilla voidaan saada aikaan lukematon määrä erikokoisia, -muotoisia ja -värisiä kasveja, jotka kaikki kuitenkin ovat tunnistettavissa samaan kasvilajiin kuuluviksi. Toinen, kolmiulotteisille kuville pätevä etu on se, että punaviherjako voidaan tehdä tarkalleen samalla tavalla kuin allaolevassa maastossa. Tästä aiheesta lisää luvussa 7. Ensimmäiseksi simuloitavaksi kasvikseni valitsin kuusen. Syy on toisaalta se, että se on huomattavasti näkyvämpi kohde kuin esimerkiksi ruohonkorret ja toisaalta se, että kuusien muoto (oksia lähes maahan asti, pisimmät oksat lähes alimpana) on ylhäältäpäin kuvattavaksi kiitollisempi kuin esimerkiksi männyn rakenne. Kuusi on myös rakenteeltaan melko yksinkertainen kasvi, ja niin muodoin helposti algoritmisoitavissa.

17 Viisi minuuttia kestävän kuusen muodon tarkastelun perusteella voi kuka hyvänsä sanoa vaikkapa seuraavaa: Runko on useimmiten lähestulkoon suora. Kuva 13 Kuusenoksan perusmuoto karrikoituna Oksien pituus kasvaa alaspäin mentäessä lähes lineaarisesti, puun oksasto on muodoltaan jotakuinkin kartio tai puolikas venytettyä siniä. Aivan alimmat oksat ovat hieman lyhyempiä kuin niitä ylemmät. Oksat ovat ylhäältäpäin katsottuna lähes saman muotoisia kuin itse puu sivulta, leveämpiä tosin. Oksien varjoon jäävät osat kuihtuvat. Sivultapäin katsottuna oksat ovat usein huomattavasti ohuempia kuin ylhäältäpäin katsottuna. Oksan haaroilla on taipumus olla kallellaan oksan kärkeä kohti. Vastaavasti oksanhaarojen alihaaroilla on taipumus olla kallellaan haaran kärkeä kohti. Kulma haaran ja alihaaran välillä ei vaihtele yksittäisessä puussa kovin paljon, itse tutkimissani se oli jotakuinkin järjestelmällisesti välillä astetta. Oksakerrosten välimatka puun rungolla on lähes vakio. Neulaset peittävät puuta kauttaaltaan, varjossa kuihtuneita osia lukuunottamatta. Se, mitä kaikkia ominaisuuksia lopulliseen malliin laitetaan ja kuinka paljon vaihtelua ominaisuuksille annetaan, vaikuttaa suoraan siihen, kuinka aidon näköisiä lopputulokset ovat. Mallin toteutukseen vaikuttaa myös se, mistä suunnasta kuusta kuvataan. Koska itselläni oli tarkoituksena kuvata puita, kuten muutakin maisemaa, suoraan ylhäältä, ja koska toisaalta pidin mallia vielä hiukan kokeiluversiona, tyydyin seuraavaan: Runkoa ei erikseen kuvata, koska se kuitenkin jää oksien peittoon. Oksajakauma, ts. puun muoto, on pystysuora. Puun, oksien ja oksanhaarojen muotona (ts. pituusjakaumana) käytetään venytettyä siniä 45 asteen ja 180 asteen väliltä, ks. alla. Oksissa venytyskerroin on hiukan pienempi kuin itse puun muodossa. Kuva 14 Puolikas kuusen profiilia vaakasuoraan kaadettuna. Oksat ovat täysin lättäniä.

18 Oksanhaarojen jakauma vaihtelee todetulla välillä. Oksakerrosten välimatka sekä lukumäärä on (toistaiseksi) vakio. Puut piirretään siten, että kukin oksa lähtee kuvitteellisesta rungosta kohtisuoraan, suunta arvotaan mutta pituus tulee edellä esitetystä profiilista. Kullekin oksalle tuotetaan alioksia arvottuihin kohtiin ja todettuun kulmaan emo-oksastaan. Oksien alioksat ovat pituudeltaan säännöllisesti lyhyempiä kuin edelliset oksat. Tätä toistetaan rekursiivisesti, kunnes tullaan oksiin, joiden pituus on alle päätetyn minimipituuden. Lyhimmän kierroksen haarat peitetään kohtuullisen tasaisesti neulasilla. Kuva 15 yksi kerros kuusenoksia Mitä ylempänä puussa ollaan, sitä suurempi on värijako. Kuuset piirretään suoraan kartalle siten, että alin oksakerros tulee samalle korkeudelle kuin allaoleva maan pinta.

19 7 Stereokuvat ja tietokonegrafiikka Anaglyfigrafiikassa käytetty punaviherjako vaatii yleensä täysväritilojen (tai niiden 15- tai 16- bittisten vastineiden) käyttöä, koska tällöin kuvan jokaisen pikselin punaista, vihreää ja sinistä komponenttia voidaan käsitellä erikseen.tosin, kuten jo aiemmin totesin, nämä tilat ovat nykyajan ohjelmissa joka tapauksessa oletusarvo. Stereojaon tuominen grafiikkaan pakottaa ajattelemaan muutamaa seikkaa, joilla kaksiulotteisessa tai perinteisessä mielessä kolmiulotteisessa tietokonegrafiikassa ei ole merkitystä. Näitä ovat: Stereografiikan toteuttaminen Anaglyfigrafiikassa käytettäviä kaksoiskuvia on mahdollista piirtää lähinnä kolmella eri tavalla: joko kappale voidaan ensin piirtää kaksiulotteisena ja toteuttaa punasiirto jälkeenpäin, kuten tämän tekstin maisemagrafiikassa. Toinen tekniikka on kuvata todellisia kohteita tavanomaisen stereokuvauksen tapaan kahdella vierekkäisellä kameralla tai käyttää kolmiulotteista grafiikkaohjelmaa samalla periaatteella kahdella kameralla. Kolmas versio on piirtää grafiikka sarjakuvien tapaan. Tästä taktiikasta löytyy enemmän tietoa A. Girlingin teoksesta (1990). Kolmiulotteisten hahmojen piirtäminen päällekkäin Päällekkäin piirtäminen vaatii punaviherjaon tekemisen ennen kappaleiden piirtämistä ruudulle tai sen aikana. Kuvan näkymättömän värin poisto (blittaus) täytyy siis tehdä erikseen punaiselle värikomponentille sekä sinisen ja vihreän värikomponentin yhdistelmälle. Sen jälkeen piirrettävän hahmon punainen komponentti korvaa (pelkästään) taustakuvan punaisen komponentin värisiirron jälkeisestä kohdasta ja sininen ja vihreä vastaavat komponentit omasta uudesta sijainnistaan. Kun kuvattavat hahmot piirretään tällä tavoin kuvaan järjestyksessä alimmasta ylimpään, kuva rakentuu oikein. Syvyyden muuttaminen Liikkuvien kohteiden tulisi kolmiulotteisessa grafiikassa yleensä pystyä liikkumaan myös syvyyssuunnassa. Mikäli grafiikka on toteutettu kuvaamalla tai mallintamalla, tämä vaatisi erillisen kuvaparin jokaiselta tarvittavalta korkeudelta. Oman ohjelmani kaltaisissa tapauksissa, joissa korkeussuuntaisen liikkeen täytyy olla suhteellisen vapaata, tämä moninkertaistaisi animaatioruutujen määrän, ja niin muodoin muistintarpeen ja työmäärän. Eräs helppo tapa päästä ongelmasta on kuvata kohde kuvaparilla vain yhden tai muutaman kerran jotta silmille saadaan riittävästi eriävä kuva kappaleen sisäisten syvyyserojen näkemiseksi. Koko kappaleen syvyyssijainti saadaan muuttumaan siirtämällä punaista ja sinistä kuvaa normaaliin tapaan. Kuvien tekemisen vaivoihin saa säästöä myös sillä huomiolla, että riittävän matalissa tai syvällä sijaitsevissa kohteissa itse animoitavan hahmon ylimmän ja alimman pisteen välistä eroa ei pysty kunnolla huomaamaan. Niinpä näissä tapauksissa riittää käyttää kuvasta yhtä ainoaa versiota ja siirtää sen punaista ja sinivihreää komponenttia syvyyssiirron aikaansaamiseksi.

20 Kuva 16 Kuvan linnut ovat sen verran matalia ja tasapaksuja, ettei katsojaa yleensä paljon häiritse, ettei niissä ole sisäisiä korkeuseroja. Syvyyksien sovittaminen toisiinsa Jotta kappaleet näyttäisivät sopivan kuvassa toisiinsa, niiden syvyysulottuvuus pitäisi onnistua säätämään toisiaan vastaavaksi. Eri kuvantamistekniikoin toteutettujen kappaleiden sovittaminen toisiinsa ei likikään aina ole yksioikoista. Yksi mahdollinen tekniikka on tietysti aina kokeileminen, mutta viisaampi valinta saattaisi olla laskennallinen toteutus. Värijaon todellista vastaava määrä saadaan näin: Jos katselijan silmänväli on s, ja etäisyys katselukohteeseen e, kulma, johon silmät kääntyvät saadaan kuvan 17 suorakulmaisesta kolmiosta. Kuva 17

21 Kulman lausekkeeksi tulee (1) Kun vastaavaa tilannetta simuloidaan pinnalla, joka sijaitsee etäisyydellä p, värisiirtoa vaaditaan määrän v verran molempiin suuntiin. Kuva 18 v saadaan kuvan mukaisesti lausekkeesta (2) eli yhdistettynä lausekkeeseen 1, (3) Silmienvälin s ei tarvitse välttämättä vastata katselevan ihmisen silmienväliä, kunhan se on vakio kaikissa yhdistettävissä kuvissa. Sama pätee kuvapinnan etäisyyteen p. Laskelmaa hyödynnetään kuvantuottotekniikoiden yhdistämisessä siten, että esimerkiksi mallinnetuissa kuvissa mitat todella annetaan ohjelmalle ennen mallintamista, siis kuvat tehdään kahdesta kamerasta, joiden etäisyys toisistaan on päätetty s, ja kohteet sijoitetaan sille etäisyydelle kameroista kuin millä niiden halutaan lopputuloksessa sijaitsevan. Kappaleet, joissa syvyysvaikutelma tuotetaan suoraan värijaolla, saavat värijaon kaavan 3 mukaan.

22 8 Aiheisiin liittyvää kirjallisuutta 1. Arthur R Girling: Stereoscopic drawing: A Theory of 3-DVision and Its Application to Stereoscopic Drawing. Omakustanne, Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature, The Science of Fractal Images, toimittajat Heinz-Otto Peitgen ja Dietmar Saupe

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä.

1. STEREOKUVAPARIN OTTAMINEN ANAGLYFIKUVIA VARTEN. Hyvien stereokuvien ottaminen edellyttää kahden perusasian ymmärtämistä. 3-D ANAGLYFIKUVIEN TUOTTAMINEN Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Teknillinen korkeakoulu Petri Rönnholm Perustyövaiheet: A. Ota stereokuvapari B. Poista vasemmasta kuvasta vihreä ja sininen

Lisätiedot

Kokeile kuvasuunnistusta. 3D:nä

Kokeile kuvasuunnistusta. 3D:nä Kokeile kuvasuunnistusta 3D:nä Oheinen 3D-kuvasuunnistus on julkaistu Suunnistaja-lehdessä 1/13. Tämä kuvasuunnistus on toteutettu tarkkuussuunnistuksen aikarastitehtävän mukaisesti. Aikarastilla kartta

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen

Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat. fotogrammetriaan ja kaukokartoitukseen Luento 4 Kolmiulotteiset kuvat 1 Kuvan kolmiulotteisuus 2 Stereokuva 3 Aiheita Parallaksi. Stereoskopia. Stereoskooppinen näkeminen. Stereomallin kokonaisplastiikka. Stereokuvaus. Dokumentointi stereodiakuvin.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

6. Etäisyydenmittari 14.

6. Etäisyydenmittari 14. 97 ilmeisessä käsirysyssä vihollisen kanssa. Yleensä etäiyyden ollessa 50 m. pienempi voi sen käyttämisestä odottaa varmaa menestystä; paras etäisyys on 25 m. tai sitä pienempi. Sillä missä tilanahtaus

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta

S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta S-114.2720 Havaitseminen ja toiminta Heikki Hyyti 60451P Harjoitustyö 2 visuaalinen prosessointi Treismanin FIT Kuva 1. Kuvassa on Treismanin kokeen ensimmäinen osio, jossa piti etsiä vihreätä T kirjainta.

Lisätiedot

Tilkkuilijan värit. Saana Karlsson

Tilkkuilijan värit. Saana Karlsson Tilkkuilijan värit Saana Karlsson Tilkkutöissä erivärisiä kangaspaloja ommellaan yhteen ja siten muodostetaan erilaisia kuvioita. Värien valinta vaikuttaa siihen miten suunnitellut kuviot tulevat tilkkutyössä

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Yliopistojen erilliset palautteet. Webropol kyselyn tulokset. RAPORTTI 2 Uudet värit portaaliin Testipäivä: 26.9.2011 sekä kysely Webropolissa

Yliopistojen erilliset palautteet. Webropol kyselyn tulokset. RAPORTTI 2 Uudet värit portaaliin Testipäivä: 26.9.2011 sekä kysely Webropolissa Palvelukonsortion johtoryhmän kokous 3-2011- 3.10.2011 RAPORTTI 2 Uudet värit portaaliin Testipäivä: 26.9.2011 sekä kysely Webropolissa Yliopistojen erilliset palautteet Helsingin yliopisto LIITE R1 Turun

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

http://www.nelostuote.fi/suomi/rummikubsaan.html

http://www.nelostuote.fi/suomi/rummikubsaan.html Sivu 1/5 Pelin sisältö 104 numeroitua laattaa (numeroitu 1-13) 2 laattaa kutakin neljää väriä (musta, oranssi, sininen ja punainen) 2 jokerilaattaa, 4 laattatelinettä, pelisäännöt Pelin tavoite Tavoitteena

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Kenguru 2016 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2016 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA

LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA 2013 LIITO-ORAVASELVITYS VAMMALAN KUKKURISSA 2013 Selvityksen tarkoitus Liito-oravaselvityksessä oli tarkoitus löytää selvitysalueella mahdollisesti olevat liito-oravan

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit

RATKAISUT: 16. Peilit ja linssit Physica 9 1 painos 1(6) : 161 a) Kupera linssi on linssi, jonka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta b) Kupera peili on peili, jossa heijastava pinta on kaarevan pinnan ulkopinnalla c) Polttopiste on piste,

Lisätiedot

- 4 aloituslaattaa pelaajien väreissä molemmille puolille on kuvattu vesialtaat, joista lähtee eri määrä akvedukteja.

- 4 aloituslaattaa pelaajien väreissä molemmille puolille on kuvattu vesialtaat, joista lähtee eri määrä akvedukteja. AQUA ROMANA Vesi oli elintärkeä ja keskeinen edellytys Rooman imperiumin kehitykselle. Vedensaannin turvaamiseksi taitavimmat rakennusmestarit rakensivat valtavan pitkiä akvedukteja, joita pidetään antiikin

Lisätiedot

Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari

Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari Teknillinen Korkeakoulu Fotogrammetrian ja kaukokartoituksen laboratorio Maa-57.270 Fotogrammetrian, kuvatulkinnan ja kaukokartoituksen seminaari Phantogrammit Espoossa 22.4.2005 Laura Liikkanen 58271V

Lisätiedot

8-99- vuotiaille taikuri + yleisö

8-99- vuotiaille taikuri + yleisö 8-99- vuotiaille taikuri + yleisö Pelin tavoite: Tulla taikuriksi FI Sisältö: 61 korttia (48 kortin pakka + 6 tuplatausta korttia + 1 lyhyt kortti + 6 temppukorttia 4 perhettä (punainen, sininen, vihreä,

Lisätiedot

PIKSELIT JA RESOLUUTIO

PIKSELIT JA RESOLUUTIO PIKSELIT JA RESOLUUTIO 22.2.2015 ATK Seniorit Mukanetti ry / Tuula P 2 Pikselit ja resoluutio Outoja sanoja Outoja käsitteitä Mikä resoluutio? Mikä pikseli? Mitä tarkoittavat? Miksi niitä on? Milloin tarvitaan?

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

Kuvan pehmennys. Tulosteiden hallinta. Tulostaminen. Värien käyttäminen. Paperinkäsittely. Huolto. Vianmääritys. Ylläpito.

Kuvan pehmennys. Tulosteiden hallinta. Tulostaminen. Värien käyttäminen. Paperinkäsittely. Huolto. Vianmääritys. Ylläpito. Tulostinajuri tuottaa parhaan mahdollisen tulostuslaadun erilaisiin tulostustarpeisiin. Joskus saattaa kuitenkin olla tarpeen muuttaa tulostettavan asiakirjan ulkonäköä enemmän kuin tulostinajuri sallii.

Lisätiedot

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus

Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)

Lisätiedot

Gimp alkeet XIII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 8. Tasot ja kanavat. Jynkänlahden koulu. Yleistä

Gimp alkeet XIII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 8. Tasot ja kanavat. Jynkänlahden koulu. Yleistä Gimp alkeet XIII 9 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 8 Tasot ja kanavat Yleistä Tasot eli layerit ovat tärkeä osa nykyajan kuvankäsittelyä. Tasojen perusidea on se, että ne ovat läpinäkyviä "kalvoja", joita

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Kenguru 2017 Student lukio

Kenguru 2017 Student lukio sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Saksanpystykorvien värit

Saksanpystykorvien värit Saksanpystykorvien värit Ruskea: Kauttaaltaan yksivärinen tummanruskea. Ruskeilla esiintyy joskus harmaata karvaa housuissa, hännässä, silmien ympärillä tai lapojen seudulla. Tämä katsotaan virheeksi tai

Lisätiedot

Kun yritän luoda täydellisen kuvan, käytän aina tarkoin määriteltyjä

Kun yritän luoda täydellisen kuvan, käytän aina tarkoin määriteltyjä Täydellisen kuvan niksit Kun yritän luoda täydellisen kuvan, käytän aina tarkoin määriteltyjä suuntaviivoja. Kutsun niitä 9 elementiksi. Tässä artikkelissa käyn läpi mitä tarvitsen ja mitä otan huomioon

Lisätiedot

Teoreettisia perusteita I

Teoreettisia perusteita I Teoreettisia perusteita I - fotogrammetrinen mittaaminen perustuu pitkälti kollineaarisuusehtoon, jossa pisteestä heijastuva valonsäde kulkee suoraan projektiokeskuksen kautta kuvatasolle - toisaalta kameran

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka

Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) luokka Kenguru Cadet, ratkaisut (1 / 6) 3 pisteen tehtävät 1. Mikä luvuista on parillinen? (A) 2009 (B) 2 + 0 + 0 + 9 (C) 200 9 (D) 200 9 (E) 200 + 9 Ainoa parillinen on 200 9 = 1800. 2. Kuvan tähti koostuu 12

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA JA TAIDE II

MATEMATIIKKA JA TAIDE II 1 MATEMATIIKKA JA TAIDE II Aihepiirejä: Hienomotoriikkaa harjoittavia kaksi- ja kolmiulotteisia väritys-, piirtämis- ja askartelutehtäviä, myös sellaisia, joissa kuvio jatkuu loputtomasti, ja sellaisia,

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Tehdään laadukas painotuote

Tehdään laadukas painotuote Tehdään laadukas painotuote 8 vinkkiä valokuvien ottamisesta ja toimittamiseen painotuotteisiin 1. Kuvaa kameran parhailla asetuksilla Kuvien tarkkuuden ja tiedostopakkauksen vaikutukset ovat korostuneet

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

KOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET

KOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET KOKO PERHEEN HAUSKA STRATEGIAPELI OHJEET ROBOGEM_Ohjevihko_148x210mm.indd 1 PELIN TAVOITE Robotit laskeutuvat kaukaiselle planeetalle etsimään timantteja, joista saavat lisää virtaa aluksiinsa. Ohjelmoi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 3 pistettä 1. Kun tiedetään, että + + 6 = + + +, mikä luku voidaan sijoittaa kolmion paikalle? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ratkaisu: Kun poistetaan kummaltakin

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 5 Paraabeli Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 13..017 ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Jos a > 0, paraabeli aukeaa oikealle. Jos a < 0, paraabeli aukeaa vasemmalle. Jos a = 0, paraabeli

Lisätiedot

Kenguru 2017 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2017 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saat 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

Scratch ohjeita. Perusteet

Scratch ohjeita. Perusteet Perusteet Scratch ohjeita Scratch on graafinen ohjelmointiympäristö koodauksen opetteluun. Se soveltuu hyvin alakouluista yläkouluunkin asti, sillä Scratchin käyttömahdollisuudet ovat monipuoliset. Scratch

Lisätiedot

Digikuvan peruskäsittelyn. sittelyn työnkulku. Soukan Kamerat 22.1.2007. Soukan Kamerat/SV

Digikuvan peruskäsittelyn. sittelyn työnkulku. Soukan Kamerat 22.1.2007. Soukan Kamerat/SV Digikuvan peruskäsittelyn sittelyn työnkulku Soukan Kamerat 22.1.2007 Sisält ltö Digikuvan siirtäminen kamerasta tietokoneelle Skannaus Kuvan kääntäminen Värien säätö Sävyjen säätö Kuvan koko ja resoluutio

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

v1.2 Huom! Piirto-ohjelmissa asioita voi tehdä todella monella tavalla, tässä esitellään yksi esimerkkitapa tällaisen käyrän piirtämiseen.

v1.2 Huom! Piirto-ohjelmissa asioita voi tehdä todella monella tavalla, tässä esitellään yksi esimerkkitapa tällaisen käyrän piirtämiseen. v2 Tehtävä: Piirrä kartalle merkittyjen pisteiden ja välinen korkeusprofiili. Voit käyttää valmista Libre Office Draw koordinaatistopohjaa. Pisteiden välisen janan jakomerkit ovat 100m välein. Vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1

Luento 2 Stereokuvan laskeminen. 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Luento 2 Stereokuvan laskeminen 2008 Maa-57.1030 Fotogrammetrian perusteet 1 Aiheet Stereokuvan laskeminen stereokuvan piirto synteettisen stereokuvaparin tuottaminen laskemalla stereoelokuva kollineaarisuusyhtälöt

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat

1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat 1.2 Yhtälön avulla ratkaistavat probleemat Kun matemaattista probleemaa lähdetään ratkaisemaan yhtälöä hyväksi käyttäen, tilanne on vaikeampi kuin ratkaistaessa yhtälöä mekaanisesti. Nyt on näet itse laadittava

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu

Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu Graafiset käyttöliittymät Sivunparantelu Johdanto Tarkoituksenamme on parantaa Konebox.fi-verkkokaupan nettisivuja. Ensivaikutelman perusteella sivusto tuntuu todella kömpelöltä ja ahdistavalta. Sivu on

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT

Kenguru 2015 Mini-Ecolier (2. ja 3. luokka) RATKAISUT sivu 1 / 10 3 pistettä 1. Kuinka monta pilkkua kuvan leppäkertuilla on yhteensä? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 Ratkaisu: Pilkkuja on 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 3 = 19. 2. Miltä kuvan pyöreä

Lisätiedot

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4

766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 766323A Mekaniikka, osa 2, kl 2015 Harjoitus 4 0. MUISTA: Tenttitehtävä tulevassa päätekokeessa: Fysiikan säilymislait ja symmetria. (Tästä tehtävästä voi saada tentissä kolme ylimääräistä pistettä. Nämä

Lisätiedot

PERCIFAL RAKENNETUN TILAN VISUAALINEN ARVIOINTI

PERCIFAL RAKENNETUN TILAN VISUAALINEN ARVIOINTI PERCIFAL RAKENNETUN TILAN VISUAALINEN ARVIOINTI Arvioijan nimi: Päivämäärä ja kellonaika: Arvioitava tila: Sijainti tilassa: Vastaa kysymyksiin annetussa järjestyksessä! Antaessasi vastauksesi asteikkomuodossa,

Lisätiedot

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen

Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 5: Stereoskooppinen mittaaminen AIHEITA Etäisyysmittaus stereokuvaparilla Esimerkki: "TKK" Esimerkki: "Ritarihuone"

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2016 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Ristiniityn ja Välikankaan tuulivoimahanke, Haapajärvi

Ristiniityn ja Välikankaan tuulivoimahanke, Haapajärvi SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA INFINERGIES FINLAND OY Ristiniityn ja Välikankaan tuulivoimahanke, Haapajärvi Vestas V126 hh147m FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY 7.9.2015 P23690 FCG SUUNNITTELU JA TEKNIIKKA OY

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

S11-04 Kompaktikamerat stereokamerajärjestelmässä. Projektisuunnitelma

S11-04 Kompaktikamerat stereokamerajärjestelmässä. Projektisuunnitelma AS-0.3200 Automaatio- ja systeemitekniikan projektityöt S11-04 Kompaktikamerat stereokamerajärjestelmässä Projektisuunnitelma Ari-Matti Reinsalo Anssi Niemi 28.1.2011 Projektityön tavoite Projektityössä

Lisätiedot

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen

Valon havaitseminen. Näkövirheet ja silmän sairaudet. Silmä Näkö ja optiikka. Taittuminen. Valo. Heijastuminen Näkö Valon havaitseminen Silmä Näkö ja optiikka Näkövirheet ja silmän sairaudet Valo Taittuminen Heijastuminen Silmä Mitä silmän osia tunnistat? Värikalvo? Pupilli? Sarveiskalvo? Kovakalvo? Suonikalvo?

Lisätiedot

Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu. Kirsi Nousiainen 27.5.2005

Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu. Kirsi Nousiainen 27.5.2005 Opetusmateriaalin visuaalinen suunnittelu Kirsi Nousiainen 27.5.2005 Visuaalinen suunnittelu Ei ole koristelua Visuaalinen ilme vaikuttaa vastaanottokykyyn rauhallista jaksaa katsoa pitempään ja keskittyä

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI!

OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI! 1/8 OHJEET LUE TÄMÄ AIVAN ENSIKSI! Sinulla on nyt hallussasi testi, jolla voit arvioida oman älykkyytesi. Tämä testi muodostuu kahdesta osatestistä (Testi 1 ja Testi ). Testi on tarkoitettu vain yli neljätoistavuotiaille.

Lisätiedot

Pelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta.

Pelaajat siirtävät nappuloitaan vastakkaisiin suuntiin pelilaudalla. Peli alkaa näin. Tuplauskuutio asetetaan yhtä kauas kummastakin pelaajasta. DVD Backgammon Pelin tavoite Pelin tavoitteena on siirtää kaikki omat pelinappulat omalle sisäkentälle ja sieltä pois laudalta. Se pelaaja, joka ensimmäisenä on poistanut kaikki pelinappulansa pelilaudalta,

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Sukelluskeräily. Pelihahmon liikuttaminen. Aarre ja pisteet

Sukelluskeräily. Pelihahmon liikuttaminen. Aarre ja pisteet Sukelluskeräily 1 Tässä pelissä keräilet erilaisia aarteita ja väistelet vihollista. Tämän lisäksi pelaajan pitää käydä välillä pinnalla hengittelemässä. Peliin lisätään myös häiriötekijäksi esim. parvi

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

WSC7 analysointia. 24.2.2013 Vanha-Ulvila

WSC7 analysointia. 24.2.2013 Vanha-Ulvila WSC7 analysointia 24.2.2013 Vanha-Ulvila Rastiväli 1 Lyhin valinta on sininen Sininen vai Punainen: sininen voi olla pari sekuntia nopeampi. Kesällä keltainen oikaistaisiin katkoviivalla merkittyä reittiä

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot

5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot 5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin

Lisätiedot