Kenguru 2015 Student Ratkaisut

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kenguru 2015 Student Ratkaisut"

Transkriptio

1 sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Mistä kuviosta on väritetty puolet? (A) (B) (C) (D) (E) 2. Mikä seuraavista luvuista on lähinnä lukua 20,15 51,02? (A) 10 (B) 100 (C) (D) (E) Ratkaisu: 20,15 51, = Don teki kaksi tornia liimaamalla palikat yhteen. Sitten hän liimasi tornit yhteen. Mikä lopputulos on mahdoton? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Rakennelmassa B on kaksi palikkaa päällekkäin, joiden täytyy olla liimattu toisiinsa kiinni. Kaksi reunimmaista palikkaa eivät siis voineet olla alun perin yhdessä.

2 sivu 2 / Diana piirsi oheisen pylväsdiagrammin neljän puulajin lukumääristä biologian kenttäkurssilla. Jasper haluaisi esittää saman aineiston sektori diagrammina käyttäen samoja värejä. Miltä sektoridiagrammi näyttäisi? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Mustaa on vähiten, tumman harmaata toisiksi vähiten, vaaleaa harmaata eniten. 5. Kuvan saari on hyvin mutkainen. Kuinka moni sammakoista on kuivalla maalla? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 Ratkaisu: Värittämällä ja laskemalla saadaan 6 sammakkoa.

3 sivu 3 / Andrea syntyi vuonna 1997 ja hänen sisarensa Charlotte vuonna Heidän ikäeronsa on siis varmasti (A) alle 4 vuotta (C) tasan 4 vuotta (E) vähintään 3 vuotta (B) ainakin 4 vuotta (D) yli 4 vuotta Ratkaisu: Ikäero voi olla kuinka lähellä hyvänsä kolmea vuotta, ei välttämättä edes neljää. Toisaalta ikäero voi olla myös yli 4 vuotta, joten myös A on väärin. 7. Jack rakensi kuution 27 pienestä kuutiosta kuvan mukaisesti. Mustilla ja valkoisilla kuutioilla ei ole yhteisiä tahkoja. Kuinka monta valkoista kuutiota Jack tarvitsi? (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15 Ratkaisu: Ylä- ja alakerroksessa on 4 valkoista ja keskikerroksessa 5, yhteensä = 13 valkoista. 8. Kaikki 31 kokonaislukua luvusta 2001 alkaen lukuun 2031 asti lasketaan yhteen ja summa jaetaan luvulla 31. Mitä saadaan tulokseksi? (A) 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E) 2496 Ratkaisu: Kyseessä on lukujen 2001,, 2031 keskiarvo. Koska luvut ovat tasavälein, tämä on sama kuin lukujen 2001 ja 2031 keskiarvo, joka on 2016.

4 sivu 4 / Kun pieni orava on maassa, se ei mene viittä metriä kauemmas kotipuustaan eikä viittä metriä lähemmäs koirankoppia. Mikä tummennetuista alueista vastaa parhaiten aluetta, jolla pikku orava liikkuu? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Koska orava ei mene viittä metriä kauemmaksi puustaan, se liikkuu vain ympyrässä, jonka keskipisteessä puu kasvaa. Koska orava pysyy vähintään viiden metrin päässä koirankopista, se ei liiku ympyrässä, jonka keskipisteessä on koirankoppi. Kun poistetaan edellisestä ympyrästä se alue, joka kuuluu jälkimmäiseen ympyrään, saadaan alue, jolla orava liikkuu. Vaihtoehto C on siis oikein. 10. Juomalasi on katkaistun kartion muotoinen. Lasin ulkopinta päällystetään värillisellä paperilla. Minkä muotoinen paperi tarvitaan? (A) suorakulmio (B) puolisuunnikas (C) ympyräsektori (D) tasakorkuinen nauha (E) osa sektoria Ratkaisu: Kartion vaippa on auki levitettynä ympyräsektori. Katkaistun kartion vaippa muodostuu siis sektorista, josta on poistettu pienempi sektori.

5 sivu 5 / 16 4 pistettä 11. Neliön muotoinen paperi taitellaan katkoviivoja pitkin pieneksi neliöksi missä järjestyksessä hyvänsä. Pienen neliön yksi kulma leikataan pois, ja paperi taitellaan taas auki. Kuinka monta reikää siinä on? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 9 Ratkaisu: Riippumatta taittelutavoista keskimmäinen pikkuneliö menettää leikkauksessa yhden kulmansa ja pitää muut. Reikiä tulee siis vain yksi. Paperin reunasta lähtee myös paloja, mutta reikää ei voi syntyä reunaan. 12. Kuinka moni seuraavista neljästä kuvioista voidaan piirtää nostamatta kynää paperista ja piirtämättä samaa viivaa kahdesti? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Ratkaisu: Kaikki muut paitsi toisen kuvion voi piirtää:

6 sivu 6 / (a b) 3 + (b a) 3 = (A) 0 (B) 2(a b) 3 (C) 2a 3 2b 3 (D) 2a 3 + 2b 3 (E) 2a 3 + 6a 2 b + 6ab 2 + 2b 3 Ratkaisu: Luvut a b ja b a ovat vastalukuja, joten myös niiden kolmannet potenssin ovat. Summa on siis 0. (a b) 3 + (b a) 3 = (a b) 3 + [ (a b)] 3 = (a b) 3 (a b) 3 = Ella haluaa täydentää kuvan ketjun siten, että jokaisen ympyrän luku on kahden viereisen luvun summa. Mikä numero kuuluu kysymysmerkin paikalle? (A) -5 (B) -16 (C) -8 (D) -3 (E) Ella ei voi onnistua. Ratkaisu: Lukujen 3 ja 5 välissä pitää olla 8. Tästä eteenpäin voidaan päätellä lukuja kuvan mukaisesti. Kysymysmerkin täytyisi olla sekä -16, -5 että -3, jotta ehto toteutuisi jokaisen ympyrän kohdalla. Ellan projekti on siis tuhoon tuomittu. 15. Kuinka moneen osaan koordinaattiakselit sekä funktioiden f(x) = 2 x 2 ja g(x) = x 2 1 kuvaajat jakavat xy-tason? (A) 10 osaan (B) 11 osaan (C) 12 osaan (D) 13 osaan (E) 14 osaan

7 sivu 7 / 16 Ratkaisu: 16. Petralla on kolme erilaista sanakirjaa ja kaksi eri romaania kirjahyllyllään. Kuinka monella tavalla Petra voi järjestää kirjat, jos hän pitää sanakirjat vierekkäin ja romaanit vierekkäin? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 120 Ratkaisu: Kolme vierekkäistä sanakirjaa voidaan järjestää = 6 tavalla ja romaanit 2 tavalla. Sanakirjat voivat olla romaanien oikealla tai vasemmalla puolella, joten vaihtoehtoja on = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = (A) 2015 (B) 2015 (C) 2016 (D) 2017 (E) 4030 Ratkaisu: Neliöjuuren alle ilmestyy muistikaava a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) 2 = 2016.

8 sivu 8 / Kun nämä väitteet luetaan vasemmalta oikealle, mikä on ensimmäinen tosi väite? (A) kohta C on totta. (B) kohta A on totta (C) kohta E on epätosi (D) kohta B on epätosi (E) = 2 Ratkaisu: Väite C on väärä, koska se väittää kohtaa E epätodeksi. Siksi myös A on väärä, koska se väittää kohtaa C todeksi. B on epätosi, koska se väittää kohtaa A todeksi. Ensimmäinen tosi väite on siis D, joka sanoo todenmukaisesti kohdan B olevan epätosi. 19. Kun lukuja on n kappaletta, niiden geometrinen keskiarvo on lukujen tulon n. juuri. Erään kolmen luvun geometrinen keskiarvo on 3, ja kolmen muun luvun geometrinen keskiarvo on 12. Mikä on näiden kaikkien kuuden luvun geometrinen keskiarvo? (A) 4 (B) 6 (C) 15 2 (D) 15 6 (E) 36 Ratkaisu: Olkoot luvut a, b, c ja d, e, f. Tehtävänannon mukaan pätee seuraavaa: 3 abc 3 = 3, def Lukujen geometrinen keskiarvo on siis 6 abcdef = 12 abcdef = = = 36 3 = = Winger-planeetan jokaisella asukkaalla on ainakin kaksi korvaa. Kolme planeetan asukasta, Imi, Dimi ja Trimi, tapaavat kraaterin luona. Imi sanoo: Näen 8 korvaa. Dimi sanoo: Näen 7 korvaa. Trimi sanoo: Outoa, minä näen vain 5 korvaa. Kukaan ei näe omia korviaan. Montako korvaa Trimillä on? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 12 Ratkaisu: Olkoon Imin korvien määrä x. Koska Dimi näkee yhden korvan vähemmän kuin Imi, hänellä on yksi korva enemmän itsellään eli x + 1. Trimi näkee 5 korvaa, eli 5 = x + x + 1, eli Imillä on x = 2 korvaa. Dimin näkemästä 7 korvasta 2 on siis Imin ja loput 5 Trimin.

9 sivu 9 / 16 5 pistettä 21. Ruukussa on 2015 marmorikuulaa, joihin on maalattu luvut , yksi kuhunkin. Kukin kuula on väritetty sen mukaan, mikä sen luvun numeroiden summa on. Saman numerosumman kuulat on väritetty samalla värillä, eri numerosumman kuulat eri väreillä. Kuinka montaa eri väriä marmorikuulia ruukussa on? (A) 10 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 2015 Ratkaisu: Välin suurin numerosumma on luvulla 1999, nimittäin = 28, ja pienin luvulla 1, nimittäin 1. Myös kaikki summat tältä väliltä onnistuvat, eli värejä on 28 erilaista. 22. Kuvassa on kolme samankeskistä ympyrää ja niiden kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa halkaisijaa. Tummennettujen alueiden alat ovat yhtä suuret ja pienimmän ympyrän säde on 1. Mikä on kaikkien kolmen säteen tulo? (A) 6 (B) 3 (C) (D) 2 2 (E) 6 Ratkaisu: Olkoot säteet r 1 = 1, r 2 ja r 3. Sisin tummennettu alue on neljännesympyrä, ja sen ala on A 1 = 1 4 π 12 = π 4. Seuraavaksi sisimmän harmaan alueen ala saadaan kahden neljännesympyrän alojen erotuksena: Koska A 2 = A 1, täytyy olla r = 1 eli r 2 2 = 2. Vastaavasti kolmas ala on A 2 = π 4 r 2 2 π 4 = π 4 (r 2 2 1) A 3 = π 4 r 3 2 π 4 r 2 2 = π 4 (r 3 2 r 2 2 ) Koska A 3 = A 1, saadaan r 3 2 r 2 2 = 1, eli r 3 2 = 1 + r 2 2 = = 3. Kysytty tulo on siis r 1 r 2 r 3 = = 6.

10 sivu 10 / Kuvan vaakoihin asetetaan painot a, b, c ja d. Niistä kahden paikat vaihdetaan keskenään, jolloin jokainen kolmesta vaa asta kääntyy kuvan mukaisesti. Mitkä kaksi painoa vaihdettiin? (A) a ja b (B) b ja d (C) b ja c (D) a ja d (E) a ja c Ratkaisu: Vaakojen asennosta nähdään, että painoille pätee a > b ja c > d. Kaikista neljästä painosta raskain on siis joko a tai c. Raskain paino ei kuitenkaan voi olla c, vaikka vasemmanpuoleinen vaakakuva olisikin silloin mahdollinen (esimerkiksi a = 6, b = 4, c = 8, d = 1). Jos nimittäin c on raskain, sen siirtäminen ei kääntäisi isoa vaakaa toiseen asentoon. Jos c taas jää paikoilleen, mikään vaihto ei saa oikeanpuoleista pikkuvaakaa vaihtamaan asentoa. Koska c ei voi olla raskain, a on. Ainoa tapa kääntää sekä vasemmanpuoleinen pikkuvaaka että iso vaaka on siirtää a oikeanpuoleiseen pikkuvaakaan. Sen asennosta voidaan päätellä, että a vaihdettiin painon d kanssa. Tämä on mahdollista esimerkiksi painoilla a = 10, b = 3, c = 2, d = Kuvan suorakulmiossa ABCD on M 1 janan DC keskipiste, M 2 janan AM 1 keskipiste, M 3 janan BM 2 keskipiste ja M 4 janan CM 3 keskipiste. Mikä on nelikulmioiden M 1 M 2 M 3 M 4 ja ABCD alojen suhde? (A) 7 16 (B) 3 16 (C) 7 32 (D) 9 32 (E) 1 5

11 sivu 11 / 16 Ratkaisu: Lasketaan ensin neljän kolmion alat. Merkitään AB = a ja BC = b. Kolmion ADM 1 pinta-ala on 1 2 b a 2 = 1 4 ab. Kolmion ABM 2 korkeus on 1 2 b, joten sen ala on 1 2 a b 2 = 1 4 ab. Kolmion BCM 3 ala on hieman monimutkaisempi laskea. Pisteen M 2 etäisyys janasta BC (merkitty punaisella) on 3 4 a (koska M 2 puolittaa janan AM 1 ). Kolmion BCM 3 sinisellä merkitty korkeusjana on tästä puolet, eli a = 3 8 a. Kolmion BCM 3 ala on siis ab = 3 16 ab. Vastaavalla päättelyllä saadaan kolmion CM 4 M 1 sinisellä merkityksi korkeusjanaksi 3 b ja kolmion 8 alaksi b 1 2 a = 3 32 ab. Neljän kolmion yhteenlaskettu ala on siis ( ) ab = ( ) ab = ab. Nelikulmion M 1 M 2 M 3 M 4 alaksi jää 7 32 ab; siis kysytty suhde on Taululle on piirretty sinisiä ja punaisia suorakulmioita. Suorakulmioista tasan 7 on neliöitä. Punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä. Punaisia neliöitä on 2 enemmän kuin sinisiä suorakulmioita. Kuinka monta sinistä suorakulmiota taululla on? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 10 Ratkaisu 1: Olkoon sinisiä neliöitä b kpl ja muita sinisiä suorakulmiota a kpl. Punaisia neliöitä on kaksi enemmän kuin sinisiä suorakulmioita, joten niitä on a + b + 2. Jos punaisia ei-neliöitä on x kpl, saa ehto punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä muodon b + 3 = a + b x, josta ratkaistuna x = 1 a. Koska x ei voi olla negatiivinen, täytyy olla a = 1 tai a = 0.

12 sivu 12 / 16 Neliöitä on seitsemän, eli b + a + b + 2 = 7, eli 2b + a = 5. Tästä nähdään, että a ei voi olla nolla, joten a = 1 ja b = 2. Sinisiä suorakulmioita on siis a + b = 3 kappaletta. Ratkaisu 2: Taulukoidaan: neliö ei-neliö sininen x z punainen 7 - x y Ehdot kuuluvat nyt: (7 x) + y = x + 3, eli y = 2x 4. Jotta y ei olisi negatiivinen, täytyy olla x 2. ja 7 x = x + z + 2, eli z = 5 2x. Jotta z ei olisi negatiivinen, täytyy olla x 2 1, eli x = 2. 2 Siis z = 1 ja y = 0.

13 sivu 13 / Suorakulmaisen kolmion terävän kulman puolittaja jakaa kolmion kateetin osiin, joiden pituus on 1 ja 2. Kuinka pitkä kulmanpuolittaja on? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ratkaisu: Olkoon tuntematon kateetti a ja hypotenuusa c. Helpoin ratkaisu perustuu kulmanpuolittajalauseeseen: kulmanpuolittaja jakaa puolitetun kulman vastaisen sivun kulman kylkien suhteessa, eli 2 = c, siis c = 2a. (Kulmanpuolittajalause myös 1 a takaa, että lyhyempi osista on nimenomaan kateetin vieressä.) Pythagoraan lauseella saadaan a 2 = (2a) 2, eli a 2 = 3. Kulmanpuolittajan pituudeksi saadaan taas Pythagoraan lauseella x 2 = a 2 = = 4, eli x = 4 = Laskemiskerhon 96 jäsentä seisoo piirissä. He ryhtyvät laskemaan 1, 2, 3, 4, siten, että jokainen sanoo yhden luvun. Parillisen luvun sanojat astuvat ulos piiristä ja loput jatkavat, niin että toisella kierroksella ensimmäinen sanottu luku on 97 ja niin edelleen. Lopulta vain yksi laskija on jäljellä. Mikä luvun hän sanoi ensimmäisellä kierroksella? (A) 1 (B) 17 (C) 33 (D) 65 (E) 95

14 sivu 14 / 16 Ratkaisu: Ensimmäisellä kierroksella laskijoita on parillinen määrä, eli luvun 1 sanonut aloittaa toisen kierroksen sanomalla parittoman luvun 97. Niin kauan kun mukana olevien määrä on parillinen, luvun 1 sanonut ei putoa pois. Lasketaan: Kierros Laskijat kierroksen alussa Jäljellä olevien etäisyys toisistaan alkuperäisessä piirissä Kuudennen kierroksen alussa jäljellä ovat laskijat, jotka sanoivat ensimmäisellä kierroksella luvut 1, 1+32 = 33 ja 33+32=65. Näistä 1 sanoo parittoman luvun, 33 parillisen ja putoaa pois, 65 parittoman ja lopulta 1 parillisen ja putoaa pois. Luvun 65 alussa sanonut jää jäljelle. 28. Alla on yhtälön (x 2 + y 2 2x) 2 = 2(x 2 + y 2 ) ratkaisujoukon kuvaaja. Mikä suorista a, b, c, d on y-akseli? (A) a (B) b (C) c (D) d (E) jokin muu suorien a, b, c, d leikkauspisteen kautta kulkeva suora. Ratkaisu: Yhtälössä muuttuja y esiintyy vain toisena potenssina, joten jos jokin y:n arvo on ratkaisu, myös sen vastaluku on. Kuvaajan täytyy siis olla x-akselin suhteen symmetrinen. Kuvion ainoa symmetria-akseli on c, joten se on x-akseli ja a puolestaan y-akseli.

15 sivu 15 / Oyla-muurahainen lähtee liikkeelle kuution kärjestä. Oyla haluaa kävellä särmiä pitkin, kulkea jokaisen särmän kokonaan ja palata lopuksi lähtöpisteeseensä. Kuinka pitkä tällainen reitti vähintään on? Kuution särmän pituus on 1. (A) 12 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 20 Ratkaisu: 16 on mahdollista monella tavalla, esimerkiksi näin: Oyla lähtee liikkeelle kärjestä A. Se kulkee ensin sinisen lenkin, aloittaa sitten vihreää ja käy sen aikana välissä kulkemassa pystysärmät ylös ja alas. Vähemmän kuin 16 ei ole mahdollista, sillä kuutiossa on 8 kärkeä, joissa jokaisessa kohtaa 3 särmää. Jotta kaikki kolme särmää saataisiin kuljettua, kärjessä täytyy vierailla kahdesti. Siksi jokin kolmesta särmästä täytyy kävellä kahdesti. Kahdesti käveltäviä särmiä on siis vähintään yksi jokaista kärkeä kohti (koska myös lähtöpisteeseen pitää palata), mutta joka särmä on kiinni kahdessa kärjessä. Kahdesti käveltävien särmien määrä on siis vähintään 8 = 4. Koska kuutiossa on 2 12 särmää, minimi on = 16.

16 sivu 16 / Paperille kirjoitetaan kymmenen eri lukua. Jos jokin luvuista on yhtä suuri kuin yhdeksän muun luvun tulo, se ympyröidään. Kuinka monta lukua korkeintaan ympyröidään? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 9 (E) 10 Ratkaisu: Korkeintaan kaksi lukua voidaan ympäröidä. Olkoot x ja y kaksi ympyröitävää lukua, ja muiden kahdeksan luvun tulo a. Oletetaan, että mikään luvuista ei ole 0 (silloin ympäröitäviä lukuja ei olisi lainkaan.) Täytyy olla x = ya { y = xa eli x = ya = xa a = xa 2, joten a 2 = 1 a = ±1. Näistä +1 ei käy, koska x y. Siis a = 1 ja x = y. Jos jotkin kaksi lukua siis ympyröidään, ne ovat toistensa vastalukuja. Jokaisen ympäröidyn luvun täytyy siis olla kaikkien muiden ympyröityjen lukujen vastaluku. Koska joka luvulla on vain yksi vastaluku, ympyröityjä lukuja voi olla korkeintaan kaksi. Kaksi onnistuu, esimerkiksi luvut 7, 7, ja 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, toteuttavat ehdot. Kahdeksan jälkimmäisen luvun tulo on -1 ja kaikki toimii.

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2015 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) ratkaisut sivu 1 / 6 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 (4. ja 5. luokka) Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 8 3 pistettä 1. Missä kuviossa mustia kenguruita on enemmän kuin valkoisia kenguruita? Kuvassa D on 5 mustaa kengurua ja 4 valkoista. 2. Nelli haluaa rakentaa samanlaisen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Ecolier, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5

Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 Kenguru Écolier (4. ja 5. luokka) sivu 1/5 3 pisteen tehtävät 1. Miettisen perhe syö 3 ateriaa päivässä. Kuinka monta ateriaa he syövät viikon aikana? A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37 2. Aikuisten pääsylippu

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 3 pisteen tehtävät 1) Mikä on pienin? A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8 D) 200 8 E) 8 + 0 + 0 2 2) Millä voidaan korvata, jotta seuraava yhtälö olisi

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2011 Cadet RATKAISUT (8. ja 9. luokka) sivu / 2 IKET VSTUSVIHTEHDT N LLEVIIVTTU. 3 pistettä. Minkä laskun tulos on suurin? () 20 (B) 20 (C) 20 (D) + 20 (E) : 20 20 20, 20, 20 20 20 202 ( suurin ) ja : 20 0,0005 2. Hamsteri Fridolin suuntaa

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 (lukion 1. vuosikurssi) RATKAISUT Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 15 3 pistettä 1. Kenguru-kilpailu on joka vuosi maaliskuun kolmantena torstaina. Mikä on ensimmäinen mahdollinen päivä kilpailulle? (A) 14.3. (B) 15.3. (C) 20.3. (D) 21.3.

Lisätiedot

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9

Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 Kenguru 2010, Benjamin, ratkaisut sivu 1 / 9 3 pistettä 1. Kun tiedetään, että + + 6 = + + +, mikä luku voidaan sijoittaa kolmion paikalle? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ratkaisu: Kun poistetaan kummaltakin

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2011 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka 3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut

Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 (lukion 1. vuosikurssi) Ratkaisut Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2014 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 13 3 pistettä 1. Kauppias Koikkalainen on maalannut liikkeensä ikkunaan kukkakuvion. Miltä kukkakuvio näyttää ikkunan toiselta puolelta katsottuna? (A) (B) (C) (D) (E) Vasen ja oikea vaihtuvat

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 (4. ja 5. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 (4. ja 5. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2013 Ecolier sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5

Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 Kenguru 2010 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 5 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 13 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 13 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 13 Oikeat vastaukset on alleviivattu ja lihavoitu. 3 pistettä 1. Pasi aikoo maalata seinälle iskulauseen ELÄKÖÖN KENGURU. Hän haluaa maalata eri kirjaimet aina eri väreillä,

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2].

2 x 5 4x + x 2, [ 100,2]. 7. Derivaatan sovellutuksia 7.1. Derivaatta tangentin kulmakertoimena 6. Määritä a, b ja c siten, että käyrät y = x + ax + b ja y = cx x sivuavat toisiaan pisteessä (1,). a = 0, b =, c = 4. 6. Määritä

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Kenguru 2014 Ecolier ratkaisut (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2014 Ecolier ratkaisut (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 13 3 pistettä 1. Mikä oheisista kuvista esittää ison tähtikuvion keskiosaa? Isossa tähtikuviossa on 9 sakaraa. 2. Kauppias Koikkalainen on maalannut liikkeensä ikkunaan kukkakuvion. Miltä kukkakuvio

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 12 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot