Kenguru 2015 Student Ratkaisut

Transkriptio

1 sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Mistä kuviosta on väritetty puolet? (A) (B) (C) (D) (E) 2. Mikä seuraavista luvuista on lähinnä lukua 20,15 51,02? (A) 10 (B) 100 (C) (D) (E) Ratkaisu: 20,15 51, = Don teki kaksi tornia liimaamalla palikat yhteen. Sitten hän liimasi tornit yhteen. Mikä lopputulos on mahdoton? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Rakennelmassa B on kaksi palikkaa päällekkäin, joiden täytyy olla liimattu toisiinsa kiinni. Kaksi reunimmaista palikkaa eivät siis voineet olla alun perin yhdessä.

2 sivu 2 / Diana piirsi oheisen pylväsdiagrammin neljän puulajin lukumääristä biologian kenttäkurssilla. Jasper haluaisi esittää saman aineiston sektori diagrammina käyttäen samoja värejä. Miltä sektoridiagrammi näyttäisi? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Mustaa on vähiten, tumman harmaata toisiksi vähiten, vaaleaa harmaata eniten. 5. Kuvan saari on hyvin mutkainen. Kuinka moni sammakoista on kuivalla maalla? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 Ratkaisu: Värittämällä ja laskemalla saadaan 6 sammakkoa.

3 sivu 3 / Andrea syntyi vuonna 1997 ja hänen sisarensa Charlotte vuonna Heidän ikäeronsa on siis varmasti (A) alle 4 vuotta (C) tasan 4 vuotta (E) vähintään 3 vuotta (B) ainakin 4 vuotta (D) yli 4 vuotta Ratkaisu: Ikäero voi olla kuinka lähellä hyvänsä kolmea vuotta, ei välttämättä edes neljää. Toisaalta ikäero voi olla myös yli 4 vuotta, joten myös A on väärin. 7. Jack rakensi kuution 27 pienestä kuutiosta kuvan mukaisesti. Mustilla ja valkoisilla kuutioilla ei ole yhteisiä tahkoja. Kuinka monta valkoista kuutiota Jack tarvitsi? (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15 Ratkaisu: Ylä- ja alakerroksessa on 4 valkoista ja keskikerroksessa 5, yhteensä = 13 valkoista. 8. Kaikki 31 kokonaislukua luvusta 2001 alkaen lukuun 2031 asti lasketaan yhteen ja summa jaetaan luvulla 31. Mitä saadaan tulokseksi? (A) 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E) 2496 Ratkaisu: Kyseessä on lukujen 2001,, 2031 keskiarvo. Koska luvut ovat tasavälein, tämä on sama kuin lukujen 2001 ja 2031 keskiarvo, joka on 2016.

4 sivu 4 / Kun pieni orava on maassa, se ei mene viittä metriä kauemmas kotipuustaan eikä viittä metriä lähemmäs koirankoppia. Mikä tummennetuista alueista vastaa parhaiten aluetta, jolla pikku orava liikkuu? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Koska orava ei mene viittä metriä kauemmaksi puustaan, se liikkuu vain ympyrässä, jonka keskipisteessä puu kasvaa. Koska orava pysyy vähintään viiden metrin päässä koirankopista, se ei liiku ympyrässä, jonka keskipisteessä on koirankoppi. Kun poistetaan edellisestä ympyrästä se alue, joka kuuluu jälkimmäiseen ympyrään, saadaan alue, jolla orava liikkuu. Vaihtoehto C on siis oikein. 10. Juomalasi on katkaistun kartion muotoinen. Lasin ulkopinta päällystetään värillisellä paperilla. Minkä muotoinen paperi tarvitaan? (A) suorakulmio (B) puolisuunnikas (C) ympyräsektori (D) tasakorkuinen nauha (E) osa sektoria Ratkaisu: Kartion vaippa on auki levitettynä ympyräsektori. Katkaistun kartion vaippa muodostuu siis sektorista, josta on poistettu pienempi sektori.

5 sivu 5 / 16 4 pistettä 11. Neliön muotoinen paperi taitellaan katkoviivoja pitkin pieneksi neliöksi missä järjestyksessä hyvänsä. Pienen neliön yksi kulma leikataan pois, ja paperi taitellaan taas auki. Kuinka monta reikää siinä on? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 9 Ratkaisu: Riippumatta taittelutavoista keskimmäinen pikkuneliö menettää leikkauksessa yhden kulmansa ja pitää muut. Reikiä tulee siis vain yksi. Paperin reunasta lähtee myös paloja, mutta reikää ei voi syntyä reunaan. 12. Kuinka moni seuraavista neljästä kuvioista voidaan piirtää nostamatta kynää paperista ja piirtämättä samaa viivaa kahdesti? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Ratkaisu: Kaikki muut paitsi toisen kuvion voi piirtää:

6 sivu 6 / (a b) 3 + (b a) 3 = (A) 0 (B) 2(a b) 3 (C) 2a 3 2b 3 (D) 2a 3 + 2b 3 (E) 2a 3 + 6a 2 b + 6ab 2 + 2b 3 Ratkaisu: Luvut a b ja b a ovat vastalukuja, joten myös niiden kolmannet potenssin ovat. Summa on siis 0. (a b) 3 + (b a) 3 = (a b) 3 + [ (a b)] 3 = (a b) 3 (a b) 3 = Ella haluaa täydentää kuvan ketjun siten, että jokaisen ympyrän luku on kahden viereisen luvun summa. Mikä numero kuuluu kysymysmerkin paikalle? (A) -5 (B) -16 (C) -8 (D) -3 (E) Ella ei voi onnistua. Ratkaisu: Lukujen 3 ja 5 välissä pitää olla 8. Tästä eteenpäin voidaan päätellä lukuja kuvan mukaisesti. Kysymysmerkin täytyisi olla sekä -16, -5 että -3, jotta ehto toteutuisi jokaisen ympyrän kohdalla. Ellan projekti on siis tuhoon tuomittu. 15. Kuinka moneen osaan koordinaattiakselit sekä funktioiden f(x) = 2 x 2 ja g(x) = x 2 1 kuvaajat jakavat xy-tason? (A) 10 osaan (B) 11 osaan (C) 12 osaan (D) 13 osaan (E) 14 osaan

7 sivu 7 / 16 Ratkaisu: 16. Petralla on kolme erilaista sanakirjaa ja kaksi eri romaania kirjahyllyllään. Kuinka monella tavalla Petra voi järjestää kirjat, jos hän pitää sanakirjat vierekkäin ja romaanit vierekkäin? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 120 Ratkaisu: Kolme vierekkäistä sanakirjaa voidaan järjestää = 6 tavalla ja romaanit 2 tavalla. Sanakirjat voivat olla romaanien oikealla tai vasemmalla puolella, joten vaihtoehtoja on = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = (A) 2015 (B) 2015 (C) 2016 (D) 2017 (E) 4030 Ratkaisu: Neliöjuuren alle ilmestyy muistikaava a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) 2 = 2016.

8 sivu 8 / Kun nämä väitteet luetaan vasemmalta oikealle, mikä on ensimmäinen tosi väite? (A) kohta C on totta. (B) kohta A on totta (C) kohta E on epätosi (D) kohta B on epätosi (E) = 2 Ratkaisu: Väite C on väärä, koska se väittää kohtaa E epätodeksi. Siksi myös A on väärä, koska se väittää kohtaa C todeksi. B on epätosi, koska se väittää kohtaa A todeksi. Ensimmäinen tosi väite on siis D, joka sanoo todenmukaisesti kohdan B olevan epätosi. 19. Kun lukuja on n kappaletta, niiden geometrinen keskiarvo on lukujen tulon n. juuri. Erään kolmen luvun geometrinen keskiarvo on 3, ja kolmen muun luvun geometrinen keskiarvo on 12. Mikä on näiden kaikkien kuuden luvun geometrinen keskiarvo? (A) 4 (B) 6 (C) 15 2 (D) 15 6 (E) 36 Ratkaisu: Olkoot luvut a, b, c ja d, e, f. Tehtävänannon mukaan pätee seuraavaa: 3 abc 3 = 3, def Lukujen geometrinen keskiarvo on siis 6 abcdef = 12 abcdef = = = 36 3 = = Winger-planeetan jokaisella asukkaalla on ainakin kaksi korvaa. Kolme planeetan asukasta, Imi, Dimi ja Trimi, tapaavat kraaterin luona. Imi sanoo: Näen 8 korvaa. Dimi sanoo: Näen 7 korvaa. Trimi sanoo: Outoa, minä näen vain 5 korvaa. Kukaan ei näe omia korviaan. Montako korvaa Trimillä on? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 12 Ratkaisu: Olkoon Imin korvien määrä x. Koska Dimi näkee yhden korvan vähemmän kuin Imi, hänellä on yksi korva enemmän itsellään eli x + 1. Trimi näkee 5 korvaa, eli 5 = x + x + 1, eli Imillä on x = 2 korvaa. Dimin näkemästä 7 korvasta 2 on siis Imin ja loput 5 Trimin.

9 sivu 9 / 16 5 pistettä 21. Ruukussa on 2015 marmorikuulaa, joihin on maalattu luvut , yksi kuhunkin. Kukin kuula on väritetty sen mukaan, mikä sen luvun numeroiden summa on. Saman numerosumman kuulat on väritetty samalla värillä, eri numerosumman kuulat eri väreillä. Kuinka montaa eri väriä marmorikuulia ruukussa on? (A) 10 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 2015 Ratkaisu: Välin suurin numerosumma on luvulla 1999, nimittäin = 28, ja pienin luvulla 1, nimittäin 1. Myös kaikki summat tältä väliltä onnistuvat, eli värejä on 28 erilaista. 22. Kuvassa on kolme samankeskistä ympyrää ja niiden kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa halkaisijaa. Tummennettujen alueiden alat ovat yhtä suuret ja pienimmän ympyrän säde on 1. Mikä on kaikkien kolmen säteen tulo? (A) 6 (B) 3 (C) (D) 2 2 (E) 6 Ratkaisu: Olkoot säteet r 1 = 1, r 2 ja r 3. Sisin tummennettu alue on neljännesympyrä, ja sen ala on A 1 = 1 4 π 12 = π 4. Seuraavaksi sisimmän harmaan alueen ala saadaan kahden neljännesympyrän alojen erotuksena: Koska A 2 = A 1, täytyy olla r = 1 eli r 2 2 = 2. Vastaavasti kolmas ala on A 2 = π 4 r 2 2 π 4 = π 4 (r 2 2 1) A 3 = π 4 r 3 2 π 4 r 2 2 = π 4 (r 3 2 r 2 2 ) Koska A 3 = A 1, saadaan r 3 2 r 2 2 = 1, eli r 3 2 = 1 + r 2 2 = = 3. Kysytty tulo on siis r 1 r 2 r 3 = = 6.

10 sivu 10 / Kuvan vaakoihin asetetaan painot a, b, c ja d. Niistä kahden paikat vaihdetaan keskenään, jolloin jokainen kolmesta vaa asta kääntyy kuvan mukaisesti. Mitkä kaksi painoa vaihdettiin? (A) a ja b (B) b ja d (C) b ja c (D) a ja d (E) a ja c Ratkaisu: Vaakojen asennosta nähdään, että painoille pätee a > b ja c > d. Kaikista neljästä painosta raskain on siis joko a tai c. Raskain paino ei kuitenkaan voi olla c, vaikka vasemmanpuoleinen vaakakuva olisikin silloin mahdollinen (esimerkiksi a = 6, b = 4, c = 8, d = 1). Jos nimittäin c on raskain, sen siirtäminen ei kääntäisi isoa vaakaa toiseen asentoon. Jos c taas jää paikoilleen, mikään vaihto ei saa oikeanpuoleista pikkuvaakaa vaihtamaan asentoa. Koska c ei voi olla raskain, a on. Ainoa tapa kääntää sekä vasemmanpuoleinen pikkuvaaka että iso vaaka on siirtää a oikeanpuoleiseen pikkuvaakaan. Sen asennosta voidaan päätellä, että a vaihdettiin painon d kanssa. Tämä on mahdollista esimerkiksi painoilla a = 10, b = 3, c = 2, d = Kuvan suorakulmiossa ABCD on M 1 janan DC keskipiste, M 2 janan AM 1 keskipiste, M 3 janan BM 2 keskipiste ja M 4 janan CM 3 keskipiste. Mikä on nelikulmioiden M 1 M 2 M 3 M 4 ja ABCD alojen suhde? (A) 7 16 (B) 3 16 (C) 7 32 (D) 9 32 (E) 1 5

11 sivu 11 / 16 Ratkaisu: Lasketaan ensin neljän kolmion alat. Merkitään AB = a ja BC = b. Kolmion ADM 1 pinta-ala on 1 2 b a 2 = 1 4 ab. Kolmion ABM 2 korkeus on 1 2 b, joten sen ala on 1 2 a b 2 = 1 4 ab. Kolmion BCM 3 ala on hieman monimutkaisempi laskea. Pisteen M 2 etäisyys janasta BC (merkitty punaisella) on 3 4 a (koska M 2 puolittaa janan AM 1 ). Kolmion BCM 3 sinisellä merkitty korkeusjana on tästä puolet, eli a = 3 8 a. Kolmion BCM 3 ala on siis ab = 3 16 ab. Vastaavalla päättelyllä saadaan kolmion CM 4 M 1 sinisellä merkityksi korkeusjanaksi 3 b ja kolmion 8 alaksi b 1 2 a = 3 32 ab. Neljän kolmion yhteenlaskettu ala on siis ( ) ab = ( ) ab = ab. Nelikulmion M 1 M 2 M 3 M 4 alaksi jää 7 32 ab; siis kysytty suhde on Taululle on piirretty sinisiä ja punaisia suorakulmioita. Suorakulmioista tasan 7 on neliöitä. Punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä. Punaisia neliöitä on 2 enemmän kuin sinisiä suorakulmioita. Kuinka monta sinistä suorakulmiota taululla on? (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 10 Ratkaisu 1: Olkoon sinisiä neliöitä b kpl ja muita sinisiä suorakulmiota a kpl. Punaisia neliöitä on kaksi enemmän kuin sinisiä suorakulmioita, joten niitä on a + b + 2. Jos punaisia ei-neliöitä on x kpl, saa ehto punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä muodon b + 3 = a + b x, josta ratkaistuna x = 1 a. Koska x ei voi olla negatiivinen, täytyy olla a = 1 tai a = 0.

12 sivu 12 / 16 Neliöitä on seitsemän, eli b + a + b + 2 = 7, eli 2b + a = 5. Tästä nähdään, että a ei voi olla nolla, joten a = 1 ja b = 2. Sinisiä suorakulmioita on siis a + b = 3 kappaletta. Ratkaisu 2: Taulukoidaan: neliö ei-neliö sininen x z punainen 7 - x y Ehdot kuuluvat nyt: (7 x) + y = x + 3, eli y = 2x 4. Jotta y ei olisi negatiivinen, täytyy olla x 2. ja 7 x = x + z + 2, eli z = 5 2x. Jotta z ei olisi negatiivinen, täytyy olla x 2 1, eli x = 2. 2 Siis z = 1 ja y = 0.

13 sivu 13 / Suorakulmaisen kolmion terävän kulman puolittaja jakaa kolmion kateetin osiin, joiden pituus on 1 ja 2. Kuinka pitkä kulmanpuolittaja on? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ratkaisu: Olkoon tuntematon kateetti a ja hypotenuusa c. Helpoin ratkaisu perustuu kulmanpuolittajalauseeseen: kulmanpuolittaja jakaa puolitetun kulman vastaisen sivun kulman kylkien suhteessa, eli 2 = c, siis c = 2a. (Kulmanpuolittajalause myös 1 a takaa, että lyhyempi osista on nimenomaan kateetin vieressä.) Pythagoraan lauseella saadaan a 2 = (2a) 2, eli a 2 = 3. Kulmanpuolittajan pituudeksi saadaan taas Pythagoraan lauseella x 2 = a 2 = = 4, eli x = 4 = Laskemiskerhon 96 jäsentä seisoo piirissä. He ryhtyvät laskemaan 1, 2, 3, 4, siten, että jokainen sanoo yhden luvun. Parillisen luvun sanojat astuvat ulos piiristä ja loput jatkavat, niin että toisella kierroksella ensimmäinen sanottu luku on 97 ja niin edelleen. Lopulta vain yksi laskija on jäljellä. Mikä luvun hän sanoi ensimmäisellä kierroksella? (A) 1 (B) 17 (C) 33 (D) 65 (E) 95

14 sivu 14 / 16 Ratkaisu: Ensimmäisellä kierroksella laskijoita on parillinen määrä, eli luvun 1 sanonut aloittaa toisen kierroksen sanomalla parittoman luvun 97. Niin kauan kun mukana olevien määrä on parillinen, luvun 1 sanonut ei putoa pois. Lasketaan: Kierros Laskijat kierroksen alussa Jäljellä olevien etäisyys toisistaan alkuperäisessä piirissä Kuudennen kierroksen alussa jäljellä ovat laskijat, jotka sanoivat ensimmäisellä kierroksella luvut 1, 1+32 = 33 ja 33+32=65. Näistä 1 sanoo parittoman luvun, 33 parillisen ja putoaa pois, 65 parittoman ja lopulta 1 parillisen ja putoaa pois. Luvun 65 alussa sanonut jää jäljelle. 28. Alla on yhtälön (x 2 + y 2 2x) 2 = 2(x 2 + y 2 ) ratkaisujoukon kuvaaja. Mikä suorista a, b, c, d on y-akseli? (A) a (B) b (C) c (D) d (E) jokin muu suorien a, b, c, d leikkauspisteen kautta kulkeva suora. Ratkaisu: Yhtälössä muuttuja y esiintyy vain toisena potenssina, joten jos jokin y:n arvo on ratkaisu, myös sen vastaluku on. Kuvaajan täytyy siis olla x-akselin suhteen symmetrinen. Kuvion ainoa symmetria-akseli on c, joten se on x-akseli ja a puolestaan y-akseli.

15 sivu 15 / Oyla-muurahainen lähtee liikkeelle kuution kärjestä. Oyla haluaa kävellä särmiä pitkin, kulkea jokaisen särmän kokonaan ja palata lopuksi lähtöpisteeseensä. Kuinka pitkä tällainen reitti vähintään on? Kuution särmän pituus on 1. (A) 12 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 20 Ratkaisu: 16 on mahdollista monella tavalla, esimerkiksi näin: Oyla lähtee liikkeelle kärjestä A. Se kulkee ensin sinisen lenkin, aloittaa sitten vihreää ja käy sen aikana välissä kulkemassa pystysärmät ylös ja alas. Vähemmän kuin 16 ei ole mahdollista, sillä kuutiossa on 8 kärkeä, joissa jokaisessa kohtaa 3 särmää. Jotta kaikki kolme särmää saataisiin kuljettua, kärjessä täytyy vierailla kahdesti. Siksi jokin kolmesta särmästä täytyy kävellä kahdesti. Kahdesti käveltäviä särmiä on siis vähintään yksi jokaista kärkeä kohti (koska myös lähtöpisteeseen pitää palata), mutta joka särmä on kiinni kahdessa kärjessä. Kahdesti käveltävien särmien määrä on siis vähintään 8 = 4. Koska kuutiossa on 2 12 särmää, minimi on = 16.

16 sivu 16 / Paperille kirjoitetaan kymmenen eri lukua. Jos jokin luvuista on yhtä suuri kuin yhdeksän muun luvun tulo, se ympyröidään. Kuinka monta lukua korkeintaan ympyröidään? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 9 (E) 10 Ratkaisu: Korkeintaan kaksi lukua voidaan ympäröidä. Olkoot x ja y kaksi ympyröitävää lukua, ja muiden kahdeksan luvun tulo a. Oletetaan, että mikään luvuista ei ole 0 (silloin ympäröitäviä lukuja ei olisi lainkaan.) Täytyy olla x = ya { y = xa eli x = ya = xa a = xa 2, joten a 2 = 1 a = ±1. Näistä +1 ei käy, koska x y. Siis a = 1 ja x = y. Jos jotkin kaksi lukua siis ympyröidään, ne ovat toistensa vastalukuja. Jokaisen ympäröidyn luvun täytyy siis olla kaikkien muiden ympyröityjen lukujen vastaluku. Koska joka luvulla on vain yksi vastaluku, ympyröityjä lukuja voi olla korkeintaan kaksi. Kaksi onnistuu, esimerkiksi luvut 7, 7, ja 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, toteuttavat ehdot. Kahdeksan jälkimmäisen luvun tulo on -1 ja kaikki toimii.