Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 = 60 ). Gradiaani, grad, eli gooni (engl. grad, ransk grade, saks. gon, ruots. gon) on 1/400 tädestä kierroksesta. (Älä kätä, ellei ole aivan pakko.) Radiaani, rad, on kulman mprästä erottaman kaaren pituuden suhde mprän säteeseen (kun mprän keskipiste on kulman kärjessä). Täsi kierros on silloin 2π radiaania. Piiru, Täsi kierros on 32 kompassipiirua ja 6400 tkistön piirua.

2 360 = 2π 180 = π 90 = π/2 45 = π/4 Kuva : (a) täsi kierros 2π, (b) oikokulma π, (c) suora kulma π/2, (d) suoran kulman puolikas π/4. Kulma α on terävä, jos 0 α < 90 (0 α < π/2). Kulma α on tlppä, jos 90 < α < 180 (π/2 < α < π).

3 ϕ r b = b r

4 α c Sini = Kosini = Tangentti = b β a α + β = 90 c 2 = a 2 + b 2 sin α = a/c cos α = b/c tan α = a/b cot α = b/a vastainen kateetti hpotenuusa, sinα = a c viereinen kateetti hpotenuusa, cosα = b c vastainen kateetti viereinen kateetti, tanα = a b Kotangentti = viereinen kateetti vastainen kateetti, cotα = b a

, ja muita lauseita 5 (:) Suorakulmaisessa kolmiossa hpotenuusan pituuden neliö on kateettien pituuksien neliöiden summa. α c b a c 2 = a 2 + b 2 Seuraus: sin 2 α + cos 2 α = 1

, ja muita lauseita 6 Lause: Kolmion kulmien summa on π (eli 180 ). α γ β α β α + β + γ = π Lause:(Seuraus edellisestä) Jos kolmiossa on tlppä kulma (> π/2), niin muut kaksi kulmaa ovat teräviä (< π/2).

, ja muita lauseita 7 Lause: Kolmion ala on puolet kahden sivun pituuksien ja niiden välisen kulman sinin tulosta. (Kaavana: A = 1 2 b c sinα.) b h h b A = 1 2bc sinα α c α

, ja muita lauseita 8 Lause: Sinilause: a sinα = b sinβ = c sinγ. α b c γ β a Perustelu: Kolmion kaksinkertainen pinta-ala voidaan laskea seuraavilla tavoilla: bc sinα = ac sinβ = ab sinγ. Väite seuraa, kun lausekkeet jaetaan abc:lla ja siirrtään käänteislausekkeisiin.

, ja muita lauseita 9 Lause: Kosinilause: Perustelu: c 2 = a 2 + b 2 2ab cosγ. a c Terävä γ h γ u b b u = acosγ Jos γ on terävä, niin c 2 = h 2 + u 2 = a 2 (b u) 2 + u 2 = a 2 b 2 + 2bu = a 2 + b 2 2b(b u) = a 2 + b 2 2ab cosγ h a c s γ b s = acosγ Tlppä γ Jos γ on tlppä, niin c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs = a 2 + b 2 2ab cosγ

10 s sin() (c,s ) = (cos(),sin()) c cos() tan() = sin() cos(), cos() cot() = sin(). Sini-funktio, Kosini-funktio, Tangentti-funktio, Kotangentti-funktio.

11 sin() 2π π π 2π cos() 2π π π 2π Sini- ja kosini-funktioiden kuvaajat.

12 tan() cot() π π 2π π π 2π tangentti- ja kotangentti-funktioiden kuvaajat.

Kaavoja 13 1 sin() 1, ja 1 cos() 1, (1) sin( ) = sin(), ja cos( ) = cos(), (2) sin(π ) = sin(), ja cos(π ) = cos(). (3) sin(π/2 ) = cos(), ja cos(π/2 ) = sin(). (4) sin( ± ) = sin()cos() ± cos()sin() (5) cos( ± ) = cos()cos() sin()sin() (6)

14 Määritelmä: Määrittelemme arcsin, arccos, arctan ja arccot väleille I 0 = [ π 2, π 2 ] ja J 0 = [0,π] rajoitettujen trigonometristen funktioiden käänteisfunktioina seuraavasti: funktio käänteisfunktio sin : [ π 2, π 2 ] [ 1,1] arcsin : [ 1,1] [ π 2, π 2 ] cos : [0,π] [ 1,1] arccos : [ 1,1] [0,π] tan : [ π 2, π 2 ] R arctan : R [ π 2, π 2 ] cot : [0,π] R arccot : R [0,π] (Arcus-sini, arcus-kosini, arcus-tangentti, arcus-kotangentti.)

15 Sini- ja Arcus-sini - α π/2 0 π/2 α 1 0 1 = sin(α) α = arcsin()

16 Kosini- ja Arcuskosini - α 0 π/2 π α 1 0 1 = cos(α) α = arccos()

17 Tangentti- ja Arcus-tangentti - α α π/2 0 π/2 4 2 0 2 4 = tan(α) α = arctan()

18 Esimerkki Laske pisteiden P 1 = (2,1), P 2 = ( 1,2), P 3 = ( 2, 1) paikkavektoreiden ja -akselin väliset kulmat. (2,1) α 1 ( 1, 2) α 2 Periaatteessa tehtävä on helppo, sillä tanα k = k k α k = arctan ( 2, 1) ( k k α 3 ) + n π. Nt tulee muistaa, että laskin antaa arctan-funktion arvon aina väliltä π/2 α π/2, joten laskijan tulee lisätä laskimen antamaan kulmaan π laskiessaan kulmia α 2 ja α 3 mutta ei tule lisätä laskimen antamaan arvoon mitään laskiessaan kulmaa α 1.

19 Siis ( ) 1 α 1 = arctan = 0.46365(rad) = 26.565 2 ( ) 2 α 2 = arctan + π = 2.03444(rad) = 116.565 1 ( ) 1 α 1 = arctan + π = 3.60524(rad) = 206.565 2 Johtopäätös esimerkin perusteella α = { arctan(/), kun 0, arctan(/) + π, kun < 0.

20 P P = ( P, P ) P Pisteen koordinaatit tasossa.

21 Vektorilla a on pituus a ja suunta a 0 = 1 a a. Janalla PQ on päätepisteet P ja Q. Suuntajanalla PQ on alkupiste P ja loppupiste Q. a Q P P P PQ Q Q

22 Merkitään koordinaattiakselin suuntaisia ksikkövektoreita eritisesti: vektori pituus suunta i 1 -akselin suunta j 1 -akselin suunta Suuntajanan pituus ja suunta on helppo esittää ksikkövektoreiden i ja j avulla: Kolme oikealle ja kaksi lös j 3 i + 2 j i + i + i + j + j = 3 i + 2 j j a oikealle ja b lös j i i i = a i + b j i Kolme oikealle ja kaksi lös.

23 Kun tiedämme suuntajanan päätepisteiden koordinaatit, niin suuntajanan pituus ja suunta saadaan seuraavasti Q P j i PQ = ( Q P ) i + ( Q P ) j j P P i Q Q P PQ Q PQ = (Q P ) i + ( Q P ) j PQ = ( Q P ) 2 + ( Q P ) 2

24, a ja b, summa a + b konstruoidaan piirtäen siten, että ensin piirretään jokin vektoria a edustava suuntajana PQ, sitten piirretään pisteestä Q alkava vektorin b edustaja QR. Nt suuntajana PR edustaa summavektoria a + b. R Q P j i PR = PQ + QR b b a j a j b i j a i i a + b = (a + b ) i + (a + b ) j

25 Lause: Tason vektorin a = a i + a j pituus a voidaan laskea lausekkeesta a = a 2 + a. 2 Perustelu: Kun piirrämme vektorille a origosta alkavan edustajan, snt luonnollisella tavalla suorakulmainen kolmio, jonka hpotenuusan pituus on sama kuin vektorin pituus ja kateettien pituudet ovat a ja a. Väite seuraa nt esta.

26 Lause: Kaksi tasovektoria a = a i + a j ja b = b i + b j ja niiden γ toteuttavat htälön cosγ = a b + a b a b Perustelu: Piirretään vektoreille origosta alkavat edustajat. Olkoon edustajien loppupisteitä hdistävän janan pituus c. Kosinilauseen mukaan: b c b a γ a c 2 = a 2 + b 2 2ab cosγ (a b ) 2 + (a b ) 2 = a 2 + a 2 + b 2 + b 2 2ab cosγ 2a b 2a b = 2 a b cosγ.

27 Esimerkki: Laske vektoreiden a = 4 i + j ja b = 2 i + 3 j. a = 4 2 + 1 2 = 17 b = ( 2) 2 + 3 2 = 13 cosγ = a b + a b a b = 4 ( 2) + 1 3 5 = 17 13 17 13 ( ) 5 γ = arccos 17 13 = 109,65 = 0,6092π

28 z z P (,, z)-koordinaatisto. Samoin kuin edellä määritellään koordinaattiakselien suuntaiset ksikkövektorit P z P P P vektori pituus suunta i 1 -akselin suunta j 1 -akselin suunta k 1 z-akselin suunta

29 z z i i i OP = 3 i + 4 j + 5 k j j j j k P = (3,4,5) k k k k P Q PQ = PO + OQ = r Q r P

30 Lause: (1) Vektorin a = a i + a j + a j pituus saadaan lausekkeesta a = a 2 + a 2 + az. 2 (2) Olkoon P = ( P, P,z P ) ja Q = ( Q, Q,z Q ) kaksi pistettä. Pisteiden P ja Q etäiss, eli janan PQ pituus, eli suuntajanan PQ pituus saadaan lausekkeesta PQ = ( Q P ) 2 + ( Q P ) 2 + (z Q z P ) 2. Perustelu löt opetusmonisteesta.

31 Lause: Kaksi avaruusvektoria a = a i + a j + a z k ja b = b i + b j + b z k ja niiden γ toteuttavat htälön cosγ = a b + a b + a z b z. a b Perustelu löt opetusmonisteesta.

32 Esimerkki: Laske vektoreiden a = 4 i + 5 j + 2 k ja b = 3 i + 6 j + k. a = 4 2 + 5 2 + 2 2 = 45 b = 3 2 + 6 2 + 1 2 = 46 cosγ = a b + a b + a z b z a b = 4 3 + 5 6 + 2 1 44 = 45 46 45 46 ( ) 44 γ = arccos 45 46 = 14,7 = 0,0819π