Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta. Laskin on jätettävä etupöydälle sen saa palautettuaan A- osan tehtävät. Vastaa kahteen A-osan tehtävään. 6p/tehtävä. Osa A: Vastaa kahteen tehtävään kysymyspaperille. 6p/tehtävä. 1. Muunna a) 60 º radiaaneiksi b) /1 radiaania asteiksi c) piirrä kulma 990 o. d) Piirrä koordinaatistoon vektori a i j, sille vastakkaissuuntainen yksikkövektori. (3p). a) Ratkaise yhtälö sin x 1. b) Laske vektoreiden a i j ja b 3i 4j summa ja erotus.
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /3 3. Määritä oheisen kuvion avulla yhden desimaalin tarkkuudella a) sin 30 b) cos( 10 ). Piirrä ympyrään ratkaisusi perustelut. c) Määritä vektori AB, kun A ( 3,4) ja B (1,). Piirrä vektoria AB vastaava paikkavektori.
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 3/3 Osa B: Vastaa kahteen tehtävään omalle konseptille. 6p/tehtävä. 5. Suunnikkaan kolme kärkipistettä ovat 1,1, 4,3 ja 1, kärkipiste voisi olla. Käytä hyväksesi pisteiden avulla saatavia sivuvektoreita.. Määritä missä kaikissa pisteissä neljäs 6. Funktion f ( t) 9sin(0, t ) 6 arvo kertoo ilman lämpötilan celsiusasteina eräänä syksyisenä päivänä, missä t on keskiyöstä kulunut aika tunteina. Muuttuja on radiaaneina. a) Mikä oli päivän maksimilämpötila? b) Mikä oli lämpötila klo 10.40? c) Oliko kyseinen yö hallayö? 7. Määritä luku x siten, että vektorit a 5x i 40 j ja b i xj ovat samansuuntaiset. 8. Ratkaise yhtälö 6sin x cos x. Anna vastaus radiaaneina tarkkana arvona. Ekstra: Näitä tehtäviä voit ratkoa klo 11 1 palautettuasi varsinaisen kokeen ratkaisut. Ratkaisuissa saat käyttää kirjaa ja kavereita palauta oma paperi kuitenkin! Tarjolla plus yksi numero 9. Kolmion kärkipisteet ovat 1,, 10, ja 1, 14 suorakulmainen.. Tutki sivuvektoreiden avulla onko kolmio 11. Lentokone lentää pisteestä (1, 3, 9) vektorin i j k suuntaisesti. Kuumailmapallo leijailee pisteestä (15, 1, ) vektorin i j k suuntaisesti. Tutki risteävätkö kuumailmapallon ja lentokoneen lentoradat missään pisteessä.
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 4/5 1. Muunna a) 60 º radiaaneiksi b) /1 radiaania asteiksi c) piirrä kulma 990 o. c) Piirrä koordinaatistoon vektori a i j, sille vastakkaissuuntainen yksikkövektori. (3p) 0 0 x 60 60 a) x. b) em tavalla tai katsomalla taulukkokirjasta: 15 astetta. 0 0 180 180 3 c). a) Ratkaise yhtälö sin x 1. b) Laske vektoreiden a i j ja b 3i 4j summa ja erotus. b) Summa a b ( i j ) ( 3i 4 j ) i 6 j. Erotus a b ( i j ) ( 3i 4 j ) 4i j. 3. Määritä oheisen kuvion avulla yhden desimaalin tarkkuudella a) sin 30 b) cos( 10 ). Piirrä ympyrään ratkaisusi perustelut. c) Määritä vektori AB, kun A ( 3,4) ja B (1,). Piirrä vektoria AB vastaava paikkavektori. Vastaus: a) 0,5 b) 0,5 b) AB (1 3) i ( 4) j 4i j.
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 5/5 5. Suunnikkaan kolme kärkipistettä ovat 1,1, 4,3 ja 1, kärkipiste voisi olla. Käytä hyväksesi pisteiden avulla saatavia sivuvektoreita. Merkitään kärkipisteitä A (1,1), B (4,3) ja C( 1, ) Mahdollisia nurkkapisteitä ovat E, D ja F, jotka saadaan pisteiden välisistä vektoreista: OD OA CB i j (4 ( 1)) i (3 ) j 6i j OE OC AB i j (4 1) i (3 1) j i 4 j OF OA BC i j ( 1 4) i ( 3) j 4i Vastaus: Neljäs piste voi olla pisteissä (6, ), (, 4) tai ( 4, 0). Määritä missä kaikissa pisteissä neljäs 6. Funktion f ( t) 9sin(0, t ) 6 arvo kertoo ilman lämpötilan celsiusasteina eräänä syksyisenä päivänä, missä t on keskiyöstä kulunut aika tunteina. Muuttuja on radiaaneina. a) Mikä oli päivän maksimilämpötila? b) Mikä oli lämpötila klo 10.40? c) Oliko kyseinen yö hallayö? Sinifunktion arvot ovat välillä [ 1,1], joten funktion suurin arvo on 91 6 15 ( C). b) 3 f (10 ) 9sin(0, ) 6 7,1964... 9 C. 3 3 c) Funktion pienin arvo on 9 ( 1) 6 3 ( C), joten hallaa esiintyi. Vastaus: 15 ( C ), 9 C, yö oli hallayö 7. Määritä luku x siten, että vektorit a 5x i 40 j ja b i xj ovat samansuuntaiset. Oltava positiivinen luku t siten, että a tb. Saadaan 5x i 40 j t( i xj ). Edelleen 5x t 5x i 40 j ti xtj, jost a yhtälöpari 40 10x x. 40 xt Näistä saadaan t:n arvot t 10. Vain positiivinen arvo käy.
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 6/5 Vastaus: t 10 8. Ratkaise yhtälö 6sin x cos x. Anna vastaus radiaaneina tarkkana arvona. 6sin x cos x : 6 1 sin x cos x : cos x 3 sin x 1 cos x 3 1 tan x 3 1 tan x 3 11 x n tai x n 6 6 Vastaus: 11 x n tai x n, missä n on kokonaisluku 6 6 Ekstra: 9. Kolmion kärkipisteet ovat 1,, 10, ja 1, 14 suorakulmainen. Sivuvektorit ja niiden pituudet: a (10 1) i ( ) j 9i 4 j; a 9 ( 4) 97 b ( 11) i ( 14 ) j i 16 j; b ( ) ( 16) 60 c (10 ( 1)) i ( ( 14)) j 11i 1 j; c 11 1 65 (Pisin vektori) Lasketaan lyhyimpien vektoreiden pistetulo: a b (9i 4 j) ( i 6 j) 18 4 6 0 Tai Pythagoraan lauseen mukaan 97 60 65 357 65 epätosi Vastaus: Koska lyhyimpien vektoreiden pistetulo on. Tutki sivuvektoreiden avulla onko kolmio
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 7/5 6 niin kolmio ei ole suorakulmainen. Kommentti: Kolmion pinta-alalle löytyy oma kaavansa kolmiolle joka ei ole suorakulmainen. Tarvitaan kahden sivun pituus ja niiden välinen kulma, joka saadaan kosinilauseesta. Helppo nakki! Pistetulon avulla ratkaistaan vektorien välinen kulma. a 7 53; b 1 8 65 a b (7i j) ( i 8 j) 7 16 3 3 cos 53 65 1 1 A a b sin 53 65 sin 66,99... 7 Vastaus: Kolmion pinta-ala on 7 (pinta-alayksikköä). 10. Samasta pisteestä lähtee kaksi vaakasuoraa valosädettä, joilla valaistaan kohteet, joiden etäisyydet valolähteestä ovat 9 m ja 45 m. Missä kulmassa säteiden täytyy lähteä, kun kohteiden välinen etäisyys on 63 m? Mitatut etäisyydet muodostavat kolmion. Laske kolmion muodostuneen kolmion pinta-ala. Kosinilauseesta saadaan: 63 9 45 9 45cos 0cos 1103 : 610 1103 cos 610 65,000... A 9 45 sin 65,000... 591,36... 1 9 m 63 m 45 m Vastaus: Säteiden välinen kulma on 65 ja muodostuneen kolmion pinta-ala on 590 m. 11. Lentokone lentää pisteestä (1, 3, 9) vektorin i j k suuntaisesti. Kuumailmapallo leijailee pisteestä (15, 1, ) vektorin i j k suuntaisesti. Tutki risteävätkö kuumailmapallon ja lentokoneen lentoradat missään pisteessä. Merkitään A(1,3,9), B(15,1, ), a i j k ja b i j k. Jos lentoradat risteävät, niin on olemassa sellaiset muuttujat t ja s, että OA ta OB sb
Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 8/5 i 3j 9 k t( i j k) 15i 1 j k s( i j k) (t 1) i ( t 3) j ( t 9) k ( s 15) i (s 1) j ( s ) k t1 s15 t 3 s 1 t 9 s t s 7 ( s 7) 1 s 15 ( s 7) 3 s 1 s 14 1 s 15 s 7 3 s 1 s 8 3s : ( 3) s Vastaus: Lentokoneen ja kuumailmapallon lentoradat eivät leikkaa. 3