Permutaatioiden ominaisuuksista

Permutaatioiden ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Ville-Antero Valpas 1732513 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2015

Sisältö Johdanto................................ 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmä............................... 3 1.2 Aliryhmä............................. 4 1.3 Ryhmähomomorsmi....................... 6 2 Perustuloksia 8 2.1 Permutaatio ja symmetrinen ryhmä............... 8 2.2 Syklit............................... 10 2.3 Parilliset ja parittomat permutaatiot.............. 15 2.4 Alternoiva ryhmä......................... 19 2.5 Konjugointi............................ 21 2.6 Yksinkertaiset ryhmät...................... 27 3 Ryhmän operointi 31 3.1 Cayleyn lause........................... 31 3.2 Ryhmän operointi......................... 32 3.3 Radat............................... 33 4 Sovelluksia 37 4.1 Permutaation pariteetti...................... 37 4.2 Ei-Burnsiden lemman soveltaminen............... 38 Lähdeluettelo.............................. 42 1

Johdanto Tässä tutkielmassa esitellään permutaatioiden ominaisuuksia sekä sovelluksia. Ensimmäisessä luvussa nähdään tutkielman kannalta oleellisia ryhmäteorian perusmääritelmiä ja lauseita. Kaikki tutkielmassa esitellyt lauseet on kirjoitettu todistuksineen ja lähdeviitteineen. Tutkielma sisältää myös paljon esimerkkejä teorian havainnollistamiseksi. Lukijalta odotetaan algebran perustuntemusta. Toisen luvun alussa esitellään permutaation käsite, symmetrinen ryhmä sekä permutaation syklimuotoinen esitys. Toisessa luvussa tutustutaan myös permutaation pariteettiin sekä parillisten permutaatioiden muodostamaan ryhmään eli alternoivaan ryhmään. Luvun lopussa osoitetaan alternoivan ryhmän yksinkertaisuus, kun n 5. Ennen sitä määritellään alkioiden konjugointi ryhmässä sekä konjugointiin liittyviä ominaisuuksia. Kolmannen luvun alussa esitellään Cayleyn lause, jonka mukaan jokainen ryhmä on rakenneyhtäläinen jonkin permutaatioryhmän kanssa. Lisäksi määritellään ryhmän operointi sekä ryhmän rata. Luvun lopussa esiteltävä ei-burnsiden lemma on yksi tutkielman päätuloksista. Viimeisessä luvussa nähdään esimerkkejä, joissa sovelletaan permutaatioiden pariteettia sekä ei- Burnsiden lemmaa. 2

Luku 1 Esitietoja 1.1 Ryhmä Määritelmä 1.1.1. Olkoon S epätyhjä joukko. Kuvausta : S S S kutsutaan joukon S binääriseksi operaatioksi. Parin (a, b) kuvaa merkitään a b. Määritelmä 1.1.2. Olkoon G epätyhjä joukko ja joukon G binäärinen operaatio. Pari (G, ) on ryhmä, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (G1) Jos a, b G, niin a b G. (G2) Binäärinen operaatio on assosiatiivinen eli (a b) c = a (b c) aina, kun a, b, c G. (G3) Joukossa G on sellainen alkio i, että a i = i a = a aina, kun a G. Alkiota i kutsutaan ykkösalkioksi tai neutraalialkioksi. Usein ykkösalkiota merkitään kirjaimella e tai 1. (G4) Aina, kun alkio a G, on olemassa sellainen a 1 G, että a 1 a = a a 1 = i. Alkiota a 1 kutsutaan alkion a käänteisalkioksi ryhmässä G. Ryhmää (G, ) kutsutaan Abelin ryhmäksi, jos se toteuttaa ehdon 3

(G5) Aina, kun alkiot a, b G, niin a b = b a eli binäärinen operaatio on kommutatiivinen ryhmässä G. Jatkossa ryhmästä (G, ) käytetään merkintää G ja operaatiosta a b merkintää ab. 1.2 Aliryhmä Määritelmä 1.2.1. Olkoon (G, ) ryhmä ja H sen epätyhjä osajoukko. Jos (H, ) on ryhmä, niin sitä kutsutaan ryhmän (G, ) aliryhmäksi ja merkitään H G. Lause 1.2.1. Olkoon (G, ) ryhmä ja H sen epätyhjä osajoukko. Nyt H G jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: (A1) Jos a, b H, niin a b H. (A2) Jos a H, niin a 1 H. Todistus. ([2], s. 51) Jos H G, niin ab H ja a 1 H aina, kun a, b H. Oletetaan sitten, että ehdot (A1) ja (A2) ovat voimassa. (G1) Ehdosta (A1) seuraa, että kyseessä on binäärinen operaatio joukossa H. (G2) Koska operaatio on assosiatiivinen ryhmässä G, niin se on assosiatiivinen joukossa H. (G4) Jos a H, niin ehdosta (A2) seuraa, että a 1 joukon H alkiolla on käänteisalkio joukossa H. H. Siis jokaisella (G3) Ehdosta (A1) seuraa, että aa 1 = i H. Siis joukossa H on neutraalialkio i. Täten H on ryhmä ja H G. 4

Määritelmä 1.2.2. Ryhmän G aliryhmän H sanotaan olevan normaali, jos ah = Ha aina, kun a G. Merkitään H G. Lause 1.2.2. Ryhmän G aliryhmä H on normaali, jos ja vain jos aha 1 = H aina, kun a G. Todistus. ([7], s. 145) Määritelmän mukaan aha 1 = {aha 1 h H}. Oletetaan ensin, että ryhmän G aliryhmä H on normaali. Siis ah = Ha aina, kun a G. Kertomalla yhtälön molemmat puolet oikealta alkiolla a 1 saadaan, että (ah)a 1 = (Ha)a 1 eli H = aha 1. Oletetaan sitten, että H = aha 1 aina, kun a G. Nyt (aha 1 )a = Ha. Täten ah = Ha ja H G. Määritelmä 1.2.3. Olkoon G ryhmä ja a G. Jos H G, niin joukkoa ah = {ah h H} sanotaan alkion a määräämäksi aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti joukkoa Ha = {ha h H} kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän H oikeaksi sivuluokaksi. Lemma 1.2.3. Olkoon G ryhmä. Jos H G, niin Ha = Hb jos ja vain jos ab 1 H. Vastaavasti ah = bh jos ja vain jos b 1 a H. Todistus. ([11], s. 25) Jos Ha = Hb, niin a = 1a Ha = Hb. Jos h H, niin a = hb. Täten ab 1 = h H. Jos ab 1 = σ H, niin a = σb. Jos x Ha, niin x = ha, missä h H. Edelleen x = hσb Hb. Vastaavasti, jos y Hb, niin y = h b, missä h H. Täten y = h σ 1 a Ha. Siis Ha = Hb. Lemma 1.2.4. Olkoon G ryhmä. Jos H G, niin kaksi aliryhmän H vasenta sivuluokkaa ovat joko identtiset tai erilliset. Vastaavasti kaksi aliryhmän H oikeaa sivuluokkaa ovat joko identtiset tai erilliset. Todistus. ([11], s. 25) Osoitetaan, että alkiolle x Ha Hb on voimassa Ha = Hb. Nyt hb = x = ja, missä h, j H. Täten ab 1 = j 1 h H. Lemman 1.2.3 nojalla saadaan, että Ha = Hb. 5

Määritelmä 1.2.4. Olkoon ryhmä G äärellinen ja H G. Aliryhmän H vasempien tai vastaavasti oikeanpuoleisten sivuluokkien lukumäärää ryhmässä G kutsutaan ryhmän H indeksiksi ryhmässä G. Määritelmä 1.2.5. Olkoon G ryhmä. Ryhmän G alkioiden lukumäärää sanotaan ryhmän G kertaluvuksi ja merkitään G. Lause 1.2.5. (Lagrangen lause) Olkoon ryhmä G äärellinen ja H G. Silloin aliryhmän H kertaluku H jakaa ryhmän G kertaluvun G ja [G : H] = G H. Todistus. ([11], s. 26) Nyt lemman 1.2.4 mukaan saadaan ryhmälle G esitys oikeanpuoleisten sivuluokkien unionina G = Ha 1 Ha 2 Ha n. Siis G = n i=1 Ha i. Määritellään kuvaus f i : H Ha i siten, että f i (h) = ha i. Selvästi kuvaus on bijektio, joten Ha i = H kaikilla i. Täten G = n H, missä n = [G : H]. Lemma 1.2.6. Jos ryhmän G aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä ryhmässä G on kaksi, niin ryhmän G aliryhmä H on normaali. Todistus. ([7], s. 182) Jos g H, niin gh = Hg = H. Oletetaan sitten, että g / H. Koska aliryhmän H indeksi on 2, niin G = H gh = H Hg. Tämä yhdiste koostuu erillisistä alkioista, joten aliryhmän H komplementti ryhmässä G on gh ja myös Hg. Täten gh = Hg ja H G. 1.3 Ryhmähomomorsmi Määritelmä 1.3.1. Olkoot (G, ) ja (G, ) ryhmiä. Kuvausta f : G G sanotaan ryhmähomomorsmiksi, jos f(a b) = f(a) f(b) aina, kun a, b G. Jos lisäksi kuvaus f on bijektio, niin sen sanotaan olevan isomorsmi ja ryhmien G ja G sanotaan olevan isomorsia eli rakenneyhtäläisiä. Tällöin merkitään G = G. 6

Lause 1.3.1. (Homomorsmien peruslause) Olkoon f : G G Määritelmä 1.3.2. Olkoon f : G G ryhmähomomorsmi. Joukkoa Im(f) = f(g) = {f(x) x G} sanotaan homomorsmin f kuvaksi. Määritelmä 1.3.3. Olkoon f : G G ryhmähomomorsmi. Joukkoa Ker(f) = {x G f(x) = e G } sanotaan homomorsmin f ytimeksi. ryhmähomomorsmi. Tällöin G/Ker(f) = Im(f). Todistus. ([2], s. 85) Merkitään K = Ker(f). Määritellään kuvaus F : G/K Im(f) siten, että F (Ka) = f(a) aina, kun a G. Osoitetaan, että kuvaus F on hyvin määritelty. Olkoot a, b G. Jos Ka = Kb, niin a = kb, missä k K. Täten f(a) = f(kb) = f(k)f(b). Koska k K, niin f(k) = e, joka on ryhmän G neutraalialkio. Siis f(a) = f(b). Kuvauksen F määrittelystä seuraa, että F on surjektio. Oletetaan sitten, että F (Ka) = F (Kb). Nyt f(a) = F (Ka) = F (Kb) = f(b). Täten e = f(a)f(b) 1 = f(a)f(b 1 ) = f(ab 1 ). Siis ab 1 K ja täten a Kb. Tästä seuraa, että Ka = Kb ja F on injektio. Osoitetaan lopuksi, että kuvaus F on ryhmähomomorsmi. Koska f on ryhmähomomorsmi, niin F ((Ka)(Kb)) = F (Kab) = f(ab) = f(a)f(b) = F (Ka)F (Kb). Täten kuvaus F on bijektiivinen ryhmähomomorsmi eli isomorsmi, ja G/Ker(f) = Im(f). 7

Luku 2 Perustuloksia 2.1 Permutaatio ja symmetrinen ryhmä Määritelmä 2.1.1. Jos α : X X on bijektio, niin sanotaan, että α on joukon X permutaatio. Määritelmä 2.1.2. Olkoon X = {1, 2,, n}. Merkitään S X = S n = {joukon X kaikki permutaatiot} ja kutsutaan ryhmää S n astetta n olevaksi symmetriseksi ryhmäksi. Määritelmä 2.1.3. Olkoot α, β S n. Määritellään αβ yhdistettynä kuvauksena α β, missä ( ) on binäärinen operaatio joukossa S n. Huomautus. Yhdistetty kuvaus α β on permutaatio joukossa X. Koska α ja β ovat joukon X permutaatioita, ne ovat bijektioita. Jokaiselle x X on olemassa α 1 (x) X ja β 1 (α 1 (x)) X. Täten myös α β on bijektio X X eli joukon X permutaatio. Lemma 2.1.1. Pari (S n, ) on ryhmä. Todistus. ([2], s. 16) Olkoot α, β, γ S n. (G1) Koska α ja β ovat bijektioita, niin α β S n. (G2) Kuvausten yhdistäminen ( ) on assosiatiivinen operaatio joukossa S n, koska α (β γ) = (α β) γ. 8

(G3) Identiteettikuvaus i(x) = x kaikilla x X on permutaatio ryhmässä S n. Jos α S n, niin (α i)(x) = α(i(x)) = α(x) ja (i α)(x) = i(α(x)) = α(x), joten α i = i α = α. (G4) Jos α S n on joukon X permutaatio, toisin sanoen α : X X on bijektio, niin myös permutaation α käänteiskuvaus α 1 : X X on bijektio ja α α 1 = α 1 α = i. Siis α 1 on joukon X permutaatio ja α 1 on permutaation α käänteisalkio. Lemma 2.1.2. Symmetrisen ryhmän S n kertaluku S n = n!. Todistus. ([2], s. 17) Olkoon α joukon X = {x 1, x 2,, x n } permutaatio. Nyt permutaatiolla α on n kappaletta eri vaihtoehtoja kuvata alkio x 1. Koska α(x 1 ) α(x 2 ), niin x 2 voi nyt kuvautua n 1 eri tavalla. Jatkamalla näin saadaan, että α voi kuvata alkion x i n (i 1) eri tavalla. Täten saadaan erilaisia bijektioita n(n 1)(n 2) 1 = n! kappaletta. Esimerkki 1. Olkoon X = {1, ( 2, 3} ja α(1) ) = 2, α(2) = 3, α(3) = 1. 1 2 3 Nyt α S 3, ja merkitään α =. 2 3 1 Esimerkki 2. Symmetrisen ryhmän S 3 kertaluku on S 3 = 3! = 3 2 1 = 6 ja ryhmän alkiot ovat ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 1 =, α 2 =, α 3 =, 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 4 =, α 5 =, α 6 =. 1 3 2 3 2 1 2 1 3 Nyt ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 2 α 4 = = = α 6, 2 3 1 1 3 2 2 1 3 koska esimerkiksi (α 2 α 4 )(1) = (α 2 (α 4 (1))) = α 2 (1) = 2. Toisaalta ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 α 4 α 2 = = = α 5. 1 3 2 2 3 1 3 2 1 9

Siis α 2 α 4 α 4 α 2, joten symmetrinen ryhmä S 3 ei ole Abelin ryhmä. Lemma 2.1.3. (Supistamislaki) Olkoot α, β, γ S n. Jos γ α = γ β, niin α = β. Vastaavasti, jos α γ = β γ, niin α = β. Todistus. ([9], s. 98) Olkoon i identiteettikuvaus ryhmässä S n. Kerrotaan yhtälön γ α = γ β molemmat puolet vasemmalta alkiolla γ 1, jolloin γ 1 (γ α) = γ 1 (γ β). Ryhmän assosiatiivisuusominaisuutta käyttäen saadaan, että (γ 1 γ) α = (γ 1 γ) β. Täten i α = i β, eli α = β. Vastaavasti, jos α γ = β γ, niin α = β. Käytetään jatkossa merkinnän α β sijaan merkintää αβ. 2.2 Syklit Määritelmä 2.2.1. Jos α S n ja i X = {1, 2,, n} sekä α(i) = i, niin α säilyttää alkion i. Jos α S n ja α(i) i, niin α siirtää alkion i. Määritelmä 2.2.2. Olkoon i 1, i 2,, i r X ja i j i k aina, kun j k. Merkintä (i 1 i 2 i r 1 i r ) tarkoittaa permutaatiota α S n, jossa α(i 1 ) = i 2, α(i 2 ) = i 3,, α(i r 1 ) = i r ja α(i r ) = i 1. Permutaatio α säilyttää muut joukon X alkiot, ja permutaatiota α kutsutaan r-sykliksi. Jos α säilyttää kaikki alkiot, niin α on 1-sykli, ja merkitään (1). ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 Esimerkki 3. Jos σ = (1 5 8 4) S 8, niin σ =. 5 2 3 1 8 6 7 4 Lisäksi σ = (1 5 8 4) = (5 8 4 1) = (8 4 1 5) = (4 1 5 8). Huomautus. Jos r-sykli σ = (i 1 i 2 i r ), niin sille on olemassa r erilaista sykliesitystä. Jokainen i j σ voidaan valita syklin ensimmäiseksi alkioksi: σ = (i 1 i 2 i r ) = (i 2 i 3 i r i 1 ) = = (i r i 1 i r 1 ). 10

Määritelmä 2.2.3. Ryhmän S n permutaatiot α ja β ovat erillisiä, mikäli ne eivät siirrä yhtään samaa alkiota. Toisin sanoen, jos α(i) i, niin β(i) = i, ja vastaavasti jos β(j) j, niin α(j) = j. Lemma 2.2.1. Olkoot α, β S n erillisiä permutaatioita. Tällöin αβ = βα. Todistus. ([9], s. 103) Riittää osoittaa, että kaikki alkiot i X = {1,, n} toteuttavat yhtälön αβ(i) = βα(i). Jos β siirtää alkion i, eli β(i) = j i, niin β siirtää myös alkion j. Jos β(j) = j ja β(i) = j, niin tästä seuraa ristiriita permutaation β injektiivisyyden kanssa. Koska permutaatiot α ja β ovat erillisiä, niin α(i) = i ja α(j) = j. Täten βα(i) = j = αβ(i). Olkoon sitten i X sellainen alkio, että α siirtää sen, mutta β ei siirrä. Nyt β(i) = i ja myös β(j) = j. Täten αβ(i) = j = βα(i). Olkoon lopuksi i X sellainen alkio, että kumpikaan α eikä β siirrä sitä. Tällöin αβ(i) = α(i) = i ja βα(i) = β(i) = i. Lemma 2.2.2. Jos permutaatiot α ja β kommutoivat, niin (αβ) k = α k β k kaikilla k 1. Todistus. Todistetaan väite induktiolla luvun k suhteen. Jos k = 1, niin (αβ) 1 = α 1 β 1. Tehdään induktio-oletus, että (αβ) k = α k β k. Väitetään, että (αβ) k+1 = α k+1 β k+1. Induktioväitteen todistus: Permutaatiot α ja β kommutoivat, joten induktio-oletuksen nojalla voidaan kirjoittaa, että (αβ) k+1 = (αβ) k (αβ) = α k β k αβ = α k+1 β k+1. Täten induktioperiaatteen nojalla väite on tosi, kun k 1. Lause 2.2.3. Jokainen permutaatio α S n on joko sykli tai erillisten syklien tulo. Todistus. ([9], s. 103) Merkitään k = permutaation α siirtämien alkioiden lukumäärä. Todistetaan väite induktiolla luvun k suhteen. 11

Jos k = 0, niin α ei siirrä yhtään alkiota. Siis α = (1). Oletetaan jatkossa, että k > 0. Tehdään induktio-oletus: Jos permutaation α siirtämien alkioiden lukumäärä < k, niin α voidaan esittää erillisten syklien tulona. Väitetään, että jos permutaation α siirtämien alkioiden lukumäärä on k, niin permutaatio voidaan edelleen esittää erillisten syklien tulona. Induktioväitteen todistus: Olkoon i 1 eräs permutaation α siirtämä alkio. Olkoot α(i 1 ) = i 2, α(i 2 ) = i 3,, α(i r ) = i r+1, missä r on pienin positiivinen kokonaisluku, joka toteuttaa ehdon i r+1 {i 1, i 2,..., i r }. Väitetään, että i r+1 = α(i r ) = i 1. Jos olisi α(i r ) = i j, missä 2 j r, niin α ei olisi injektio. Siis α(i r ) = i 1. Olkoon σ r-sykli (i 1 i 2 i r 1 i r ). Jos r = n, niin σ = α eli α on sykli. Jos r < n ja Y koostuu lopuista n r kappaleesta alkioita, niin σ säilyttää kaikki joukon Y alkiot ja α(y ) = Y. Olkoon α = σ 1 α ja α (i) = α(i) kaikilla i Y ja α säilyttää loput alkiot i / Y. Induktio-oletuksen nojalla saadaan, että α = σ 1 α = β 1 β 2 β t, missä β 1, β 2,, β t ovat erillisiä syklejä. Täten α = σβ 1 β 2 β t eli α on erillisten syklien tulo. Lemma 2.2.4. Olkoon permutaatio α S n erillisten syklien tulo. Permutaation α kertaluku on erillisten syklien pituuksien pienin yhteinen jaettava. Todistus. ([1], s. 54) Olkoon permutaation α eräs sykli (x 1 x 2 x r ). Nyt α j (x i ) = x i+j, missä i + j on summa modulo r. Täten α t (x i ) = x i jos ja vain jos t r. Siis α m (x i ) = x i kaikilla x i S n jos ja vain jos m jakaa kaikki permutaation α syklien pituudet. Nyt α m = (1) ja väite on tosi. Esimerkki 4. Olkoon τ = (1 6 3)(2 9 5 4)(7 8). Nyt τ = pyj.(3, 4, 2) = 12. Lemma 2.2.5. (i) Olkoon α = β 1 β t permutaation α esitys erillisten syklien tulona. Jos β 1 siirtää alkiota i, niin α k (i) = β1 k (i) kaikilla k 1 12

(ii) Olkoot β ja γ syklejä, jotka kumpikin siirtävät alkiota i, ja jos β k (i) = γ k (i) kaikilla k 1, niin β = γ. Todistus. ([9], s. 104) (i) Merkitään δ = β 2 β t ja olkoon α = β 1 δ, missä β 1 ja δ ovat erillisiä. Koska β 1 siirtää alkiota i, niin δ säilyttää alkion i ja myös δ k säilyttää alkion i kaikilla k 1. Koska β 1 ja δ ovat erillisiä, niin lemman 2.2.1 nojalla ne kommutoivat. Täten lemman 2.2.2 nojalla voidaan kirjoittaa, että α k (i) = (β 1 δ) k (i) = β1 k (δ k (i)) = β1 k (i). (ii) Jos β = (i i 2... i r ), niin i k+1 = β k (i) kaikilla k < r. Olkoon sitten γ = (i j 2... j s ), jolloin j k+1 = γ k (i) kaikilla k < s. Voidaan olettaa, että r s, jolloin i 2 = j 2,..., i r = j r. Koska j r+1 = γ r (i) = β r (i) = i, niin saadaan, että s = r ja j k = i k kaikilla k, ja siten β = (i i 2... i r ) = γ. Määritelmä 2.2.4. Permutaation α esitys erillisten syklien tulona on täydellinen, jos se sisältää jokaista alkiota i kohti, jonka α säilyttää, täsmälleen yhden 1-syklin. Lisäksi jokainen permutaation α alkio i {1,..., n} esiintyy vain yhdessä syklissä. ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Esimerkki 5. Olkoon γ = S 9. 3 7 8 2 9 6 4 5 1 Nyt γ voidaan esittää erillisten syklien tulona (1 3 8 5 9)(4 2 7)(6). Tämä on permutaation γ täydellinen esitys erillisten syklien tulona. Yleensä 1-syklit jätetään kuitenkin kirjoittamatta. Lemman 2.2.1 nojalla γ = (1 3 8 5 9)(4 2 7) = (4 2 7)(1 3 8 5 9). Lause 2.2.6. Olkoon α S n ja α = β 1 β t permutaation α täydellinen esitys erillisten syklien tulona. Tämä esitys on yksikäsitteinen lukuunottamatta syklien järjestystä. Todistus. ([9], s. 104) Lemman 2.2.1 mukaan erilliset syklit kommutoivat. Täten erillisten syklien järjestystä ei voida yksikäsitteisesti määrätä. Kuitenkin erillisten syklien alkiot määräytyvät yksikäsitteisesti. Täydellinen esitys 13

sisältää täsmälleen yhden 1-syklin jokaista alkiota i kohti, jonka α säilyttää. Siksi riittää osoittaa yksikäsitteisyys ainoastaan sykleille, joiden pituus on 2. Olkoon α = γ 1 γ s toinen täydellinen esitys permutaatiolle α. Todistetaan väite induktiolla luvun l suhteen, joka on suurempi luvuista {t, s}. Kun l = 1, niin β 1 = α = γ 1, eli väite on tosi. Edellisen lemman 2.2.5 (i)-kohdan nojalla saadaan, että jos β t siirtää alkiota i 1, niin βt k (i 1 ) = α k (i 1 ) kaikilla k 1. Nyt myös eräs sykli γ j siirtää alkiota i 1. Koska erilliset syklit kommutoivat, voimme olettaa, että γ s siirtää alkiota i 1. Täten saadaan, että γs k (i 1 ) = α k (i 1 ) kaikilla k 1. Edellisen lemman 2.2.5 (ii)-kohdan nojalla saadaan, että β t = γ s. Supistamislain avulla saadaan, että β 1 β t 1 = γ 1 γ t 1. Induktio-oletuksen nojalla s = t ja voidaan kirjoittaa, että γ 1 = β 1,..., γ t 1 = β t 1. Permutaation α esitykset ovat siis identtisiä lukuunottamatta erillisten syklien järjestystä. Lemma 2.2.7. (i) Syklin α = (i 1 i 2 i r ) inversio eli käänteiskuvaus α 1 = (i 1 i 2 i r ) 1 = (i r i r 1 i 1 ). (ii) Jos γ = β 1 β 2 β k S n, missä β 1, β 2,, β k ovat erillisiä syklejä, niin γ 1 = β 1 k β1 1. Todistus. ([9], s. 105) (i) Olkoon sykli α S n. Osoitetaan ensin, että (i 1 i 2 i r )(i r i r 1 i 1 ) = (1). Yhtälö säilyttää kaikki 1-syklit ja alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon {i 1,..., i r }. Yhtälön vasen puoli kuvaa alkion i 1 i r i 1. Olkoon i k {i 2,... i r } mielivaltainen. Tällöin yhtälön vasen puoli kuvaa alkion i k i k 1 i k. Täten yhtälön vasen puoli säilyttää kaikki alkiot, ja se on myös (1). Vastaavasti nähdään, että (i r i r 1 i 1 )(i 1 i 2 i r ) = (1). Tästä seuraa, että α 1 = (i 1 i 2 i r ) 1 = (i r i r 1 i 1 ). 14

(ii) Todistetaan väite induktiolla, kun k 2. Kun k = 2, saadaan samoin kuin lemman (i)-kohdan todistuksessa, että (β 1 β 2 )(β2 1 β1 1 ) = β 1 (β 2 β2 1 )β1 1 = β 1 (1)β1 1 = β 1 β1 1 = (1). Vastaavasti (β2 1 β1 1 )(β 1 β 2 ) = (1). Olkoon δ = β 1 β k ja β 1 β k β k+1 = δβ k+1. Todistetaan induktioväite: (β 1 β k β k+1 ) 1 = (δβ k+1 ) 1 = β 1 k+1 δ 1 = β 1 k+1 (β 1 β k ) 1 = β 1 k+1 β 1 k β 1 1. 2.3 Parilliset ja parittomat permutaatiot Määritelmä 2.3.1. Permutaatiota, jonka pituus syklimuodossa on kaksi kutsutaan transpoosiksi. Toisin sanoen transpoosi kuvaa kaksi alkiota toisikseen, ja säilyttää kaikki muut alkiot. Lemma 2.3.1. Jokainen permutaatio α S n voidaan esittää transpoosien tulona. Todistus. Lauseen 2.2.3 nojalla riittää osoittaa, että jokainen sykli voidaan esittää transpoosien tulona. Olkoot γ = (a 1 a 2 a k 1 a k ) ja τ = (a 1 a k )(a 1 a k 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). Osoitetaan, että γ = τ. Todistetaan väite induktiolla alkioiden lukumäärän k suhteen. Jos k = 1, niin γ = (a 1 ). Jos syklin γ sisältämien alkioiden lukumäärä on k 1, niin saadaan γ = (a 1 a 2 a k 1 ) = (a 1 a k 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). 15

Todistetaan lopuksi väite syklin γ sisältämien alkioiden lukumäärälle k. Jos γ = (a 1 a 2 a k 1 a k ) = (a 1 a k )(a 1 a 2 a k 1 ), niin induktio-oletuksen nojalla saadaan γ = (a 1 a k )(a 1 a k 1 ) (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). Siis γ = τ. Esimerkki 6. Edellisen esimerkin τ = (1 6 3)(2 9 5 4)(7 8) voidaan esittää transpoosien tulona muodossa τ = (1 3)(1 6)(2 4)(2 5)(2 9)(7 8). Huomautus. Transpoosiesitys ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi α = (1 2 3)(4 5)(6 7 8 9) = (1 3)(1 2)(4 5)(6 9)(6 8)(6 7) = (1 2)(2 3)(4 5)(4 7)(4 6)(4 9)(4 8)(4 7). Transpoosien lukumäärä kahdessa esityksessä ei ole sama, mutta kummassakin esityksessä on parillinen määrä transpooseja. Määritelmä 2.3.2. Olkoon σ S n. Permutaation σ merkkifunktio tai lyhyemmin merkki on sgn(σ) = P σ(i) σ(j), i j missä P on kaikkien järjestämättömien parien {i, j} {1, 2,..., n} muodostama joukko. Merkkifunktio on siis kuvaus sgn : S n Q. Huomautus. Parien i, j järjestys voidaan valita myös toisin, sillä σ(i) σ(j) i j = σ(j) σ(i). j i Esimerkki 7. Jos σ = (1 3 2) S 3, niin = sgn(σ) = σ(1) σ(2) 1 2 σ(1) σ(3) 1 3 σ(2) σ(3) 2 3 (3 1) (3 2) (1 2) (1 2) (1 3) (2 3) = 2 1 ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) = 1. Lemma 2.3.2. Jos α, β S n ovat permutaatioita, niin sgn(αβ) = sgn(α)sgn(β). 16

Todistus. ([7], s. 175) Nyt sgn(αβ) = P αβ(i) αβ(j) i j ja sgn(β) = P β(i) β(j). i j Permutaatio α voidaan kirjoittaa muodossa ( β(1) β(2) β(3) β(4) β(n) ) αβ(1) αβ(2) αβ(3) αβ(4) αβ(n) ja näin ollen sgn(α) saadaan muotoon sgn(α) = P αβ(i) αβ(j) β(i) β(j). Tästä seuraa, että sgn(α)sgn(β) = P αβ(i) αβ(j) β(i) β(j) P β(i) β(j) i j = P = sgn(αβ). αβ(i) αβ(j) i j Täten väite on tosi, ja merkkifunktio sgn symmetriseltä ryhmältä S n multiplikatiiviselle ryhmälle (Q 0, ) on homomorsmi. Lemma 2.3.3. Jos α 1, α 2,..., α n S n ovat permutaatioita, niin sgn(α 1 α 2 α n ) = sgn(α 1 )sgn(α 2 ) sgn(α n ). Todistus. Todistetaan väite induktiolla permutaatioiden lukumäärälle k 2. Jos k = 2, niin lemman 2.3.2 mukaan sgn(α 1 α 2 ) = sgn(α 1 )sgn(α 2 ). Tehdään induktio-oletus: Permutaatioiden lukumäärälle k on voimassa sgn(α 1 α 2 α k ) = sgn(α 1 )sgn(α 2 ) sgn(α k ). Todistetaan induktioväite permutaatioiden lukumäärälle k + 1. Nyt sgn(α 1 α 2 α k α k+1 ) = sgn(α 1 α 2 α k )sgn(α k+1 ) = sgn(α 1 )sgn(α 2 ) sgn(α k )sgn(α k+1 ). Induktioperiaatteen nojalla väite on tosi aina, kun k 2. 17

Lemma 2.3.4. Jos α on transpoosi, niin sgn(α) = 1 Todistus. ([7], s. 176) Voidaan ( olettaa yleisyyttä ) menettämättä, että α = 1 2 3 4 n (1 2). Täten sgn(α) = sgn 2 1 3 4 n = (2 1)(2 3) (2 n)(1 3) (1 n)(3 4)(3 5) ([n 1] n) (1 2)(1 3) (1 n)(2 3) (2 n)(3 4)(3 5) ([n 1] n) = (2 1)(2 3) (2 n)(1 3) (1 n) (1 2)(1 3) (1 n)(2 3) (2 n) = 2 1 1 2 = 1. Lause 2.3.5. Jos α = τ 1 τ 2 τ p = σ 1 σ 2 σ q, missä τ 1,..., τ p ja σ 1,..., σ q ovat transpooseja, niin ( 1) p = ( 1) q. Toisin sanoen permutaation α esityksessä molemmat p ja q ovat joko parillisia tai parittomia. Todistus. ([7], s. 176) Permutaation α merkki sgn(α) = sgn(τ 1 τ 2 τ p ) = sgn(σ 1 σ 2 σ q ). Lemman 2.3.3 nojalla sgn(τ 1 )sgn(τ 2 ) sgn(τ p ) = sgn(σ 1 )sgn(σ 2 ) sgn(σ q ). Edelleen lemman 2.3.4 nojalla sgn(τ i ) = sgn(σ j ) = 1 kaikilla i ja j, missä 1 i p ja 1 j q. Koska merkkifunktio on homomorsmi, niin saadaan ( 1) p = ( 1) q. Täten kumpikin p ja q ovat joko parittomia tai parillisia. Olemme samalla osoittaneet, että merkkifunktio sgn on kuvaus symmetriseltä ryhmältä S n multiplikatiivisille ryhmälle {1, 1}. Määritelmä 2.3.3. Symmetrisen ryhmän S n permutaatio on parillinen, jos sen transpoosiesitys sisältää parillisen määrän tranpooseja. Muutoin sen sanotaan olevan pariton. Permutaation pariteetti on siten joko parillinen tai pariton. Esimerkki 8. Jos β = (2 4 7 1) S 7, niin transpoosien tulona kirjoitettuna β = (2 1)(2 7)(2 4). Nyt sgn(β) = ( 1) ( 1) ( 1) = 1. Täten β on pariton permutaatio. 18

2.4 Alternoiva ryhmä Lemma 2.4.1. Olkoon A n kaikkien parillisten permutaatioiden α S n muodostama joukko eli A n = {α S n : sgn(α) = 1}. Joukko A n on symmetrisen ryhmän S n normaali aliryhmä. Todistus. ([2], s. 121) (A1) Olkoot σ, σ A n. Nyt on olemassa parillinen määrä transpooseja τ i, τ i S n siten, että σ = τ 1 τ k ja σ = τ 1 τ l. Siis σσ = τ 1 τ k τ 1 τ l, ja koska k ja l ovat parillisia, myös k + l on parillinen. Täten σσ A n. (A2) Jos σ A n ja σ = τ 1 τ k esitys transpoosien tulona, niin lemman 2.2.7 kohdan (ii) mukaan σ 1 = τ 1 k τ1 1 = τ k τ 1, koska jokaiselle transpoosille τ i on voimassa τ i τ i = (1). Olkoot σ A n ja ρ S n. Jos ρ on parillinen, niin ρσ ja ρ 1 ovat parillisia. Täten ρ 1 σρ on parillinen, ja ρ 1 σρ A n. Jos ρ on pariton, niin ρσ ja ρ 1 ovat parittomia. Tällöin ρ 1 σρ on parillinen, eli ρ 1 σρ A n. Täten A n on normaali. Määritelmä 2.4.1. Symmetrisen ryhmän S n parillisten permutaatioiden muodostamaa aliryhmää A n kutsutaan astetta n olevaksi alternoivaksi ryhmäksi. Lause 2.4.2. Olkoon n 2. Alternoivan ryhmän kertaluku A n = n! 2. Todistus. ([2], s. 122) Olkoot α, β S n. Lauseen 2.3.5 mukaan jokainen permutaatio on joko parillinen tai pariton. Lemman 2.3.2 nojalla sgn(αβ) = sgn(α)sgn(β), joten merkkifunktio sgn on ryhmähomomorsmi symmetriseltä ryhmältä S n kertalukua kaksi olevalle multiplikatiiviselle ryhmälle E = {1, 1}. Nyt Ker(sgn) = A n alternoivan ryhmän määritelmän mukaisesti. Homomorsmien peruslauseen eli lauseen 1.3.1 mukaan S n /A n = E. Täten 2 = E = S n /A n = S n A n. 19

Koska n 2, niin A n = S n 2 = n! 2. Esimerkki 9. Symmetrisen ryhmän S 4 kertaluku on S 4 = 4! = 24. Jos σ = (ab)(cd) S 4, niin lasketaan kuinka monella eri tavalla alkiot a, b, c, d {1, 2, 3, 4} voidaan valita. Transpoosin (ab) alkiot voidaan valita 4 3 2 = 6 eri tavalla. Nyt jäljelle jääneet kaksi alkiota muodostavat toisen transpoosin. Koska transpoosit (ab) ja (cd) kommutoivat, täytyy saatu lukumäärä jakaa vielä kahdella. Siis alkiot a, b, c, d voidaan valita 4 3 2 2 1 2 = 3 eri tavalla. 2 Esitetään lopuksi taulukot symmetrisen ryhmän S 4 ja S 5 alkioista S 4 Syklirakenne Kertaluku Pariteetti Lukumäärä (1) A 4 1 parillinen 1 4 3 (a b) 2 pariton = 6 2 4 3 2 (a b)(c d) A 4 2 parillinen 2 1 2 = 3 2 4 3 2 (a b c) A 4 3 parillinen = 8 3 4 3 2 1 (a b c d) 4 pariton = 6 4 = 24 S 5 Syklirakenne Kertaluku Pariteetti Lukumäärä (1) A 5 1 parillinen 1 (a b) 2 pariton 10 (a b)(c d) A 5 2 parillinen 15 (a b c) A 5 3 parillinen 20 (a b c)(d e) 6 pariton 20 (a b c d e) A 5 5 parillinen 24 (a b c d) 4 pariton 30 = 120 20

2.5 Konjugointi Määritelmä 2.5.1. Olkoon G ryhmä ja x, y G. Jos on olemassa sellainen alkio g G, että y = gxg 1, niin alkiot x ja y konjugoivat ryhmässä G. Tällöin merkitään x y. Lause 2.5.1. Konjugointi on ekvivalenssirelaatio ryhmässä G. Todistus. ([7], s. 179) (i) Reeksiivisyys: Olkoon x G. Jos e on ryhmän G neutraalialkio, niin x = exe 1. Täten x x. (ii) Symmetrisyys: Olkoot x, y G. Oletetaan, että x y. Tällöin on olemassa alkio g G siten, että y = gxg 1. Kertomalla yhtälö vasemmalta puolelta alkiolla g 1 ja oikealta puolelta alkiolla g saadaan, että x = g 1 y(g 1 ) 1. Täten y x. (iii) Transitiivisuus: Olkoot x, y, z G. Oletetaan, että x y ja y z. Tällöin on olemassa ryhmän G alkiot g ja h siten, että y = gxg 1 ja z = hyh 1. Täten z = hgxg 1 h 1 = (hg)x(hg) 1 ja x z. Määritelmä 2.5.2. Ryhmän G konjugaattien muodostamia ekvivalenssiluokkia kutsutaan ryhmän G konjugointiluokiksi. Alkion a G määräämä konjugointiluokka on K a = {xax 1 x G}. Lemma 2.5.2. Olkoon ryhmän G aliryhmä H normaali ja a H. Tällöin alkion a G määräämä konjugointiluokka sisältyy kokonaisuudessaan aliryhmään H. Todistus. ([7], s. 179) Jokainen konjugointiluokan K a alkio voidaan esittää muodossa gag 1, missä g G. Koska ryhmän G aliryhmä H on normaali, niin lauseen 1.2.2 nojalla gag 1 ghg 1 = H. Täten konjugointiluokka K a sisältyy kokonaisuudessaan ryhmän G aliryhmään H. 21

Lemma 2.5.3. Olkoon π S n permutaatio. Tällöin π(a 1 a 2 a k )π 1 = (π(a 1 )π(a 2 ) π(a k )). Todistus. ([7], s. 179) Merkitään α = (a 1 a 2 a k ). Käytetään yhtälön vasenta puolta kuvaamaan alkio π(a 1 ). Nyt παπ 1 [π(a 1 )] = πα(a 1 ) = π(a 2 ). Yleisesti, jos παπ 1 kuvaa alkiot π(a j ), missä j < k, niin παπ 1 (π(a j )) = π(a j+1 ). Jos j = k, niin παπ 1 (π(a k )) = πα(a k ) = π(a 1 ). Näin ollen yksi permutaation παπ 1 sykleistä on (π(a 1 )π(a 2 ) π(a k )). Todistettavan yhtälön oikea puoli siirtää alkioita π(a j ), missä 1 j k. Oikea puoli säilyttää muut alkiot. Osoitetaan, että sama tulos on voimassa yhtälön vasemmalla puolella. Olkoon b / {π(a 1 ), π(a 2 ),..., π(a k )}. Tästä seuraa, että π 1 (b) / {a 1, a 2,..., a k }. Nyt απ 1 (b) = (a 1 a 2 a k )[π 1 (b)] = π 1 (b). Täten παπ 1 (b) = ππ 1 (b) = b eli vasen puoli säilyttää alkion b ja väite on tosi. Määritelmä 2.5.3. Olkoot α, β S n permutaatioita, joiden esitys erillisten syklien tulona on täydellinen. Jos näissä esityksissä on tarkalleen sama määrä r-syklejä kaikilla r {1, 2,..., n}, niin permutaatioilla α ja β on sama syklirakenne. Esimerkki 10. Olkoot α, β S 10 ja α = (2 5)(1 7 8 9)(3 4 6)(10), β = (3 7)(4 8 9 10)(1 2 6)(5). Nyt permutaatioilla α ja β on sama syklirakenne. Lause 2.5.4. Permutaatiot λ S n ja µ S n konjugoivat, jos ja vain jos niillä on sama syklirakenne. Todistus. ([7], s. 180) Oletetaan ensin, että permutaatioilla λ ja µ on sama syklirakenne. Merkitään λ = τ 1 τ 2 τ k, missä τ j = (a j1 a j2 a jtj ) ja µ = σ 1 σ 2 σ k, missä σ j = (b j1 b j2 b jtj ). Jokaisen syklin λ ja µ alkioiden lukumäärä on n j=1 t j ja niiden säilyttämien alkioiden lukumäärä n n j=1 t j. 22

Olkoon ρ bijektio permutaation λ säilyttämiltä alkioilta permutaation µ säilyttämille alkioille. Määritellään permutaatio π seuraavasti: b js, jos x = a js π(x) = ρ(x), muutoin. Koska permutaatio λ on esitys erillisten syklien tulona, niin saadaan πλπ 1 = (πτ 1 π 1 )(πτ 2 π 1 ) (πτ k π 1 ). Lemman 2.5.3 mukaan πλ j π 1 = σ j kaikilla j, missä 1 j k, joten πλπ 1 = µ eli permutaatiot λ ja µ konjugoivat. Oletetaan sitten, että permutaatiot λ ja µ konjugoivat. Olkoon µ = γλγ 1 ja λ muotoa λ = τ 1 τ 2 τ k, kuten todistuksen ensimmäisessä osassa. Täten µ = γλγ 1 = (γτ 1 γ 1 )(γτ 2 γ 1 ) (γτ k γ 1 ). Lemman 2.5.3 mukaan jokaisen syklin γτ j γ 1 pituus on sama kuin syklin τ j aina, kun j = 1, 2,..., k. Koska syklit γτ j γ 1 ovat erillisiä, niin permutaatioilla λ ja µ on sama syklirakenne. Lause 2.5.5. Alternoivalla ryhmällä A 4 ei ole kertalukua 6 olevaa aliryhmää. Todistus. ([7], s. 183) Tehdään vastaoletus, että alternoivalla ryhmällä A 4 olisi kertalukua 6 oleva aliryhmä H. Koska A 4 = 12, niin aliryhmän H indeksi on 2. Täten lemman 1.2.6 nojalla ryhmän A 4 aliryhmä H on normaali. Alternoiva ryhmä A 4 koostuu identiteettialkiosta, kahdeksasta 3-syklistä sekä alkioista (ab)(cd), (ac)(bd) ja (ad)(bc). Täten aliryhmään H täytyy kuulua vähintään yksi 3-sykli. Olkoon (abc) H. Lemman 2.5.2 mukaan alkion (abc) H kaikki konjugaatit ryhmässä A 4 kuuluvat myös aliryhmään H. Konjugoidaan alkiota (abc) alternoivan ryhmän A 4 alkioilla, ja saadaan 23

(abd)(abc)(abd) 1 = (bdc), (bad)(abc)(bad) 1 = (dac), (bdc)(abc)(bdc) 1 = (adb). Täten aliryhmän H tulee sisältää ainakin alkiot {(abc), (bdc), (dac)(adb)} sekä identiteettialkion (1). Koska H on aliryhmä, niin sen jokaisen alkion käänteisalkio kuuluu myös aliryhmään H. Täten alkiot (abc) 1 = (acb), (bdc) 1 = (bcd), (dac) 1 = (dca) ja (adb) 1 = (abd) kuuluvat myös aliryhmään H. Nyt aliryhmässä H on jo yhdeksän alkiota, mikä on ristiriita vastaoletuksen kanssa. Esimerkki 11. Olkoot λ = (1 2)(3 5 10)(12 4 6 7) S 12 ja µ = (10 11)(2 4 3)(9 8 1 5) S 12. Etsitään sellainen permutaatio π S 12, että µ = πλπ 1. Permutaation λ säilyttämät alkiot ovat 8, 9 ja 11. Permutaatio µ puolestaan säilyttää alkiot 6, 7 ja 12. Määritellään permutaatioiden λ ja µ säilyttämien alkioiden välille sellainen bijektio, että 8 6, 9 7 ja 11 12. Muodostetaan uusi permutaatio γ permutaatioiden λ ja µ välille siten, että γ(1) = 10, γ(2) = 11, γ(3) = 2,..., γ(7) = 5 ja yllä määritellyn bijektion mukaisesti γ(8) = 6, γ(9) = 7 ja γ(11) = 12. Täten ( ) 1 2 3 5 10 12 4 6 7 8 9 11 γ =. 10 11 2 4 3 9 8 1 5 6 7 12 Permutaatio γ = (1 10 3 2 11 12 9 7 5 4 8 6 ) toteuttaa ehdon µ = γλγ 1. Määritelmä 2.5.4. Ryhmän G keskus on Z(G) = {z G zx = xz jokaisella x G.} Ryhmän G keskus koostuu siis kaikista ryhmän G alkioista, jotka kommutoivat kaikkien ryhmän G alkioiden kanssa. Huomautus. Yhtälö zx = xz voidaan kirjoittaa muodossa z = xzx 1. Tästä nähdään, että ryhmän G keskus ei konjugoi minkään muun ryhmän G alkion 24

kanssa. Jos z G ja x G, niin xzx 1 = zxx 1 = z Z(G). Näin ollen ryhmän G keskus Z(G) on ryhmän G normaali aliryhmä. Lemma 2.5.6. Olkoon n 3. Symmetrisen ryhmän S n keskus Z(S n ) = (e). Todistus. ([4], s. 290) Olkoon permutaatio π (e) S n. Nyt on olemassa alkio i S n siten, että π(i) i. Olkoon lisäksi alkio j S n siten, että i j π(i). Lemman 2.5.3 nojalla π(i j)π 1 = (π(i)π(j)) (i j). Täten π / Z(S n ) ja Z(S n ) = (e). Määritelmä 2.5.5. Olkoon G ryhmä. Jos a G, niin alkion a sentralisoija ryhmässä G on joukko C G (a) = {x G xa = ax} = {x G a = xax 1 }. Alkion a G sentralisoija koostuu ryhmän G alkioista, jotka kommutoivat alkion a kanssa. Huomautus. Olkoon G ryhmä ja a G. Jos g, h C G (a), niin ga = ag ja ha = ah. Täten (gh)a = g(ha) = g(ah) = (ga)h = (ag)h = a(gh) ja gh C G (a). Lisäksi yhtälöstä ga = ag seuraa, että g 1 (ga)g 1 = g 1 (ag)g 1. Täten ag 1 = g 1 a ja g 1 C G (a). Siis sentralisoija C G (a) on ryhmän G aliryhmä. Lause 2.5.7. Alkion a G määräämän konjugointiluokan kertaluku on K a = [G : C G (a)] = G C G (a). Todistus. ([11], s. 44) Merkitään C = C G (a). Olkoon G/C alkion a G sentralisoijan vasempien sivuluokkien muodostama joukko. Määritellään funkio f : K a G/C siten, että f(gag 1 ) = gc, missä g G. Olkoon h G. Jos gag 1 = hah 1, niin h 1 gag 1 h = a ja h 1 g kommutoi alkion a kanssa. Siis h 1 g C ja hc = gc. Täten funktio f on hyvin määritelty. Olkoon sitten k G. Jos gc = f(gag 1 ) = f(kak 1 ) = kc, niin k 1 g C. Täten k 1 g kommutoi alkion a kanssa. Siis k 1 gag 1 k = a ja gag 1 = kak 1. Siis funktio f on injektio. Lisäksi f on surjektio, sillä gc = f(gag 1 ). Täten funkio f on bijektio ja K a = [G : C G (a)]. 25

Esimerkki 12. Edellisessä esimerkissä etsittiin sellaista permutaatiota π S 12, että µ = πλπ 1. Erilaisten ratkaisujen lukumäärä voidaan nyt laskea permutaation λ = (1 2)(3 5 10)(12 4 6 7) S 12 sentralisoijan avulla. Permutaation λ määräämässä konjugointiluokassa K λ on 12 11 2 10 9 8 3 7 6 5 4 4 = 12! 4! 3! alkiota. Lauseen 2.5.7 mukaan K λ = S 12 C S12 (λ). Täten C S12 (λ) = S 12 K λ = 12!4!3! 12! = 144. Lemma 2.5.8. Kaikki 3-syklit konjugoivat keskenään alternoivassa ryhmässä A 5. Todistus. ([10], s. 204) Olkoon α = (1 2 3) S 5. Alkion α määräämän konjugointiluokan kertaluku K S 5 α = 20, koska erilaisten 3-syklien lukumäärä ryhmässä S 5 on 20. Nyt lauseen 2.5.7 mukaan ja K S 5 α = S 5 C S5 (α) C S5 (α) = S 5 K α = 120 20 = 6. Ryhmässä S 5 on siis kuusi permutaatiota, jotka kommutoivat alkion α kanssa: (1), (1 2 3), (1 3 2), (4 5), (4 5)(1 2 3), (4 5)(1 3 2). Kolme viimeistä permutaatiota ovat parittomia, joten C A5 (α) = 3. Nyt K A 5 α = A 5 C A5 (α) = 60 3 = 20. Täten kaikki 3-syklit konjugoivat permutaation α = (1 2 3) kanssa alternoivassa ryhmässä A 5. 26

2.6 Yksinkertaiset ryhmät Määritelmä 2.6.1. Ryhmää G kutsutaan yksinkertaiseksi, jos sen ainoat normaalit aliryhmät ovat triviaali ryhmä {1} sekä ryhmä G itse. Lemma 2.6.1. Olkoon n 3. Jos τ 1 ja τ 2 ovat ryhmän S n transpooseja, niin τ 1 τ 2 on joko 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Todistus. ([2], s. 216) Jos τ 1 = τ 2, niin τ 1 τ 2 = τ1 2 = e. Neutraalialkio e on kahden 3-syklin tulo, sillä esimerkiksi (a b c)(a c b) = e. Jos τ 1 τ 2, niin transpooseilla τ 1 ja τ 2 on joko yksi tai ei yhtään yhteistä alkiota. Olkoot τ 1 = (a b) ja τ 2 = (a c) eli transpoosi τ 1 siirtää yhtä samaa alkiota kuin τ 2. Täten τ 1 τ 2 = (a b)(a c) = (a c b), joka on 3-sykli. Oletetaan sitten, että transpooseilla τ 1 ja τ 2 ei ole yhteisiä alkioita. Olkoot τ 1 = (a b) ja τ 2 = (c d). Nyt τ 1 τ 2 = (a b)(c d) = (a d b)(a d c), joka on kahden 3-syklin tulo. Lause 2.6.2. Olkoon n 3. Jos σ on parillinen permutaatio ryhmässä S n, niin σ voidaan esittää 3-syklien tulona. Toisin sanoen ryhmän S n 3-syklit generoivat alternoivan ryhmän A n. Todistus. ([2], s. 216) Olkoon σ S n parillinen permutaatio. Määritelmän mukaan σ voidaan esittää 2m transpoosin τ 1, τ 2,..., τ 2m tulona σ = τ 1 τ 2 τ 2i 1 τ 2i τ 2m 1 τ 2m. Lemman 2.6.1 mukaan jokainen τ 2i 1 τ 2i on joko 3-sykli tai kahden 3-syklin tulo. Täten parillinen permutaatio σ on joko 3-sykli tai korkeintaan 2m 3- syklin tulo. Lemma 2.6.3. Olkoon n 5. Ryhmän S n 3-syklit konjugoivat keskenään alternoivassa ryhmässä A n. Todistus. ([2], s. 218) Olkoot 3-syklit σ 1, σ 2 S n. Lauseen 2.5.4 mukaan ne konjugoivat keskenään ryhmässä S n. Olkoot σ 1 = (a b c) ja σ 2 = τ(a b c)τ 1, 27

missä τ S n. Jos τ on parillinen, väite on tosi. Jos τ on pariton, niin ρ = τ(d e) on parillinen ja ρ(a b c)ρ 1 = τ(d e)(a b c)(d e) 1 τ 1 = τ(a b c)τ 1 = σ 2. Täten 3-syklit σ 1 ja σ 2 konjugoivat alternoivassa ryhmässä A n. Lause 2.6.4. Olkoon n 5. Ryhmän S n ainoa ei-triviaali normaali aliryhmä on alternoiva ryhmä A n. Todistus. ([2], s. 218) Olkoon N ryhmän S n normaali aliryhmä siten, että N (e) ja N S n. Olkoon lisäksi σ e N. Lemman 2.5.6 mukaan symmetrisen ryhmän S n keskus on (e) ja tiedetään, että transpoosit generoivat ryhmän S n. Täten on olemassa transpoosi τ siten, että στ τσ. Lauseen 2.5.4 mukaan permutaation τ konjugaateilla on sama syklirakenne kuin permutaatiolla τ. Siis τ 1 = στσ 1 on transpoosi. Koska σ N ja N S n, niin τστ = τστ 1 N ja ττ 1 = τστσ 1 e N. Siis on olemassa kahden transpoosin tulo ττ 1, joka sisältyy ryhmään N. Jos transpooseilla τ ja τ 1 on yksi yhteinen alkio, niin ττ 1 on 3-sykli, kuten lemman 2.6.1 todistuksessa nähtiin. Täten N sisältää 3-syklin. Lauseen 2.5.4 mukaan kaikki 3-syklit konjugoivat tulon ττ 1 kanssa. Koska N S n, niin kaikki 3-syklit kuuluvat ryhmään N. Lauseen 2.6.2 mukaan 3-syklit generoivat alternoivan ryhmän A n, joten A n N. Oletetaan sitten, että transpooseilla τ ja τ 1 ei ole yhteisiä alkioita. Olkoot τ = (a b) ja τ 1 = (c d). Siis ττ 1 = (a b)(c d) N. Koska n 5, niin (a e) S n. Täten (a e)(a b)(c d)(a e) 1 = (b e)(c d) N ja edelleen (a b)(c d)(b e)(c d) = (a b e) N. Siis ryhmään N täytyy kuulua 3-sykli ja A n N. Molemmissa tapauksissa ryhmä N sisältää alternoivan ryhmän A n. Koska N S n ja ryhmien A n ja S n välissä ei ole muita aliryhmiä, niin N = A n. Lause 2.6.5. Alternoiva ryhmä A 5 on yksinkertainen. Todistus. ([10], s. 205) Olkoon H ryhmän A 5 normaali aliryhmä ja H {(1)}. Osoitetaan, että H = A 5. Alternoiva ryhmä A 5 on parillinen, joten 28

sen alkiot ovat 3-syklejä, kahden transpoosin tuloja sekä 5-syklejä. Olkoon σ = (a b c). Lemman 2.6.3 mukaan kaikki 3-syklit konjugoivat ryhmässä A 5. Koska H on normaali, niin se sisältää kaikki 3-syklit. Edelleen lauseen 2.6.2 mukaan 3-syklit generoivat ryhmän A 5, joten H = A 5. Olkoon sitten σ = (a b)(c d) H ja konjugoidaan sitä alkiolla α = (c d e). Merkitään σ 1 = ασα 1 = (c d e)(a b)(c d)(e d c) = (a b)(d e). Koska α A 5 ja H on normaali aliryhmä, niin σ 1 H. Lisäksi σσ 1 = (a b)(c d)(a b)(d e) = (c d e) H on 3-sykli ja H = A 5. Olkoon lopuksi σ = (a b c d e) H ja konjugoidaan sitä alkiolla β = (a b c). Merkitään σ 2 = βσβ 1 H. Nyt σ 2 = (a b c)(a b c d e)(c b a) = (a d e b c). Koska β A 5 ja H on normaali aliryhmä, niin myös σ 2 σ 1 = (βσβ 1 )σ 1 H. Lisäksi σ 2 σ 1 = (a d e b c)(e d c b a) = (a b d) on 3-sykli ja H = A 5. Jokaisessa kolmessa tapauksessa H sisältää 3-syklin, joten H = A 5. Täten alternoivan ryhmän A 5 ainoat normaalit aliryhmät ovat triviaali ryhmä {(1)} ja ryhmä A 5 itse, joten A 5 on yksinkertainen. Lause 2.6.6. Olkoon n 5. Alternoiva ryhmä A n on yksinkertainen. Todistus. ([3], s. 479) Olkoon H ryhmän A n normaali aliryhmä ja H {(1)}. Olkoon lisäksi σ e N. Koska myös alternoivan ryhmän A n keskus on triviaali ja 3-syklit generoivat ryhmän A n, niin on olemassa 3-sykli τ siten, että στ τσ. Täten στσ 1 τ 1 e H. Koska τ on 3-sykli, niin στσ 1 τ 1 on kahden 3-syklin tulo. Lemman 2.6.3 mukaan H sisältää kaikki 3-syklit ja lauseen 2.6.2 mukaan 3-syklit generoivat ryhmän A n. Osoitetaan, että H sisältää 3-syklin. Kahden 3-syklin tulo π on muodoltaan jotain seuraavista: (i) (a 1 a 2 a 3 )(a 4 a 5 a 6 ) (ii) (a 1 a 2 a 3 )(a 1 a 4 a 5 ) = (a 1 a 4 a 5 a 2 a 3 ) (iii) (a 1 a 2 a 3 )(a 1 a 2 a 4 ) = (a 1 a 3 )(a 2 a 4 ) (iv) (a 1 a 2 a 3 )(a 2 a 1 a 4 ) = (a 1 a 4 a 3 ) (v) (a 1 a 2 a 3 )(a 1 a 2 a 3 ) = (a 1 a 3 a 2 ) 29

Kohdassa (iii) ryhmä A n sisältää alkion β = (a 2 a 4 a 5 ), koska n 5. Nyt βπβ 1 = (a 2 a 4 a 5 )π(a 2 a 4 a 5 ) 1 = (a 2 a 4 a 5 )(a 1 a 3 )(a 2 a 4 )(a 5 a 4 a 2 ) = (a 1 a 3 )(a 4 a 5 ). Koska H on normaali, niin π 1 βπβ 1 H ja π 1 βπβ 1 = (a 1 a 3 )(a 2 a 4 )(a 1 a 3 )(a 4 a 5 ) = (a 2 a 4 a 5 ) on 3-sykli. Kohdassa (ii) konjugoidaan alkiolla γ = (a 1 a 4 a 3 ). Saadaan, että γπγ 1 = (a 1 a 4 a 3 )π(a 1 a 4 a 3 ) 1 = (a 1 a 4 a 3 )(a 1 a 4 a 5 a 2 a 3 )(a 3 a 4 a 1 ) = (a 1 a 4 a 3 a 5 a 2 ). Nyt π 1 γπγ 1 = (a 3 a 2 a 5 a 4 a 1 )(a 1 a 4 a 3 a 5 a 2 ) = (a 2 a 3 a 4 ) H on 3-sykli. Kohdassa (i) konjugoidaan alkiolla α = (a 1 a 2 a 4 ). Täten απα 1 = (a 1 a 2 a 4 )π(a 1 a 2 a 4 ) 1 = (a 1 a 2 a 4 )(a 1 a 2 a 3 )(a 4 a 5 a 6 )(a 4 a 2 a 1 ) = (a 1 a 5 a 6 )(a 2 a 4 a 3 ). Tulo π 1 απα 1 = (a 1 a 3 a 2 )(a 4 a 6 a 5 )(a 1 a 5 a 6 )(a 2 a 4 a 3 ) = (a 1 a 4 a 2 a 6 a 3 ) H on 5-sykli, jolle kohdan (ii) tapaan löytyy 3-sykli ryhmästä N. Kohdissa (iv) ja (v) ryhmä N sisältää 3-syklin. Jokaisessa tapauksessa H sisältää 3-syklin, joten A n on yksinkertainen, kun n 5. 30

Luku 3 Ryhmän operointi 3.1 Cayleyn lause Lause 3.1.1. Jokainen ryhmä G on isomornen jonkin permutaatioryhmän eli symmetrisen ryhmän S G aliryhmän kanssa. Todistus. ([7], s. 166) Olkoon g G. Määritellään kuvaus f : G S G siten, että f(g) = Π g. Määritellään lisäksi Π g (x) = gx, missä x G. Osoitetetaan, että Π g on bijektiivinen kuvaus joukossa G. Olkoon Π g (x) = Π g (y). Silloin gx = gy ja supistamislain mukaan x = y. Olkoon sitten x G. Tällöin Π g (g 1 x) = gg 1 x = x. Täten kuvaus Π g on bijektio ja siten joukon G permutaatio. Siis Π g S G. Nyt kaikilla g, h, x G on voimassa Π gh (x) = (gh)x = g(hx) = Π g (hx) = Π g Π h (x) Siis Π gh = Π g Π h ja kuvaus f : G S G on homomorsmi. Jos g Ker(f), niin permutaatio Π g on identiteettikuvaus ryhmässä G. Siis Π g (e) = e. Täten ge = e ja g = e. Kuvaus f : G S G on injektio. Siis G = f(g), missä f(g) on symmetrisen ryhmän S G aliryhmä. 31

3.2 Ryhmän operointi Määritelmä 3.2.1. Olkoon G ryhmä. Ryhmä G operoi joukossa X, jos on olemassa pari (G, X) sekä kuvaus α : G X X, joka toteuttaa seuraavat ehdot: (i) Jokaiselle g, h G on voimassa α g α h = α gh. (ii) Identiteettifunktio α 1 = 1 X. Tällöin sanotaan, että joukko X on G-joukko. Olkoon x X. Jos G operoi joukossa X, niin α g (x) voidaan kirjoittaa muodossa gx, jolloin kohdassa (i) on oltava voimassa g(hx) = (gh)x. Lemma 3.2.1. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X kuvauksella α : G X X. Tällöin g α g on homomorsmi G S X. Vastaavasti, jos B : G S X on homomorsmi, niin voidaan määritellä kuvaus β : G X X siten, että β(g, x) = B(g)(x), on ryhmän G operaatio joukossa X. Todistus. ([10], s. 195) Osoitetaan, että jokainen kuvaus α g on joukon X permutaatio, missä α : G X X on ryhmän G operaatio. Nyt α g α g 1 = α gg 1 = α 1 = 1 X. Täten A : G S X, missä A(G) = α g, ovat joukon X permutaatioita. Ryhmässä operoinnin määritelmän mukaisesti A(gh) = α gh = α g α h = A(g) A(h). Täten A on homomorsmi. Olkoon sitten kuvaus B : G S X homomorsmi ja määritellään kuvaus β : G X X siten, että β(g, x) = B(g)(x). Merkitään β g = B(g). Nyt B(g) B(h) = B(gh), koska B on homomorsmi. Lisäksi B(1) = 1 X, koska homomorsmi kuvaa identiteettialkion aina identiteettialkioksi. Esimerkki 13. Ryhmä G operoi joukossa X = G konjugoimalla. Olkoon g G ja määritellään α g : G G siten, että α g (x) = gxg 1. Jokaisella 32

x G saadaan, että (α g α h )(x) = α g (α h (x)) = α g (hxh 1 ) = g(hxh 1 )g 1 = (gh)x(gh) 1 = α gh (x). Täten α g α h = α gh. Lisäksi α 1 (x) = 1x1 1 = x, joten α 1 = 1 G. 3.3 Radat Määritelmä 3.3.1. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Alkion α X rata on joukko Orb G (α) = Gα = {gα g G}. Sanotaan, että ryhmä G operoi transitiivisesti joukossa X, jos ratoja on vain yksi. Jos α, β X ja gα = β, niin alkiot α ja β ovat samalla radalla. Tällöin merkitään α β ja kyseessä on ekvivalenssirelaatio. Radat ovat ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkia. Lemma 3.3.1. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Silloin ryhmän G radat muodostavat joukon X osituksen. Todistus. ([7], s. 312) Koska α Gα, niin joukko X on ryhmän G ratojen yhdiste. Oletetaan, että Gα Gβ. Silloin on olemassa sellaiset alkiot g, h G, että gα = hβ. Täten α = g 1 hβ ja Gα = (Gg 1 h)β. Nyt Gg 1 h = G, jolloin saadaan, että Gα = Gβ. Määritelmä 3.3.2. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Alkion α X stabiloija on ryhmän G aliryhmä G α = {gα = α g G}. 33

Lause 3.3.2. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Silloin G : G α = Orb G (α). Todistus. ([7], s. 313) Olkoon f kuvaus, jonka lähtöjoukko on joukon G α vasempien sivuluokkien joukko ryhmässä G, ja jonka maalijoukko on rata Orb G (α) siten, että f(gg α ) = gα. Jos x G α, niin gxα = gα, sillä alkio x säilyttää alkion α. Täten kuvaus on hyvin määritelty. Selvästi kuvaus f on surjektio. Jos f(gg α ) = f(hg α ), niin gα = hα ja g 1 hα = α. Täten g 1 h G α. Tästä seuraa, että gg α = hg α. Siis kuvaus f on bijektio ja G : G α = Orb G (α). Huomautus. Lagrangen lauseen eli lauseen 1.2.5 mukaan saadaan, että G = Orb G (α) G α. Huomautus. Jos ryhmä G operoi transitiivisesti joukossa X, niin G : G α = X kaikilla α X. Tämä on suora seuraus edellisen lauseen 3.3.2 todistuksesta. Määritelmä 3.3.3. Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Olkoon lisäksi g G. Niiden alkioiden joukko, jotka g säilyttää on F ix(g) = {α X gα = α}. Lause 3.3.3. (Ei-Burnsiden lemma) Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X. Ratojen lukumäärälle N on voimassa G = 1 N F ix(g). g G 34

Todistus. ([7], s. 314) Olkoon joukko S = {(g, α) gα = α, g G, α X}. Lasketaan alkioiden lukumäärä joukossa S kahdella eri tavalla. Ensiksi kiinnitetään alkio α. Nyt parien (g, α) lukumäärä joukossa S on G α. Täten S = G α. α X Jos kaksi alkiota ovat samalla radalla, niin niiden stabiloijien lukumäärä on sama lauseen 3.3.2 mukaan. Täten G ξ = Orb G (α) G α = G : G α G α = G. ξ Orb G (α) Siis S = N G. Kiinnitetään sitten alkio g. Nyt parien (g, ξ) lukumäärä joukossa S on F ix(g). Täten S = F ix(g) g G ja edelleen G = 1 N F ix(g). g G Esimerkki 14. Olkoon G permutaatioryhmä joukossa X = {1, 2, 3, 4} ja G = {(1), (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}. Ryhmä G sisältää kaksi rataa, {1, 2} sekä {3, 4}. Edellistä lausetta 3.3.3 hyväksi käyttäen voidaan myös laskea ratojen lukumäärä etsimällä 1-syklejä. Esimerkiksi ryhmän G alkiolle (3 4) kiintopisteiden lukumäärä F ix(g) = 2. Täten ratojen lukumäärä N = 1 G g G F ix(g) = 1 (4 + 2 + 2 + 0) = 2. 4 Lause 3.3.4. Olkoon G äärellinen ryhmä. Silloin G = Z(G) + g / Z(G) G : C G (g). 35

Todistus. ([7], s. 315) Olkoon G ryhmä, joka operoi joukossa X = G konjugoimalla. Nyt alkion g G stabiloijalle ryhmässä G on voimassa G g = {x x G, xgx 1 = g} = {x x G, xg = gx} = C G (g). Täten lauseen 3.3.2 mukaan Orb G (g) = G : C G (g). Yhden alkion konjugointiluokat eli yhden alkion muodostamat radat ovat ne ryhmän alkiot g G, joille G : C G (g) = 1 eli C G (g) = G. Täten g muodostaa yhden alkion radan jos ja vain jos alkio g Z(G). Koska ryhmä G on ratojen unioni ja se operoi joukossa G, niin G = Z(G) + G : C G (g). g / Z(G) 36

Luku 4 Sovelluksia 4.1 Permutaation pariteetti Esimerkki 15. 15-peli on yksi kaikkien aikojen tunnetuimmista logiikkapeleistä. Pelissä on 4x4-taulukko, jossa on 15 numeroitua symbolia ja lisäksi yksi tyhjä paikka. Tavoitteena on saada numerot järjestykseen viimeisen ruudun jäädessä tyhjäksi. Numeroita voidaan liikuttaa yhtä kerrallaan siten, että jokin tyhjän paikan vieressä, yläpuolella tai alapuolella olevista numeroista siirtyy tyhjään paikkaan. Peli aiheutti suurta hysteriaa ympäri maailmaa vuonna 1880, kun pelin keksijänäkin pidetty Sam Loyd lupasi tuhat dollaria ratkaisusta erääseen pelin alkutilanteeseen, joka näkyy kuvassa 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Kuva 1: 15-pelin tutkittava alku- ja lopputilanne 37

Muutosta kuvan 1 alkutilanteesta lopputilanteeseen voidaan kuvata permutaatiolla ( ) 1 2 3 4 13 14 15 # α =, 1 2 3 4 13 15 14 # missä # kuvaa tyhjää paikkaa. Nyt permutaatio α = (14 15) on transpoosi eli pariton permutaatio. Tyhjä paikka # on samassa paikassa sekä pelin alku- että lopputilanteessa. Täten 15-pelin ratkaisu vaatii tyhjän paikan liikkeitä saman määrän vasemmalle ja oikealle, sekä ylös että alas. Siis tyhjän paikan liikkeitä eli transpooseja on parillinen määrä. Parillisen määrän transpooseja tulo on parillinen permutaatio, joten kuvassa 1 esitettyyn tilanteeseen ei ole olemassa ratkaisua. 4.2 Ei-Burnsiden lemman soveltaminen Määritelmä 4.2.1. Olkoon T R R = R 2 tasokuvio ja d(a, b) tason pisteiden a ja b välinen etäisyys. Olkoon kuvaus δ : R 2 R 2 bijektio. Kuvaus δ on tasokuvion T symmetria, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: (1) δ(t ) = T ja (2) d(δ(a), δ(b)) = d(a, b). Tasokuvion T kaikki symmetriat operaationa kuvausten yhdistäminen muodostavat tasokuvion T symmetriaryhmän. Esimerkki 16. Olkoon K tasasivuinen kolmio ja X = {1, 2, 3} kolmion kärkipisteiden joukko. Kolmion K kärkipisteet kuvautuvat kärkipisteille, joten kolmion K symmetriaryhmän G alkiot permutoivat kolmion kärkipisteiden joukkoa X. Siis G S 3. Kolmiota voidaan kiertää keskipisteen ympäri, tai sitä voidaan peilata kulmanpuolittajan akselien suhteen. Kolmion K symmetrioita voidaan havainnollistaa graasesti. 38

2 1 3 120 240 1 3 3 σ 1 2 2 σ 2 σ 3 1 2 3 1 3 1 1 ω 1 2 2 ω 2 ω 3 3 Kuva 2: Tasasivuisen kolmion kierrot ja peilaukset Kuvan 1 kolme ensimmäistä kolmiota esittävät tasasivuisen kolmion kiertoja, joita vastaavat permutaatiot ovat: σ 1 = (1) (alkuperäinen kolmio), σ 2 = (1 3 2) (120 asteen kierto myötäpäivään) sekä σ 3 = (1 2 3) (240 asteen kierto myötäpäivään) Kuvan 1 kolme viimeistä kolmiota esittävät tasasivuisen kolmion peilauksia, joita vastaavat permutaatiot ovat: ω 1 = (1 3) (peilaus pystyakselin suhteen), ω 2 = (2 3) (peilaus vinoakselin suhteen) sekä ω 3 = (1 2) (peilaus vinoakselin suhteen) Tasasivuisen kolmion muodostama symmetriaryhmä G sisältää siis kuusi 39