Differentiaaliyhtälösysteemit 1 (Kreyszig 40-2 Mat-11132/1332, 8/2013, Kari Eloranta Seuraavaksi tarkastellaan ensimmäisen kertaluvun lineaarista, vakiokertoimista differentiaaliyhtälösysteemiä dx 1 dt = a 11x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n +b 1 dx 2 dt = a 21x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n +b 2 dx n dt = a n1x 1 +a n2 x 2 + +a nn x n +b n alkuarvoilla x i (0 = a i, i = 1,,n Mikäli ohjaustermit häviävät eli b i (t 0 jokaiselle i, on systeemi homogeeninen, jos taas ei-triviaaleja ohjaustermejä on mukana, on systeemi epähomogeeninen
Differentiaaliyhtälösysteemit (Dys 2 (Kreyszig 46 Matriisimuodossa homogeeninen yhtälö on x (t = Ax(t, x(0 = a, jossa x(t = x 1 (t x 2 (t x n (t, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn jaa = a 1 a 2 a n Epähomogeeninen yhtälö saa muodon x (t = Ax(t+b(t, x(0 = a, jossa siis b on (mahdollisesti t-riippuva n-ulotteinen pystyvektori Myös merkintää ẋ käytetään t-derivaatalle (fluxio
Differentiaaliyhtälösysteemit 3 Samoin kuin vektorin derivaatta on komponentittainen derivaatta, on matriiisin derivaatta alkioittainen derivaatta Lemma Neliömatriisille A pätee: d dt eta = Ae ta = e ta A t R Tod Erotusosamäärään palauttaen saadaan d e (t+ha e ta dt eta = lim h 0 h = e ta e ha I lim h 0 h = lim h 0 e ta e ha e ta h = e ta A, jossa on käytetty matriisieksponentin aina suppenevaa sarjakehitelmää e ha = I +ha+ h2 A 2 2! + h3 A 3 3! + QED
Homogeeninen dys (Kreyszig 42 Lause Alkuarvoprobleeman x = Ax, x(0 = a yksikäsitteinen ratkaisu on x(t = e ta a ( Tod Lemman nojalla d ( dt e ta a = Ae ta a ja koska e 0A a = a, niin ( on homogeenisen yhtälön ratkaisu Olkoon x(t toinen ratkaisu Määritellään y(t = e ta x Silloin y = Ae ta x +e ta A x 0, joten y on vakio Koska y(0 = x(0 = a, niin x = e ta a QED Matriisieksponenttiratkaisu on lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisutavoista lyhin ja selkein Se kuitenkin edellyttää matriisieksponentin tuntemusta Muitakin ratkaisumenetelmiä on, katso Kreyszig jne
Epähomogeeninen dys 1 (Kreyszig 46 Myös epähomogeeninen systeemi x = Ax +b, x(0 = a saadaan ratkaistua matriisieksponentilla Menetelmä on kuten vakion variointi skalaariteoriassa: etsitään ratkaisua muodossa x(t = e ta f(t, f tuntematon funktio Tällä yritteellä x = Ae ta f(t+e ta f = Ax +e ta f = Ax +b Siten f (t = e ta b(t, josta f(t = t 0 e sa b(sds +a ja ratkaisuksi saadaan x(t = e ta a+e ta t 0 e sa b(sds (1 (Tämän voi myös arvata ja derivoimalla todeta alkuperäisen tehtävän ratkaisuksi Lauseke (1 on myös ainoa ratkaisu, sillä jos y on toinen ratkaisu, niin x y = A(x y, jolla on homogeenisena yhtälönä yksikäsitteinen ratkaisu e ta k Siispä y on muotoa (1 jollekin vakiolle Mutta vakio on alkuehdon määräämä, joten y x
Epähomogeeninen dys 2 Lause Epähomogeenisen alkuarvoprobleeman x = Ax +b, x(0 = a yksikäsitteinen ratkaisu on t t x(t = e ta a+e ta e sa b(sds = e ta a+ e (t sa b(sds ( 0 0 Viimeinen muoto ( on merkillepantava; se on ohjausfunktion b(t ja matriisieksponentin e ta konvoluutiotulo Esimerkki 1: Tarkastellaan epähomogeenista systeemiä, jossa ( ( 0 1 0 A =, b = 1 0 t Aiemmin on laskettu matriisieksponentti (ilman s tekijää ( e sa coss sins =, josta sins coss t ( ( coss sins 0 t ( ( s sins sint tcost ds = ds = 0 sins coss s 0 s coss cost +tsint 1
Epähomogeeninen dys 3 Koska niin alkuehdolla a = (a 1,a 2 T lopulta ( e ta cost sint = sint cost { t ( ( x(t = e ta coss sins 0 0 sins coss s ( t +a1 cost +(1 a = 2 sint 1 (1 a 2 cost +a 1 sint ( 0+a1 cos0+(1 a Tarkistus: x(0 = 2 sin0 1 (1 a 2 cos0+a 1 sin0, ( ( } a1 ds + = a 2 ( a1 = = a, täsmää! a 2 Vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisu saadaan sivutuotteena: ( e ta a1 cost a a = 2 sint a 1 sint +a 2 cost Mitä merkitsee homogeenisen ratkaisun kannalta se, että ( näyttää olevan aiemmin nähty kiertomatriisi K(t?
Dys kvalitatiivisesti 1 (Kreyszig 43 Differentiaaliyhtälösysteemin määrittelemiä pisteitä, joille x = 0, kutsutaan kriittisiksi pisteiksi Lineaaristen, vakiokertoimisten, homogeenisten systeemien ainoa kriittinen piste on origo Tutkitaan seuraavaksi yksinkertaisimman tälläisen systeemin ratkaisujen käyttäytymistä faasitasossa kriittisen pisteen ympäristössä Määritelmä Olkoon A reaalinen 2 2 matriisi spektrillä {λ 1,λ 2 } Systeemin x = Ax, kriittinen piste, origo, on 1 satulapiste, jos λ 1,λ 2 R ja λ 1 < 0 < λ 2, 2 nielu, jos λ 1,λ 2 R ja λ 1 λ 2 < 0, 3 lähde, jos λ 1,λ 2 R ja 0 < λ 1 λ 2, 4 spiraalinielu (spiraalilähde, jos λ 1,2 = a±ib, b 0 ja a < 0 (a > 0 Jos a = 0 on origo keskus
Dys kvalitatiivisesti 2 (Kreyszig 43 Huomioita: Puretaan Määritelmän tapaukset 1 A diagonalisoituu eli A = TDT 1 Siten muunnoksella x = Ty voidaan siirtyä y-koordinaatteihin, joissa yhtälö on muotoa y = T 1 ATy = Dy Tämä vastaa kahta riippumatonta differentiaaliyhtälöä! Niiden analyysi on siis skalaariteoriaa ja välittömästi ratkaisu y = ( c 1 e λ 1t,c 2 e λ 2t T (, josta ominaisarvojen merkkien mukaan t y 1 0 ja y 2, ja t y 1 ja y 2 0 Tälläinen satulapiste on kaoottisen dynamiikan arkkityyppi; systeemi on yhteen ominaissuuntaan kontraktio ja toiseen ekspansio Tästä seuraa äärimmäinen herkkyys alkudatalle 2 Jos A diagonalisoituu, niin ratkaisukaava on kuten ( yllä Jos t, lähestyvät kaikki ratkaisut asymptoottisesti origoa, siitä termi nielu Toisinaan erotellaan vielä alatyypit polttopiste, jos λ 1 = λ 2 ja solmu, jos ominaisarvot ovat erilliset Jos A ei diagonalisoidu, ( niin voidaan osoittaa, että välttamättä ( λ 1 = λ 2 = λ ja λ b 1 bt A B, B =, b 0 Edeltävän nojalla e 0 λ tb = e λt, joten 0 1 ( ( ( y = e tb a = e λt a1 +a 2 bt = e a λt a1 +te 2 a λt a2 b 2 0 Tämä tapaus on degeneroitunut nielu, jossa mielenkiintoista on viimeisen termin lisäkontribuutio dynamiikkaan
Dys kvalitatiivisesti 3 (Kreyszig 43 3 Lähde alatapauksineen on analoginen nielun kanssa ja analysoidaan täsmälleen samoin kuin kohta 2 Nyt ratkaisut etääntyvät origosta kun t kasvaa Voidaankin ajatella, että kohdat 2 ja 3 saadaan toisistaan kääntämallä ajan suunta: t t kaavoissa 4 Kun realisella matriisilla on kompleksinen ominaisarvo, on myös tämän liittoluku aina ominaisarvo Nyt λ 1,2 = a±ib ja 2 2 systeemi voidaan kannanvaihdolla saattaa muotoon ( y a b = By = y, b a josta edelleen ( e tb = e at cos(bt sin(bt sin(bt cos(bt Matriisi yllä on selvästi kierto, ortogonaalinen matriisi, joka ei siis muuta kertomiensa vektorien pituutta Siten tekijä e at yksin määrää, kulkeeko dysin ratkaisu kohti origoa (a < 0 vai etääntyykö se origosta (a > 0 Tämä yhdistettynä kiertoon, joka on mukana täsmälleen silloin kun b 0, johtaa siis spiraalidynamiikkaan Näiden rajalla saadaan keskustapaus, a = 0, joka on siis puhdas kierto origon ympäri
Dys kvalitatiivisesti 4 (Kreyszig 43 ( 1 1 Esimerkki 1: Olkoon y = 1 1 matriisieksponentin avulla saadaan spiraalinieluratkaisu y Kerroinmatriisin spektri on 1±i, joten ( y = e t cos(t sin(t sin(t cos(t Alla ratkaisukäyrät origon ympäristössä neljästä eri alkupisteestä Huomaa kiertosuunta! Se on nyt myötäpäivään, koska b < 0 0002 0001 Out[31]= 0002 0001 0001 0002 0001 0002 Systeemi on ratkaistu Kreyszigissä vaihtoehtoisella menetelmällä
Dys kvalitatiivisesti 5 (Kreyszig 43 Esimerkki 2: Olkoon ( y 4 1 = 1 2 y Kerroinmatriisin ainoa ominaisarvo on 3, joten kyseessä on jonkinlainen lähde Matriisille löytyy vain yksi ominaisvektori, joten diagonalisoiminen ei onnistu Se on kuitenkin similaari Jordan matriisin kanssa: A = TJT 1, jossa T = ( 1 1 1 0 ja J = ( 3 1 0 3 Systeemin z = Jz (koordinaatistonmuunnos on siis y = Tz ratkaisu on z(t = e tj a Matriisieksponentiksi saadaan idempotenttimenetelmällä ( ( ( 3t t 0 1 e tj 3tI+t =e 0 3t = e 0 0 ( ( =e (I 3t 0 1 +t = e 0 0 3t 1 t, joten 0 1 ( e ta =Te tj T 1 = = e 3t 1+t t t 1 t Tämä tapaus on esimerkki degeneroituneesta lähteestä
Dys kvalitatiivisesti 6 (Kreyszig 43 Alkuperäisen systeemin (siis y-koordinaateissa kahdeksan ratkaisukäyrää: 02 01 Out[23]= 04 02 02 04 01 02 Kuvan epäsymmetrialla on syynsä: ominaisarvoa 3 vastaava ominaisvektori on (1, 1 T, jonka suuntaisiksi kaikkien ratkaisujen on taivuttava origon läheisyydessä Ymmärrätkö miksi? Tämäkin on ratkaistu Kreyszigissä, (sekavalla vaihtoehtoisella menetelmällä
Dys kvalitatiivisesti 7 Esimerkki, 3d: Tarkastellaan homogeenista systeemiä x = Ax, jossa A = 14 160 40 181 5 2 96 84 18 Tämä voidaan saattaa ominaiskannan avulla huomattavasti helpommin ymmärrettävään muotoon Mathematicalla: In[73]:= In[74]:= Out[74]= In[75]:= Out[75]= In[76]:= Out[76]= In[79]:= a 14, 160, 40, 181, 5, 2, 96, 84, 18 ; Eigensystem a 6 180, 6 180, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 e 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 4 p Transpose Re e 1, Im e 1, e 3 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 4 MatrixForm Inverse p ap Out[79]//MatrixForm= 6 180 0 180 6 0 0 0 3
Dys kvalitatiivisesti 8 Siten uusissa koordinaateissa y = 180 6 0 6 180 0 0 0 3 y, josta nähdään, että viimeinen komponentti on nyt riippumaton kahdesta ensimmäisestä Nämä taas käyttäytyvät selvästi 2d spiraalidynamiikan mukaisesti parametreilla a = 6 ja b = 180 Radat ovat 3d laajenevia spiraaleja, jotka litistyvät kahden ensimmäisen komponentin määräämään tasoon kolmannen komponentin lähestyessä eksponentiaalisesti nollaa 00 02 02 00 02 02 10 08 Out[6]= 06 04 02
Dys kvalitatiivisesti 9
Stabiilisuus 1 (Kreyszig 44 Yleisen n-ulotteisen homogeenisen differentiaaliyhtälösysteemin x = f(x, x R kriittiset pisteet x ovat täsmälleen yhtälön f(x = 0 ratkaisut Määritelmä Kriittinen piste x on stabiili, jos jokainen ratkaisu x(t, joka saapuu (t:n kasvaessa johonkin x :n avoimeen ympäristöön, pysyy sellaisessa kaikkina myöhempinä aikoina Jos x ei ole stabiili on se epästabiili kriittinen piste Jos pätee, että jokainen ratkaisu, joka saapuu x :n johonkin avoimeen ympäristöön, itse asiassa lähestyy x :aa, sanotaan, että tämä kriittinen piste on asymptoottisesti stabiili Avoimen ympäristön sijaan voidaan usemmiten ajatella avointa, x -keskistä kiekkoa Asymptoottinen stabiilisuus on huomattavasti vahvempi ominaisuus kuin stabiilisuus
Stabiilisuus 2 (Kreyszig 44 Esimerkki: Lineaarisen vakiokertoimisen systeemin ainoa kriittinen piste on origo Kaikki nielut spiraalilla tai ilman ovat asymptoottisesti stabiileja, kun taas kaikki lähteet ovat epästabiileja Satulapisteet ovat epästabiileja, koska ratkaisu pakenee äärettömyyteen ekspansiivisessa suunnassa Keskusdynamiikka on esimerkki stabiilista dynamiikasta, joka ei ole asymptoottisesti stabiilia Edelläkuvattu 3d esimerkki on epästabiili
2d dys synteesi 1 (Kreyszig 44 Edellä olevat kvalitatiiviset luokat 2d systeemille x = Ax saadaan hahmotettua käyttökelpoisella uudelleenparametrisoinnilla Kun huomataan, että det(a λi = a 11 λ a 12 a 22 λ a 21 = λ 2 (a 11 +a 22 λ+(a 11 a 22 a 12 a 21 = λ 2 Tr(Aλ+detA, jossa Tr on matriisin jälki, niin karakteristisen yhtälön det(a λi = 0 ratkaisu on Huomaa, että λ ± = Tr(A± (Tr(A 2 4detA 2 deta = λ + λ ja Tr(A = λ + +λ
2d dys synteesi 2 (Kreyszig 44 Jäljellä ja determinantilla parametrisoituna edeltävät dynamiikan tyypit sijoittuvat seuraavasti: Det Nielu (2 neljannes Lahde (1 neljannes Keskus 2 Diskr = Tr 4Det = 0 + Spiraali Spiraali Satula Tr Stabiileja ovat täsmälleen toisen neljänneksen systeemit
Linearisointi 1 (Kreyszig 45 Epälineaarisen systeemin x = f(x, x R n autonomisuus tarkoittaa sitä, että f ei riipu eksplisiittisesti ajasta Systeemin analyysissä on apua erään lineaarisen systeemin tuntemuksesta Määritelmä Tason epälineaarisen systeemin x = f(x linearisointi kriittisessä pisteessä x on systeemi x = Ax, jossa kertoimena on Jacobin matriisi ( f1 f 1 A = x 1 x 2 f 2 x 1 f 2 x 2 x=x Linearisointi perustuu siihen, että riittävän säännöllinen (vähintään differentioituva vektorifunktio f = (f 1,f 2 voidaan Taylor-kehittää kriittisessä pisteessä f(x = f(x +Df(x (x x + = Df(x (x x +o(x x,
Linearisointi 2 (Kreyszig 45 jossa Df on Jacobin matriisi ja viimeisin termi on häviävän pieni riittävän lähellä x :ää (g(t = o(t k tarkoittaa, että g(t 0 kun t k t menee rajalleen Ax on siis se lineaarisista funktioista, joka muistuttaa eniten kuvausta f pisteen x ympäristössä Lause Mikäli systeemin x = f(x kriittinen piste x on eristynyt, f riittävän säännöllinen, det A 0, A:n ominaisarvot erilliset, eivätkä puhtaan imaginaariset, on linearisoinnin x = Ax tyyppi origossa sama kuin alkuperäisen systeemin pisteessa x Todistus ei ole aivan yksinkertainen, löytyy kirjallisuudesta
Epälineaarista dynamiikkaa 1 (Kreyszig 45 Esimerkki 1: Lotka-Volterra-malli on klassinen esimerkki epälineaarisesta systeemistä Se on alunperin populaatiomalli, ns saalis-saalistaja-malli, mutta sovellutuksia on moneen muuhunkin yhteyteen, jossa muuttujien yhteenkombinoituminen on oleellista Alkuperäisessä muodossan y 1 ja y 2 ovat kanien ja kettujen määrät jollakin laajalla, mutta suljetulla alueella (ei populaatioden nettovirtausta ulos, eikä sisään Tällöin voidaan keskinäiset riippuvuudet perusmuodossaan kuvata yhtälöin { y 1 = f 1 (y 1,y 2 = ay 1 by 1 y 2 y 2 = f 2(y 1,y 2 = ky 1 y 2 ly 2 jossa a,b,k ja l ovat posittiivisia vakioita Ristitermi y 1 y 2 kuvaa kettujen ja kanien kohtaamisten määrää, joissa siis kanikanta kärsii ja kettukanta saa kasvuvoimaa Oletuksena on, että kaneilla on rajattomasti kasviksia, muita petoja ei ole ja ketut syövät vain kaneja Systeemin kriittiset pisteet ovat (0, 0 ja matriisiin A 0 = ( f1 f 1 y 1 y 2 f 2 f 2 y 1 y 2 y1 =y 2 =0 ( l k, a b Origion kohdalla linearisointi johtaa ( a ky2 by = 1 ky 2 ky 1 l ( a 0 = 0 l y1 =y 2 =0
Epälineaarista dynamiikkaa 2 (Kreyszig 45 Tämän ominaisarvoille pätee selvästi λ = l < 0 < a = λ +, joten kyseessä on satulapiste Aiemmin esitetyn teorian nojalla (Lause Linearisointi 2 -kalvolla tämä päätelmä pätee myös epälineaarisen systeemin kriittiselle pisteelle Onko tulos järkeenkäypä? Systeemi voidaan häiritä pois origosta kahdella kvalitatiivisesti hyvin erilaisella tavalla Jos alkutila y 1 (0 on positiivinen, mutta pieni ja y 2 (0 = 0, on seurauksena on kanien väestöräjähdys, koska harventavaa kettupopulaatiota ei ole Tämä on faasiavaruuden ekspansiivinen suunta Jos taas y 1 (0 = 0 eli kaneja ei ole ja y 2 (0 on positiivinen luku, kuolee kettupopulaatio nälkäänsä pois Tämä on faasiavaruuden kontraktiivinen suunta Origon läheisyydessä dynamiikka on siis äärimmäisen herkka pienille populaationvaihteluille Toinen kriittinen piste kannattaa ensin siirtää origoon siirtymällä uusiin muuttujiin: y 1 = u 1 + l k, y 2 = u 2 + a Systeemi on silloin b ( u 1 = u 1 + l ( bu 2 k ( u 2 = u 2 + a ku 1 b Linearisoimalla tämä nyt origossa saadaan systeemin u = A 1 u kerroinmatriisiksi ( 0 bl A 1 = k ak 0 b
Epälineaarista dynamiikkaa 3 (Kreyszig 45 jonka spektri on ±i al Lineaarisella systeemilla on siis keskusdynamiikka, mutta edeltävä teoria (Lause Linearisointi 2 -kalvolla ei implikoi tätä päätelmää alkuperäiselle systeemille Tämä on kuitenkin osoitettavissa todeksi systeemin tarkemmalla analyysilla Huomaa, että systeemin u = A 1 u yhtälöt voidaan kertoa ristiin, jolloin saadaan josta edelleen integroimalla ak b u 1u 1 = bl k u 2u 2, ak b u2 1 + bl k u2 2 = vakio Nämä käyrät, ellipsit, ovat populaatioiden syklistä vaihtelua kuvaavia jaksollisia ratoja Kiertosuunta on vastapäivään, miksi? Tässä esimerkissä populaatioiden dynaaminen tasapaino edellyttää, että pysytään kauhun tasapainossa eli keskusdynamiikassa Jos systeemi poikkeaa siitä, lineaarinen teoria viittaa siihen, että joudutaan joko spiraalinieluun ( kaikkien lajien sukupuutto tai spiraalilähteeseen ( rajaton kasvu, epärealistinen skenaario maailmassa, jossa on vain äärellinen määrä resursseja
Epälineaarista dynamiikkaa 4 Esimerkki 2: Tarkastellaan tason epälineaarista systeemiä { x = f 1 (x,y = x +4y x 3 xy 2 y = f 2 (x,y = 4x +y x 2 y y 3 Pienellä päättelyllä voi todeta, että ainoa kriittinen piste on origo Jacobin matriisi origossa on ( f1 x f 2 x f 1 y f 2 y x=y=0 = ( 1 3x 2 y 2 4 2xy ( 1 4 4 2xy 1 x 2 3y x=y=0 2 = 4 1 Tämän ominaisarvot ovat 1 ± 4i, joten kyseessä on spiraalilähde Huomaamalla, että f 1 (x,y = (1 x 2 y 2 x +4y ja f 2 (x,y = 4x +(1 x 2 y 2 y saattaa alkaa epäillä, että yksikköympyrällä x 2 +y 2 = 1 on jotain erityistä merkitystä Sillä alkuperäinen systeemi yksinkertaistuu muotoon ( ( x 0 4 y = 4 0 ( x y, jossa kerroinmatriisin spektri on ±4i Siten on pääteltävissä, että yksikköympyrä on systeemin jaksollinen rata
Epälineaarista dynamiikkaa 5 Origo on siis lähde ja osoittautuukin, että jaksollinen rata x 2 +y 2 = 1 on itse asiassa attraktiivinen sisältä Lisäargumentilla voidaan osoittaa, että samoin on ulkopuolelta, joten yksikköympyrä on itse asiassa rajasykli 10 05 Out[152]= 15 10 05 05 10 15 05 10 Neljä myötäpäivään (b = 4 < 0 kiertävää spiraalirataa, jotka lähestyvät rajasykliä Kuuluisa van der Polin yhtälö, y µ(1 y 2 y +y = 0, µ > 0 vakio, saatettuna kahden epälineaarisen (kolmannen asteen polynomeja differentiaaliyhtälön muotoon, on lähisukulainen Silläkin systeemillä on rajasykli (joka liittyy elektronisten piirien värähtelyihin; analyysiä näistä löytyy Kreyszigistä & erikoisteoksista