Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1
Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus Matriisin vapausaste Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 2
Kurssin sisältö 2/2 Determinantti Cramerin sääntö Käänteismatriiisi Gauss - Jordan Adjugoitu matriisi Matriisin ominaisarvot, ominaisvektorit Lineaarikuvaus Pääakselimuunnos Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 3
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 4
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 5
Matriisi 1/2 A on n m matriisi, eli A:ssa on n riviä ja m saraketta Jos n = m on A neliömatriisi Vektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi tai sarake ā = [ a 1 a 2... a n ] A = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n....... a m1 a m2 a m3... a mn b = b 1 b 2. b n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 6
Matriisi 2/2 A:n transpoosi A T saadaan kun vaihdetaan A:sta rivit ja sarakkeet A T = A niin A on symmetrinen A T = A niin A on vinosymmetrinen A T = a 11 a 21 a 31... a m1 a 12 a 22 a 32... a m2 a 13 a 23 a 33... a m3....... a 1n a 2n a 3n... a nm Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 7
Erityismatriiseja Alakolmiomatriisi a 11 0 0 T a = a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 Diagonaalimatriisi a 11 0 0 T d = 0 a 22 0 0 0 a 33 Yläkolmiomatriisi a 11 a 12 a 13 T y = 0 a 22 a 23 0 0 a 33 Yksikkömatriisi 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 8
Laskutoimitukset Yhteenlasku A = [a ij ] B = [b ij ] A+B = [a ij +b ij ] Matriisien oltava samankokoisia Skalaarilla kertominen ca = [c a ij ] Ominaisuuksia (A+B) T = A T +B T (ca) T = ca T Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 9
[ 1 2 3 4 ] [ 2 3 + 4 5 ] = [ 3 5 7 9 ] [ 3 5 3 7 9 ] = [ 9 15 21 27 ]
Laskutoimitukset Kertolasku Tulo C = AB, missä A = [a ij ] m n, B = [b ij ] r p Tulo on määritelty jos ja vain jos n = r Tulon tulos C on tällöin m p c ij = n a il b lj = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a in b nj l=1 Ominaisuuksia (AB) T = B T A T AB BA AB = 0 ei välttämättä tarkoita, että A = 0 B = 0 BA = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 11
Määritä tulo AB A = 4 3 7 2 9 0 B = [ 2 5 1 6 ] 4 3 7 2 9 0 [ 2 5 1 6 ] = 4 2+3 1 4 5+3 6 7 2+2 1 7 5+2 6 9 2+0 1 9 5+0 6 = 11 38 16 47 18 45
Laske kertolaskut [ ][ 9 3 1 4 2 0 2 5 [ 1 4 2 5 ] = [ 9 1+3 2 9 ( 4)+3 5 2 1+0 2 2 ( 4)+0 5 [ ] 15 21 = 2 8 ][ ] [ ] 9 3 1 9 4 ( 2) 1 3 4 0 = 2 0 2 9+5 ( 2) 2 3+5 0 [ ] 17 3 = 8 6 [ 1 1 2 2 AB BA ][ ] 1 1 = 1 1 [ 0 0 0 0 ] ]
Matriisitulo lineaarimuunnoksessa { y1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 { x1 = b 11 w 1 +b 12 w 2 y 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 Lineaarikuvaukset voidaan tällöin kirjoittaa muotoon: ȳ = A x x = B w Yhdistämällä saadaan: ȳ = A x = A(B w) = AB w = C w x 2 = b 21 w 1 +b 22 w 2 ȳ = [ y1 y 2 ] [ x1 x = x 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 [ ] x1 x = w = x 2 [ w1 w 2 [ ] b11 b B = 12 b 21 b 22 ] ] Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 14
Lineaarinen yhtälöryhmä Rajoitutaan yhtälöryhmiin a 11 x 1 +...+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +...+ a 2n x n = b 2... a n1 x 1 +...+ a nn x n = b n Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan lyhyesti kirjoittaa Ax = b, missä a 11... a 1n x 1 b 1 A =....., x =., b =. a n1... a nn x n b n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 15
Gaussin eliminointi 1/2 Yhtälöryhmän ratkaisu säilyy samana, mikäli Vaihdetaan kaksi riviä Kerrotaan rivi vakiolla 0 Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 16
Gaussin eliminointi 2/2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 4x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 21 6x 1 + 7x 2 + 4x 3 = 32 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 4x 2 + 1x 3 = 11 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 x 3 = 3 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 17
Ratkaise x 1 x 2 +x 3 = 0 x 1 +x 2 x 3 = 0 10x 2 +25x 3 = 90 20x 1 +10x 2 = 80 Matriisimuodossa 1 1 1 1 1 1 0 10 25 20 10 0 Ax = b x 1 x 2 x 3 = 0 0 90 80 Gaussin eliminointia: 1 1 1 0 1 1 1 0 0 10 25 90 20 10 0 80 1 1 1 0 0 0 0 0 0 10 25 90 0 30 20 80 1 1 1 0 0 0 0 0 0 10 25 90 0 0 95 190 x 1 x 2 +x 3 = 0 10x 2 +25x 3 = 90 95x 3 = 190 x 1 = 2+4 x 2 = 90 25 2 10 x 3 = 190/ 95 x 1 = 2 x 2 = 4 x 3 = 2
Ratkaise 3x 1 +2x 2 +x 3 = 3 2x 1 +x 2 +x 3 = 0 6x 1 +2x 2 +4x 3 = 6. Ei ratkaisua. 3x 1 +2x 2 +x 3 = 3 1 3 x 2 + 1 3 x 3 = 2 0 = 12. 3 2 1 3 2 1 1 0 6 2 4 6 3 2 1 3 0 1 3 0 2 2 0 1 3 2 3 2 1 3 0 1 3 0 0 0 12 1 3 2
Ratkaise 3.0x 1 +2.0x 2 +2.0x 3 5.0x 4 = 8.0 0.6x 1 +1.5x 2 +1.5x 3 5.4x 4 = 2.7. 1.2x 1 0.3x 2 0.3x 3 +2.4x 4 = 2.1 3.0 2.0 2.0 5.0 8.0 0.6 1.5 1.5 5.4 2.7 1.2 0.3 0.3 2.4 2.1 3.0 2.0 2.0 5.0 8.0 0 1.1 1.1 4.4 1.1 0 0 0 0 0 3.0 2.0 2.0 5.0 8.0 0 1.1 1.1 4.4 1.1 0 1.1 1.1 4.4 1.1 x 1 = 2 t x 2 = 1.1+4.4t 1.1s 1.1 = 1+4t s x 3 = s x 4 = t
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 21
Lineaarinen riippumattomuus Vektorit ā 1,ā 2,...,ā n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos yhtälön ainut ratkaisu on c 1 ā 1 +c 2 ā 2 +...+c n ā n = 0 c 1 = c 2 =... = c n = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 22
Tutki ovatko vektorit a = (1 2 3), b = (2 2 0), c = (0 1 7) lineaarisesti riippuvia Asetetaan c 1 (1 2 3)+c 2 (2 2 0)+c 3 (0 1 7) = 0 1 2 0 0 0 2 1 0 c 1 +2c 2 +0c 3 = 0 0 6 7 0 2c 1 2c 2 +c 3 = 0 3c 1 +0c 2 +7c 3 = 0 1 2 0 0 2 2 1 0 3 0 7 0 1 2 0 0 0 2 1 0 0 0 10 0 10c 3 = 0 c 3 = 0 c 1 = c 2 = c 3 = 0 Täten a, b, c lineaarisesti riippumattomia
Tutki ovatko vektorit a = (2 3 4), b = (4 7 6), c = (18 11 4), d = (2 7 3) lineaarisesti riippumattomia. a, b, c, d R 3 Vektoreita 4 > 3 a, b, c, d lineaarisesti riippuvia
Matriisin vapausaste (rank) Matriisin A vapausaste r(a) Kerrosmatriisin ei-nollarivien lukumäärä Lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärä A:ssa r(a) saadaan Gaussin eliminaation jälkeisen yläkolmiomatriisin ei-nollarivien määrästä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 25
Määritä matriisin rank ja nulliteetti. A = 1 1 3 0 2 2 0 0 0 1 1 3 2 0 4 1 3 1 1 1 3 2 0 4 1 3 1 1 1 3 0 2 2 0 4 4 { rank A = 2 < 3 = n null A = 3 2 = 1
Laskutoimitukset Determinantti Determinantin sovelluksia lineaarisissa systeemeissä, ominaisarvo-ongelmissa, differentiaaliyhtälöissä, vektorilaskennassa Voidaan laskea vain neliömatriisille Merkitään a 11... a 1n det(a) = A =..... a n1... a nn A:n alimatriisi (n 1) (n 1) C ij Saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 27
Determinantti Määritelmä det(a) = A = det(a) = A = n a ij ( 1) (i+j) C ij, i {1,...,n} j=1 n a ij ( 1) (i+j) C ij, j {1,...,n} i=1 Erityistapauksia: det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 28
Determinantti a 11 a 12... a 1n a 11 0... 0 0 a 22... a 2n a 21 a 22... 0..... =....... 0 0... a nn a n1 a n2... a nn = a 11 a 22...a nn deta T = deta det(ab) = (deta)(detb) deta 1 = 1 deta deti = 1 det(xa) = x n deta deta = 0 A:n riveissä(sarakkeissa) on lineaarinen riippuvuus! deta 0 A 1 deta = λ 1 λ 2...λ n Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 29
Määritä determinantin arvo 1 3 5 2 0 1 3 4 2 1 9 6 3 2 4 8 1 3 5 2 = 0 1 3 4 0 5 1 2 0 7 11 2 1 3 5 2 = 0 1 3 4 0 0 16 18 0 0 32 26 1 3 5 2 0 1 3 4 0 0 16 18 = 1 ( 1) ( 16) 10 = 160 0 0 0 10
Determinantti Jos kaksiriviä tai saraketta vaihdetaan, niin determinantin arvo vaihtuu vastakkaismerkkiseksi Rivi (sarake) voidaan kertoa vakiolla ja lisätä toiseen det:n arvon muuttumatta Rivin (sarakkeen) alkiot kerrotaan vakiolla C Determinantti tulee kerrotuksi C:llä Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 31
Määritä determinantin arvo 8 4 5 6 2 7 2 1 1 7 2 4 7 4 5 7 = = 1 0 0 1 3 0 0 3 1 7 2 4 7 4 5 7 0 0 0 0 3 0 0 3 1 7 2 4 7 4 5 7 = 0
Cramerin sääntö Olkoon A x = b lineaarinen yhtälöryhmä Tällöin sen ratkaisut x j saadaan Cramerin säännön avulla seuraavasti: Määritelmä x j = D j D, j = 1,...,n D = deta ja D j on determinantti, joka saadaan vaihtamalla D:n j:s sarake vektorilla b Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 33
Ratkaise yhtälöryhmä cramerin säännöllä 2x y = 1 x +3y z = 2 y +2z = 1 Yhtälö matriisimuodossa esitettynä: D = 2 1 0 1 3 1 0 1 2 D 1 = = 2 1 1 0 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1+1 1 1 2 2 1 0 ( 1)2+1 1 2 = 1 0 0 2 1 1 1 2 2 = = 2 2 = 0 = 10 2 = 8
D 2 = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 ( 1) 3+2 2 2 1 5 D 3 = 2 1 1 1 3 2 0 1 1 1 ( 1) 3+3 2 2 1 5 = 2 1 2 1 2 5 0 1 0 = = 10+2 = 8 = 2 2 1 1 5 2 0 0 1 = (10 2) = 8 x = D 1 D = 0 8 = 0 y = D 2 D = 8 8 = 1 z = D 3 D = 8 8 = 1
Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisille A 1 pätee AA 1 = A 1 A = I Vrt. A A tai skalaareilla cc 1 = 1 Käänteismatriisi on olemassa vain n n neliömatriiseille, joiden rank = n (eli ei lineaarista riippuvuutta) Yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla: A x = b A 1 A x = A 1 b I x = A 1 b x = A 1 b Käänteismatriisin laskentaan kaksi peruskeinoa: Gauss-Jordan menetelmä Adjungoidun matriisin avulla Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 36
Käänteismatriisi Gaus-Jordan: Olkoon A n n matriisi, jonka ranka = n [A I]... [I A 1 ] Adjungoidu matriisi: A 1 = 1 deta adj(a) A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n adj(a) =...... A n1 A n1... A nn T Missä A ij on alkion a ij cofaktori-determinantti Eli A:n alideterminantti, kun i:s rivi ja j:s sarake on poistettu Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 37
Määritä kääänteismatriisi A 1 1 1 2 A = 3 1 1. [AI] = 1 3 4 1 1 2 1 0 0 0 2 7 3 1 0 0 2 2 1 0 1 3 1 0 1 1 1 2 1 0 0 3 1 1 0 1 0 1 3 4 0 0 1 1 2 0 2 0 2 7 3 1 0 0 0 5 4 1 1 7 1 0 0 10 1 5 3 10 0 2 0 13 5 2 7 5 5 0 0 5 4 1 1 1 0 0 7 1 3 10 5 10 0 1 0 13 10 1 7 5 10 = [IA 1 ] A 1 = 4 1 0 0 1 5 5 1 5 7 1 10 5 13 10 1 5 4 5 3 10 7 10 1 5 1 5
Muodosta käänteismatriisi A 1 adjukoidun matriisin avulla 1 0 0 1 0 0 A = 2 1 0 deta = 2 1 0 3 4 1 3 4 1 = 1 1 0 4 1 2 0 3 1 adja = 0 0 4 1 1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 2 0 A 1 = 1 deta adja = 1 1 1 2 5 0 1 4 0 0 1 2 1 3 4 1 0 3 4 1 0 2 1 T = 1 0 0 2 1 0 5 4 1 T
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 40
Ominaisarvot Lukua λ sanotaan neliömatriisin A ominaisarvoksi ja x 0 vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos Määritelmä A x = λ x (A λi) x = 0 det(a λi) = a 11 λ a 12... a 1n a 21 a 22 λ... a 2n.... a n1 a n2... a nn λ = 0 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 41
Ominaisarvot Ratkaise ominaisarvot yhtälöstä: det(a λi) = 0 Tämän jälkeen ominaisvektorit saat ratkaisemalla eri lambdan arvoilla yhtälöryhmän: (A λi) x = 0 Yhtälöryhmällä ääretön määrä ratkaisuja, valitaan yksi Moninkertainen ominaisarvo antaa yhtä monta ominaisvektoria Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 42
Määritä matriisin A = 13 8 4 8 13 4 4 4 23 Ominaisarvot ja -vektorit. Mikä on ominaisarvojen algebrallinen ja geometrinen monikerta? Ominaisarvot: = det(a λi) = 13 λ 8 4 8 13 λ 4 4 4 23 λ 21 λ 8 4 = 21+λ 13 λ 4 0 4 23 λ 21 λ 8 4 0 5 λ 8 0 4 23 λ = (21 λ) 5 λ 8 4 23 λ
= (21 λ)((5 λ)(23 λ) 4 ( 8)) = (21 λ)(λ 2 28λ+147) = 0 Ominaisvektorit: λ 1,2 = 21 M 21 = 2 (alg) λ 3 = 7 M 7 = 1 λ 1,2 = 21 (A 21I) x = 0 13 21 8 4 0 8 13 21 4 0 4 4 23 21 0 8 8 4 0 8 8 4 0 4 4 2 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 2x 1 +2x 2 +x 3 = 0 x 1 = t x 2 = s x 3 = 2(t +s) v 1,2 = = t 1 0 2 t s 2(t +s) +s 0 1 2
val v 1 = 1 0 2 λ 3 = 7: (A 7I) x = 0 6 8 4 8 6 4 4 4 16, v 2 = 1 1 4 8 6 4 6 8 4 1 1 4 0 14 28 0 14 28 0 1 2 val v 3 = { x1 +x 2 +4x 3 = 0 x 2 +2x 3 = 0 m 21 = 2(geom) x 1 = 2t x 2 = 2t x 3 = t 2 2 1 m 7 = 1
Matriisin diagonalisointi Jokainen n n neliömatriisi A, jolla on n ominaisvektoria voidaan diagonalisoida Olkoon X matriisi, jonka sarakkeina ovat A:n ominaisvektorit (nkpl) ja D diagonaalimatriisi, jonka alkioina ovat A:n ominaisarvot, tällöin: D = X 1 AX A m = XD m X 1 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 46
Laske matriisille A = 1 7 Ominaisarvot: 6 det(a λi) = 3 7 [ 6 2 3 1 7 λ 2 7 3 1 7 7 λ ] A 10. = 6 49 + 6 7 λ+ 1 7 λ+λ2 6 49 = λ+λ 2 = 0 λ 1 = 0 λ 2 = 1 Ominaisvektorit: λ 1 = 0: (A 0I) [ 6 ] [ 2 7 7 6 2 0 0 λ 1 = 1: (A+I) [ 1 7 3 7 1 7 2 7 6 7 val v 1 = ] [ 1 2 0 0 val v 1 = ] 3x 1 +x 2 = 0 [ 1 3 ] ] x 1 +2x 2 = 0 [ 2 1 ]
[ ] 1 2 X = 3 1 [ 1 3 [ ] 0 0 D = 0 1 ] T = 1 [ ] 1 2 X 1 = 1 7 2 1 7 3 1 [ ][ ] 10 [ A 10 = XD 10 X 1 1 2 0 0 1 2 = 3 1 0 1 3 1 [ ][ ][ ] 1 2 0 0 1 2 ] 1 = 1 7 3 1 0 1 3 1 = 1 [ ][ ] 0 2 1 2 = 1 [ ] 6 2 7 0 1 3 1 7 3 1