Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8
Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4
Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen, koska kerroin on neliö. 4 A = Ratkaisujen olemassaoloa ja lukumäärää voidaan tutkia kerroinn determinantin avulla. 4 det(a) = = +4 + ( ) = 4( ) ( ( )) ( ( )) = 8 4 6 =
Esimerkki kvadraattinen 3 Lause : Kun kvadraattisen n kerroinn determinantti on erisuuri kuin nolla, niin llä on yksi yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkin tapauksessa on siis olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka voidaan ratkaista rivioperaatioin, tai käänteisa käyttäen, tai Cramerin kaavoilla.
Esimerkki kvadraattinen 4 Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = x + y + z = 4 x 4 + y x y z = + z =
Esimerkki kvadraattinen 5 Homogeenisella llä on aina triviaali ratkaisu x =,y =,z =. Koska kerroin on sama kuin edellisessä esimerkissä, tiedämme että det(a) =, joten n ratkaisu on yksikäsitteinen. Ei siis ole olemassa muuta ratkaisua, kuin triviaali x =,y =,z =.
Esimerkki 3 kvadraattinen 6 Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 3x y z = 4 3 x 4 3 + y x y z = + z =
Esimerkki 3 kvadraattinen 7 Nyt kerroinn determinantti on, joten löytyy ei-triviaali ratkaisu, joka voidaan ratkaista rivioperaatioilla tai asettamalla yhdelle muuttujalle arvo (esim. z = ) ja ratkaisemalla näinsaatu (ei-kvadraattinen) 4x + y = x + y + = 3x y = 4x + y = x + y = 3x y =
8 Seuraavan määritelmän alakohdat,,3 ovat keskenään yhtäpitävät: Määr:(a) Matriisi A on lineaarisesti riippuva (sidottu), jos. jokin n sarake voidaan muuttaa sarake-operaatioilla nollasarakkeeksi. (Jokin sarake voidaan lausua muiden sarakkeiden lineaarikombinaationa), tai. jokin transpoosin A T rivi voidaan muuttaa rivi-operaatioilla nollariviksi, tai 3. A x =, jollakin ei-triviaalilla vektorilla x. (b) Matriisi A on lineaarisesti riippumaton (eli vapaa), jos se ei ole lineaarisesti riippuva (eli ei ole sidottu).
9 Lause : Neliö A on vapaa, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla (det(a) ). Lause 3: (a) Jos llä A x = b on enemmän kuin yksi ratkaisu (kaksi tai enemmän), niin kerroin on sidottu. (b) Jos n A x = b kerroin on vapaa, niin ryhmällä on korkeintaan yksi ratkaisu. (Yksi ratkaisu tai Rj = /.) Perustelu: Jos löytyy kaksi erilaista ratkaisua u ja v, niin niiden erotus w = u v on ei-triviaali vektori ja A w = A( u v) = A u A v = b b = joten A on määritelmän nojalla sidottu.
Lause 4: m n n A vapaus vapaus voidaan tutkia seuraavasti: () Jos m < n (rivejä vähemmän kuin sarakkeita), niin on sidottu. () Jos m = n (A on neliö), niin A on vapaa, jos ja vain jos det(a). (3) Jos m > n (rivejä enemmän kuin sarakeita), niin A on vapaa, jos ja vain jos det(a T A). Perustelu A x = A T A x = x T A T A x = (A x) T A x }{{} = A x = A x = Siis A x = A T A x =, eli A on sidottu, jos ja vain jos A T A on sidottu. Mutta A T A on neliö, jonka vapaus voidaan tutkia kohdan () mukaisesti.
Tarkastellaan ä A x = b. Muodostetaan täydennetty (augmented) apu W siten, että n RHS lisätään viimeiseksi sarakkeeksi A:n sarakkeiden jälkeen. Esimerkki 4x + y = 7 x + y = 7 x + y = 4 4 A = 4 ( x y ) = 7 7 4, ja W = 4 7 7 4.
Lause 5: Tarkastellaan ä A x = b, jonka täydennetty (augmented) kerroinkaavio on W, niin () Jos A on vapaa, niin ryhmällä on enintään yksi ratkaisu. () Jos A on vapaa ja W on sidottu, niin ryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan kvadraattiselle ryhmälle kaavalla x = A b ja ei-kvadraattiselle ryhmälle kaavalla x = A b = (A T A) A T b (3) Jos A on vapaa ja W on vapaa, niin ryhmällä ei ole tarkkaa ratkaisua, mutta pienimmän neliösumman approksimaatio (PNS-ratkaisu) saadaan kaavalla x = A b = (A T A) A T b