Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua

TMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Lempiäinen Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2008

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos LEMPIÄINEN, TEEMU: Hilbertin aksioomajärjestelmän tarkastelua Pro gradu -tutkielma, 42 s. Matematiikka Toukokuu 2008 Tiivistelmä Tutkielma tarkastelee saksalaisen matemaatikon David Hilbertin aksioomajärjestelmää Eukleideen geometrialle. Hilbert julkaisi vuonna 1899 kuuluisan teoksensa The Foundations of Geometry, jossa hän esitti nykyaikaisessa muodossa Eukleideen jo yli 2000 vuotta vanhan geometrian. Tarkastelun alussa kerrotaan lyhyesti aksioomajärjestelmän vaatimuksista ja tämän jälkeen esitetään tarkasteltavalle aksioomajärjestelmälle yleiset käsitteet. Tarkastelussa aksioomat jaetaan viiteen eri ryhmään, jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia rakennettavalle geometriselle järjestelmälle. Lisäksi esitetään aksioomajärjestelmälle tarpeelliset määritelmät, aksioomat ja aksioomajärjestelmään keskeisesti liittyviä lauseita. Tarkastelun lopuksi osoitetaan aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus. Ensimmäiseksi konstruoidaan malli, jonka avulla osoitetaan, että aksioomat eivät ole ristiriidassa keskenään. Tämän jälkeen osoitetaan aksioomien keskinäinen riippumattomuus. Tutkielman päälähteinä on käytetty Hilbertin The Foundations of Geometry teoksen ensimmäistä ja 10. laitosta sekä esitetty näiden kahden laitoksen välisiä eroavaisuuksia tavassa, jolla Hilbert esitti aksioomajärjestelmänsä. siasanat: Geometria, Eukleideen geometria, Hilbertin aksioomajärjestelmä i

Sisältö 1 Johdanto 1 2 Hilbertin aksioomajärjestelmä 2 2.1 Taustaa.............................. 2 2.2 Yleiset käsitteet.......................... 2 2.3 Liitännäisaksioomat........................ 3 2.4 Järjestysaksioomat........................ 5 2.5 Yhtenevyysaksioomat....................... 15 2.6 Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma)........ 32 2.7 Jatkuvuusaksioomat....................... 35 3 ksioomajärjestelmän ristiriidattomuus ja keskinäinen riippumattomuus 36 3.1 ksioomien ristiriidattomuus................... 36 3.2 ksioomien riippumattomuus.................. 37 3.2.1 Yhdensuuntaisuusaksiooman riippumattomuus..... 38 3.2.2 Yhtenevyysaksioomien riippumattomuus........ 38 3.2.3 Jatkuvuusaksioomien riippumattomuus......... 40 Viitteet 42 ii

1 Johdanto ntiikin Kreikan matemaatikko Eukleides kirjoitti noin 300 ekr. teoksen lkeet, jossa hän esitteli nykymuotoisen geometrian. Eukleideen lähtökohtana olivat määritelmät, postulaatit ja yleiset merkinnät (eng. common notions). Näiden perusteella hän todisti, deduktiivisen päättelyn avulla, lauseita, joita ei enää voitu pitää itsestään selvyyksinä. lkeet-teos otettiin käyttöön hyvin laajalti ja parin tuhannen vuoden ajan se olikin geometrian opetuksen yksi pääteos. Tutkijat kautta linjan kuitenkin kyseenalaistivat Eukleideen tapaa esittää geometrinen järjestelmä määritelmien, postulaattien, yleisten merkintöjen ja lauseiden avulla. Eukleideen geometriassa esitettiin viisi postulaattia, joista viimeistä yleisesti ottaen kutsutaan paralleelipostulaatiksi. Vuosisatojen ajan lukuisat eri tutkijat kiistelivät siitä, oliko tämä paralleelipostulaatti todellakin postulaatti vai lause. Heidän mielestään paralleelipostulaatilla ei ollut sellaista puhdasta luonnetta, joka löytyi muilta postulaateilta. Nykyään ajattelemme näiden postulaattien olevan aksioomia. Tästä johtuen paralleeliaksioomaa on yritetty todistaa jo aiemmin esitettyjen lauseiden ja aksioomien avulla. Tutkijat ovat kuitenkin epäonnistuneet näissä todistuksissaan. Yhteistä näille todistuksille on ollut se, että tekijät ovat vaihtaneet tai korvanneet paralleeliaksiooman toisella aksioomalla, joka on ollut yhtäpitävä Eukleideen postulaatin kanssa. Vasta 1800 -luvulla onnistuttiin löytämään uusi geometrinen malli, jossa Eukleideen kaikki muut aksioomat, paitsi paralleeliaksiooma, olivat voimassa sellaisenaan. Tätä alettiin loogisesti kutsua epäeuklidiseksi geometriaksi. Sen kehittivät koko komeudessaan toisistaan riippumatta unkarilainen olyai ja venäläinen Lobatševski. ikanaan myös Gauss näki tämän, mutta ei esittänyt sitä painetussa muodossa. Epäeuklidisen geometrian syntyminen saatti päätökseen yritykset todistaa paralleeliaksiooman riippuminen muista aksioomista. Tutkielmassa esittelemme Eukleideen geometrian esitystä saksalaisen matemaatikon David Hilbertin teoksen Foundations of Geometry (10. laitos) esittämien aksioomien pohjalta. Hilbert, kuten muutkin matemaatikot, ovat halunneet esittää Eukleideen geometrian aiempaa täsmällisemmin. Tutkielman muina lähteinä ovat olleet Nevanlinnan Geometrian perusteet, Lehtisen, Merikosken ja Tossavaisen Johdatus tasogeometriaan sekä Priestleyn Introduction to omplex nalysis. Tutkielman luvussa 2 esitämme Hilbertin aksioomajärjestelmän ja esittelemme eroavaisuuksia Hilbertin teoksen ensimmäisen ja 10. laitoksen välillä. Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus- ja riippumattomuustarkastelut. 1

2 Hilbertin aksioomajärjestelmä 2.1 Taustaa Rakentaessamme aksiomaattisella menetelmällä geometriaa meidän tulee ensin esittää joitakin intuitioon perustuvia yleisiä käsitteitä. Tämän jälkeen voimme kuvata erilaisten aksioomien ja määritelmien avulla näitä käsitteitä ja niiden ominaisuuksia. Lisäksi esitämme lauseita, jotka voimme todistaa joko oikeiksi tai vääriksi määritelmien ja aksioomien avulla. Myöhemmässä vaiheessa voimme lisäksi todistaa uusia lauseita jo todistettujen lauseiden avulla. Emme voi kuitenkaan valita aksioomia täysin mielivaltaisesti, vaan niiden tulee olla järkeviä, ja niiden muodostamalla aksioomajärjestelmällä tulee olla seuraavat ominaisuudet: 1. Ristiriidattomuus. ksioomat eivät saa olla keskenään ristiriidassa. 2. Riippumattomuus. Mikään aksiooma ei saa olla johdettavissa muista aksioomista. 3. Täydellisyys. Kaikki aksioomajärjestelmää koskevat lauseet tulee voida todistaa joko oikeiksi tai vääriksi. Luvussa 3 käymme läpi muodostamamme aksioomajärjestelmän ristiriidattomuus- ja riippumattomuustarkastelut. 2.2 Yleiset käsitteet Teoksessaan Foundations of Geometry David Hilbert jätti määrittelemättä mitä ovat pisteet, suorat ja tasot. Lähdemme liikkeelle ajatuksesta, että meillä on epätyhjä ja struktuuriton perusjoukko τ, jota kutsumme avaruudeksi. Kutsumme avaruuden τ alkioita pisteiksi ja merkitsemme niitä isoilla kirjaimilla,,,.... varuuden τ tiettyjä osajoukkoja kutsumme suoriksi, joita merkitsemme vastaavasti pienillä kirjaimilla a, b, c,..., sekä tiettyjä osajoukkoja tasoiksi, joita merkitsemme pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla α, β, γ,.... jattelemme suorien olevan pistejoukkoja ja tasojen muodostuvan sekä pisteistä että suorista. Pisteet ovat lineaarisen geometrian perusta, kun taas pisteet ja suorat muodostavat tasogeometrian perustan. Pisteet, suorat ja tasot muodostavat puolestaan avaruusgeometrian perustan. Keskitymme tutkielmassa pääsääntöisesti Hilbertin tasogeometriaan ja jätämme avaruusgeometriaan tutustumisen lukijalle, vaikkakin esittelemme siihen liittyvät aksioomat. Yleisesti pisteillä, suorilla ja tasoilla ajatellaan olevan muutamia relaatioita, joista mainittakoon sijaitsee, välissä, yhdensuuntainen, yhtenevä sekä jatkuva. Relaatioiden täydellinen ja täsmällinen määrittely tulee aksioomajärjestelmästä. Hilbert järjesti aksioomansa viiteen eri ryhmään, 2

jotka kuvaavat niiden antamia ominaisuuksia geometriselle järjestelmälle, jota olemme rakentamassa. Merkitsemme näitä ryhmiä seuraavasti: I: Liitännäisaksioomat II: Järjestysaksioomat III: Yhtenevyysaksioomat IV: Yhdensuuntaisuusaksiooma (paralleeliaksiooma) V: Jatkuvuusaksioomat Seuraavissa luvun 2 kappaleissa esitämme tarpeellisia määritelmiä ja aksioomaryhmien I - V aksioomat. Lisäksi esitämme niihin keskeisesti liittyviä lauseita. 2.3 Liitännäisaksioomat Liitännäisaksioomien avulla muodostamme yhteyden pisteiden ja suorien välille. Kun puhumme esimerkiksi kahdesta pisteestä, niin tarkoitamme niiden olevan kaksi eri pistettä. Hilbert ilmaisi ensimmäisen aksioomansa avulla, että kahta pistettä kohti on ainakin yksi suora. Toisen aksiooman avulla hän kertoi näitä suoria olevan korkeintaan yksi. Sanomme ensimmäisen aksioomamme avulla näitä suoria olevan täsmälleen yksi. I 1. Jokaista kahta pistettä ja kohti on täsmälleen yksi suora a, joka sisältää molemmat pisteet ja. Merkitsemme nyt joko suora = a tai suora = a. Voisimme sanoa myöskin, että piste on suoralla a, piste kuuluu suoralle a, piste kuuluu suoraan a, piste sijaitsee suoralla a, on suoran a piste, suora a kulkee pisteiden ja kautta, suora a liittyy pisteisiin ja ja niin edelleen. I 2. Jokaisella suoralla on vähintään kaksi pistettä. On vähintään kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos piste kuuluu suoralle a ja samaan aikaan myöskin suoralle b (a b) niin sanomme, että suorilla a ja b on yhteisenä pisteenä piste, mitä merkitsemme a b = {} eli a ja b. Yleisesti ottaen sanomme suorien a ja b leikkaavan toisensa pisteessä. Lause 2.1. Olkoot a ja b suoria tasossa ja a b. Tällöin niillä on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suorilla a ja b on kaksi yhteistä pistettä ja olkoot ne pisteet ja. Tällöin piste kuuluu sekä suoralle a että suoralle b ja vastaavasti piste kuuluu sekä suoralle a että suoralle b. Nyt aksiooman I 1 mukaan sekä suora = a että suora = b, eli a = b, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. 3

I 3. Kolme pistettä, ja, jotka eivät ole samalla suoralla, määrittelevät yksikäsitteisesti tason α, johon pisteet, ja kuuluvat. Merkitsemme nyt taso = α. On yhtäpitävää sanoa myöskin, että pisteet, ja ovat tason α pisteitä, pisteet, ja ovat tasolla α, pisteet,, ja kuuluvat tasoon α ja niin edelleen. Seuraavien kahden lauseen avulla voimme määritellä tason myös suorien avulla. Lause 2.2. Suora ja siihen kuulumaton piste määräävät yksikäsitteisesti tason. Todistus. Olkoot sellaiset suora a ja piste, että / a. Suoralla a on aksiooman I 2 mukaan vähintään kaksi pistettä. Olkoot ne pisteet ja. Tällöin aksiooman I 1 mukaan suora a =, joten meillä on nyt kolme pistettä, ja, jotka eivät ole samalla suoralla. ksiooman I 3 mukaan pisteet, ja määräävät yksikäsitteisesti tason. Lause 2.3. Olkoot a ja b suoria, jotka leikkaavat toisensa pisteessä. Tällöin ne määräävät yksikäsitteisesti tason. Todistus. ksiooman I 2 mukaan suoralla a on piste ja suoralla b on piste. Koska suorilla a ja b ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste, niin, joten aksiooman I 3 mukaan pisteet, ja määräävät yksikäsitteisesti tason. Hilbert sisällytti liitännäisaksioomaryhmään vielä muutamia aksioomia, jotka käsittelevät tasoa ja avaruutta. Esitämme ne tämän kappaleen lopuksi, vaikka tutkielmassa keskitymme pääosin aksioomaryhmän I aksioomiin 1-3, jotka käsittelevät pisteitä ja suoria sekä niiden ominaisuuksia tasolla. I 4. Jos suoran a mitkä tahansa kaksi pistettä ja kuuluvat tasoon α, niin tasoon α kuuluvat myös kaikki muutkin suoran a pisteet. Voimme nyt sanoa, että a on tason α suora, suora a kuuluu tasoon α, suora a sisältyy tasoon α ja niin edelleen. Jos piste kuuluu sekä suoralle a (a / α) että tasolle α niin sanomme, että suoralla a ja tasolla α on yhteisenä pisteenä piste ja merkitsemme a α = {} eli a ja α. Tällöin sanomme, että suora a ja taso α leikkaavat toisensa pisteessä. Lause 2.4. Tasolla α ja suoralla a (a / α) on joko yksi tai ei yhtään yhteistä pistettä. Todistus. Teemme vastaoletuksen, että suoralla a ja tasolla α on vähintään kaksi yhteistä pistettä. Olkoot ne pisteet ja. Nyt aksiooman I 1 mukaan pisteet ja määrittelevät suoran a, joka aksiooman I 4 mukaan kuuluu tasoon α, mikä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. 4

I 5. Jos kahdella tasolla α ja β on yksi yhteinen piste, niin tasoilla α ja β on vähintään kaksi yhteistä pistettä ja. Lause 2.5. Olkoot α ja β kaksi tasoa. Tällöin niillä on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä. Todistus. Koska tasot ovat toisistaan eriäviä, niillä ei välttämättä tarvitse olla yhteisiä pisteitä. Mikäli niillä on yhteinen piste, niin aksiooman I 5 mukaan niillä täytyy olla myös toinenkin yhteinen piste. Tällöin aksiooman I 4 mukaan niillä on yhteinen suora. Valitsemme vielä mielivaltaisen tason α pisteen, joka ei kuulu suoralle. Tällöin aksiooman I 3 mukaan, jos piste kuuluu tasoon β, niin tasot ovat samat eli α = = β. Siis tasoilla α ja β on joko yhteinen suora tai ei ollenkaan yhteisiä pisteitä. I 6. varuudessa on vähintään neljä eri pistettä, jotka eivät ole samalla tasolla. 2.4 Järjestysaksioomat Järjestysaksioomien avulla tulemme määrittelemään pisteen välissäolon suoralla täsmällisesti. Samoin niiden avulla pystymme todistamaan intuitiivisen näkemyksemme suorasta, minkä mukaan suora jatkuu molemmista päistään äärettömästi eli suoralla on äärettömästi pisteitä. Suoran jatkuvuuden takaavat kuitenkin vasta jatkuvuusaksioomat, joihin palaamme myöhemmin kappaleessa 2.7. Olkoot suoralla a kolme pistettä, ja. Mikäli piste on pisteiden ja välissä, merkitsemme. Seuraavien kolmen aksiooman avulla voimme sanoa tarkasti, milloin jokin piste on kahden muun pisteen välissä. II 1. Jos pisteet, ja ovat samalla suoralla ja, niin myös. II 2. Jos pisteet ja ovat eri pisteitä, niin suoralla on ainakin yksi sellainen piste, että. Kuva 1: ksiooman II 2 graafinen tulkinta. 5

ksioomassa II 3 Hilbert [1, s. 4] ja Nevanlinna [4, s. 12] ovat asettaneet, että kolmesta saman suoran pisteestä täsmälleen yksi on kahden muun välissä. Voimme kuitenkin korvata täsmälleen-sanan enintään-sanalla, kuten Hilbert teki myöhemmin julkaistussa laitoksessaan [2, s. 5] ja todistaa tämän jälkeen lauseena, että on aina yksi piste kahden muun pisteen välissä ([2, theorem 4, s. 6]) ja [3, lause 2, s. 16]). II 3. Jos suoralla on kolme pistettä, niin niistä enintään yksi piste on kahden muun pisteen välissä. Seuraavaksi määrittelemme suoralla olevan janan ja sen päätepisteet. Määritelmä 2.1. Olkoot suoralla a kaksi pistettä ja. Tällöin pisteet ja sekä kaikki niiden välissä olevat pisteet muodostavat janan. Janan päätepisteinä ovat pisteet ja. Pisteiden ja välissä olevat pisteet ovat janan sisäpisteitä. Kaikki suoran a pisteet, jotka eivät kuulu janalle, ovat janan ulkopisteitä. Näemme helposti aksiooman II 1 perusteella, että jana on sama kuin jana. Määrittelimme jo aikaisemmin kahden suoran leikkaamisen. Teemme saman seuraavaksi myös janoille. Määritelmä 2.2 pätee myös myöhemmin esitettävän puolisuoran ja suoran leikkauksessa. Määritelmä 2.2. Jos kaksi janaa ovat eri suorilla ja niillä on yhteinen sisäpiste, niin sanomme niiden leikkaavan toisensa. II 4 (Paschin aksiooma). Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet, ja, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan, niin sen täytyy leikata myös jana tai jana. a Kuva 2: Paschin aksiooman graafinen tulkinta. Vaikkakaan emme ole määritelleet vielä tässä vaiheessa kolmiota, niin intuitiivisesti aksiooman II 4 sanoma on, että jos suora menee kolmion sisään niin sen täytyy tulla sieltä myöskin ulos. Paschin aksioomassa tai-sana täytyy käsitellä logiikan inklusiivi-käsitteen mukaisesti. Tällöin meillä on voimassa, että suora a voi leikata molemmat janat ja. Pystymme kuitenkin 6

näyttämään lauseen 2.8 avulla, että molemmat vaihtoehdot eivät voi toteutua yhtäaikaa. Esitämme nyt aksioomaryhmän II aksioomien avulla saamiamme mielenkiintoisia lauseita. Hilbert [1, s. 4] otti ensimmäisessä laitoksessaan lauseen 2.6 mukaan toiseen järjestysaksioomaansa, mutta kuten näemme, niin pystymme todistamaan sen lauseena. Lause 2.6. Kahden pisteen ja välissä on ainakin yksi sellainen suoralle kuuluva piste, että. E F G Kuva 3: Lauseen 2.6 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 3, s. 6]). ksiooman I 2 mukaan on sellainen piste E, joka ei ole suoralla ja toisaalta aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että E F. Nyt aksioomista II 2 ja II 3 seuraa, että suoralla F on sellainen piste G, että F G. ksiooman II 4 mukaan suora EG leikkaa janan F, joten sen täytyy leikata myös jana tai jana F. Jos suora EG leikkaisi janan F, niin se olisi sama suora kuin F, joten sen täytyy leikata jana. Olkoon leikkauskohta piste, koska se on suoran EG ja janan ainoa yhteinen piste. Siis suoralla on sellainen piste, että. Todistamme lauseessa 2.7, että suoran kolmesta pisteestä yksi on aina kahden muun pisteen välissä, mikä on hyvin yleisesti otettu geometrian kirjoissa aksioomaksi. Tämä johtunee ilmeisesti siitä, että Hilbert otti kyseisen lauseen aksioomakseen [1, s. 4] ensimmäisessä laitoksessaan ja useat geometrian tutkijat ovat käyttäneet näitä ensimmäisen laitoksen aksioomia teoksissaan. Lause 2.7. Olkoot kolme pistettä, ja samalla suoralla. Tällöin niistä aina yksi on kahden muun pisteen välissä. 7

G F E D Kuva 4: Lauseen 2.7 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 4, s. 6]). Oletamme, että ei ole eikä. Osoitamme, että piste on pisteiden ja välissä. Nyt aksiooman I 2 mukaan on piste D, joka ei ole suoralla. Edelleen aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste G, että D G. Sovellamme nyt aksioomaa II 4 pisteisiin, ja G ja suoraan D. Tällöin suoralla D ja janalla G on sellainen yhteinen piste E, että E G. Seuraavaksi sovellamme aksioomaa II 4 pisteisiin, ja G ja suoraan D. Tällöin on sellainen piste F, että F G. Havaitsemme nyt, että suora F leikkaa sekä janan G että janan E, joten D E. Lisäksi tarkastellessamme pisteitä, ja E ja suoraa GD, joka on sama kuin suora D, huomaamme, että suora GD leikkaa janan E ja aksiooman II 4 mukaan myös janan. Koska suoralla GD ja janalla on ainoana yhteisenä pisteenä piste, niin pisteen täytyy on pisteiden ja välissä, eli. Nyt voimme osoittaa, että aksioomassa II 4 suora a voi leikata joko janan tai janan. Lause 2.8. Olkoot tasolla suora a ja siihen kuulumattomat pisteet, ja, jotka eivät ole samalla suoralla. Jos suora a leikkaa janan, niin se leikkaa joko janan tai janan. Todistus (vrt. [4, s. 14-15]). Teemme vastaoletuksen, että suora a leikkaa molemmat janoista ja. Oletamme nyt, että suora a leikkaa janan pisteessä D, janan pisteessä E ja janan pisteessä F. ksiooman I 1 mukaan pisteet D,E ja F ovat toisistaan eriäviä. Voimme olettaa lauseen 2.7 mukaan, että E D F. Tarkastelemme nyt suoraa ja pisteitä,e ja F. Nyt suora leikkaa janan EF, joten aksiooman II 4 mukaan sen on leikattava myös jana E tai jana F. Jos suora leikkaa janan E, niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla ja. Nyt suorat ja ovat sama suora, jolloin pisteet, ja ovat samalla 8

F D E a Kuva 5: Lauseen 2.8 todistus. suoralla. Tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Jos taas suora leikkaa janan F, niin tämä leikkauspiste on yhteisenä pisteenä myös suorilla ja. Nyt suorat ja ovat sama suora, jolloin pisteet, ja ovat samalla suoralla. Myöskin tämä on ristiriidassa oletuksemme kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. Myöskin lauseen 2.9 Hilbert [1, s. 4] esitti ensin tarpeettomasti aksioomana. Hän kuitenkin muutti sen myöhemmässä laitoksessaan [2, theorem 5, s. 6] lauseeksi, koska se voitiin esittää aiemmin esitettyjen aksioomien ja lauseiden avulla. Lause 2.9. Suoran neljä pistettä,, ja D voidaan järjestää niin, että, D, D ja D. Todistus (vrt. [3, lause 3, s. 17]). Olkoot suoralla a neljä pistettä,, ja D. F E G H a D Kuva 6: Lauseen 2.9 todistuksen 1. kohdan tapaus. 9

1. Osoitamme ensimmäiseksi, että jos ja D, niin D ja D. ksiooman I 2 mukaan on piste E, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että E F. Nyt aksioomien II 3 ja II 4 avulla huomaamme, että janoilla E ja F on yhteisenä pisteenä piste G, eli G E. Lisäksi suora F leikkaa janan GD pisteessä H, joten G H D. ksiooman II 3 mukaan piste E ei ole janalla G. Koska suora EH leikkaa janat GD ja D, niin aksiooman II 4 mukaan D. Vastaavasti pystymme osoittamaan, että D. F G H a D Kuva 7: Lauseen 2.9 todistuksen 2. kohdan tapaus. 2. Osoitamme, että jos ja D, niin D ja D. ksiooman I 2 mukaan on sellainen piste G, joka ei ole suoralla a, ja aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste F, että G F. Koska suora F ei leikkaa janoja ja G, niin se ei aksiooman II 4 mukaan myöskään leikkaa janaa G. Kuitenkin oletuksemme mukaan D, jolloin suoran F täytyy leikata jana GD pisteessä H. Lisäksi aksioomien II 3 ja II 4 mukaan suora FH leikkaa janat GD ja D, joten piste on janalla D, eli D. Lisäksi todistuksen ensimmäisen kohdan mukaan D. 3. Olkoot nyt suoralla a neljä pistettä. Valitsemme niistä kolme, pisteet P, Q ja R. Lauseen 2.7 mukaan täsmälleen yksi näistä pisteistä on kahden muun pisteen välissä. Olkoon tämä piste Q. Nimeämme neljänneksi pisteeksi pisteen S. Tällöin aksiooman II 3 ja lauseen 2.7 mukaan piste S voidaan sijoittaa suoralle a viidellä eri tavalla: (i) jos P R S, niin valitsemme = P, = Q, = R ja D = S, (ii) jos R P S, niin valitsemme = R, = Q, = P ja D = S, (iii) jos P S R ja samalla on voimassa P Q S, niin valitsemme = P, = Q, = S ja D = R, 10

(iv) jos P S Q, niin valitsemme = P, = S, = Q ja D = R, (v) jos Q P S, niin valitsemme = P, = Q, = R ja D = S. Nyt tapaukset (i)-(iv) toteuttavat todistuksen toisen kohdan ja tapaus (v) todistuksen ensimmäisen kohdan. Täten voimme sanoa todistuksen kohtien 1. - 3. perusteella, että väite on oikein. Voimme yleistää lauseen 2.9 tuloksen koskemaan tapausta, jossa suoralla on äärellinen määrä pisteitä. Lause 2.10. Jos suoralla on äärellinen määrä pisteitä, niin voimme aina järjestää ne seuraavalla tavalla:,,, D, E,..., K, missä on pisteiden ja,d,e,...,k välissä, on pisteiden, ja D,E,...,K välissä ja niin edelleen. Todistus. Ks. [4, s. 17]. D E K Kuva 8: Lauseen 2.10 graafinen tulkinta. Voisimme muotoilla lauseen 2.11 myös siten, että suoralla on ääretön määrä pisteitä. Riittää kuitenkin tarkastella tapausta, jossa olemme valinneet suoralta kaksi mielivaltaista pistettä, minkä jälkeen osoitamme, että niiden välissä on ääretön määrä pisteitä. Lause 2.11. Minkä tahansa kahden suoralla sijaitsevan pisteen välissä on aina ääretön määrä pisteitä. Todistus (vrt. [4, lause 2.9, s. 18]). Olkoon suora. Tarkastelemme siis janaa ja sen sisäpisteitä. Tällöin lauseen 2.6 mukaan on sellainen piste 1, että 1. Huomaamme määritelmän 2.1 mukaan, että janoilla 1 ja 1 ei ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste 1. Nyt janalla 1 on sellainen piste 2, että 1 2 ja 1 2. Siis piste 1 on janan 2 sisäpiste, ja janoilla 2 ja 2 ei ole lauseen 2.9 mukaan muita yhteisiä pisteitä kuin piste 2. Voisimme jatkaa näin loputtomiin. Todistamme lauseen loppuosan induktiolla. Oletamme siis, että janan pisteet 1,..., n ovat sellaisia, että pisteet 1,..., n 1 ovat janan n sisäpisteitä ja 1... n 1 n. Olkoon nyt n+1 sellainen piste, että n n+1. Tällöin piste n+1 ei ole janan n sisäpiste, eikä janoilla 11

n+1 ja n+1 ole muita yhteisiä pisteitä kuin piste n+1. Tällöin pisteet 1, 2,..., n ovat janan n+1 sisäpisteitä ja 1 2... n n+1. Olemme osoittaneet, että suoralla olevien kahden pisteen välissä on ääretön määrä pisteitä. Lause 2.12. Tason jokainen suora a jakaa tason muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos pisteet ja, jotka eivät kuulu suoraan a, kuuluvat eri joukkoihin, niin on sellainen piste, joka on sekä janalla että suoralla a. (ii) Jos pisteet ja kuuluvat samaan joukkoon, niin janalla ja suoralla a ei ole yhteisiä pisteitä. a Kuva 9: Lauseen 2.12 graafinen tulkinta. Todistus (vrt. [3, lause 5, s. 19]). Määritellään aluksi relaatio sellaisten tasoon kuuluvien pisteiden joukossa, jotka eivät kuulu suoraan a, asettamalla, jos ja vain jos jana ei leikkaa suoraa a. Osoitamme seuraavaksi, että relaatio on ekvivalenssi, eli se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation määrittelystä. ksiooman II 1 mukaan jana =, joten on symmetrinen. Näytämme vielä transitiivisuuden. Olkoot ja ja osoitamme, että. Mikäli olisi voimassa = tai =, niin olisi selvästi transitiivinen. Teemme vastaoletuksen, että eräillä pisteillä, ja on voimassa, ja. Jos pisteet, ja eivät sijaitse samalla suoralla, niin vastaoletuksen mukaan suora a leikkaa janan, mikä on ristiriidassa aksiooman II 4 ja vastaoletuksen kanssa. Olkoot nyt pisteet, ja samalla suoralla. Koska vastaoletuksen mukaan on voimassa, niin suoralla a ja janalla on yhteinen piste P. Koska piste P on janan sisäpiste, niin P ja joko P tai P, mikä on ristiriidassa sen kanssa, mitä oletimme pisteiltä, ja. Siis relaatio on ekvivalenssi, joten se jakaa suoraan a kuulumattomat pisteet ekvivalenssiluokkiin. 12

Seuraavaksi osoitamme, että näitä ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. ksiooman I 3 mukaan on sellainen tason piste, että se ei ole suoralla a. Jos taas piste on suoralla a, niin aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste, että. Tällöin ei ole voimassa relaatio, joten pisteet ja kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähintään kaksi. Olkoot pisteet, ja sekä suora a kuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteen D, joka ei ole suoralla a. Koska pisteet, ja D eivät kuulu suoraan a ja suora a leikkaa janan pisteessä, niin lauseen 2.8 mukaan suora a leikkaa joko janan D tai janan D, eli tällöin on voimassa joko D tai D. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. Määritelmä 2.3. Lauseen 2.12 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suoran a määräämiksi puolitasoiksi. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a eri puolilla. Lause 2.13. Suoran a jokainen piste O jakaa suoran muut pisteet täsmälleen kahteen joukkoon, joilla on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos pisteet ja kuuluvat eri joukkoihin, niin O. (ii) Jos pisteet ja kuuluvat samaan joukkoon, niin piste O ei kuulu janaan. O Kuva 10: Lauseen 2.13 graafinen tulkinta. Todistus. Määritellään aluksi relaatio sellaisten suoran a pisteiden joukossa, jotka eriävät pisteestä O, asettamalla, jos ja vain jos piste O ei ole pisteiden ja välissä. Osoitamme, että relaatio on ekvivalenssi. Refleksiivisyys seuraa suoraan relaation määrittelystä. Symmetrisyys seuraa aksioomasta II 1. Näytämme vielä transitiivisuuden. Olkoot ja ja osoitamme, että. Koska piste O ei ole pisteiden ja välissä, eikä myöskään pisteiden ja välissä, niin piste O ei voi olla pisteiden ja välissä. Siis, joten on transitiivinen. Olemme osoittaneet, että relaatio on ekvivalenssi, joka jakaa suoran a pisteestä O eriävät pisteet ekvivalenssiluokkiin. 13

Osoitamme nyt, että ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. ksiooman I 2 mukaan jokaisella suoralla a on ainakin pisteet ja O. Lisäksi aksiooman II 2 mukaan on sellainen piste, että O, joten pisteet ja kuuluvat eri ekvivalenssiluokkiin. Siis ekvivalenssiluokkia on vähintään kaksi. Olkoot pisteet, O ja sekä suora a kuten äsken. Valitsemme mielivaltaisen pisteen, joka kuuluu suoralle a. Lauseen 2.7 mukaan joko O, O tai O. Jos O, niin ei voi olla O, joten piste kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste. Jos O, niin ei myöskään voi olla O, joten piste kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste. Jos O, eli piste kuuluu eri ekvivalenssiluokkaan kuin piste, niin ei voi olla O, joten lauseen 2.9 perusteella piste kuuluu samaan ekvivalenssiluokkaan kuin piste. Ekvivalenssiluokkia on siis enintään kaksi. Edellisen perusteella ekvivalenssiluokkia on täsmälleen kaksi. Määritelmä 2.4. Lauseen 2.13 kahta ekvivalenssiluokkaa kutsumme suoran a pisteen O määräämiksi puolisuoriksi. Lisäksi piste O kuuluu kumpaankin puolisuoraan. Sanomme, että samaan luokkaan kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteen O samalla puolella, kun taas eri luokkiin kuuluvat pisteet sijaitsevat suoran a pisteen O eri puolilla. Nyt siis jokainen suoran piste jakaa sen kahteen puolisuoraan. Olkoot pisteet,o ja suoralla a ja jakakoon piste O suoran a kahteen eri joukkoon. Jos pisteet ja kuuluvat eri joukkoihin, niin ne muodostavat puolisuorat O ja O. Tällöin puolisuora O on puolisuoran O vastakkainen puolisuora. Käytämme merkintää O koskemaan niin janaa, puolisuoraa kuin suoraakin, mutta asiayhteydestä käy ilmi, mitä tarkoitamme kullakin kerralla. Määritelmä 2.5. Olkoon,, D,..., KL jono janoja. Tällöin ne muodostavat murtoviivan pisteestä pisteeseen L. Voimme sanoa sitä myös murtoviivaksi DE KL. Janojen,, D,..., KL sisäpisteet, kuten myös pisteet,,, D, E,..., K, L ovat murtoviivan pisteitä. Määritelmä 2.6. Olkoon DE KL murtoviiva. Mikäli piste yhtyy pisteeseen L, eli = L, niin sanomme murtoviivaa monikulmioksi ja merkitsemme sitä D K. Janoja,, D,..., K kutsumme monikulmion sivuiksi ja pisteitä,,, D, E,..., K sen kärjiksi. Jos monikulmion kärjet ovat eri pisteitä, eikä sen sivuja yhdistä muut pisteet kuin kärjet, niin sanomme monikulmiota yksinkertaiseksi. Yksinkertaisia monikulmioita, joissa on 3, 4, 5,..., n kärkeä, kutsumme vastaavasti kolmioiksi, nelikulmioiksi, viisikulmioksi ja niin edelleen. Jos meillä on kolme pistettä, ja, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, niin sanomme tällöin monikulmiota, jonka kärjet ovat, ja sekä sivut, ja, kolmioksi ja merkitsemme sitä. 14

Määritelmä 2.7. Olkoot h ja k sellaisia suoria, jotka leikkaavat toisensa pisteessä O, sekä olkoot vastaavassa järjestyksessä suorilla sellaiset puolisuorat h ja k, jotka kumpikin alkavat pisteestä O. Kutsumme näiden kahden puolisuoran h ja k yhdistettä kulmaksi, jota merkitsemme joko (h,k) tai (k,h). Sanomme, että kulman kärki on piste O ja sen kyljet ovat puolisuorat h ja k. Kaikki ne pisteet, jotka ovat samalla puolella suoraa k kuin suora h ja samalla puolella suoraa h kuin suora k, ovat kulman (h,k) aukeamassa. Määritelmä 2.8. Olkoon kolmio, jossa kaksi puolisuoraa h ja k alkavat pisteestä ja kulkevat pisteiden ja kautta. Tällöin sanomme kulman (h,k) olevan sivujen ja välinen kulma tai sivun vastainen kulma ja merkitsemme sitä myös joko tai, jos sekaannuksen vaaraa ei ole. Hyvin usein kulmia merkitään myös pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, kuten α, β, γ ja niin edelleen. Olemme käyttäneet tätä merkintää myös tasoille, mutta asiayhteydestä selviää kumpaa tarkoitamme. Lause 2.14. Olkoon piste D kulman aukeamassa. Tällöin puolisuora D leikkaa janan. F D E Kuva 11: Lauseen 2.14 todistus. Todistus (vrt. [3, lause 7, s.20]). Jos piste D on janalla, niin puolisuora D selvästi leikkaa janan. Oletamme lisäksi, että piste D ei ole janalla. Nyt aksiooman II 2 mukaan suoralla on sellainen piste E, että E. Koska pisteet E, ja ovat eri pisteitä ja ne eivät kuulu suoralle D, niin voimme soveltaa aksioomaa II 4 kolmioon E ja suoraan D. Tällöin suora D leikkaa sivun eräässä pisteessä F. Koska piste D on kulman aukeamassa, niin suora D ei leikkaa sivua E. 2.5 Yhtenevyysaksioomat Seuraavien kolmen aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden, joka on relaatio, janojen välillä. 15

III 1 (Janojen ensimmäinen yhtenevyysaksiooma). Jos suoralla a on kaksi pistettä ja ja jos lisäksi piste on suoralla a, joka voi olla sama kuin suora a, niin annetulla puolella pistettä on ainakin yksi sellainen piste, että jana on yhtenevä janan kanssa. Merkitsemme nyt =. Jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa eli =. Emme ottaneet aksioomassa III 1 kantaa pisteiden ja keskinäiseen järjestykseen, joten seuraavat muotoilut ovat yhtäpitäviä: =, =, = ja =. Esittäessään janojen ensimmäistä yhtenevyysaksioomaa Hilbert totesi ensimmäisessä laitoksessaan [1, IV 1, s. 8], että tällaisia pisteitä on täsmälleen yksi. Myöhemmässä laitoksessaan [2, III 1, s. 10] hän kuitenkin totesi, että on ainakin yksi tällainen piste. Tämä siis jätti vielä mahdollisuuden siihen, että näitä mahdollisia pisteitä olisikin useampi kuin yksi. Lauseen 2.18 avulla osoitamme, että tällaisia pisteitä on täsmälleen yksi. ksiooman III 1 mukaan jokainen jana voidaan esittää annettujen suoran, pisteen ja puolen avulla. III 2 (Janojen toinen yhtenevyysaksiooma). Jos jana on yhtenevä janojen ja kanssa, niin myös jana on yhtenevä janan kanssa. Toisin sanoen, jos kaksi eri janaa ovat yhteneviä kolmannen janan kanssa, niin ne ovat myöskin keskenään yhteneviä. Lause 2.15. Janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Todistus. Osoitamme janojen yhtenevyyden olevan ekvivalenssirelaatio, jolloin janojen yhtenevyyden tulee olla refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Osoitamme ensimmäiseksi refleksiivisyyden. ksiooman III 1 mukaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa. Siis janojen yhtenevyys on refleksiivinen. Seuraavaksi osoitamme symmetrisyyden. Olkoon =, jolloin refleksiivisyyden perusteella =. Nyt aksiooman III 2 mukaan =. Siis janojen yhtenevyys on symmetrinen. Viimeiseksi osoitamme janojen yhtenevyyden olevan transitiivinen. Olkoot = ja =. Tällöin symmetrisyyden perusteella =, jolloin aksiooman III 2 mukaan =. Siis janojen yhtenevyys on transitiivinen. Näiden kolmen kohdan perusteella janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. III 3 (Janojen kolmas yhtenevyysaksiooma). Olkoon suoralla a kaksi janaa ja, joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste. Olkoon lisäksi suoralla a, joka voi olla myös suora a, kaksi janaa ja, joilla on yhteisenä pisteenään ainoastaan piste. Tällöin, jos = ja =, niin täytyy olla =. 16

a a Kuva 12: ksiooman III 3 graafinen tulkinta. Tämän jälkeen olemme valmiit määrittelemään janojen summan ja erotuksen sekä sen, milloin jokin jana on lyhyempi tai pitempi kuin toinen. Meidän on mielekästä puhua tässä yhteydessä janojen ekvivalenssiluokkien summasta ja erotuksesta, koska tällöin janoille määrittelemämme laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä. Määritelmä 2.9. Olkoot ja D janoja. Olkoon suoralla sellainen puolisuora l, joka alkaa pisteestä ja johon kuuluvat kaikki ne suoran pisteet, jotka eivät ole samalla puolella pisteen kanssa. Tällöin aksiooman III 1 mukaan puolisuoralla l on sellainen piste E, että E = D. Nyt jana E on janojen ja D summa. Merkitsemme + D = E. Lause 2.16. Jos = ja D = D, niin +D = + D. Todistus. Olkoot,,D ja D sellaisia janoja, että = ja D = D. Nyt määritelmän 2.9 mukaan + D on sellainen jana E, että E ja E = D. Toisaalta samoin + D on sellainen jana E, että E ja E = D. Tällöin lauseen 2.15 perusteella E = D = D = E. Koska =, niin aksiooman III 3 mukaan E = E. Määritelmä 2.10. Olkoot jana ja piste, joka kuuluu janalle. Tällöin jana on janojen ja erotus. Merkitsemme nyt =. Määritelmä 2.11. Olkoot ja D janoja. Jos on sellainen piste E, joka kuuluu janalle D, että = E, niin sanomme, että jana on lyhyempi kuin jana D ja vastaavasti jana D on pitempi kuin jana. Merkitsemme nyt joko < D tai D >. Lause 2.17. Olkoot ja D janoja. Tällöin yksi vaihtoehdoista < D, = D ja > D on voimassa. Todistus. Olkoon puolisuoralla D sellainen piste E, että = E. Jos E D, niin määritelmän 2.11 mukaan E < D, eli < D. Jos E = D, niin selvästi = D. Jos taas D E, niin määritelmän 2.11 mukaan E > D ja edelleen > D. 17

Seuraavan aksiooman avulla määrittelemme yhtenevyyden kulmien välillä. III 4. Olkoot (h,k) kulma ja a eräs suora. Olkoon myös annettuna toinen suoran a määräämistä puolista. Olkoon suoralla a puolisuora h, joka alkaa pisteestä O. Tällöin annetulla puolella suoraa a on täsmälleen yksi sellainen puolisuora k, että kulma (h,k) on yhtenevä kulman (h,k ) kanssa. Samalla kaikki kulman (h,k ) pisteet sijaitsevat samalla puolella suoraa a. Merkitsemme nyt (h,k) = (h,k ). Jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, eli (h,k) = (h,k) tai (h,k) = (k,h). Tämä tarkoittaa lyhyesti sanottuna, että tason jokainen kulma voidaan esittää annetun puolisuoran annetulla puolella vain yhdellä tavalla. Lisäksi kulmien yhtenevyys on myös ekvivalenssirelaatio, aivan kuten janojen tapauksessa janojen yhtenevyys oli ekvivalenssirelaatio. Refleksiivisyys seuraa suoraan aksioomasta III 4, mutta emme pysty todistamaan symmetrisyyttä ja transitiivisuutta vielä tässä vaiheessa. III 5. Jos kolmioissa ja ovat voimassa yhtenevyydet =, = ja =, niin pätee myös =. Vaihtamalla aksioomassa III 5 kolmion kärkipisteiden rooleja saamme, että = ja =. Osoitamme nyt aksiooman III 4 avulla, että aksiooman III 1 mukaisia pisteitä on täsmälleen yksi. Lause 2.18. Olkoon jana. Jos lisäksi piste on suoralla a, joka voi olla sama kuin suora, niin annetulla puolella pistettä on täsmälleen yksi sellainen piste, että =. Kuva 13: Lauseen 2.18 todistus. Todistus. ksioomasta III 1 seuraa suoraan, että tällaisia pisteitä on ainakin yksi. Osoitamme, että näitä pisteitä on korkeintaan yksi. Olkoon a puolisuora suoralla a, joka alkaa pisteestä. Teemme vastaoletuksen, että puolisuoralla a ovat sellaiset pisteet ja, että = ja =. Olkoon piste sellainen, että / a. Tällöin meillä on voimassa =, = ja =, jolloin kolmioissa 18

ja on aksiooman III 5 mukaan =. Tämä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja väite on oikein. Olemme osoittaneet, että tällaisia pisteitä on olemassa täsmälleen yksi. Määritelmä 2.12. Kaksi kulmaa ovat toistensa vieruskulmia, jos niillä on yhteinen kärki, yksi yhteinen kylki ja niiden toisistaan eroavat kyljet muodostavat suoran. Mikäli kahdesta kulmasta toinen on yhtenevä toisen vieruskulman kanssa, niin sanomme kulmien olevan toistensa suplementtikulmia. Lisäksi sanomme kulman olevan suora kulma, jos se on yhtenevä vieruskulmansa kanssa. Määritelmä 2.13. Jos suorat a ja b leikkaavat toisensa niin, että yksi leikkauskulma on suora, niin sanomme näiden suorien olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan ja kutsumme niitä toistensa normaaleiksi. Merkitsemme nyt a b. Määritelmä 2.14. Kolmio on tasakylkinen, mikäli kaksi sen sivua ovat yhtenevät. Olkoon kolmio tasakylkinen. Jos =, niin sanomme janan olevan kolmion kanta, kulmien ja olevan sen kantakulmia ja kulman olevan sen huippukulma. Jos vielä lisäksi = =, niin kolmio on tasasivuinen. Lause 2.19. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät. Kuva 14: Lauseen 2.19 todistus. Todistus. Olkoon tasakylkinen kolmio, jonka huippukulma on kulma. Tällöin meille riittää osoittaa, että =. Määritelmän 2.14 mukaan = ja aksiooman III 4 perusteella jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa, joten =. Tutkimme seuraavaksi kolmioita ja. Tällöin huomaamme, että näissä kolmioissa =, = ja =, joten aksiooman III 5 mukaan =. Siis tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtenevät. 19

Emme voi vielä tässä vaiheessa todistaa edellisen lauseen käänteislausetta, joka on lause 2.22. Määritelmä 2.15. Kolmiot ja ovat yhtenevät, jos =, =, =, =, = ja =. Kuva 15: Määritelmän 2.15 graafinen tulkinta. Lause 2.20 (Kolmioiden ensimmäinen yhtenevyyslause). Olkoot ja kolmioita. Jos =, = ja =, niin nämä kolmiot ovat yhtenevät. D Kuva 16: Lauseen 2.20 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 12, s. 14]). ksiooman III 5 mukaan myös = ja =. Riittää enää osoittaa, että sivut ja ovat yhtenevät. Teemme vastaoletuksen, että <. Tapaus > menee vastaavasti. Nyt aksiooman III 1 mukaan on sellainen piste D, että = D ja D. Koska kolmioille ja D pätevät =, = D ja = D, niin aksiooman III 5 mukaan myös kolmioiden muut kulmat ovat yhtenevät, eli erityisesti = D. Mutta tällöin kuitenkin kulma on yhtenevä sekä kulman D että kulman kanssa, mikä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut ja ovat 20

yhtenevät, eli kolmiot ja ovat yhtenevät määritelmän 2.15 mukaan. Lause 2.21 (Kolmioiden toinen yhtenevyyslause). Olkoot ja kolmioita. Jos =, = ja =, niin kolmiot ovat yhtenevät. Todistus. Osoitamme, että janat ja ovat yhtenevät. Teemme vastaoletuksen, että <. Tapaus > menee vastaavasti. ksiooman III 1 mukaan janalla on sellainen piste D, että D ja = D. Nyt kolmioille ja D pätevät =, = D ja = D, joten lauseen 2.20 mukaan = D. Mutta tällöin kuitenkin kulma on yhtenevä sekä kulman D että kulman kanssa, mikä on ristiriidassa aksiooman III 4 kanssa. Tällöin vastaoletus on väärä ja sivut ja ovat yhtenevät, eli kolmiot ja ovat yhtenevät lauseen 2.20 mukaan. Osoitamme lauseen 2.19 käänteislauseen, jonka Hilbert [2, theorem 24, s. 22] esitti 10. laitoksessaan vasta paljon myöhemmässä vaiheessa. Lause 2.22. Jos kolmiolla on kaksi yhtenevää kulmaa, niin se on tasakylkinen kolmio. Todistus. Olkoon kolmio sellainen, että =. Tarkastelemme seuraavaksi kolmioita ja. Oletuksemme mukaan =, = ja =, mutta tällöin kuitenkin lauseen 2.21 mukaan =, eli erityisesti =. Siis määritelmän 2.14 perusteella kolmio on tasakylkinen. Lause 2.23. Jos kaksi kulmaa ovat yhtenevät, niin niiden vieruskulmatkin ovat yhtenevät. D D Kuva 17: Lauseen 2.23 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 14, s. 14]). Olkoot kulmat ja yhtenevät ja olkoot vieruskulmat edellisille vastaavasti D ja D. 21

Tällöin aksiooman III 1 mukaan voimme valita pisteen kautta kulkevilta suorilta sellaiset pisteet, ja D, että =, = ja D = D. Nyt lauseen 2.20 mukaan =, joten määritelmän 2.15 mukaan sekä = että =. Lisäksi aksiooman III 3 perusteella D = D. Tällöin lauseen 2.20 mukaan D = D, eli myöskin D = D ja D = D. Koska D = D ja vastaavasti D = D, niin lauseen 2.20 mukaan D = D, jolloin kulmat D ja D ovat yhtenevät. Siis yhtenevien kulmien vieruskulmat ovat yhtenevät. Lauseen 2.23 perusteella myös yhtenevien kulmien suplementtikulmat ovat yhtenevät. Näytämme suorien kulmien olemassaolon seuraavan lauseen avulla. Lause 2.24. Suoria kulmia on olemassa. O O D D O Kuva 18: Lauseen 2.24 todistus. Todistus. Osoitamme, että on sellainen kulma, joka on yhtenevä vieruskulmansa kanssa. Olkoot sellaiset pisteet O ja sekä puolisuora O, että puolisuora O alkaa pisteestä O. Olkoot pisteet ja sellaiset, että piste on eri puolella suoraa O kuin piste, ja että O = O ja O = O. Nyt lauseen 2.12 mukaan on sellainen piste D, joka on sekä janalla että suoralla O. Jos piste D on sama kuin piste O, niin selvästi O = O. Tällöin kulmat O ja O ovat toistensa vieruskulmina määritelmän 2.12 mukaan suoria kulmia. Jos piste D on puolisuoralla O, niin selvästi DO = DO. Mikäli piste D on puolisuoran O vastakkaisella puolisuoralla, niin lauseen 2.23 mukaan yhtenevyys on edelleen voimassa. Lisäksi aksiooman III 1 mukaan jokainen jana on yhtenevä itsensä kanssa, joten OD = OD. ksiooman III 5 perusteella OD = OD riippumatta siitä, kummalla puolella pistettä O piste D on suoralla O. Siis suoria kulmia on olemassa. 22

Lause 2.25. Suoran ulkopuolisen pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suoran normaali. a D E Kuva 19: Lauseen 2.25 todistus. Todistus. Olkoot a suora ja sen ulkopuolella oleva piste. Valitsemme suoralta a kaksi mielivaltaista pistettä ja D. Nyt aksiooman III 4 ja lauseen 2.18 perusteella on täsmälleen yksi sellainen piste E, että se sijaitsee tasolla eri puolella suoraa a kuin piste, ja että D = DE ja D = DE. Tällöin jana E leikkaa suoran a täsmälleen yhdessä pisteessä. Huomaamme nyt tarkastellessamme kolmioita D ja ED, että D = DE, D = ED ja D = D, joten lauseen 2.20 perusteella kolmiot ovat yhtenevät ja erityisesti D = ED. Koska pisteet, ja E sijaitsevat samalla suoralla ja E, niin kulmat D ja ED ovat määritelmän 2.12 mukaan vieruskulmia ja suoria kulmia. Olemme osoittaneet, että suorien ja D välinen leikkauskulma on suora, eli D. Siis suoran a ulkopuolisen pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suoran normaali. Määritelmä 2.16. Mikäli suorat a ja b leikkaavat toisensa pisteessä ja lisäksi on sellaiset pisteet, a ja D,E b, että ja D E, niin sanomme kulmia D ja E ristikulmiksi. Lause 2.26. Ristikulmat ovat yhtenevät. Todistus. Olkoot ja DE sellaisia suoria, että ne leikkaavat toisensa pisteessä sekä ja D E. Nyt määritelmän 2.16 mukaan kulmat D ja E ovat ristikulmia ja molemmilla kulmilla on yhteisenä vieruskulmanaan kulma D. Koska kulma D on yhtenevä itsensä kanssa, niin lauseen 2.23 mukaan D = E. Lause 2.27. Olkoot tasolla puolisuorat h, k ja l, jotka alkavat samasta pisteestä O, sekä puolisuorat h,k ja l, jotka myöskin alkavat samasta pisteestä O. Jos (h,l) = (h l ) ja (k,l) = (k l ), niin (h,k) = (h k ). 23

a D E b Kuva 20: Määritelmän 2.16 graafinen tulkinta. k k h h O l O l Kuva 21: Lauseen 2.27 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 15, s.16]). Oletamme, että puolisuorat h ja k sijaitsevat samalla puolella puolisuoraa l, sekä vastaavasti, että puolisuorat h ja k sijaitsevat samalla puolella puolisuoraa l. Jos olisi niin, että puolisuorat h ja k sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l ja vastaavasti puolisuorat h ja k sijaitsisivat eri puolilla puolisuoraa l, niin todistus menisi edellisen tapauksen ja lauseen 2.23 avulla. Nyt voimme olettaa, että puolisuora h on kulman (k,l) aukeamassa ja lisäksi puolisuorilla k,k,l ja l ovat sellaiset pisteet,, ja vastaavassa järjestyksessä, että O = O ja O = O. Nyt lauseen 2.14 mukaan puolisuora h leikkaa janan. Olkoon tämä leikkauspiste piste. Myöskin puolisuora h leikkaa janan. Olkoon tämä leikkauspiste piste. Tällöin ja. Voimme olettaa, että O = O. Tällöin oletusten mukaan on O = O, O = O ja O = O, joten lauseen 2.20 mukaan O = O, eli =. Toisaalta myöskin 24

O = O, O = O ja O = O, joten lauseen 2.20 mukaan O = O, eli = ja O = O. Koska = ja =, niin aksiooman III 3 mukaan = ja erityisesti O = O, koska ja. Nyt olemme saaneet, että O = O, O = O ja =, joten lauseen 2.20 mukaan O = O. Tällöin määritelmän 2.15 mukaan täytyy olla, että O = O eli (h,k) = (h,k ). Lause 2.28. Olkoon tason kulma (h,k) yhtenevä kulman (h,k ) kanssa ja olkoon l puolisuora, joka alkaa kulman (h,k) kärjestä O ja sijaitsee sen aukeamassa. Tällöin on aina täsmälleen yksi puolisuora l, joka alkaa kulman (h,k ) kärjestä O ja on sen aukeamassa niin, että (h,l) = (h,l ) ja (k,l) = (k,l ). Todistus (vrt. [1, theorem 13, s. 12]). Olkoot puolisuorilla h,k,h ja k sellaiset pisteet,, ja vastaavassa järjestyksessä, että O = O ja O = O. Nyt oletuksemme mukaan O = O, joten lauseen 2.20 mukaan O = O, eli erityisesti =, O = O ja O = O. Koska puolisuora l on kulman O aukeamassa, niin se leikkaa janan. Olkoon tämä leikkauspiste piste. Tällöin aksiooman III 1 mukaan janalla on sellainen piste, että =. Lisäksi aksiooman III 3 perusteella myös =, joten lauseen 2.20 perusteella O = O ja O = O, eli O = O ja O = O. Nyt O on kysytty puolisuora l. Lause 2.29. Jos pisteet ja D ovat suoran eri puolilla ja lisäksi = D ja = D, niin myös = D. D Kuva 22: Lauseen 2.29 todistus. Todistus (vrt. [2, theorem 17, s. 17]). Lauseen 2.19 mukaan D = D ja D = D, sekä lauseen 2.27 mukaan = D. Huomaamme soveltamalla lausetta 2.20 kolmioihin ja D, että = D, joten erityisesti = D. 25

Nyt voimme esitellä uuden lauseen kolmioiden yhtenevyydelle. Lause 2.30 (Kolmioiden kolmas yhtenevyyslause). Olkoot ja kolmioita. Jos =, = ja =, niin kolmiot ovat yhtenevät. D Kuva 23: Lauseen 2.30 todistus. Todistus (vrt. [3, lause 16, s. 28]). ksioomien III 1 ja III 4 mukaan on sellainen piste, että = ja =. Valitsemme sellaisen pisteen D, joka on samalla puolella suoraa kuin piste, että D =. Nyt lauseen 2.20 mukaan = D ja =, jolloin aksiooman III 2 mukaan = D ja = D sekä = ja = D. Tällöin kolmiot ja D sekä ja täyttävät lauseen 2.29 oletukset, joten sekä = D että =. Kuitenkin aksiooman III 4 mukaan kulman D täytyy olla sama kuin kulman. Oletuksemme mukaan = ja = ja äskeisen päättelyn perusteella =, joten lauseen 2.20 perusteella =. Hilbert esitti lauseen 2.31 aksioomana ensimmäisessä laitoksessaan [1, IV 5, s. 9]. Kyseisen lauseen jälkeen pystymme osoittamaan, että myös kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, kuten aikaisemmin todistimme janojen yhtenevyyden tapauksessa. Lause 2.31. Jos kaksi kulmaa ovat yhteneviä kolmannen kanssa, niin ne ovat yhteneviä myös keskenään. Todistus (vrt. [2, theorem 19, s. 18]). Olkoot O, O ja O sellaisia kulmia, että O = O, O = O, O = O ja O = O. Oletamme lisäksi, että O = O ja O = O. Tällöin lauseen 2.20 mukaan = ja =, joten aksiooman III 2 mukaan kolmioiden O ja O kaikki vastaavat sivut ovat yhtenevät. Siis lauseen 2.30 mukaan kolmiot ovat yhtenevät ja erityisesti O = O. Lause 2.32. Kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. 26

O O O Kuva 24: Lauseen 2.31 todistus. Todistus. Osoitamme ensimmäiseksi refleksiivisyyden. ksiooman III 4 mukaan jokainen kulma on yhtenevä itsensä kanssa. Siis kulmien yhtenevyys on refleksiivinen. Seuraavaksi osoitamme symmetrisyyden. Olkoon =. Tällöin kulmien refleksiivisyyden perusteella =. Nyt lauseen 2.31 mukaan =. Siis kulmien yhtenevyys on symmetrinen. Viimeiseksi osoitamme kulmien yhtenevyyden olevan transitiivinen. Olkoon = ja =. Tällöin symmetrisyyden perusteella =. Nyt lauseen 2.31 mukaan =. Siis kulmien yhtenevyys on transitiivinen. Näiden kolmen kohdan perusteella kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Olemmme osoittaneet, että janojen yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, kuten myös kulmien yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio. Huomaamme selvästi näiden tulosten perusteella, että kolmioiden yhtenevyys on ekvivalenssirelaatio, koska se määriteltiin janojen ja kulmien yhtenevyyksien avulla. Määritelmä 2.17. Olkoot ja EDF kulmia. Mikäli on sellainen puolisuora DG, joka on kulman EDF aukeamassa, että = EDG, niin sanomme kulmaa EDF suuremmaksi kuin kulmaa. Vastaavasti sanomme kulman olevan pienempi kuin kulma EDF. Merkitsemme nyt joko < EDF tai EDF >. F G D E Kuva 25: Määritelmän 2.17 graafinen tulkinta. 27

Lause 2.33. Olkoot α,α,β ja β sellaisia kulmia, että α = α ja β = β. Nyt α < β, jos ja vain jos α < β. Todistus. Oletamme ensimmäiseksi, että α < β. Koska α = α ja β = β, niin on yhtäpitävää, että α < β. Oletamme seuraavaksi, että α < β. Koska α = α ja β = β, niin α = α ja β = β ja selvästi tällöin α < β. Lause 2.34. Olkoot (h,k), (l,m) ja (n,o) kulmia. Jos (h,k) < (l,m) ja (l,m) < (n,o), niin (h,k) < (n,o). h k l p n m r q o Kuva 26: Lauseen 2.34 todistus. Todistus. Kulman (l, m) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora p, joka lähtee kulman (l,m) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa l kuin puolisuora m, että (h,k) = (l,p), eli (l,p) < (l,m). Lisäksi kulman (n, o) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora q, joka lähtee kulman (n, o) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa n kuin puolisuora o, että (l,m) = (n,q), eli (n,q) < (n,o). Tällöin kulman (n, q) aukeamassa on määritelmän 2.17 mukaan sellainen puolisuora r, joka lähtee kulman (n, q) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa n kuin puolisuora q, että (l,p) = (n,r), eli (n,r) < (n,q). Koska (h,k) = (l,p) ja (l,p) = (n,r), niin lauseen 2.32 mukaan (h,k) = (n,r), joten (h,k) < (n,o). Lause 2.35. Olkoot α = (h, k) ja β = (l, m) kulmia. Tällöin yksi seuraavista kolmesta tapauksesta on mahdollinen: α < β, α = β tai α > β. Todistus. Olkoon n sellainen puolisuora, joka lähtee kulman (l, m) kärjestä ja on samalla puolella puolisuoraa l kuin puolisuora m, että (h,k) = (l,n). Jos puolisuora n on kulman (l,m) aukeamassa, niin määritelmän 2.17 mukaan (l,n) < (l,m), eli (h,k) < (l,m). Jos puolisuora n = m, niin selvästi (l,n) = (l,m), eli (h,k) = (l,m). Jos puolisuora n ei ole kulman 28